Liczby Fibonacciego, liczby Mersenne’a i uogólnione symbole Newtona

Liczby Fibonacciego, liczby Mersenne’a i uogólnione symbole Newtona

Andrzej Nowicki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń

e-mail: anow@mat.uni.torun.pl Zakopane, sierpień 1997 r.

Przez N oznaczać będziemy zbiór {1, 2, . . . } liczb naturalnych. Największy wspólny dziel- nik liczb naturalnych n i m oznaczamy przez (n, m).

Załóżmy, że dany jest ciąg a = (a_n) o wyrazach naturalnych. Jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą, to przez a^∗_n oznaczać będziemy liczbę naturalną zdefiniowaną następująco:

a^∗_n=

( a1a2· · · a_n, gdy n ∈ N,

1, gdy n = 0.

Jeśli n i k są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to przez ^n_k^

a oznaczać będziemy liczbę wymierną zdefiniowaną jako:

"

n k

#

a

=







a^∗_n a^∗_k·a^∗

n−k

, gdy n> k, 0, gdy n < k.

Zauważmy, że^n_n^

a=^n₀^

a= 1 oraz^n_k^

a=^_n−k^{n }

a dla n> k.

Mówić będziemy, że ciąg a jest β-ciągiem jeśli każda liczba postaci ^n_k^

a jest całkowita.

Liczby postaci ^n_k^_a są nam znane w przypadku, gdy a jest ciągiem kolejnych liczb na- turalnych (to znaczy, gdy a_n = n dla n ∈ N). W tym przypadku a^∗n = n! oraz liczba ^n_k^_a pokrywa się z liczbą

n k

!

=







n!

k!(n−k)!, gdy n> k, 0, gdy n < k.

Wiadomo, że jeśli n> k, to ⁿ_k
jest liczbą naturalną (będącą liczbą wszystkich k elemento- wych podzbiorów zbioru n elementowego). Znamy zatem co najmniej jeden β-ciąg.

Celem tego artykułu jest wykazanie, że pewne znane ciągi liczbowe są również β-ciągami.

Przykład 1. Każdy ciąg stały jest β-ciągiem. Jeśli c ∈ N i an = c dla n ∈ N, to każda liczba postaci^n_k^_ajest równa 1.

Przykład 2. Każdy ciąg geometryczny o naturalnym ilorazie jest β-ciągiem. Jeśli c ∈ N i a_n= cⁿ dla n ∈ N, to dla wszystkich n > k zachodzi równość ^n_k^_a= c^(n−k)k.

Przykład 3. Iloczyn dwóch β-ciągów jest β-ciągiem. Jeśli a = (an) oraz b = (b_n) są β-ciągami, to ciąg c = (anbn) jest β-ciągiem oraz^n_k^_c=^n_k^_a·^n_k^_b.

1

Ważną klasą przykładów β-ciągów stanowią ciągi, które nazywać będziemy α-ciągami.

Mówić będziemy, że dany ciąg a = (a_n) (o wyrazach naturalnych) jest α-ciągiem jeśli dla dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi równość

(a_n, a_m) = a_(n,m).

Ciąg stały oraz ciąg kolejnych liczb naturalnych są α-ciągami. Łatwo sprawdzić, że jeśli s jest ustaloną liczbą naturalną, to ciągi (ns) i (n^s) są również α-ciągami.

Lemat. Jeśli a = (an) jest α-ciągiem, to dla dowolnych nieujemych liczb całkowitych n, k istnieją liczby całkowite X(n, k) oraz Y (n, k) takie, że

n+1 k+1



a= X(n, k)^_k+1^{n }

a+ Y (n, k)^n_k^_a.

Dowód. Niech n i k będą nieujemnymi liczbami całkowitymi. Istnienie liczb X(n, k), Y (n, k) jest oczywiste w przypadku, gdy n 6 k. Załóżmy dalej, że n > k i oznaczmy przez d największy wspólny podzielnik liczb an−k oraz a_k+1. Istnieją wówczas liczby całkowite u, v takie, że

d = ua_n−k+ va_k+1.

Wykorzystaliśmy znaną własność największego wspólnego podzielnika (patrz na przykład [6]). Z równości

d = (a_n−k, a_k+1) = a_(n−k,k+1)= a_(n+1,k+1)= (a_n+1, a_k+1)

wynika, że d dzieli liczbę a_n+1. Zatem a_n+1 = pd, gdzie p jest pewną liczbą naturalną. Bez trudu stwierdzamy, że liczby całkowite

X(n, k) = pu, Y (n, k) = pv

spełniają warunki naszego lematu.

Z lematu tego (dzięki indukcji matematycznej) otrzymujemy natychmiast następujące twierdzenie ([3] str.353 ćwiczenie 86).

Twierdzenie. Każdy α-ciąg jest β-ciągiem.

Zanotujmy teraz kilka znanych przykładów α-ciągów.

Przykład 4. Liczbą Mersenne’a nazywamy każdą liczbę postaci

Mn= 2ⁿ− 1.

Ciąg (M_n), kolejnych liczb Mersenne’a, jest α-ciągiem ([7] str. 373). Liczbę 2 możemy zastąpić dowolną liczbą naturalną a > 1; Ciąg postaci (aⁿ− 1) jest α-ciągiem ([7] str. 11). Jeśli a > b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to ciąg (aⁿ− bⁿ) jest również α-ciągiem ([3]

str.174 ćwiczenie 38).

Przykład 5. Niech f (x) będzie wielomianem zmiennej x o naturalnych współczynnikach.

Definiujemy ciąg (b_n) przyjmując:

b1= f (0), bn+1= f (b_n) dla n ∈ N.

2

Ciąg ten jest α-ciągiem ([5] 1/1989, zadanie konkursowe M 1120). Jeśli f (x) = 2x + 1, to (b_n) jest ciągiem liczb Mersenne’a z przykładu 4.

Przykład 6. Liczbą Fibonacciego nazywamy każdy wyraz ciągu (u_n) określonego wzora-

mi: 





u1 = 1

u₂ = 1

u_n+2 = u_n+1+ u_n, dla n ∈ N.

Ciąg (u_n) jest α-ciągiem ([8], [7] str. 280).

Przykład 7. Niech p i q będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Definiujemy ciąg (v_n) przyjmując:







v1 = 1

v₂ = p

v_n+2 = pv_n+1+ qv_n, dla n ∈ N.

Ciąg (v_n) jest α-ciągiem ([4], [2]).

Przykład 8. Jest oczywiste, że jeśli (a_n), (b_n) są α-ciągami, to ciąg (c_n), gdzie c_n= b_an dla n ∈ N,

jest również α-ciągiem. Z faktu tego wynika na przykład, że ciągi:

(u^s_n) , (3^vn− 1) , (u₂ⁿ₋₁) są α-ciągami.

Uwagi.

1. Iloczyn dwóch α-ciągów nie musi być α-ciągiem. Ciąg (n(2ⁿ− 1)), będący iloczynem dwóch α-ciągów, nie jest α-ciągiem. Jest natomiast β-ciągiem.

2. Ciąg (xn), o wyrazach naturalnych, jest α-ciągiem wtedy i tylko wtedy, gdy (x_m, xn) = (x_m−n, xn) ,

dla wszystkich liczb naturalnych m > n ([7] 282).

3. Z udowodnionego twierdzenia wynika, że jeśli (an) jest α-ciągiem i s jest liczbą natural- ną, to iloczyn każdych s kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest podzielny przez a^∗_s = a₁a2· · · a_s.

Literatura

[1] G. L. Alexanderson, L. F. Klosinski, A Fibonacci analogue of Gaussian binomial coeffi- cients, Fibonacci Quarterly, 12(1974), 129 - 132.

[2] P. Domański, Uogólnione liczby Fibonacciego, Delta, 1(1979).

[3] R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, Matematyka konkretna, PWN, Warszawa, 1996.

[4] V. E. Hoggatt, Fibonacci numbers and generalized binomial coefficients, Fibonacci Quar- terly, 5(1967), 383 - 400.

3

[5] Kwant, Miesięcznik matematyczno - fizyczny (po rosyjsku).

[6] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Monografie Matematyczne, Warszawa 1950.

[7] W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa 1959.

[8] N. N. Worobjow, Liczby Fibonacciego, (po rosyjsku), Popularne Lekcje z Matematyki 6, Nauka, Moskwa, 1978.

4