XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje – cykl styczniowy

Poziom: szkoły ponadgimnazjalne

Zadanie 1.

Rozwiąż układ równań:













 



 

2 12 2 2

1 1 6

2 2

2

x x y

y x x

.

Rozwiązanie:

Jeżeli podstawimy u y

x 

 ²

1 , to wówczas otrzymamy układ: _















2 12 2

1 6

x2

u x u

.

Po pomnożeniu drugiego równania utworzonego układu przez 2 oraz po dodaniu stronami otrzymamy: x² x30. A więc x₁6, x₂ 5. Wtedy u₁12, u₂ 1.

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek I: 1 12, 6

2  

 x

y

x .

Przypadek II: 1 1, 5

2  

 x

y

x .

Łatwo zauważyć, że w przypadku I podany układ równań nie ma rozwiązań. W przypadku II mamy

5 y² 1, czyli y² 4. Stąd y₁2, y₂2. Ostatecznie rozwiązaniem podanego układu równań są pary:

x₁5 i y₁2 oraz x₂5 i y₂2 .

Odpowiedź. Rozwiązaniem są pary: x₁5 i y₁2 oraz x₂5 i y₂2 .

Zadanie 2.

Ciąg (𝑎_𝑛) jest określony rekurencyjnie: 𝑎₁ = 2, 𝑎_𝑛+1 = 4 −_𝑎³

𝑛 dla 𝑛 ∈ 𝑁.

Wykazać, że (𝑎_𝑛) jest zbieżny, i wyznaczyć jego granicę.

Rozwiązanie.

Wykazujemy najpierw przez indukcję, że 1 < (𝑎_𝑛) < 3, dla 𝑛 ∈ 𝑁. Następnie stwierdzamy, że ciąg (𝑎_𝑛) jest rosnący gdyż:

𝑎_𝑛+1− 𝑎_𝑛 = 4 −_𝑎³

𝑛− 𝑎_𝑛 = ^{(𝑎𝑛−1)(3−𝑎}_𝑎 ^𝑛)

𝑛 > 0 dla 𝑛 ∈ 𝑁.

Zatem ciąg (𝑎_𝑛), jako rosnący i ograniczony z góry (przez liczbę 3), jest zbieżny.

Oznaczmy przez g jego granicę. Po przejściu do granicy w równości 𝑎_𝑛𝑎_𝑛+1 = 4𝑎_𝑛 − 3 ( 𝑛 ∈ 𝑁) otrzymujemy równanie:

𝑔 ∗ 𝑔 = 4𝑔 − 3, skąd 𝑔 = 1 lub 𝑔 = 3.

Liczba 1 nie może być granicą obu ciągu (𝑎_𝑛) gdyż 𝑎_𝑛 > 1 dla 𝑛 ∈ 𝑁 i ciąg (𝑎_𝑛) jest rosnący. Zatem 𝑔 = 3.

Odpowiedź. Ciąg jest zbieżny i ma granicę równą 3.

Zadanie 3.

Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania sin3xcos3xsin2x w przedziale

 

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta przekształcamy lewą stronę równania do postaci:

x x sin2 6

2sin

1 

x x 2sin2 6

sin 

W oparciu o wzór sin33sin4sin³ przekształcamy

x x

x

x sin3(2 ) 3sin2 4sin 2 6

sin    ³

x x

x 4sin 2 2sin2 2

sin

3  ³ 

0 2 sin 2 sin

4 ³ x x





2

sin x ² x 

4 2 1 sin 0

2

sin x  ² x

2 2 1 sin x 

2 2 1

2 sin 2 1

sin x  x



 





















;

0 2

2 1 2 sin

2 1 sin 0

2 sin

x

x x

x







     

12 ,11 12 , 7 , 2 12 , 5 12 x 1

Suma rozwiązania równania:       

2 5 12 30 12

11 12

7 2 12

5 12

1       .

Odpowiedź. Suma rozwiązań równania w przedziale

 

Zadanie 4.

Dany jest ośmiokąt wpisany w okrąg. Oblicz jego pole wiedząc, że pewne cztery kolejne jego boki mają długość równą 1, a każdy z pozostałych czterech kolejnych boków ma długość równą 3.

Rozwiązanie.

S – środek okręgu

4α + 4β = 360º czyli β + α = 90 º

Czworokąt DEFS ma jeden z kątów prostych i odcinki DS i FS to promienie, które oznaczam przez R.

Z tego wynika, że DF R 2.

Kąt DEF to kąt wpisany równy połowie kąta środkowego DSF =3α + 3β = 270º, stąd kąt DEF = 135º

W trójkącie DEF z twierdzenia cosinusów otrzymujemy

R R

90º

2

135º

R

3

3 3 3

S α α

α α

β β β β 1

1

1

1

H

D C

B

G

F E

A

 

2 5 , 1 5

2 3 10 2

2 3 2 1 2 10 2

135 cos 3 1 2 3 1 2

2 2 2

2 2 2

































R R R R

Pole trójkąta DSF: 2,5 0,75 2 2

1 ₂  

 R P

Pole trójkąta DEF:

4 2 135 3

sin 3 2 1

1   

 P

Pole ośmiokąta : 10 6 2

4 2 2 3 75 , 0 5 , 2

4  







  

c 

P .

Odpowiedź. Pole ośmiokąta równe jest 106 2.

Zadanie 5.

Przez punkt wewnętrzny P trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do wszystkich boków. Wycięły one trzy trójkąty o polach Q, R, T. Jeżeli S jest polem trójkąta ABC udowodnij, że √𝑆 = √𝑄 + √𝑅 + √𝑇.

Rozwiązanie.

𝑃_{∆𝐴𝐵𝐶} = 𝑃_{∆𝐴𝑃𝐵}+ 𝑃_{∆𝐵𝑃𝐶} + 𝑃_{∆𝐶𝑃𝐴}

A B

C

P R Q

T

A B

C

P R Q

x T z y

1

2|𝐴𝐵|ℎ₁ = 1

2|𝐴𝐵|𝑥 +1

2|𝐵𝐶|𝑦 +1

2|𝐴𝐶|𝑧 ⁄ : 1 2|𝐴𝐵|

1 = 𝑥

ℎ₁+|𝐵𝐶|

|𝐴𝐵|∙ 𝑦

ℎ₁+|𝐴𝐶|

|𝐴𝐵|∙ 𝑧 ℎ₁

|𝐴𝐵| ∙ ℎ₁ = |𝐵𝐶| ∙ ℎ₂, |𝐴𝐵| ∙ ℎ₁ = |𝐴𝐶| ∙ ℎ₃ stąd

ℎ₂ = ^{|𝐴𝐵|∙ℎ1}

|𝐵𝐶| , ℎ₃ =^{|𝐴𝐵|∙ℎ1}

|𝐴𝐶| , czyli

1 = 𝑥 ℎ₁+ 𝑦

ℎ₂+ 𝑧 ℎ₃ Trójkąty o polach S, Q, R, T są podobne, czyli

𝑄 𝑆 = (𝑥

ℎ₁)², 𝑅 𝑆= (𝑦

ℎ₂)² , 𝑇 𝑆 = (𝑧

ℎ₃)²

√𝑄 𝑆 = 𝑥

ℎ₁ , √𝑅 𝑆 = 𝑦

ℎ₂ , √𝑇 𝑆 = 𝑧

ℎ₃ Stąd

1 = 𝑥 ℎ₁ + 𝑦

ℎ₂+ 𝑧

ℎ₃ = √𝑄 𝑆 + √𝑅

𝑆+ √𝑇 𝑆 = √𝑄

√𝑆 +√𝑅

√𝑆 +√𝑇

√𝑆 = √𝑄 + √𝑅 + √𝑇

√𝑆

1 = √𝑄 + √𝑅 + √𝑇

√𝑆 /∙ √𝑆

√𝑆 = √𝑄 + √𝑅 + √𝑇 c. n. d.

Odpowiedź. Wykazano, że √𝑆 = √𝑄 + √𝑅 + √𝑇 .