Matematyka A dla Wydziału Chemii, semestr 2., 2020/2021 ćwiczenia 1. – rozwiązania

Matematyka A dla Wydziału Chemii, semestr 2., 2020/2021 ćwiczenia 1. – rozwiązania

1 marca 2021

1. Niech będzie dane następujące zagadnienie Cauchy’ego:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪

⎩

x^′(t) =^t2t^2+x4+1², x(1) = 2.

Udowodnij, że to zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie.

Mamy x^′= g(t, x), gdzie g(t, x) = ^t2t^2+x4+1², co jest funkcją ciągłą. Podobnie ^dg_dx= 2t^2x4+1 jest funkcją ciągłą, w szczególności są ciągłe na pewnym (a wręcz dowolnym) otoczeniu punktu(t, x) = (1, 2). W takim razie na mocy twierdzenie o jednoznaczności jest jednoznacznie wyznaczona funkcja x(t) spełniająca to równanie na pewnym przedziale(1 − δ, 1 + δ).

2. Rozwiąż równanie różniczkowe x^′(t) = −2tx.

Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Jeśli x≠ 0, to mamy^x′x^(t)= −2t, zatem ∫ ^x′x(t)dt=

∫ −2t dt, zatem ∫ ^dxx = −2t²/2 + C, czyli ln ∣x∣ = −t²+ C, zatem ∣x∣ = e^−t2+C= ∣D∣e^−t2, D≠ 0, czyli x = De^−t2 (dorzucając przypadek x= 0 mamy dowolne D).

3. Rozwiąż równanie różniczkowe x^′(t) = tx⁴.

Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Jeśli x≠ 0, to mamy ^x′x^(t)4 = t, zatem ∫ ^xx′(t)4 dt=

∫ t dt, zatem ∫ ^dxx4 = t²/2 + C, czyli ^x₋₃⁻³ = t²/2 + C, zatem x = 27 (t²/2 + C)³ dla dowolnego C lub x= 0.

4. Rozwiąż równanie różniczkowe x^′= −t²x.

Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Jeśli x≠ 0, to mamy^x′x^(t) = −t², zatem∫ ^x′x(t)dt=

− ∫ t²dt, zatem ∫ ^dxx = −t³/3 + C, czyli ln ∣x∣ = −t³+ C, zatem ∣x∣ = e^−t3/3+C = ∣D∣e^−t3/3, D ≠ 0, czyli x= De^−t3/3(dorzucając przypadek x= 0 mamy dowolne D).

5. Znaleźć rozwiązanie równania x^′ = (x − 1)²t spełniające warunek x(0) = 0 oraz rozwiązanie spełniające warunek x(0) = 1.

Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Jeśli x− 1 ≠ 0, to mamy _(x−1)^x′(t)2 = t, zatem

∫ (x−1)^x′(t)2dt= ∫ tdt, zatem ∫ (x−1)^{dx 2} = t²/2 + C, czyli −x−1¹ = t²/2 + C, więc x = t²/2+C⁻¹ + 1, lub x = 1. Dla warunku x(0) = 1 mamy x(t) = 1. Zaś dla warunku x(0) = 0 wyliczamy stałą C: 0 =_0+C⁻¹ + 1, zatem C = 1, więc x(t) =t²⁻¹/2+1+ 1.

6. W roku 1940 w Lascaux we Francji odkryto jaskinię ze śladami paleniska. Wiadomo, że organizmy żywe (żywe drzewa) zawierają dwa izotopy węgla ¹²C oraz ¹⁴C w stałym stosunku wagowym za życia. Od momentu śmierci organizmu (drzewa)¹⁴C ulega stopniowemu rozpadowi, i 99, 876% tego izotopu zostaje po 10 latach. Ustalono, że w znalezionym palenisku było 14, 5% izotopu węgla¹⁴C z szacowanej początkowej ilości. Jak dawno temu w tej jaskini żył człowiek?

Jeśli x(t) to masa izotopu¹⁴C w chwili t, to wiadomo, że x^′= −λx, gdzie λ jest pewnym współczynnikiem.

Jest to więc równanie o zmiennych rozdzielonych i

∫ dx

x = ∫ −λtdt, 1

zatem x= De^−λt. Jeśli t = 0 to moment śmierci drzewa, to masa izotopu w tym momencie wynosi D.

Mamy też x(10) = 0, 99876D, zatem e^−10λ≃ 0, 99876. Wobec tego λ= −1

10ln 0, 999876= 0, 000124.

Jeśli t1to 1940 rok, to x(t¹) = 0, 145A, zatem e^{−0,000124t1}= 0, 145, a więc t¹=_−0,000124^{ln 0,145} ≃ 15573 lat.

2