Tests ` a la Hurewicz dans le plan

156 (1998)

Tests ` a la Hurewicz dans le plan

par

Dominique L e c o m t e (Paris)

R´esum´e. Nous donnons, pour une certaine cat´egorie de bor´eliens d’un produit de

deux espaces polonais, comprenant les bor´eliens `a coupes d´enombrables, une caract´erisa- tion du type “test d’Hurewicz” de ceux ne pouvant pas ˆetre rendus diff´erence transfinie d’ouverts par changement des deux topologies polonaises.

1. Introduction. Ce travail se situe dans le cadre de la th´eorie descrip- tive des ensembles. Je renvoie le lecteur `a [Ku] pour les notions de base de th´eorie descriptive classique et `a [Mo] pour les notions de th´eorie descriptive effective. Rappelons que dans le cas des espaces polonais de dimension 0, la hi´erarchie de Baire des bor´eliens est construite en alternant les op´erations de r´eunion d´enombrable et de passage au compl´ementaire, en partant des ouverts-ferm´es, ce de mani`ere transfinie. On a alors la hi´erarchie suivante :

Σ

= ouverts, Σ

= F

, . . . , Σ

, . . . , Π

= ferm´es, Π

= G

, . . . , Π

, . . .

On s’int´eresse ici `a une hi´erarchie analogue `a celle de Baire, sauf qu’au lieu de partir des ouverts-ferm´es d’un espace polonais de dimension 0, on part des produits de deux bor´eliens, chacun d’entre eux ´etant inclus dans un espace polonais. L’analogie devient plus claire quand on sait qu’´etant donn´es un espace polonais X et un bor´elien A de X, on peut trouver une topologie polonaise plus fine que la topologie initiale sur X (topologie ayant donc les mˆemes bor´eliens), de dimension 0, et qui rende A ouvert-ferm´e. Pour notre probl`eme, le fait de travailler dans les espaces de dimension 0 n’est donc pas une restriction r´eelle. La d´efinition qui suit apparaˆıt alors naturelle :

D´ efinition. Soient X et Y des espaces polonais, et A un bor´elien de X × Y . Si Γ est une classe de Baire, on dira que A est potentiellement dans Γ (ce qu’on notera A ∈ pot(Γ )) s’il existe des topologies polonaises de

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 54H05.

[131]

dimension 0, σ (sur X) et τ (sur Y ), plus fines que les topologies initiales, telles que A, consid´er´e comme partie de (X, σ) × (Y, τ ), soit dans Γ .

La motivation pour l’´etude de ces classes de Baire potentielles trouve son origine dans l’´etude des relations d’´equivalence bor´eliennes, et plus pr´ecis´ement dans l’´etude du pr´e-ordre suivant sur la collection des relations d’´equivalence bor´eliennes d´efinies sur un espace polonais :

E ≤ F ⇔ ∃f bor´elienne E = (f × f )

(F ).

A l’aide de la notion de classe de Baire potentielle, A. Louveau montre dans [Lo3] que la collection des relations d’´equivalence Σ

n’est pas cofinale, et il en d´eduit qu’il n’existe pas de relation maximum pour ≤.

Pour d´eterminer la complexit´e exacte d’un bor´elien, on est amen´e `a mon- trer qu’il n’est pas d’une classe de Baire donn´ee — ce qui est g´en´eralement beaucoup plus difficile que de montrer qu’il est d’une autre classe de Baire.

Le th´eor`eme d’Hurewicz, rappel´e ci-dessous, donne une condition n´ecessaire et suffisante pour la classe des G

(cf. [SR]) :

Th´ eor` eme. Soit X un espace polonais et A un bor´elien de X. Les con- ditions suivantes sont ´equivalentes :

(a) Le bor´elien A n’est pas Π

.

(b) Il existe une injection continue u : 2

→ X telle que u

(A) = {α ∈ 2

| ∃n ∀m ≥ n α(m) = 0}.

Ce th´eor`eme a ´et´e g´en´eralis´e aux autres classes de Baire par A. Louveau et J. Saint Raymond (cf. [Lo-SR]). On cherche `a ´etablir des r´esultats ana- logues au th´eor`eme d’Hurewicz pour les classes de Baire potentielles. Dans la premi`ere partie, nous nous int´eresseront `a la caract´erisation des ensembles potentiellement ferm´es; nous d´emontrons le :

Th´ eor` eme. Il existe un bor´elien A

de 2

×2

tel que pour tous espaces polonais X et Y , et pour tout bor´elien A de X × Y qui est pot(Σ

) et pot(Π

), on a l’´equivalence entre les conditions suivantes :

(a) Le bor´elien A n’est pas pot(Π

).

(b) Il existe des fonctions continues u : 2

→ X et v : 2

→ Y telles que A

∩ (u × v)

(A) = A

.

Rappelons que les bor´eliens `a coupes verticales (ou horizontales) d´enom- brables sont pot(Σ

) (cf. [Lo1]), donc v´erifient l’hypoth`ese de ce th´eor`eme.

Il est `a noter qu’on ne peut pas esp´erer une r´eduction sur tout le produit,

c’est-`a-dire qu’on ne peut pas avoir (u × v)

(A) = A

dans la condition (b)

(cf. [L1], Cor. 4.14(b)). Nous montrerons ´egalement l’impossibilit´e d’avoir

l’injectivit´e des fonctions u et v de r´eduction, ce qui constitue une autre

diff´erence avec le th´eor`eme d’Hurewicz.

Dans la seconde partie, nous ´etendrons ce th´eor`eme `a d’autres classes, qui s’introduisent naturellement `a partir du th´eor`eme d’Hurewicz. En effet, ce th´eor`eme montre entre autres l’int´erˆet des r´eductions par des fonctions continues pour la comparaison de la complexit´e des bor´eliens. La d´efinition suivante apparaˆıt alors naturelle :

D´ efinition. Soit Γ une classe de parties d’espaces polonais de dimen- sion 0. On dit que Γ est une classe de Wadge s’il existe un espace polonais P

de dimension 0, et un bor´elien A

de P

tels que pour tout espace polonais P de dimension 0 et pour toute partie A de P , A est dans Γ si et seulement s’il existe une fonction continue f de P dans P

telle que A = f

(A

).

On peut d´emontrer que la hi´erarchie de Wadge affine celle de Baire.

L’utilit´e de consid´erer les espaces de dimension 0 apparaˆıt ici : il faut as- surer l’existence de suffisamment de fonctions continues; les seules fonctions continues de R dans 2

sont les fonctions constantes! Il y a eu des travaux, notamment de A. Louveau et J. Saint Raymond (cf. [Lo2]), pour d´ecrire la hi´erarchie de Wadge en termes d’op´erations ensemblistes, comme dans la hi´erarchie de Baire. Ceci am`ene `a consid´erer de nouveaux ensembles; par exemple, si ξ est un ordinal d´enombrable et (A

)

une suite croissante d’ouverts d’un espace polonais X, on note

D((A

)

) :=

n x ∈ X

 ∃η < ξ x ∈ A

 [

θ<η

A

et η n’a pas la mˆeme parit´e que ξ o

. On note D

(Σ

) la classe des ensembles de la forme D((A

)

). On peut montrer que les seules classes de Wadge non stables par passage au compl´e- mentaire contenues dans ∆

= Σ

∩ Π

sont les D

(Σ

) et ˇ D

(Σ

). On obtient alors la hi´erarchie suivante :

D

(Σ

) = {∅}, D

(Σ

) = ouverts, . . . , D

(Σ

), . . . , Σ

, D ˇ

(Σ

), D ˇ

(Σ

) = ferm´es, . . . , ˇ D

(Σ

), . . . , Π

. On peut d´efinir sans probl`eme les ensembles potentiellement Γ , o` u Γ est une classe de Wadge, en utilisant la mˆeme d´efinition que pr´ec´edemment.

Nous d´emontrons :

Th´ eor` eme. Soit ξ un ordinal d´enombrable.

(1) Si ξ est pair , il existe un bor´elien A

de 2

× 2

tel que pour tous espaces polonais X et Y , et pour tout bor´elien A de X × Y qui est pot(Σ

) et pot(Π

), on a l’´equivalence entre les conditions suivantes :

(a) Le bor´elien A n’est pas pot(D

(Σ

)).

(b) Il existe des fonctions continues u : 2

→ X et v : 2

→ Y telles

que A

∩ (u × v)

(A) = A

.

(2) Si ξ est impair , il existe un bor´elien A

de 2

× 2

tel que pour tous espaces polonais X et Y , et pour tout bor´elien A de X × Y qui est pot(Σ

) et pot(Π

), on a l’´equivalence entre les conditions suivantes :

(a) Le bor´elien A n’est pas pot( ˇ D

(Σ

)).

(b) Il existe des fonctions continues u : 2

→ X et v : 2

→ Y telles que A

∩ (u × v)

(A) = A

.

Questions. (a) Un premier probl`eme ouvert est de savoir si on peut supprimer l’hypoth`ese “A est pot(Σ

) et pot(Π

)” dans ce th´eor`eme.

(b) Un deuxi`eme probl`eme ouvert est le suivant. Comme nous l’avons mentionn´e avant, les seules classes de Wadge non stables par passage au compl´ementaire contenues dans ∆

sont les D

(Σ

) et ˇ D

(Σ

). Les bor´eliens

`a coupes d´enombrables ´etant pot(Σ

), la caract´erisation de ces bor´eliens en termes de “tests `a la Hurewicz” est donc compl`ete, `a l’exception de ceux qui ne sont pas pot(Π

). La question est donc de savoir si la conjecture suivante est vraie :

Conjecture. Il existe un bor´elien B de 2

×2

tel que pour tous espaces polonais X et Y , et pour tout bor´elien A de X × Y `a coupes d´enombrables, on a l’´equivalence entre les conditions suivantes :

(a) Le bor´elien A n’est pas pot(Π

).

(b) Il existe des fonctions continues u : 2

→ X et v : 2

→ Y telles que B ∩ (u × v)

(A) = B.

2. Un test pour les ensembles non potentiellement ferm´ es (A) La construction de base. Nous montrons un premier r´esultat qui n’est pas tout `a fait la caract´erisation des ensembles non potentiellement ferm´es annonc´ee dans l’introduction. Sa d´emonstration est plus importante que l’´enonc´e lui-mˆeme, et fournit une construction qui sera affin´ee plus tard, de trois mani`eres diff´erentes :

• Pour ´etablir la caract´erisation des ensembles non potentiellement ferm´es.

• Pour montrer l’impossibilit´e de l’injectivit´e de la r´eduction.

• Pour ´etablir la caract´erisation des ensembles non potentiellement diff´e- rence transfinie d’ouverts.

Pour ´enoncer et ´etablir ce r´esultat, il nous faut du vocabulaire.

D´ efinition 2.1. Soient (G

) une suite de ferm´es et G un ferm´e d’un espace topologique X. On dit que (G

) converge vers G si G = S

n∈ω

G

\ S

n∈ω

G

.

L’id´ee est la suivante : comment tester si une partie A d’un espace

m´etrique est ferm´ee? Une r´eponse est que A n’est pas ferm´e si et seule-

ment s’il existe une suite (x

) d’´el´ements de A convergeant vers un point x hors de A. On a alors, avec la d´efinition pr´ec´edente, que ({x

}) converge vers {x}. On ne peut pas prendre ce test pour caract´eriser les ensembles non po- tentiellement ferm´es, puisque le singleton {x} peut ˆetre rendu ouvert-ferm´e.

Cependant, on peut remarquer que si X est un espace polonais et τ une topologie polonaise plus fine sur X, il existe un G

dense de X sur lequel les deux topologies co¨ıncident. L’id´ee est donc de remplacer les singletons par des ensembles rencontrant tout produit de deux G

denses. Un exemple de tels ensembles est le graphe d’une fonction continue et ouverte de domaine et d’image ouverts-ferm´es non vides. Dans la suite, les G

et G seront de tels graphes. Les notations et d´efinitions qui suivent paraˆıssent alors naturelles, avec le rappel qui suit.

Notation. Soient A, B, Z et T des ensembles, g : A → B une fonction.

La notation G(g) d´esignera le graphe Gr(g) de g si A × B ⊆ Z × T , et {(z, t) ∈ Z × T | (t, z) ∈ Gr(g)} si A × B ⊆ T × Z. On a donc G(g) ⊆ Z × T dans les deux cas.

D´ efinition 2.2. On dit que (Z, T, g, (g

)) est une situation g´en´erale si : (a) Z et T sont des espaces polonais parfaits de dimension 0.

(b) g et les g

sont des fonctions continues et ouvertes de domaine ouvert- ferm´e non vide de Z et d’image ouverte-ferm´ee de T , ou de domaine ouvert- ferm´e non vide de T et d’image ouverte-ferm´ee de Z.

(c) La suite (G(g

)) converge vers G(g).

Il est d´emontr´e le th´eor`eme suivant dans [L2] (cf. th´eor`eme 2.3) : Th´ eor` eme 2.3. Soient X et Y des espaces polonais, et A un bor´elien pot(Σ

) et pot(Π

) de X × Y . Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(a) Le bor´elien A n’est pas potentiellement ferm´e.

(b) Il existe une situation g´en´erale (Z, T, g, (g

)) et des injections con- tinues u : Z → X et v : T → Y telles que S

n∈ω

G(g

) ∩ (u × v)

(A) = S

n∈ω

G(g

).

Dans ce r´esultat, la situation g´en´erale (Z, T, g, (g

)) d´epend de A, mˆeme si elle est toujours du mˆeme type. Dans le r´esultat qu’on cherche `a obtenir, annonc´e dans l’introduction, le bor´elien A

est ind´ependant de A. On cherche donc essentiellement `a obtenir un th´eor`eme d’interversion de quantificateurs, c’est-`a-dire une version uniforme du th´eor`eme pr´ec´edent. Apr`es ce rappel, il nous faut encore du vocabulaire.

D´ efinition 2.4. On dit que (Z, (g

)) est une bonne situation si :

(a) Z est un ferm´e parfait non vide de ω

.

(b) g

est un hom´eomorphisme de domaine et d’image ouverts-ferm´es de Z. De plus, on a α <

g

(α) si α ∈ D

.

(c) La suite (Gr(g

)) converge vers la diagonale ∆(Z).

Notations. Soit Z ⊆ ω

. On note N

l’ouvert-ferm´e de base de Z associ´e `a s ∈ ω

:

N

:= {α ∈ Z | s ≺ α}.

Soit (Z, (f

)) une bonne situation. On pose f

:= Id

et on d´efinit une relation R sur ω

comme suit :

s R t ⇔ |s| = |t| et (N

× N

) ∩



Gr(f

) ∪ [

n∈ω

Gr(f

)

 6= ∅.

Si s R t, on pose

m(s, t) := min{m ∈ ω | ∃w ∈ {∅} ∪ ω |w| = m et (N

× N

) ∩ Gr(f

) 6= ∅}, n(s, t) := min{n ∈ ω | sdn R tdn et m(s, t) = m(sdn, tdn)}.

On pose s T t ⇔ s R t ou t R s. On dira que c ∈ (ω

)

\ {∅} est une T-chaˆıne si ∀i < |c| − 1 c(i) T c(i + 1).

On d´efinit E comme ´etant la relation d’´equivalence engendr´ee par R : s E t ⇔ ∃c T-chaˆıne avec c(0) = s et c(|c| − 1) = t.

D´ efinition 2.5. On dit que (Z, (f

)) est une tr`es bonne situation si : (a) (Z, (f

)) est une bonne situation.

(b) Si c est une T-chaˆıne telle que |c| ≥ 3, c(0) = c(|c|−1), et c(i) 6= c(i+1) si i < |c| − 1, alors il existe i < |c| − 2 tel que c(i) = c(i + 2).

Th´ eor` eme 2.6. Soient (Z, (g

)) une bonne situation et (ω

, (f

)) une tr`es bonne situation. On suppose que les classes d’´equivalence de la relation E associ´ee `a (ω

, (f

)) sont finies. Alors il existe une fonction continue u : ω

→ Z telle que

[

n∈ω

Gr(f

) ∩ (u × u)

 [

n∈ω

Gr(g

)



= [

n∈ω

Gr(f

).

D ´e m o n s t r a t i o n. On va construire :

• Une suite (U

)

d’ouverts-ferm´es non vides de Z.

• Une fonction Φ : {(s, t) ∈ ω

× ω

| |s| = |t|} → {∅} ∪ ω.

On notera, si s R t, w(s, t) := Φ(sdn(s, t), tdn(s, t)). On demande `a ces objets de v´erifier :

(i) U

⊆ U

.

(ii) δ(U

) ≤ 2

. (iii) s R t ⇒

 |w(s, t)| = m(s, t),

U

= g

[U

].

Admettons ceci r´ealis´e. Soit α dans ω

. Comme pour q > 0, δ(U

) <

2

, (U

)

est une suite d´ecroissante de ferm´es non vides dont les diam`etres tendent vers 0. On peut donc d´efinir u : ω

→ Z par la formule {u(α)} = T

q∈ω

U

, et u est continue. Montrons que si (α, β) est dans S

n∈ω

Gr(f

), alors (u(α), u(β)) est dans S

n∈ω

Gr(g

). Soit donc n entier tel que (α, β) ∈ Gr(f

); on peut trouver un entier naturel m

tel que (N

× N

)

∩ Gr(f

) = ∅. Alors si m ≥ m

, on a αdm R βdm et on a les ´egalit´es m(αdm, βdm) = m(αdm

, βdm

) = 1. Posons n

:= n(αdm

, βdm

). Si p ≥ n

, on a m(αdp, βdp) = m(αdn

, βdn

) et n(αdp, βdp) = n(αdn

, βdn

) = n

. Posons s := αdn

et t := βdn

. Par (iii), |Φ(s, t)| = m(s, t) = m(αdm

, βdm

)

= 1. On a

g

(u(α)) ∈ g

h \

n≥n0

U

i

⊆ \

n≥n0

g

[U

]

= \

n≥n0

U

= {u(β)}.

D’o` u (u(α), u(β)) ∈ Gr(g

). Si (α, β) ∈ S

n∈ω

Gr(f

) \ S

n∈ω

Gr(f

), on a α = β et u(α) = u(β); donc (u(α), u(β)) 6∈ S

n∈ω

Gr(g

).

Montrons donc que la construction est possible. On pose Φ(∅, ∅) := ∅ et U

:= Z.

Admettons avoir construit U

et Φ(s, t) pour |s|, |t| ≤ p v´erifiant (i)–(iii), et soient s ∈ ω

et i ∈ ω. Posons

d : E(s

i) × E(s

i) → ω,

(x, y) 7→ min{|c| − 1 | c T-chaˆıne, c(0) = x et c(|c| − 1) = y}.

Si k ∈ ω, on pose H

:= {z ∈ E(s

i) | d(z, s

i) = k}. Alors H

et le nombre de H

non vides sont finis, puisque les classes d’´equivalence de E sont suppos´ees finies. De plus, H

est non vide si H

l’est, donc on peut trouver q tel que H

, . . . , H

soient non vides et H

soit vide si k > q. Posons

H

:= {z

, . . . , z

}, φ : [

k≤q

{k} × {1, . . . , p

} → ω, (k, r) 7→ X

i<k

p

+ r.

On a donc Im(φ) = {1, . . . , p

, p

+ 1, . . . , p

+ p

, . . . , p

+ . . . + p

+ 1, . . . , p

+ . . . + p

}.

On va construire par r´ecurrence sur n ∈ {1, . . . , p

+. . .+p

}, et pour k ∈ {1, . . . , n}, des ouverts-ferm´es non vides U

φ−1(k)

de Z. Si z

R z

, on adopte la notation w(k, l) := w(z

, z

). On demande aux ouverts- ferm´es de v´erifier :

(1) U

φ−1(k)

⊆ U

φ−1(k)dp

. (2) δ(U

φ−1(k)

) ≤ 2

.

(3) Si k, l ∈ {1, . . . , n} et z

R z

, alors

|w(k, l)| = m(z

, z

), U

φ−1(l)

= g

[U

φ−1(k)

].

(4) U

φ−1(k)

⊆ U

φ−1(k)

si k ∈ {1, . . . , n}.

Admettons cette construction effectu´ee. Il restera `a poser, si z, z

sont dans E(s

i), U

:= U

, et si Φ(z, z

) n’est pas encore d´efini, on posera Φ(z, z

) := Φ(zdp, z

dp). On a

U

= U

φ−1(k)

⊆ U

φ−1(k)dp

.

La condition (i) est donc r´ealis´ee pour toute suite de E(s

i). La condition (2) entraˆınera de mˆeme que (ii) est r´ealis´ee pour toute suite de E(s

i). Pour (iii), il suffit de remarquer que si e s R e t, alors e s et e t sont dans la mˆeme E-classe, et (3) donne le r´esultat.

Montrons donc que cette nouvelle construction est possible. Si n = 1, φ

(n) vaut (0, 1) et z

= s

i; on choisit pour U

un ouvert-ferm´e non vide de U

, de diam`etre au plus 2

.

Admettons avoir construit les suites finies U

φ−1(1)

, . . . , U

φ−1(1)

, . . . , U

φ−1(n−1)

v´erifiant (1)–(4), ce qui est fait pour n = 2. La suite z

est dans H

, donc on peut trouver une T-chaˆıne c telle que c(0) = s

i, c(|c|−1) = z

et |c|−1 = (φ

(n))

. Comme p

= 1, on a (φ

(n))

≥ 1, donc |c| ≥ 2 et c(|c| − 2) ∈ H

; par le choix de φ, on peut trouver m < n tel que c(|c| − 2) = z

. D’o` u z

T z

. Notons

o :=

 n(z

, z

) si z

R z

, n(z

, z

) si z

R z

. Cas 1 : o < p + 1.

1.1 : z

R z

. La suite

w(m, n) = Φ(z

do, z

do) a d´ej`a ´et´e d´efinie et on a

U

= g

[U

].

On choisit, dans g

[U

φ−1(m)

], un ouvert-ferm´e non vide U

φ−1(n)

de diam`etre au plus 2

, de sorte que (1)–(3) pour k = l = n sont r´ealis´ees.

On d´efinit ensuite les U

φ−1(q)

pour 1 ≤ q < n, par r´ecurrence sur

d(z

, z

) : on choisit une T-chaˆıne e de longueur minimale telle

que e(0) = z

et e(|e| − 1) = z

. Comme |e| ≥ 2, U

a ´et´e d´efini

et il y a 2 cas. Soit r entier compris entre 1 et n tel que e(1) = z

. Un

tel r existe car la condition (b) de la d´efinition d’une tr`es bonne situation

entraˆıne l’unicit´e d’une T-chaˆıne sans termes cons´ecutifs identiques allant

d’une suite `a une autre; cette T-chaˆıne est donc de longueur minimale, et la d´efinition de φ montre l’existence de r.

1.1.1 : Ou bien z

R z

, et on pose U

φ−1(q)

:= g

[U

φ−1(r)

].

1.1.2 : Ou bien z

R z

, et on pose U

φ−1(q)

:= g

(U

φ−1(r)

).

Montrons que ces d´efinitions sont licites. On a e(1) = z

, o` u 1 ≤ r

≤ n. Si le cas r = n se produit, comme z

et z

sont dans E(s

i), l’unicit´e de la T-chaˆıne sans termes cons´ecutifs identiques allant de s

i `a z

montre que q = m.

On en d´eduit que si r = n, on est dans le cas 1.1.2 puisqu’on ne peut pas avoir z

R e(1) et e(1) R z

, ces deux suites ´etant diff´erentes par minimalit´e de la longueur de v (si e s R e t, on a e s ≤

e t, par d´efinition d’une tr`es bonne situation).

Dans le cas 1.1.1, on a r < n et U

φ−1(q)

= g

[U

φ−1(r)

], donc U

φ−1(q)

est un ouvert-ferm´e non vide de U

φ−1(q)

, puisque U

φ−1(r)

⊆ U

φ−1(r)

. De mˆeme, U

φ−1(q)

est un ouvert-ferm´e non vide de U

φ−1(q)

dans le cas 1.1.2, r < n. Si r = n, alors q = m et la mˆeme conclusion vaut, par le choix de U

φ−1(n)

. D’o` u la condition (4). Les conditions (1) et (2) pour k = q en d´ecoulent.

V´erifions (3). Soient donc k, l ≤ n tels que z

R z

, et e c (res- pectivement e e) la T-chaˆıne ayant servi `a d´efinir U

φ−1(k)

(respectivement U

φ−1(l)

). On a e c(|e c| − 1) = e e(|e e| − 1) = z

. Si |e c| = |e e| = 1, k = l = n et (3) a ´et´e v´erifi´e. Plus g´en´eralement, si k = l, (3) est v´erifi´e. Si |e c| = 1 et |e e| = 2, la liaison entre z

et z

a d´ej`a ´et´e prise en compte, par minimalit´e des longueurs. De mˆeme si |e c| = 2 et |e e| = 1. Si |e c| et |e e|

sont au moins ´egaux `a 2, par unicit´e de la T-chaˆıne sans termes cons´ecutifs identiques allant d’une suite `a une autre, on a e c(1) = e e(0) ou e c(0) = e e(1). L`a encore, la liaison a ´et´e prise en compte. La condition (3) est donc r´ealis´ee.

1.2 : z

R z

. Ce cas est analogue au pr´ec´edent (on a U

φ−1(m)dp

= g

[U

], on choisit U

φ−1(n)

dans g

(U

φ−1(m)

), et seul le cas 1.2.1 est possible si r = n).

Cas 2 : o = p + 1.

2.1 : z

R z

. Soit w ∈ {∅}∪ω tel que (N

×N

)∩

Gr(f

) 6= ∅. On peut supposer que |w| = m(z

, z

) = 0, et w = ∅, z

= z

. Comme Gr(g

) = S

n∈ω

Gr(g

) \ S

n∈ω

Gr(g

),

on peut trouver t ∈ ω minimal tel que (U

φ−1(m)

× U

φ−1(m)

) ∩ Gr(g

) 6= ∅, et on a |t| = m(z

, z

) = 1. On pose alors Φ(z

, z

) := t.

On a alors que g

[U

φ−1(m)

∩ g

(U

φ−1(m)

)] est un ouvert-ferm´e non vide de U

; on choisit U

φ−1(n)

dans cet ouvert-ferm´e et on raisonne comme en 1.1.

2.2 : z

R z

. On raisonne comme en 2.1, en choisissant U

φ−1(n)

dans g

(U

φ−1(m)

) ∩ U

φ−1(m)

et en posant φ(z

, z

) := t.

(B) L’existence de tests. Nous donnons maintenant un exemple explicite, comme annonc´e dans l’introduction. Nous commen¸cons par un exemple dans ω

× ω

, que nous raffinons ensuite dans un produit Z

× Z

, o` u Z

est plus compliqu´e `a d´ecrire que ω

, mais est hom´eomorphe `a 2

.

Notations. Soit (q

) la suite des nombres premiers : q

= 2, q

= 3, q

= 5, . . . On pose

N : ω

→ ω, s 7→

 q

. . . q

si s 6= ∅,

0 sinon.

La fonction f

est l’identit´e. On pose ensuite

f

: {α ∈ ω

| α(n) = 1} → {α ∈ ω

| α(n) = N (αdn

1)}, α 7→

( ω → ω p 7→

 α(p) si p 6= n, N (αd(n + 1)) sinon.

On pose ensuite A

:= {1}, A

:= {1} ∪

n

N (s

1)  

 s ∈ Y

i≤n

A

o

(n ∈ ω), Z

:= Y

n∈ω

A

.

Alors on voit facilement par r´ecurrence que A

est fini et a au moins deux

´el´ements si n ≥ 1, de sorte que Z

, muni de la topologie induite par celle de ω

, est hom´eomorphe `a 2

, comme compact m´etrisable parfait de dimension 0 non vide. Il est clair que si α ∈ Z

et α(n) = 1, alors f

(α) ∈ Z

, de sorte qu’on peut remplacer ω

par Z

dans la d´efinition de f

. On note encore f

cette nouvelle fonction, le contexte pr´ecisant si on travaille dans ω

ou dans Z

.

Th´ eor` eme 2.7. (1) Le couple (ω

, (f

)) est une tr`es bonne situation. De plus, les classes d’´equivalence de E sont finies.

(2) Le couple (Z

, (f

)

) est une tr`es bonne situation. De plus, pour tout entier p, Q

n<p

A

est une classe pour E.

D ´e m o n s t r a t i o n. Les espaces ω

et Z

sont ferm´es parfaits non vides de ω

.

Que ce soit dans ω

ou Z

, f

est clairement un hom´eomorphisme de domaine et d’image ouverts-ferm´es, et on a α <

f

(α) pour tout α de D

.

Si α ∈ ω

, la suite de terme g´en´eral

(αdn

1

(α(n + 1), . . .), αdn

N (αdn

1)

(α(n + 1), . . .))

converge vers (α, α), de sorte que (Gr(f

)) converge vers ∆(ω

). De mˆeme si α ∈ Z

.

Montrons maintenant que pour tout entier p, Q

n<p

A

est une classe pour E. Il suffit de voir que E(1

) = Q

n<p

A

. La condition est clairement v´erifi´ee pour p = 0 : on a E(∅) = {∅}. Pour p = 1, on a E(1

) = {1} = A

car on consid`ere la suite (f

)

, de sorte que la premi`ere coordonn´ee vaut toujours 1. Soit donc s ∈ E(1

). On a bien sˆ ur s ∈ Q

n<p+1

A

. R´eciproquement, si s ∈ Q

n<p+1

A

, on a sdp ∈ Q

n<p

A

, donc par hypoth`ese de r´ecurrence, on peut trouver une T-chaˆıne v avec v(0) = 1

et v(|v| − 1)

= sdp. Donc (v(i)

s(p))

est une T-chaˆıne, et donc s ∈ E(1

s(p)).

D’o` u le r´esultat si s(p) = 1. Sinon, on peut trouver t dans Q

n<p

A

telle que s(p) = N (t

1). Par hypoth`ese de r´ecurrence, on peut trouver une T-chaˆıne w telle que w(0) = 1

et w(|w| − 1) = t. Comme avant, (w(i)

1)

est une T-chaˆıne, donc t

1 ∈ E(1

). Donc t

N (t

1) ∈ E(1

), c’est-

`a-dire t

s(p) ∈ E(1

). Comme t ∈ E(1

), on a t

s(p) ∈ E(1

s(p)) et s ∈ E(1

).

Montrons maintenant que les classes d’´equivalence de E sont finies. Soit C une E-classe, t

∈ C et s

∈ C lexicographiquement minimale. Une telle suite existe car on d´efinit, si q < |t

|, s

(q) comme ´etant min{s(q) | s ∈ C et sdq = s

dq}. On montre par r´ecurrence sur i < |s

| que :

(i) E(s

d(i + 1)) est finie,

(ii) ∀s ∈ E(s

d(i + 1)) s(i) ∈ {s

(i)} ∪ {N (u

s

(i)) | u ∈ E(s

di)}.

Si i = 0, on a E(s

(0)) = {s

(0)} si s

(0) 6= 1, et {s

(0)} ∪ {N (1)} sinon, d’o` u le r´esultat. Admettons ce r´esultat pour i < j < |s

|, ce qui est v´erifi´e pour j = 1. Montrons-le pour j, ce qui prouvera que C est finie.

Soit e t ∈ E(s

d(j + 1)); il existe une T-chaˆıne u avec u(0) = e t et u(|u| − 1)

= s

d(j + 1). Si i < |u| − 1, comme u(i) T u(i + 1), on a u(i)dj T u(i + 1)dj, donc u(i)dj E u(i + 1)dj et e tdj E s

dj.

Montrons (ii); (i) s’en d´eduira car sdj ∈ E(s

dj) qui est fini par hypoth`ese de r´ecurrence, et car s(j) est dans un ensemble fini. On montre

∀s, t ∈ E(s

d(j + 1))

t(j) 6= s

(j) ou s(j) ∈ {s

(j)} ∪ {N (u

s

(j)) | u ∈ E(s

dj)}.

On proc`ede par r´ecurrence sur d(s, t). C’est clair pour d(s, t) = 0. Soient s, t ∈ E(s

d(j + 1)) telles que d(s, t) = k + 1. Soit e une T-chaˆıne telle que e(0) = t, e(|e| − 1) = s et |e| = k + 2. Soit i < |e| maximal tel que e(i)(j) = s

(j). Si i > 0, par hypoth`ese de r´ecurrence, on a le r´esultat. On peut donc supposer que si 1 ≤ i < |e|, alors e(i)(j) 6= s

(j).

Par cons´equent, e(1)(j) 6= s

(j) et e(0)(j) = t(j) = s

(j), donc s

(j) a

´et´e modifi´e en N (tdj

s

(j)), par minimalit´e de s

. En effet, on remarque que si x R y, alors ∀l ∈ ω \ {0}, x

l R y

l; comme tdj E s

dj, on a e(1) = tdj

e(1)(j) E s

dj

e(1)(j) et si on pose s

:= hs

(j + 1), . . . , s

(|s

| − 1)i, on a e(1)

s

E s

et e(1)

s

E s

dj

e(1)(j)

s

. Donc e(1)(j) ≥ s

(j) et e(1)(j) > s

(j). Pour transformer `a nouveau e(1)(j), on ne peut que revenir

`a s

(j), ce qui est exclus. Donc e(1)(j) reste fixe dans la suite et vaut s(j).

L’entier s(j) a donc la forme voulue. D’o` u (ii), avec t = s

d(j + 1).

Montrons maintenant que (ω

, (f

)) est une tr`es bonne situation. Nous voulons montrer que si c est une T-chaˆıne telle que |c| ≥ 3, c(0) = c(|c| − 1), et c(i) 6= c(i + 1) si i < |c| − 1, alors il existe i < |c| − 2 tel que c(i) = c(i + 2).

Soit c un contre-exemple de longueur minimale, et tel que l := |c(0)| soit minimale elle aussi. Alors n´ecessairement la suite (c(i)(l − 1))

est non constante, et on trouve i

minimal tel que c(i

)(l − 1) 6= c(i

+ 1)(l − 1); il y a alors deux cas.

Ou bien c(i

)(l − 1) < c(i

+ 1)(l − 1), auquel cas comme on a les ´egalit´es c(i

)(l − 1) = c(0)(l − 1) = c(|c| − 1)(l − 1),

on trouve i

> i

+ 1 minimal tel que l’on ait c(i

+ 1)(l − 1) 6= c(i

)(l − 1).

Comme avant, on voit que c(i

)(l − 1) = c(i

)(l − 1), et en fait c(i

) = c(i

).

Donc i

= 0 et i

= |c| − 1, par minimalit´e de |c|. Par minimalit´e encore,

|c| = 3, ce qui constitue la contradiction cherch´ee (on a c(i

+ 1) = c(i

− 1) car il existe un unique entier n tel que c(i

)

1

∈ A

, avec n = l − 1; par suite,

c(i

+ 1)

1

= f

(c(i

)

1

) = f

(c(i

)

1

) = c(i

− 1)

1

).

Ou bien c(i

)(l − 1) > c(i

+ 1)(l − 1), auquel cas on trouve i

> i

+ 1 minimal tel que c(i

)(l−1) = . . . = c(|c|−1)(l−1). On a c(i

+1) = c(i

−1), donc c(i

) = c(i

) comme avant. D’o` u i

= 0 et i

= |c|−1, par minimalit´e de

|c|. Par minimalit´e encore, |c| = 3, ce qui constitue la contradiction cherch´ee.

Il reste `a voir que (Z

, (f

)

) est une tr`es bonne situation pour achever la preuve du th´eor`eme. Mais ceci se voit comme pr´ec´edemment.

Th´ eor` eme 2.8. Soit (Z, T, g

, (g

)) une situation g´en´erale. Alors il existe une fonction continue u : ω

→ Z et une fonction continue v : ω

→ T telles

que [

n∈ω

Gr(f

) ∩ (u × v)

 [

n∈ω

G(g

)



= [

n∈ω

Gr(f

).

D ´e m o n s t r a t i o n. On utilisera des notations analogues `a celles de la preuve du th´eor`eme 2.6, et le mˆeme sch´ema de d´emonstration. Les nuances sont les suivantes.

On va noter e A

(respectivement e B

, e A

) le domaine de g

(respective- ment l’image de g

, le domaine de g

).

On va construire :

• Une suite (U

)

d’ouverts non vides de Z, inclus dans e A

ou e B

.

• Une suite (V

)

d’ouverts non vides de T , inclus dans e A

ou e B

.

• Une fonction Φ : {(s, t) ∈ ω

× ω

| |s| = |t|} → {∅} ∪ ω.

On demande `a ces objets de v´erifier : (i) U

× V

⊆ U

× V

.

(ii) δ(U

), δ(V

) ≤ 2

. (iii) s R t ⇒

 



|w(s, t)| = m(s, t),

V

= g

[U

] si e A

⊆ Z, U

= g

[V

] si e A

⊆ T.

Admettons ceci r´ealis´e. On d´efinit u : ω

→ Z et v : ω

→ T par les formules {u(α)} = T

q∈ω

U

et {v(α)} = T

q∈ω

V

. Montrons que si (α, β) est dans S

n∈ω

Gr(f

) (respectivement Gr(f

)), alors (u(α), v(β)) est dans S

n∈ω

G(g

) (respectivement G(g

)). Soit donc w dans {∅} ∪ ω tel que (α, β) ∈ Gr(f

); on peut trouver un entier naturel m

tel que (N

× N

) ∩ S

s∈{∅}∪ω,|s|<|w|

Gr(f

) = ∅. Alors si m ≥ m

, on a αdm R βdm et on a l’´egalit´e m(αdm, βdm) = m(αdm

, βdm

) = |w|. Par (iii), on a

|Φ(s, t)| = m(s, t) = m(αdm

, βdm

) = |w| =

 0 si β = f

(α), 1 si ∃n β = f

(α).

Si e A

⊆ Z, on a

g

(u(α)) ∈ g

h \

n≥n₀

U

i

⊆ \

n≥n₀

g

[U

]

= \

n≥n₀

V

= {v(β)}.

Si e A

⊆ T , on a

g

(v(β)) ∈ g

h \

n≥n0

V

i

⊆ \

n≥n0

g

[V

]

= \

n≥n₀

U

= {u(α)}.

D’o` u (u(α), v(β)) ∈ G(g

).

Montrons donc que la construction est possible. On pose Φ(∅, ∅) := ∅ et (U

, V

) :=

 ( e A

, e B

) si e A

⊆ Z, ( e B

, e A

) si e A

⊆ T .

Par le th´eor`eme 2.7, les classes d’´equivalence de E sont finies. On peut donc d´efinir H

et φ comme dans la preuve du th´eor`eme 2.6. On va construire par r´ecurrence sur n ∈ {1, . . . , p

+ . . . + p

}, et pour k ∈ {1, . . . , n}, des ouverts non vides U

φ−1(k)

(respectivement V

φ−1(k)

) de Z (respectivement T ). On demande aux ouverts de v´erifier :

(1) U

× V

⊆ U

φ−1(k)dp

× V

φ−1(k)dp

. (2) δ(U

φ−1(k)

), δ(V

φ−1(k)

) ≤ 2

.

(3) Si k, l ∈ {1, . . . , n} et z

R z

, alors

• |w(k, l)| = m(z

, z

),

• si e A

⊆ Z, alors V

φ−1(l)

= g

[U

φ−1(k)

],

• si e A

⊆ T , alors U

φ−1(k)

= g

[V

φ−1(l)

], (4) U

φ−1(k)

× V

φ−1(k)

⊆ U

φ−1(k)

× V

φ−1(k)

si k ∈ {1, . . . , n}.

Montrons donc que cette nouvelle construction est possible. Si n = 1, on choisit pour U

(0,1)

un ouvert non vide de e A

, de diam`etre au plus 2

, tel que δ(g

[U

]) ≤ 2

, g

[U

] ⊆ V

et U

⊆ U

, et on pose V

:= g

[U

]. Ceci si e A

⊆ Z. Si e A

⊆ T , on choisit pour V

un ouvert non vide de e A

, de diam`etre au plus 2

, tel que δ(g

[V

]) ≤ 2

, g

[V

] ⊆ U

et V

⊆ V

, et on pose U

:= g

[V

].

Admettons avoir construit les suites finies U

φ−1(1)

, V

φ−1(1)

, . . . , U

φ−1(1)

, V

φ−1(1)

, . . . , U

φ−1(n−1)

, V

φ−1(n−1)

v´erifiant (1)–(4).

Cas 1 : o < p + 1.

1.1 : z

R z

et e A

⊆ Z. La suite w(m, n) = Φ(z

do, z

do) a d´ej`a ´et´e d´efinie et on a

V

= g

[U

].

1.1.1 : e A

⊆ Z. On choisit, dans U

φ−1(n)dp

∩ g

(g

[U

φ−1(m)

]), un ouvert non vide U

φ−1(n)

tel que U

× g

[U

φ−1(n)

] ⊆ U

× V

, δ(U

φ−1(n)

) ≤ 2

et ´egalement δ(g

[U

φ−1(n)

]) ≤ 2

. On pose V

φ−1(n)

:= g

[U

φ−1(n)

], de sorte que (1), (2), et (3) pour k = l = n

sont r´ealis´ees.