Sur l’invariance de la dimension inﬁnie forte par t-´equivalence

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160 (1999)

Sur l’invariance de la dimension infinie forte par t-´equivalence

par

Robert C a u t y (Paris)

Abstract. Let X and Y be metric compacta such that there exists a continuous open surjection from Cp(Y ) onto Cp(X). We prove that if there exists an integer k such that X^k is strongly infinite-dimensional, then there exists an integer p such that Y^pis strongly infinite-dimensional.

1. Introduction. Pour un espace complètement régulier X, nous no- tons Cp(X) l’espace de toutes les fonctions réelles continues sur X avec la topologie de la convergence simple. Un espace normal X est dit fortement de dimension infinie s’il existe une suite {(A_i, B_i)}^∞_i=1 de couples de fermés disjoints de X telle que si, pour tout i, Li est un fermé séparant X entre A_i et B_i, alors T_∞

i=1L_i 6= ∅. Nous nous intéressons ici au problème sui- vant : soient X et Y des espaces normaux tels que C_p(X) et C_p(Y ) soient homéomorphes. Si X est fortement de dimension infinie, en est-il de même de Y ? Nous prouverons le résultat suivant :

Th´eor`eme. Soient X et Y des compacts m´etrisables tels qu’il existe une fonction continue ouverte de C_p(Y ) sur C_p(X). S’il existe un entier k tel que X^k soit fortement de dimension infinie, alors il existe un entier p tel que Y^p soit fortement de dimension infinie.

Ce théorème résout en particulier un problème d’Arkhangel’ski˘ı ([1], question 3.12 et [2], question 3.15).

Zarelua [6] a prouvé que tout compact métrisable fortement de dimension infinie contient un compact dont tout fermé est soit de dimension zéro, soit fortement de dimension infinie. Sklyarenko [5] a montré que tout compact fortement de dimension infinie contient un compact qui ne peut être

1991 Mathematics Subject Classification: 54C35, 54F45.

Key words and phrases: function space, strongly infinite-dimensional.

[95]

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séparé par aucun fermé de dimension finie. En combinant ces résultats, nous obtenons le lemme suivant.

Lemme 1. Tout compact m´etrisable fortement de dimension infinie con- tient un compact C v´erifiant

(i) tout ferm´e de C est soit de dimension z´ero, soit fortement de di- mension infinie,

(ii) si F est un ferm´e de C tel que C \ F ne soit pas connexe, alors F est fortement de dimension infinie.

Remarquons que la condition (ii) entraˆıne que si U est un ouvert non vide de C, alors U est fortement de dimension infinie.

Nous notons exp_nY l’ensemble des sous-ensembles non vides de Y con- tenant au plus n ´el´ements; nous munissons exp_nY de la topologie de Vie- toris. Nous munissons l’ensemble des couples d’entiers > 0 d’un ordre partiel en posant (n, m) ≤ (n⁰, m⁰) si n ≤ n⁰ et m ≤ m⁰.

2. Démonstration du théor`eme. Soient X, Y deux compacts métri- sables et k un entier tel que X^k soit fortement de dimension infinie. Sup- posons qu’il existe une fonction continue ouverte ϕ de Cp(Y ) sur Cp(X).

Notant 0 la fonction identiquement nulle sur X ou Y , l’homogénéité de C_p(X) nous permet de supposer que ϕ(0) = 0. Pour x = (x¹, . . . , x^k) ∈ X^k, posons

V (x) = {f ∈ C_p(X) | |f (x^j)| ≤ 1 pour 1 ≤ j ≤ k}.

Pour un sous-ensemble A de Y et ε > 0, posons

W (A, ε) = {g ∈ Cp(Y ) | |g(y)| < ε pour tout y ∈ A}.

Lemme 2. Soit {xi}^∞_i=1 une suite de points de X^k de limite x, et soit {A_i}^∞_i=1 une suite d’´el´ements de exp_nY de limite A. Si ϕ(W (A_i, ε)) ⊂ V (x_i) pour tout i, alors ϕ(W (A, ε)) ⊂ V (x).

D é m o n s t r a t i o n. Soient x = (x¹, . . . , x^k) et x_i = (x¹_i, . . . , x^k_i). Si g ∈ W (A, ε), alors l’ouvert g⁻¹(]−ε, ε[) contient A, donc il existe i0 tel que cet ouvert contienne A_i pour i ≥ i₀. Pour i ≥ i₀, g appartient à W (A_i, ε), donc |ϕ(g)(x^j_i)| ≤ 1 pour 1 ≤ j ≤ k. Puisque g est continue, ϕ(g)(x^j) = lim ϕ(g)(x^j_i), donc |ϕ(g)(x^j)| ≤ 1 pour 1 ≤ j ≤ k, d’où ϕ(W (A, ε)) ⊂ V (x).

Pour des entiers n, m > 0, nous notons G(n, m) l’ensemble des points x de X^kpour lesquels il existe un sous-ensemble A de Y de cardinal ≤ n tel que ϕ(W (A, 1/m)) ⊂ V (x). Alors G(n, m) est fermé. En effet, soit {x_i}^∞_i=1 une suite de points de G(n, m) convergeant vers un point x. Pour tout i, prenons A_i∈ exp_nY tel que ϕ(W (A_i, 1/m)) ⊂ V (x_i). La compacité de exp_nY nous permet de supposer que {Ai} converge vers A ∈ exp_nY . D’après le lemme 2, nous avons ϕ(W (A, 1/m)) ⊂ V (x), donc x appartient à G(n, m).

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Soit C un sous-ensemble compact de X^k vérifiant les conditions du lemme 1. La continuité de ϕ entraˆıne que X^k est la réunion des G(n, m).

Puisque ces ensembles sont fermés, le théorème de Baire entraˆıne l’existence de couples (n, m) tels que l’intérieur relativement à C de C ∩ G(n, m) soit non vide. Prenant (n, m) minimal pour l’ordre ≤ dans l’ensemble de ces cou- ples, nous pouvons alors trouver un sous-ensemble non vide U de C, ouvert dans C et vérifiant

(1) U ⊂ G(n, m) \[

{G(n⁰, m⁰) | (n⁰, m⁰) < (n, m)}.

Pour la suite de la démonstration, nous fixons un couple (n, m) et un ouvert non vide U de C vérifiant (1). Pour x dans U , soit B(x) l’ensemble des sous-ensembles A de Y de cardinal n vérifiant ϕ(W (A, 1/m)) ⊂ V (x);

d’apr`es (1), B(x) 6= ∅.

Lemme 3. B(x) est fini pour tout x ∈ U .

D é m o n s t r a t i o n. Si B(x) était infini, nous pourrions construire in- ductivement une suite d’éléments Ai = {y¹_i, . . . , y_iⁿ} de B(x) tels que y¹_i 6∈

S_i−1

j=1A_j pour i > 1. Passant au besoin à une sous-suite, nous pouvons sup- poser que, pour 1 ≤ l ≤ n, {y_i^l} converge vers un élément y^l de Y et que, ou bien y_i^l= y^l pour tout i, ou bien y^l_i6= y_j^l pour 1 ≤ i < j.

Soit A⁰ le sous-ensemble de A form´e des points y^l tels que y_i^l = y^l pour tout i, et soit A⁰⁰ = A \ A⁰. Alors A⁰⁰ contient y¹, donc A⁰ a moins de n

´el´ements. Nous allons montrer que

ϕ(W (A⁰, 1/m)) ⊂ V (x),

ce qui contredit (1) si A⁰ 6= ∅ et contredit la surjectivit´e de ϕ si A⁰= ∅.

Soit f ∈ W (A⁰, 1/m). Les ensembles

R(f, B, ε) = {g ∈ C_p(Y ) | |g(y) − f (y)| < ε, ∀y ∈ B},

o`u B est un sous-ensemble fini de Y et ε > 0, forment une base de voisinages de f . Soit E l’ensemble des l ∈ {1, . . . , n} tels que y^l ∈ A⁰⁰. Puisque, pour l ∈ E, les y_i^l, i ≥ 1, sont tous distincts, nous pouvons, ´etant donn´e un sous-ensemble fini B de Y , trouver un i tel que y_i^l6∈ B ∪ A⁰ pour tout l ∈ E.

Nous pouvons trouver g ∈ Cp(Y ) telle que g(y) = f (y) si y ∈ B ∪ A⁰ et g(y^l_i) = 0 pour tout l ∈ E. Alors g ∈ R(f, B, ε) pour tout ε > 0 et, puisque A_i = A⁰∪ {y^l_i | l ∈ E}, g appartient à W (A_i, 1/m). Puisque A_i ∈ B(x), ϕ(g) appartient à V (x). Ceci montre que f appartient à la fermeture de ϕ⁻¹(V (x)); comme V (x) est fermé, ϕ(f ) appartient à V (x), d’o`u l’inclusion ϕ(W (A⁰, 1/m)) ⊂ V (x).

Pour x ∈ U , soit B(x) la réunion des éléments de B(x). Pour p ≥ 1, soit H_p l’ensemble des x ∈ U tels que B(x) contienne au plus p éléments. Alors Hp= ∅ si p < n et, d’après le lemme 3, U =S_∞

p=1Hp. Fixons une distance

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d sur Y . Pour p, q ≥ 1, soit K(p, q) l’ensemble des x ∈ U tels que le cardinal de B(x) soit ´egal `a p et que d(z, z⁰) ≥ 1/q si z, z⁰ sont deux points distincts de B(x). Evidemment,S_∞

q=1K(p, q) = H_p\ H_p−1.

Lemme 4. (i) Pour tout p ≥ 1, U \ H_p est σ-compact.

(ii) K(p, q) est ferm´e dans H_p et la restriction de B `a K(p, q) est une fonction continue de K(p, q) dans exp_pY \ exp_p−1Y .

D ´e m o n s t r a t i o n. Pour p, q ≥ 1, soit L(p, q) l’ensemble des x ∈ U tels que B(x) contienne un sous-ensemble Z de cardinal p tel que d(z, z⁰) ≥ 1/q si z, z⁰ sont deux points distincts de Z. Alors U \ Hp−1 = S_∞

q=1L(p, q) et L(p, q) ∩ H_p = K(p, q), donc, pour prouver (i) et la premi`ere partie de (ii), il suffit de montrer que L(p, q) est ferm´e dans U .

Soit {x_i}^∞_i=1 une suite de points de L(p, q) convergeant vers un point x de U . Pour tout i, soit Zi = {z_i¹, . . . , z_i^p} un sous-ensemble de B(xi) de cardinal p tel que d(z_i^l, z^l_i⁰) ≥ 1/q si l 6= l⁰. Nous pouvons supposer que, pour 1 ≤ l ≤ p, la suite {z_i^l} converge vers un point z^l. Si l 6= l⁰, alors d(z^l, z^l⁰) = lim d(z_i^l, z^l_i⁰) ≥ 1/q; en particulier, Z = {z¹, . . . , z^p} contient p éléments. Pour i ≥ 1 et 1 ≤ l ≤ p, il y a un élément A^l_i de B(x_i) qui contient z_i^l. Nous pouvons supposer que {A^l_i} converge vers un élément A^l de exp_nY . D’après le lemme 2, ϕ(W (A^l, 1/m)) ⊂ V (x). Puisque x ∈ U , (1) garantit que A^l a exactement n éléments, donc appartient à B(x); par suite, z^l ∈ A^l ⊂ B(x), d’où Z ⊂ B(x), ce qui montre que x ∈ L(p, q).

Si x ∈ Hp, alors Z = B(x) puisque Z a p éléments et B(x) au plus p, d’où la deuxième partie de (ii).

Puisque C v´erifie les conditions du lemme 1, U est fortement de di- mension infinie. Partant de C1 = U , nous construisons maintenant, aussi longtemps que cela est possible, un compact fortement de dimension infinie Cp, de fa¸con que Cp⊂ Cp−1\ Hp−1 pour p > 1. Cette construction ne peut se poursuivre ind´efiniment, car sinon T_∞

p=1C_p serait un sous-ensemble non vide de U \S_∞

p=1Hp= ∅. Il existe donc un entier p et un compact fortement de dimension infinie C_p, contenu dans U \ H_p−1 et tel que C_p\ H_p ne con- tienne aucun compact fortement de dimension infinie. Quitte à diminuer Cp, nous pouvons supposer qu’il vérifie les conditions du lemme 1. Alors, tout compact contenu dans C_p\ H_pest de dimension zéro. D’après le lemme 4(i), Cp\ Hp est réunion dénombrable de compacts de dimension zéro, donc est de dimension zéro. Nous pouvons donc trouver des sous-ensembles non vides U₁ et U₂ de C_p, disjoints et ouverts dans C_p tels que C_p\ H_p ⊂ U₁∪ U₂. Alors, Cp\ (U1∪ U2) est un compact contenu dans Hp\ Hp−1 et, d’après (ii) du lemme 1, il est fortement de dimension infinie. L’ensemble H_p\ H_p−1 contient donc un compact fortement de dimension infinie S vérifiant les conditions du lemme 1.

(5)

Nous avons S =S_∞

q=1(S ∩ K(p, q)). D’après le lemme 4(ii), S ∩ K(p, q) est fermé dans S. Le théorème de Baire entraˆıne l’existence d’un q tel que l’intérieur de S ∩ K(p, q) relativement à S soit non vide. Soit T un compact contenu dans S ∩ K(p, q) et dont l’intérieur relativement à S est non vide.

Puisque S v´erifie la condition (ii) du lemme 1, T est fortement de dimension infinie. D’apr`es le lemme 4(ii), B|T est une fonction continue de T dans exp_pY \ exp_p−1Y .

Tout point de exp_pY \exp_p−1Y a un voisinage homéomorphe à un ouvert de Y^p. Si Y^p n’était pas fortement de dimension infinie, nous pourrions trouver Z ∈ exp_pY et un sous-ensemble infini D de T tels que B(x) = Z pour tout x ∈ D (voir [4] ou [5], problème 6.3.C). Puisque Z ne contient qu’un nombre fini de sous-ensembles à n éléments, il existerait un A ⊂ Z et un sous-ensemble infini D⁰ de D tels que A ∈ B(x) pour tout x ∈ D⁰, et nous aurions

ϕ(W (A, 1/m)) ⊂ \

x∈D⁰

V (x).

Mais, D⁰étant infini, le terme de droite de cette inclusion a un intérieur vide, tandis que le terme de gauche est un ouvert non vide, puisque W (A, 1/m) est un voisinage ouvert de 0 et ϕ ouverte. Cette contradiction achève la démonstration.

Remarque. En modifiant légèrement les arguments précédents, on peut démontrer le résultat un peu plus fort suivant : Soient X et Y des espaces métrisables tels qu’il existe une application continue ouverte de Cp(Y ) sur C_p(X). S’il existe un entier k tel que X^kcontienne un compact fortement de dimension infinie, alors il existe un entier p tel que Y^pcontienne un compact fortement de dimension infinie. Il suffit pour cela d’utiliser le fait suivant, qui renforce le lemme 2 :

Soit {xi}^∞_i=1 une suite de points de X^k de limite x et, pour i ≥ 1, soit A_i = {y¹_i, . . . , y_iⁿ} tel que ϕ(W (A_i, ε)) ⊂ V (x_i). Supposons que, pour 1 ≤ j ≤ n, ou bien {y_i^j}^∞_i=1 converge, ou bien cette suite ne contient aucune sous-suite convergente (il y a toujours une sous-suite de {A_i} v´erifiant cette condition). Alors, si A est l’ensemble des points de Y qui sont limite de l’une des suites {y_i^j}^∞_i=1, 1 ≤ j ≤ n, on a ϕ(W (A, ε)) ⊂ V (x).

Bibliographie

[1] A. V. A r k h a n g e l ’ s k i˘ı, Quelques résultats récents et problèmes ouverts en topologie générale, Uspekhi Mat. Nauk 52 (1997), no. 5, 45–70 (en russe).

[2] —, Embeddings in Cp-spaces, Topology Appl. 85 (1998), 9–33.

[3] R. E n g e l k i n g, Theory of Dimension, Finite and Infinite, Heldermann, Lemgo, 1995.

[4] R. P o l, On light mappings without perfect fibers on compacta, Tsukuba J. Math. 20 (1996), 11–19.

(6)

[5] E. G. S k l y a r e n k o, Sur les propri´et´es dimensionnelles des espaces de dimension infinie, Izv. Akad. Nauk SSSR 23 (1959), 197–212 (en russe).

[6] A. V. Z a r e l u a, Construction de compacts fortement de dimension infini `a l’aide des anneaux de fonctions continues, Dokl. Akad. Nauk SSSR 214 (1974), 264–267 (en russe).

Universit´e Paris VI UFR 920

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Received 5 January 1999