Przykªad1.1Rzucamydwarazymoneta.Przestrze«zdarze«elementarnychtoΩ1

Czy przestrze« zdarze« elementarnych jest klasyczna?

Przykªad 1.1

Rzucamy dwa razy moneta. Przestrze« zdarze« elementarnych to Ω1 = {OO, RO, OR, RR}. Rozkªad prawdopodobie«stwa jest nastepujacy:

ω OO RO OR RR

P ({ω}) 1/4 1/4 1/4 1/4

Przestrze« Ω1jest przestrzenia klasyczna - ka»de zdarzenie ω jest jednakowo prawdopodobne.

Rozwa»my zdarzenie A - "wypadª dokªadnie jeden orzeª" . Wówczas P (A) = P ({OR, RO}) = 1/4 + 1/4 = 2

4 = 1/2.

Przykªad 1.2

Rzucamy jednocze±nie dwiema identycznymi monetami. Przestrze« zdarze« elementarnych to Ω2 = {OO, RO, RR} (nie potramy odró»ni¢ ukªadu RO od OR). Rozkªad praw- dopodobie«stwa jest nastepujacy:

ω OO RO RR

P ({ω}) 1/4 1/2 1/4

Przestrze« Ω2 NIE jest przestrzenia klasyczna - zdarzenia ω nie sa jednakowo praw- dopodobne:

2P ({OO}) = P ({RO}) = 2P ({RR}).

Dla zdarzenia A - "wypadª dokªadnie jeden orzeª" mamy P (A) = P ({RO}) = 1/2.

Wniosek: W obu modelach prawdopodobie«stwo wyrzucenia dokªadnie jednego orªa jest IDENTYCZNE i nie zale»y od tego w jaki sposób rzucamy monetami - czy dwoma jednocze±nie, czy dwoma po kolei (jedna dwa razy).

ANALOG: rozmieszczanie dwóch kul w dwóch szuadach.

Przykªad 2.1: Dwie identyczne kule rozmieszczamy po kolei (lub: dwie kule rozró»nialne rozmieszczamy jednocze±nie) w dwóch ponumerowanych szuadach. Przestrze« zdarze«

elementarnych Ω1 = {(a₁, a₂), a_i ∈ {1, 2}, i = 1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} (ai - nu- mer szuady, do której traªa i-ta kula). Wówczas Ω1 jest przestrzenia klasyczna:

ω (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) P ({ω}) 1/4 1/4 1/4 1/4

Dla zdarzenia B - "kule traa do ró»nych szuad" prawdopodobie«stwo wynosi P (B) = P ({(1, 2), (2, 1)}) = 1/4 + 1/4 = 2

4 = 1/2.

Przykªad 2.2: Dwie identyczne kule rozmieszczamy jednocze±nie w dwóch ponumerowanych szuadach. Przestrze« zdarze« elementarnych Ω2 = {{a₁, a₂}, a_i ∈ {1, 2}, i = 1, 2} = {{1, 1}, {1, 2}, {2, 2}}(ai - numer szuady, do której traªa i-ta kula). Wówczas Ω2 NIE 1 Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy

Czy przestrze« zdarze« elementarnych jest klasyczna?

jest przestrzenia klasyczna:

ω {1,1} {1,2} {2,2}

P ({ω}) 1/4 1/2 1/4

Zdarzenia ω nie sa jednakowo prawdopodobne:

2P ({1, 1}) = P ({1, 2}) = 2P ({2, 2}).

Dla zdarzenia B - "kule traa do ró»nych szuad" prawdopodobie«stwo wynosi P (B) = P ({{1, 2}}) = 1/2

i jest takie samo jak w modelu 2.1.

Inaczej:

Ω2 = {(b1, b2) : bi ∈ {0, 1, 2}; i = 1, 2; b1 + b2 = 2} = {(2, 0), (1, 1), (0, 2)} (bi - ilo±¢ kul w i-tej szuadzie).

ω (2,0) (1,1) (0,2) P ({ω}) 1/4 1/2 1/4

Zdarzenia ω nie sa jednakowo prawdopodobne:

2P ((2, 0)) = P ((1, 1)) = 2P ((0, 2)).

Dla zdarzenia B - "kule traa do ró»nych szuad" prawdopodobie«stwo wynosi P (B) = P ({(1, 1)} = 1/2

i jest takie samo jak w modelu 2.1.

2 Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy