Seria wydawnicza Monografie Zakładu Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności

Pełen tekst

(1)Seria wydawnicza Monografie Zakładu Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności Tom 4. Wydzia³ In¿ynierii L¹dowej Politechniki Warszawskiej.

(2)

(3) HIPERSPRĘŻYSTOPLASTYCZOŚĆ Stanisław Jemioło Marcin Gajewski. Seria Monografie Zakładu Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności. Warszawa 2014.

(4) Publikacja jest IV tomem Serii Wydawniczej „Monografie Zakładu Wytrymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności”. Opiniodawca Dr hab. inż. Józef Pelc, prof. Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego. Projekt okładki Danuta Czudek-Puchalska. © Copyright by Zakład Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2014. Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, w tym nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w Internecie bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN 978-83-7814-337- 6 Druk i oprawa: Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Warszawskiej, tel. 22 234-55-93 Oficyna Wydawnicza PW, ul. Polna 50, 00-644 Warszawa. Wydanie I. Zamówienie nr 461/2014.

(5) Spis treści I. WSTĘP 1. Zakres tematyczny monografii .............................................................................................................. 9 2. Uwagi bibliograficzne ......................................................................................................................... 10. II O TEORII SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNOŚCI MAŁYCH ODKSZTAŁCEŃ 1. Podstawowe założenia teorii sprężysto-plastyczności ........................................................................ 15 2. Sprężystość .......................................................................................................................................... 21 2.1. Ogólna struktura relacji konstytutywnych sprężystości ............................................................... 21 2.2. Izotropia ....................................................................................................................................... 24 2.3. Uwagi o implementacji związków sprężystości w programie ABAQUS .................................... 25 3. Izotropowy związek Hooke’a .............................................................................................................. 26 4. Warunek plastyczności Hubera ........................................................................................................... 27 5. Idealna plastyczność ............................................................................................................................ 28 5.1. Relacje konstytutywne idealnej plastyczności ............................................................................. 28 5.2. Uwaga o funkcjach jednorodnych ................................................................................................ 29 5.3. Dyssypacja i interpretacja parametru plastycznego płynięcia ...................................................... 30 5.4. Zasada maksimum dyssypacji ...................................................................................................... 31 6. Sprężysto-plastyczność z warunkiem plastyczności Hubera............................................................... 32 6.1. Stowarzyszone prawo płynięcia i funkcja dyssypacji ................................................................. 32 6.2. Wzmocnienie izotropowe i kinematyczne .......................................................................................... 32 6.3. Przyrostowe relacje konstytutywne ............................................................................................. 33 7. Algorytm numeryczny całkowania relacji konstytutywnych plastyczności........................................ 34 7.1. Algorytm................................................................................................................................................... 34 7.2. Podstawowe testy numeryczne .............................................................................................................. 36 8. Zadania testowe MES.......................................................................................................................... 40 8.1. Jednoosiowy stan naprężenia................................................................................................................. 40 8.2. Ekspansja cylindra grubościennego ...................................................................................................... 42 8.3. Rozciąganie płaskownika ....................................................................................................................... 45 III PODSTAWOWE RÓWNANIA MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. Wstęp................................................................................................................................................... 47 2. Tensory deformacji, odkształcenia i naprężenia ................................................................................. 48 2.1. Stan naprężenia i tensory deformacji ........................................................................................... 48 2.2. Tensory odkształcenia .................................................................................................................. 52 2.3. Tensor gradientów pola prędkości oraz tensor spinu i jego interpretacja .................................... 53 3. Równania ruchu i równowagi.............................................................................................................. 55 4. Wielkości i pochodne obiektywne ...................................................................................................... 56 5. Współrzędne konwekcyjne i pochodna Lee ........................................................................................ 58 6. Uwagi o MES i zasadzie prac wirtualnych.......................................................................................... 59. 5.

(6) 6.1. Zasada prac wirtualnych ............................................................................................................... 59 6.2. Uwagi o programie MES ABAQUS ............................................................................................ 60 7. Podstawowe prawa termodynamiki ..................................................................................................... 61 7.1. I prawo termodynamiki ................................................................................................................ 61 7.2. II prawo termodynamiki i nierówność Clasiusa-Duhema ............................................................ 62 7.3. Energia swobodna Hemholtza ...................................................................................................... 63 IV HIPERSPRĘŻYSTOŚĆ 1. Zależności podstawowe ................................................................................................................................. 65 2. Klasyczne modele izotropowych materiałów hipersprężystych............................................................... 67 2.1. Ogólna postać relacji konstytutywnej .................................................................................................. 67 2.2. Model materiału Murnaghana i Saint-Venata Kirchoffa ................................................................... 68 2.3. Styczny tensor sztywności ..................................................................................................................... 69 3. Alternatywne sformułowania izotropowych relacji konstytutywnych ................................................ 71 3.1. Zastosowanie niezmienników podstawowych .................................................................................... 71 3.2. Styczny tensor sztywności w opisie Eulera ......................................................................................... 73 4. Klasyfikacja izotropowych modeli hipersprężystości ......................................................................... 73 4.1. Relacje konstytutywne z niezmiennikami deformacji izochorycznej i objętościowej ................. 73 4.2. Klasyfikacja materiałów hipersprężystych ................................................................................... 74 4.3. Relacje konstytutywne w postaci spektralnej ............................................................................... 75 4.4. Podsumowanie ............................................................................................................................. 77 5. Najprostsze modele hipersprężystości materiałów izotropowych ....................................................... 79 5.1. Model materiału nieściśliwego Neo Hooke’a (NNH) ................................................................. 79 5.2. Model logarytmiczny Henckey’go (LN) ..................................................................................... 79 6. Uogólnienia modelu NH ..................................................................................................................... 83 6.1. Modele materiałów ściśliwych CNH............................................................................................ 83 6.2. Modele materiałów mało ściśliwych NH (MCNH) ..................................................................... 86 7. Modele o poliwypukłej funkcji jednostkowej energii sprężystości..................................................... 88 7.1. Definicja poliwypukłości ....................................................................................................................... 88 7.2. Przykłady poliwypukłych potencjałów sprężystości .......................................................................... 88 V HIPERSPRĘŻYSTOŚĆ – IMPLEMENTACJA NUMERYCZNA 1. 2. 3. 4. 5. 6.. Uwagi wstępne ................................................................................................................................................ 91 Idea wyprowadzenia związków przyrostowych ......................................................................................... 92 Wyprowadzenie operatora czwartego rzędu w przypadku materiałów MCNH .................................... 94 Modele materiałów CNH ............................................................................................................................... 96 Modele materiałów MCNH ........................................................................................................................... 97 Podstawowe testy numeryczne ..................................................................................................................... 99 6.1. Uwagi wstępne ......................................................................................................................................... 99 6.2. Test jednoosiowego odkształcenia ...................................................................................................... 100 6.3. Test prostego ścinania ........................................................................................................................... 104. VI HIPERSPRĘŻYSTOŚĆ – TESTY NUMERYCZNE 1. Uwagi wstępne .............................................................................................................................................. 111 2. Rozciąganie tarczy z otworem .................................................................................................................... 111 3. Osiowe ściskanie rury .................................................................................................................................. 115 VII TEORIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNOŚCI DUŻYCH DEFORMACJI I HIPERSPRĘŻYSTOPLASTYCZNOŚCI 1. Uwagi wstępne .............................................................................................................................................. 123 2. Idealna plastyczność ..................................................................................................................................... 124. 6.

(7) 3. 4. 5. 6.. Hiposprężysto-plastyczność ........................................................................................................................ 125 Multiplikatywna dekompozycja gradientu deformacji ............................................................................ 127 Relacje konstytutywne ................................................................................................................................. 131 Relacje konstytutywne hipersprężystoplastyczności z zastosowaniem funkcji dyssypacji .............. 133. VIII IMPLEMENTACJA MODELU SIMO HIPERSPRĘŻYSTOPLASTYCZNOŚCI 1. Sformułowanie modelu HSP ...................................................................................................................... 135 1.1. Założenia ................................................................................................................................................. 137 1.2. Warunek plastyczności ......................................................................................................................... 137 1.3. Stowarzyszone prawo płynięcia .......................................................................................................... 137 2. Algorytm całkowania relacji konstytutywnych ................................................................................. 137 3. Operator czwartego rzędu w przypadku modelu HSP ............................................................................. 140 IX TESTY RELACJI KONSTYTUTYWNYCH HIPERSPRĘŻYSTOPLASTYCZNOŚCI 1. Wstęp .............................................................................................................................................................. 143 2. Podstawowe testy algorytmu całkowania modelu HSP .......................................................................... 144 2.1. Test prostego ścinania ........................................................................................................................... 144 2.2. Test jednoosiowego odkształcenia ...................................................................................................... 147 2.3. Deformacja realizująca obrót F R .................................................................................................. 150 2.4. Deformacja jednoosiowego odkształcenia przy rozciąganiu i obrocie .......................................... 151 3. Sprawdzenie poprawności implementacji modelu Simo w programie ABAQUS .............................. 153 3.1. Test prostego ścinania ........................................................................................................................... 156 3.2. Test jednoosiowego odkształcenia przy rozciąganiu ........................................................................ 157 4. Porównanie modelu Simo z wybranymi modelami materiału hipersprężysto-plastycznego zaimplementowanymi w programie ABAQUS ........................................................................................ 157 4.1. Test prostego ścinania ........................................................................................................................... 157 4.2. Test jednoosiowego odkształcenia ...................................................................................................... 159 X ZADANIA TESTOWE HIPERSPRĘŻYSTOPLASTYCZNOŚCI 1. Ekspansja cylindra grubościennego ........................................................................................................... 161 1.1. Rozwiązanie analityczne – materiał sztywno-plastyczny ................................................................ 161 1.2. Rozwiązanie numeryczne – materiał hipersprężystoplastyczny – porównanie z wynikami dostępnymi w literaturze....................................................................................................................... 164 1.3. Rozwiązanie numeryczne – materiał hipersprężystoplastyczny – porównanie z wynikami teorii małych odkształceń ..................................................................................................................... 166 2. Rozciąganie pręta o przekroju kołowym ................................................................................................... 170 2.1. Uwagi wstępne ....................................................................................................................................... 170 2.2. Dane do zadania oraz analiza wyników uzyskanych w literaturze ................................................. 171 2.3. Dyskusja wyników MES rozciągania pręta z zastosowaniem modelu SSP .................................. 172 2.4. Zastosowanie modeli MNHP i MMRP............................................................................................... 176 3. Lokalizacja odkształceń w rozciąganym płaskowniku ............................................................................ 180 XI TESTY NUMARYCZNE HIPERSPRĘŻYSTOPLASTYCZNOŚCI W ZADANIACH KONTAKTOWYCH 1. Uwagi o zagadnieniach kontaktowych ...................................................................................................... 183 2. Ściskanie walca między sztywnymi płytami............................................................................................. 184 3. Ściskanie rury między dwiema płytami ............................................................................................ 187. 7.

(8) XII WYBRANE ZAGADNIENIA BRZEGOWE HIPERSPRĘŻYSTOPLASTYCZNOŚCI 1. Zagadnienia z niestabilnościami lokalnymi i globalnymi ....................................................................... 193 2. Analiza ściskania rury o przekroju kołowym – wpływ warunków brzegowych ................................. 194 2.1. Przykład A .............................................................................................................................................. 194 2.2. Przykład B .............................................................................................................................................. 196 3. Analiza ściskania i rozciągania rury o przekroju eliptycznym ............................................................... 201 3.1. Przykład A – ściskanie rury o przekroju eliptycznym przy h Rm 20 ......................................... 201 3.2. Przykład B – ściskanie rury o przekroju eliptycznym przy h Rm 10 .......................................... 210 3.3. Przykład C – ściskanie rury o przekroju eliptycznym przy h Rm 5 ............................................ 213 3.4. Przykład D – rozciąganie rury o przekroju eliptycznym przy h Rm 5 ....................................... 216 4. Analiza ściskania i rozciągania rury o przekroju prostokątnym ............................................................ 218 5. Zadanie ściskania kątownika ....................................................................................................................... 222 6. Uwagi końcowe ............................................................................................................................................. 227 XIII PODSUMOWANIE ........................................................................................................................................... 229. BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................................... 231. 8.

(9) I. WSTĘP. 1. Zakres tematyczny monografii W przypadku całej klasy zagadnień technicznych, takich jak gięcie na zimno i tłoczenie blach metalowych, zagadnień globalnego wyboczenia słupów albo lokalnego wyboczenia wiotkich elementów oraz ścianek elementów konstrukcji metalowych, opisu elementów wykonanych z polimerów i elastomerów, zakres możliwych deformacji może być znaczny. W trakcie obciążania rosną zarówno odkształcenia, jak i lokalnie obroty cząstek ciała. W wyniku odciążenia część sprężysta deformacji zanika. Pozostaje tylko ta część, którą interpretuje się jako plastyczną. Kiedy zakres odkształceń sprężystych i plastycznych jest porównywalny i znaczny, to zastosowanie klasycznej teorii małych odkształceń może być niewystarczające, a uzyskane wyniki niezadowalające. Wtedy formułuje się tzw. teorię plastyczności dużych deformacji, por. wybrane prace źródłowe Lee [173, 174], Hibbita i in. [123], Kratochvila [166], Argyrisa i in. [19-21], Casey’a i Naghdiego [57-60], Nemat-Nassera [201, 202], Simo [248], Simo i Taylora [255]. Konieczność jej stosowania wynika czasem wyłącznie z kinematyki opisywanego zagadnienia, por. np. Crisfield [72, 73], Quoc [225], Jemioło i Gajewski [145, 146]. Dzieje się tak np. w przypadku zagadnienia tłoczenia, walcowania, gięcia na zimno blach metalowych, przeciągania, wykonywania zimnogiętych profili ze stali, aluminium i innych stopów metali, które są obecnie powszechnie stosowane (np. w budownictwie). Proces ten ze względu na występowanie lokalnie znacznych obrotów cząstek modelowanego ciała wymaga zastosowania teorii dużych deformacji, chociaż nie wskazuje na to wielkość odkształceń, zarówno w zakresie sprężystym, jak i plastycznym. W wymienionych przypadkach zagadnień brzegowych niedopuszczalne jest założenie o izotropii materiału, dlatego konieczne jest uwzględnienie anizotropii zarówno w zakresie sprężystym jak i plastycznym, np. Brünig [48, 49], Rojek i in. [235]. Zagadnienie to, szczególnie istotne w przemyśle motoryzacyjnym, jest obecnie szczegółowo analizowane i organizowane są specjalne konferencje poświęcone wyłącznie tej tematyce. Celem niniejszej monografii jest zastosowanie i implementacja numeryczna w programie MES ABAQUS [1-5] wybranych modeli konstytutywnych teorii sprężysto-plastyczności dużych deformacji, głównie dla metali. Ograniczamy szczegółowe rozważania do tych sformułowań i modeli, w których występuje warunek plastyczności Hubera z 1904r. [130] oraz materiał sprężysto-plastyczny jest materiałem izotropowym w konfiguracji odniesienia. Rozdział II, który dotyczy teorii małych odkształceń, jest punktem wyjścia do przedstawienia teorii hipersprężystości w Rozdziale IV i jej implementacji numerycznej w programach MES (Rozdział V) oraz teorii sprężysto-plastyczności dowolnych deformacji w Rozdziale VII. 9.

(10) Przedyskutowana zostanie teoria plastyczności dowolnych deformacji, oparta o dekompozycję multiplikatywną gradientu deformacji, na tle teorii dużych deformacji z addytywną dekompozycją tensorów odkształceń (np. takiej, jak standardowo zaimplementowana w programie ABAQUS) i klasycznej teorii małych przemieszczeń. Obydwa sformułowania (w ramach teorii dużych deformacji) pozwalają na uwzględnienie dużych lokalnych obrotów cząstek materiału. Jak wspomniano wcześniej, pominięcie lokalnych obrotów cząstek ciała jest podstawową wadą tradycyjnej, powszechnie stosowanej teorii sprężysto-plastyczności małych odkształceń. Jeżeli rozpatrujemy kolejne konfiguracje odkształconego ciała, to przyrostowe nieliniowe związki fizyczne sprężysto-plastyczności małych odkształceń nie są obiektywne. Szczegółowo przeanalizowane zostaną także podstawowe założenia teorii plastyczności dużych deformacji odnośnie do kinematyki ciała oraz relacji konstytutywnych sprężystości i plastyczności, patrz Rozdział III. Podstawą rozważań o kinematyce deformacji ciała sprężysto-plastycznego są oczywiście pojęcia i zależności mechaniki ośrodków ciągłych. Sprężyste właściwości materiału zostaną opisane w ramach teorii hipersprężystości (Rozdział IV), która jest obecnie dziedziną intensywnie rozwijaną, por. monografię Jemioło [140] oraz prace źródłowe tam cytowane (w odniesieniu do materiałów anizotropowych, por. np. pracę Jemioło i Telegi [156] i literaturę tam cytowaną). Przyrostowe, obiektywne związki hipersprężystości prezentowane są w Rozdziale V, co jest punktem wyjścia do implementacji rozważanych modeli w programie MES ABAQUS/Standard w ramach procedury użytkownika UMAT. Natomiast testy numeryczne i przykłady zagadnień brzegowych hipersprężystości zamieszczamy w Rozdziale VI. Po przedstawieniu teorii hipersprężystoplastyczności w Rozdziale VII, w dalszej części monografii, w Rozdziale VIII podajemy sposób implementacji modelu Simo [249-251] w systemie ABAQUS/Standard w ramach procedury użytkownika UMAT. Rozdziały IX, X, XI i XII są poświęcone zagadnieniom brzegowym teorii sprężysto-plastyczności dużych deformacji i hipersprężystoplastyczności. W Rozdziale IX są podstawowe testy numeryczne, które potwierdzają poprawność implementacji numerycznej modelu Simo w programie ABAQUS. Bardziej złożone przykłady są dyskutowane w Rozdziale X, XI i XII, gdzie analizowane są m in. zagadnienia kontaktowe i wyboczenia rur. Rozdział XIII zawiera krótkie podsumowanie zagadnień poruszanych w monografii i propozycje dalszych badań.. 2. Uwagi bibliograficzne W związku z tym, że wśród badaczy nie ma zgody odnośnie do sformułowania teorii sprężysto-plastyczności w zakresie dowolnych deformacji, jej zastosowanie musi poprzedzić szczegółowa analiza i weryfikacja propozycji prezentowanych w literaturze od lat sześćdziesiątych ubiegłego wieku, patrz np. prace przeglądowe [201, 310]. Bibliografia tej monografii zawiera 323 pozycje. Są to m.in. podręczniki z teorii ośrodków ciągłych, hipersprężystości, teorii sprężysto-plastyczności, metody elementów skończonych, prace źródłowe i własne prace związane z hipersprężystością i plastycznością. Warto podkreślić, że w literaturze nie ma zbyt wielu prac, stanowiących porównanie i systematyczną analizę teorii małych przemieszczeń i dużych deformacji ciał sprężystych i plastycznych, w których wyjaśniono by wszystkie konsekwencje sformułowania zagadnienia brzegowego w każdej z tych teorii. Zazwyczaj badacze koncentrują się wyłącznie na relacjach konstytutywnych w oderwaniu od teorii, w której miałyby być one stosowane. Zwykle dokonuje się podziału na zagadnienia brzegowe fizycznie albo geometrycznie nieliniowe. Wydaje się jednak, że takie podejście nie jest wystarczające.. 10.

(11) Klasycznym sformułowaniom związków fizycznych sprężysto-plastyczności poświęcone są między innymi monografie: Hilla 1950r. [161], Olszaka red. 1965r. [207], Perzyny 1966r. [217], Sawczuka 1982r. [241], 1989r. [242], Lublinera 1990r. [183], Khana i Huanga 1995r. [161] oraz wiele innych. Opublikowana po drugiej wojnie światowej monografia Hilla [161] pt. „The mathematical theory of plasticity”, położyła podwaliny i stała się przyczynkiem do rozwijania nowoczesnej teorii sprężysto plastyczności. Polscy uczeni podjęli ten temat i już w 1965 roku pod redakcją Wacława Olszaka opublikowana została monografia pt. „Teoria plastyczności”, poświęcona w całości zagadnieniom teorii deformacyjnej plastyczności, teorii plastycznego płynięcia, teorii nośności granicznej, badaniom doświadczalnym oraz pewnym szczególnym zagadnieniom brzegowym teorii plastyczności (np. płaskie plastyczne płynięcie i sprężystoplastyczne skręcanie prętów pryzmatycznych). Wśród współautorów tej monografii można wymienić m.in. Sawczuka, Perzynę, Mroza, Rychlewskiego, Szczepińskiego, Urbanowskiego, Marciniaka i Życzkowskiego, a w spisie literatury załączanym po każdym rozdziale znaleźć można wiele prac źródłowych takich autorów, jak Bridgman, Hencky, Lode, Hill, Prager, Drucker, Niepostyn, Sokołowski, Mises, Nádai, Iliuszyn i wielu innych. Na szczególną uwagę zasługuje Rozdział XII tej monografii zatytułowany „Współczesne kierunki rozwojowe teorii plastyczności”, gdzie w formie podpunktów wskazano m.in. następujące kierunki badań: „Odkształcenia skończone”, „Anizotropia. Niejednorodność”, „Hiposprężystość”, „Lepko-plastyczność”, „Mechanika gruntów”, „Zagadnienia dynamiczne”. Mimo upływu wielu lat i niewątpliwego rozwoju omawianej dziedziny, dzisiaj można by nakreślić analogiczne kierunki badań nad sformułowaniem i zastosowaniami teorii sprężysto-plastyczności, por. [6, 26, 61, 69, 11, 112, 151, 160, 167, 217, 313, 316-318]. Kolejna istotna monografia w języku polskim autorstwa Sawczuka [241] opublikowana została w 1982 roku. Zawiera ona usystematyzowane wyniki badań teoretycznych zapisane przy wykorzystaniu notacji absolutnej i teorii reprezentacji funkcji tensorowych w kontekście teorii idealnej plastyczności, teorii Levy’ego-Misesa, Prandtla-Reussa, stowarzyszonego prawa płynięcia, wzmocnień odkształceniowych i powierzchni granicznych. Zastosowania teorii plastyczności i teorii nośności granicznej pokazano na przykładzie układów prętowych, teorii płyt plastycznych, teorii linii załomów oraz powłok walcowych. W tym samym roku, co monografia Sawczuka, wydana została książka W.F. Chena [61] dotycząca plastyczności w betonowych konstrukcjach zbrojonych. W omawianej monografii zawężono modelowanie konstytutywne tylko do betonu zbrojonego wkładkami stalowymi, jednak wobec znacznej liczby zjawisk towarzyszących deformacji elementów konstrukcji betonowych (np. dylatacja, różnica między rozciąganiem a ściskaniem w teście jednoosiowym, itp.) można znaleźć tu wiele koncepcji rozwijanych później w przypadku innych materiałów. Obok systematycznie zaprezentowanej klasyfikacji modeli materiałów sprężysto-plastycznych do opisu właściwości betonu w monografii zawarte są podstawy sformułowania metody elementów skończonych w zastosowaniu do omawianych modeli (rozdział 9) oraz podstawowe badania doświadczalne stosowane do wyznaczenia parametrów materiałowych (rozdział 1, pkt.2). Wiele pozycji literatury dotyczących zagadnień teorii sprężysto-plastyczności zostało wydane w ostatnim dziesięcioleciu XX wieku - Lubliner [183], Khan i Huang [161], Simo i Hughes [252] i na początku XXI wieku Gambin i Kowalczyk 2003r. [98]. Podręcznik Lublinera stanowi łagodne przejście od teorii małych przemieszczeń do teorii dużych deformacji. Lubliner wykorzystał m.in. wcześniejsze własne prace [180-182] i zaprezentował teorię plastyczności małych przemieszczeń w ramach termodynamiki przez koncepcję zmiennych wewnętrznych (rozdział 1, pkt.1.5), por. także Jemioło i Giżejowski [148, 149]. Monografia zawiera ponadto fizyczne interpretacje procesów plastycznego płynięcia w przypadku materiałów o budowie krystalicznej, skał i gruntów oraz rozdział 11.

(12) poświęcony modelowaniu właściwości plastycznych w zagadnieniach statycznych i dynamicznych wraz z twierdzeniami ekstremalnymi i dowodami jednoznaczności rozwiązań. W ostatnim rozdziale zaprezentowano teorię plastyczności dużych deformacji w ramach termodynamiki procesów nieodwracalnych sformułowaną na bazie dekompozycji multiplikatywnej. W monografii A. S. Khana i S. Huanga [161] prezentacja teorii plastyczności od początku prowadzona jest w ramach teorii dowolnych deformacji. Teoria małych przemieszczeń pokazywana jest wyłącznie jako szczególny przypadek szerzej sformułowanej teorii dużych deformacji. Znaleźć w niej można rozdział poświęcony plastyczności pojedynczych kryształów, z której to historycznie wywodzi się koncepcja multiplikatywnej dekompozycji gradientu deformacji (por. także Lee [172], Boukadia i Sidorf [41]) oraz rozdział, w którym wskazano nowe trendy rozwojowe w teorii plastyczności (a wśród nich model wielopowierzchniowy Mroza [193, 194], modele dwupowierzchniowe Popova i Dafaliasa, itp.). W podręczniku tym brakuje jednak uwag na temat implementacji numerycznej (przydatności z punktu widzenia implementacji numerycznej, np. w celu zastosowania w programach metody elementów skończonych) omawianych modeli. Lukę tę całkowicie wypełnia monografia Simo i Hughesa [252], w której prezentowane są sformułowania i algorytmy MES w odniesieniu do teorii plastyczności małych i dużych deformacji, z różnymi typami wzmocnień i różnymi warunkami plastyczności. Teorie plastyczności prezentowane przez Gambina i Kowalczyk [98] pozwalają łączyć efekty lokalne występujące w trakcie deformacji plastycznej, dotyczące pojedynczych kryształów (wewnątrz jak i na granicy ziaren) materiału polikrystalicznego (metalu) z globalnym warunkiem plastyczności, por. także Nemat-Nasser [202]. W ten sposób otrzymuje się fenomenologiczny model mikroplastycznego płynięcia. Lokalne deformacje plastyczne są jednak znaczne w stosunku do efektu globalnego i wymagają stosowania opisu mechaniki ośrodków ciągłych. Znaczne deformacje plastyczne powodują rozwój tzw. anizotropii plastycznej (por. np. Szczepiński [266]) i w efekcie np. zjawisko lokalizacji odkształceń, por. także Stören i Rice [261], Bigoni i in. [34]. Zjawisko to jest analizowane w monografii Gambina i Kowalczyk na przykładzie blach izotropowych i ortotropowych, przy wykorzystaniu warunków plastyczności Hilla, Barlata i Liana. W przypadku teorii sprężysto-plastyczności zwykle dokonuje się podziału na zagadnienia brzegowe fizycznie albo geometrycznie nieliniowe, por. np. Zienkiewicz i Taylor [321, 322], Kleiber [162, 163], Crisfield [72, 73], ABAQUS Theory manual [1]. W niniejszej monografii podział tego typu będzie stosowany wyłącznie w celu odniesienia się do literatury przedmiotu. Z uwag i wniosków zamieszczonych w rozprawie doktorskiej Gajewskiego [99], jak i w pracach [101, 103-105, 146, 147] wynika, że teoria sprężystości i plastyczności w przypadku materiałów izotropowych z warunkiem plastyczności Hubera-Misesa [130, 190] oraz materiałów anizotropowych (tj. ortotropowych, transwersalnie izotropowych oraz o symetrii regularnej, czy zbrojonych włóknami) z warunkiem Hilla ze wzmocnieniem typu energetycznego, może być stosowana do zagadnień brzegowych dla stosunkowo małych odkształceń sprężystych i dużych odkształceń plastycznych oraz skończonych obrotów cząstek ciała, jeżeli stosowany jest algorytm NLGEOM (uaktualniany opis Lagrange’a). Dokładny opis zastosowanego sformułowania wariacyjnego zagadnienia brzegowego teorii sprężystości i plastyczności oraz algorytmu całkowania przyrostowych równań konstytutywnych jest zamieszczony na kilkudziesięciu stronach podręcznika teoretycznego programu ABAQUS/Standard [1]. Celowe jest porównanie sformułowania zaproponowanego w programie z opisem podanym w monografii Boneta i Wooda 1997r. [39] oraz w monografii pod redakcją Kleibera 1995r. [163], które dotyczą teorii sprężystości i plastyczności materiałów izotropowych z warunkiem plastyczności MHMH. Ponieważ koncepcja 12.

(13) zastosowanej teorii sprężysto-plastyczności łączy pośrednio zagadnienia hipersprężystości i plastyczności, to zasadniczą niekonsekwencją teorii zastosowanej w programie ABAQUS jest nieadekwatny opis sprężystych właściwości materiału i braku rozróżniania między tensorem naprężenia Cauchy’ego i tensorem naprężenia Kirchhoffa, w sformułowaniu słabym równań równowagi w konfiguracji aktualnej. W teorii plastyczności z warunkiem Hilla występuje nieściśliwość części plastycznej, co według instrukcji i podręcznika programu ABAQUS ogranicza zakres zastosowań omawianej teorii sprężysto-plastyczności do sytuacji ze stosunkowo małymi odkształceniami sprężystymi (rzędu 5%). Nie wprowadza się żadnych ograniczeń formalnych co do wielkości odkształceń plastycznych i lokalnych obrotów. Testy, które zamieszczono m.in. w [99] pokazują, że ograniczenia stosowanej teorii w zagadnieniach płaskich (płaskiego stanu naprężenia PSN i płaskiego stanu odkształcenia PSO) i przestrzennych powinny dotyczyć także lokalnych obrotów cząstek ciała w zakresie odkształceń sprężystych lub plastycznych. Zagadnienie to było analizowane także przez Casey’a 1985r. [55]. Teoria plastyczności dużych deformacji rozwija się nieustannie od końca lat siedemdziesiątych ubiegłego wieku [32, 39, 45, 126, 201, 218, 310]. Nie istnieje jednak obecnie konsensus odnośnie sposobu sformułowania teorii plastyczności materiałów izotropowych i anizotropowych dużych deformacji. Rozwijane jest równolegle wiele kierunków. Za pionierskie można uznać m.in. prace opublikowane przez Lee [173,174], Hibbitta i in. [123] (jeden z twórców systemu MES ABAQUS [1-5]), Kratochvila [166], Hahna [117], Argyrisa, Doltsinisa i Kleibera [19-21] oraz Caseya i Naghdiego [58-60]. W pracach tych wyraźnie rysują się dwa nurty odnośnie do wydzielania wielkości charakteryzujących deformację plastyczną. Jeden nurt to rozszerzenie i uogólnienie teorii małych odkształceń, czyli pozostanie przy dekompozycji addytywnej oraz ewentualne wprowadzenie tensorowych miar logarytmicznych odkształceń, np. Hibbitt i in. [123]. Drugi nurt, czerpiący motywację z mechaniki materiałów krystalicznych, postuluje dekompozycję multiplikatywną tensora gradientu deformacji, por. Asaro [23], Lee [173, 174], Clifton [67], Casey i Naghdi [57], Lubarda [179]. Zgodność tego drugiego nurtu kończy się na dekompozycji multiplikatywnej, dalej każdy z elementów formułowanej teorii jest dyskusyjny i wśród badaczy nie ma zgody po dzień dzisiejszy. Rozbieżność dotyczy także formułowania powierzchni plastyczności w przestrzeni stanu naprężenia lub w przestrzeni stanu odkształcenia, por. Naghdi i Trapp [197], Yoder i Whirley [315] czy Xiao i Chen [312]. Trwa dyskusja, czego dowodem mogą być prace z ostatnich lat poświęcone tej tematyce, por. np. pracę Dafaliasa [77, 78], Mariano [185]. Najmniej kontrowersyjne wydają się poglądy zapoczątkowane w pracach Simo [248-251], który w swoich pracach przedstawia teorię plastyczności dużych deformacji materiałów izotropowych przy uwzględnieniu dekompozycji multiplikatywnej, dla sprężystości postulując relację hipersprężystości. Przez ostatnie kilka lat intensywnie rozwijana jest teoria sprężysto-plastyczności z zastosowaniem logarytmicznych tensorów odkształcenia, która łączy hipersprężystość i klasyczne sformułowanie teorii plastyczności ze stowarzyszonym prawem płynięcia, uzupełniona przez odpowiednie obiektywne związki przyrostowe, adekwatne do implementacji w kodach MES. Głównie są to prace zespołu: Xiao, Bruhns i Meyers [46, 47, 188, 299-310]. Teorię hipersprężystoplastyczności stosuje się w tej monografii do rozwiązywania zadań brzegowych w przypadku metali, dla których są dostępne dane materiałowe i możliwa jest weryfikacja doświadczalna, por. np. Stören i Rice [261], Wu i in. [298], Cabezas i Celentano [50], Ajdukiewicz i in. [7-13] oraz [106, 290].. 13.

(14) 14.

(15) II. O TEORII SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNOŚCI MAŁYCH ODKSZTAŁCEŃ. 1. Podstawowe założenia teorii sprężysto-plastyczności W sformułowaniu zagadnienia brzegowego sprężysto-plastyczności występują związki geometryczne określające stan odkształcenia jako symetryczną część gradientu deformacji, równania równowagi lokalnej i brzegowej oraz relacje konstytutywne [125, 180, 207]. Tensor odkształcenia ε , będący symetryczną częścią z tensora gradientu przemieszczenia określony jest w następujący sposób: 1 (1.1) ε h hT , 2 gdzie (1.2) hT grad ux, t , jest gradientem pola przemieszczenia. Symbol „T” oznacza transpozycję tensora. Tensor odkształceń (1.1), należący do sześciowymiarowej przestrzeni symetrycznych tensorów drugiego rzędu ε T2 s , dim T2 s 6 , jest stosowany w klasycznej teorii sprężystości i we wszystkich teoriach małych przemieszczeń, które uwzględniają niesprężyste właściwości materiałów. Należy zaznaczyć, że tensor h można rozłożyć jednoznacznie na część symetryczną i antysymetryczną: h ε ω , gdzie. ω. 1 h hT . 2. (1.3). Tensor ω ωT , należący do trójwymiarowej przestrzeni antysymetrycznych tensorów drugiego rzędu ω T2a , dim T2a 3 , zwany jest tensorem małego obrotu cząstki ciała wywołanego jego deformacją. Jeżeli składowe tensora obrotu R (tensor R występuje w teorii dowolnych deformacji, patrz Rozdział III) są małe, (czyli sin i cos 1 ), to obrót można aproksymować zależnością: R I ω , co uzasadnia nazwę tensora ω . Konsekwencją zasady zachowania pędu i momentu pędu są następujące lokalne równania równowagi: 2u divσ f 0 , f f0 2 , σ σT , (1.4) t. 15.

(16) gdzie f 0 oznacza dane a priori siły objętościowe, a u są siłami bezwładności (ponieważ. ux, t ). Dodatkowo znane jest pole gęstości x , zaś “ div ” oznacza operację dywergencji. W równaniach równowagi występuje tensor naprężenia, jako funkcja położenia i czasu σx, t . Tensor naprężenia należy do sześciowymiarowej przestrzeni symetrycznych tensorów drugiego rzędu, σ T2 s , dim T2 s 6 . W zagadnieniach statyki (albo zagadnieniach quasi-statycznych) nie występują siły bezwładności. Równania (1.1)-(1.4) nie są zależne od właściwości mechanicznych materiału. Konieczne jest wobec tego zdefiniowane relacji konstytutywnych. W teorii sprężysto-plastyczności, w zakresie małych przemieszczeń, przyjmowana jest addytywna dekompozycja tensora odkształceń ε na część sprężystą ε e i plastyczną ε p w postaci: (1.5) ε εe ε p .. Tensory ε e i ε p są symetrycznymi tensorami drugiego rzędu. Rodzaj dekompozycji wielkości tensorowych określających stan odkształcenia albo deformacji jest podstawowym elementem rozróżniającym teorie małych przemieszczeń od teorii dużych deformacji, patrz Rozdział VII. Zazwyczaj na część sprężystą odkształcenia ε e postuluje się liniową relację konstytutywną w postaci związku Hooke’a, patrz pkt.2, natomiast związek na część plastyczną jest postulowany w postaci prawa płynięcia. W celu określenia odkształceń plastycznych (trwałych) ε p konieczne jest wyróżnienie dwóch procesów: czynnego (obciążenie OA ) i biernego (odciążenie AB ), por. rys.1.1. W stanie naturalnym (punkt O ) naprężenia i odkształcenia są zerowe. W przypadku sprężystości proces jest odwracalny tj. OA=AB , rys.1.1a. Następuje tylko kumulacja energii wewnętrznej (procesy są odwracalne) natomiast w przypadku plastyczności (rys.1.1b) mamy proces nieodwracalny związany z dyssypacją energii wewnętrznej. a). b). Rysunek 1.1. Idealizacja zależności między

(17) i w teście rozciągania w przypadku opisu: a) sprężystych i b) sprężysto-plastycznych właściwości badanego materiału. W przypadku tzw. deformacyjnej teorii plastyczności, relację konstytutywną plastyczności zapisuje się bezpośrednio na tensor odkształcenia plastycznego. Ponieważ teoria ta nie jest poprawna w przypadku obciążeń o charakterze cyklicznym i znacznej redystrybucji naprężeń, to nie będzie ona dyskutowana. Czytelnika zainteresowanego tą teorią odsyłamy monografii pod redakcją Olszaka z 1965r. [207] i literatury źródłowej tam cytowanej. Teorią nie mającą wymienionych ograniczeń jest teoria plastycznego płynięcia. Należy podkreślić, że w przypadku teorii plastycznego płynięcia z dekompozycją (1.5), nie jest 16.

(18) możliwe bezpośrednio zdefiniowanie relacji na ε p . W celu określenia relacji konstytutywnej plastyczności wprowadza się pojęcie potencjału plastycznego (funkcji płynięcia plastycznego) i warunku plastyczności oraz zapisuje się związek między prędkością ε p i pochodną funkcji płynięcia względem stanu naprężenia. Ponieważ relacja konstytutywna plastyczności jest postulowana na prędkość odkształceń plastycznych, addytywną dekompozycję odkształceń zapisujemy następującym wzorem: ε εe ε p .. (1.6). Tensor odkształceń plastycznych nazywa się w ramach teorii zmiennych wewnętrznych tzw. zmienną ukrytą, por. np. dyskusję zamieszczoną w monografii Lublinera [183] oraz pracę Lublinera [181] z 1973r oraz prace Jemioło i Giżejowskiego [148, 149] z literaturą źródłową tam cytowaną. Zależność na część plastyczną odkształcenia postuluje się najczęściej w postaci stowarzyszonego prawa płynięcia:. εp . f f f g, 0 , σ σσT σ. (1.7). gdzie f 0 , definiuje w przestrzeni stanu naprężenia warunek plastyczności. W najprostszej wersji teorii plastyczności (tzw. teorii idealnej plastyczności tj. teorii plastyczności bez wzmocnienia, por. rys.1.2, 1.3 i 1.5) zakłada się, że f jest wyłącznie funkcją σ . Wtedy nierówność f 0 oznacza, że materiał ma właściwości sprężyste, czyli ε p 0 (co odpowiada 0 ). Po osiągnięciu przez stan naprężenia warunku plastyczności f 0 , plastyczne deformacje zachodzą bez ograniczeń. Stan naprężenia jest określony przez f f warunek plastyczności. Obowiązuje kryterium obciążenia: f .σ 0 , które w przypadku σ idealnej plastyczności zgodne jest z tzw. procesem neutralnym, por. rys.1.3 ( f 0 jest warunkiem niezmienności powierzchni plastyczności). Związek (1.7) definiuje tensor prędkości odkształceń plastycznych zgodnie z normalną do powierzchni plastyczności, por. rys.1.2.. Rysunek 1.2. Warunek plastyczności i stowarzyszone prawo płynięcia. Należy podkreślić, że pochodna występującą w stowarzyszonym prawie płynięcia (1.7) f ) ma w przypadku różniczkowalnej funkcji f interpretację gradientu do (tzn. σ σ σT powierzchni plastyczności w sześciowymiarowej przestrzeni tensorów symetrycznych 17.

(19) interpretowanych jako przestrzeń wektorowa. Dlatego wygodne jest stosowanie unormowanych baz tensorowych w przestrzeni sześciowymiarowej, por. Jemioło i Szwed [153]. Jeżeli stan naprężenia ulega zmniejszeniu poniżej wartości określonej przez warunek f plastyczności następuje proces sprężystego odciążenia .σ 0 , por. rys.1.3. σ Zakłada się, że funkcja dyssypacji zdefiniowana wzorem:. D tr σε p σ.ε p ,. (1.8). jest funkcją nieujemną i wartość zerową przyjmuje w przypadku zerowych odkształceń plastycznych, por. np. Sawczuk 1982r. [241].. Rysunek 1.3. Interpretacje dopuszczalnych i niedopuszczalnych stanów naprężenia oraz procesów obciążenia i odciążenia. Funkcja f musi być względem σ funkcją wypukłą, aby powierzchnia f 0 jednoznacznie definiowała stan uplastycznienia materiału, por. rys.1.4a. Zapewnia to także spełnienie podstawowych wymagań termodynamicznych, które wynikają z drugiego prawa termodynamiki, Lubliner [180], Rajagopal i Srinivasa [226, 227], Houlsby i Puzrin [129]. W sytuacji pokazanej na rys.1.4b konieczne jest uogólnienie pojęcia gradientu w punkcie narożnym powierzchni plastyczności. W tym celu wprowadza się definicję subgradientu, por. np. rozważania w rozdziale 5. monografii Simo i Hughesa [252] oraz pracę Grzesikiewicza, Wojewódzkiego i Zbiciaka 2003r. [112]. Warunki plastyczności z narożami nie będą rozpatrywane w niniejszej monografii. W przypadku metali, gdy nie rozpatruje się obciążeń krótkotrwałych, tzw. obciążeń impulsowych, przyjmuje się założenie o nieściśliwości części plastycznej przyrostu odkształcenia: trε p 0 . (1.9) W przypadku materiałów izotropowych, bezpośrednio ze związku (1.9) wynika, że odkształcenia trwałe są dewiatorem i funkcja f σ nie jest zależna od trσ . Jest to sytuacja pokazana na rys.1.4d, gdzie linią przerywaną zaznaczona jest tzw. oś hydrostatyczna w przestrzeni tensorów naprężenia. Powierzchnia plastyczności jest w przestrzeni stanu naprężenia walcem, a oś hydrostatyczna jest równoległa do tworzącej walca. Podobne założenie przyjmuje się również w przypadku materiałów anizotropowych z warunkiem plastyczności Hilla [124, 125]. 18.

(20) a). b). c). d). Rysunek 1.4. Interpretacje graficzne a) niedopuszczalnej oraz b), c) i d) dopuszczalnej postaci warunku plastyczności w przestrzeni tensorów naprężenia. Teoria plastyczności nie uwzględnia właściwości lepkich materiału, a relacje konstytutywne są niezależne od skali czasu, por. Sawczuk [241] i rozprawę doktorską Jemioło z 1991 roku [135] oraz obszerną literaturę źródłową dotyczącą tego tematu tam cytowaną i dyskutowaną. Niezależność od skali czasu uzyskuje się przez odpowiednie zapostulowanie funkcji dyssypacji albo prawa płynięcia. Rozróżnienie kierunku procesu w zakresie uplastycznienia materiału wiąże się ze „śledzeniem” zmian dyssypacji energii. Podstawiając w definicji funkcji dyssypacji (1.8) stowarzyszone prawo płynięcia (1.7) f f otrzymuje się: D σ.ε p σ. , z czego wynika, że mnożnik plastyczny zależy od σ dyssypacji: f (1.10) D / σ. . σ Jeżeli warunek plastyczności jest wypukły (co założono, aby odróżnić stan sprężysty od plastycznego), to widać, że 0 w trakcie plastycznego płynięcia. Z wypukłości f wynika, f że σ. 0 w przypadku osiągnięcia przez stan naprężenia warunku plastyczności, por. σ f f f rys.1.2-1.4. Kąt między tensorami σ i jest kątem ostrym: σ. σ cos θ . σ σ σ Właściwości funkcji dyssypacji szczegółowo dyskutowane są w pkt.5.. 19.

(21) W związku z założeniem (1.9), w formułowaniu teorii plastyczności wygodne jest posługiwanie się dewiatorami stanu naprężenia i odkształcenia. Dewiator odkształcenia oraz dewiator naprężenia definiują następujące wzory:. eε. 1 trε I , 3. sσ. 1 trσ I . 3. (1.11). Definicje dewiatorów nie mają nic wspólnego z właściwościami materiału. Należy jednak podkreślić, że dewiatory (1.11) są tensorowymi funkcjami izotropowymi odpowiednio odkształcenia i naprężenia. Tensory występujące w (1.11) należą do przestrzeni tensorowych 1 odpowiednio o 5 i 1 wymiarze, tzn.: np. ε e k , trε I k , e T2 sd , dim T2 sd 5 , 3 k T2 sk , dim T2 sk 1 oraz T2 s T2 sd T2 sk (suma prosta przestrzeni). Przestrzenie T2 sd i T2 sk są wzajemnie ortogonalne i są przestrzeniami unormowanymi. Dekompozycja addytywna (1.5) jest niezbędna do interpretacji podstawowych badań wytrzymałościowych, które wykonuje się ze stałą prędkością odkształceń. Dąży się do takiego zaplanowania eksperymentu, aby pola odkształceń i naprężeń w wydzielonej części próbki były polami jednorodnymi i efekty dynamiczne były pomijalne. W typowych eksperymentach steruje się wielkością obciążenia na brzegu próbki. Znany jest kierunek badanego procesu, zaś wydzielenie części odkształceń trwałych wymaga wykonania próby obciążenia i odciążenia badanej próbki, por. rys. 1.1 i 1.5.. Rysunek 1.5. Typowe idealizacje próby jednoosiowego rozciąganiaściskania metali. W przypadku materiału o właściwościach plastycznych, po wykonaniu odciążenia można badany materiał obciążyć ponownie. Próby tego typu pozwalają na weryfikację efektów związanych z tzw. wzmocnieniem/mięknięciem materiału w zakresie jego właściwości plastycznych. Próby wykonuje się zarówno przy ściskaniu jak i rozciąganiu próbki, stosując tzw. sterowanie naprężeniowe albo odkształceniowe. W większości materiałów obserwuje się istotne jakościowe różnice między ściskaniem i rozciąganiem. Na przykład beton przy rozciąganiu ulega kruchemu pękaniu, zaś przy ściskaniu w końcowej fazie mięknie i ulega zmiażdżeniu. Po zmiażdżeniu następuje przyrost objętości, a zjawisko to nosi nazwę dylatacji, por. np. prace Jemioło [135], Wojewódzkiego i in [294] i prace tam dyskutowane. Charakterystyczne zjawiska obserwowane w typowych testach wytrzymałościowych są punktem wyjścia do tworzenia bardzo złożonych modeli wielowymiarowych. Jeżeli chodzi o metale, to tak jak na rys.1.5, różnice w zachowaniu przy ściskaniu i rozciąganiu są pomijalnie małe. W przypadku metali idealizacje podane na rys.1.6 są także stosowane w celu opisu testu ścinania (w materiałach izotropowych oznacza to, że relacje między dewiatorami są w postaci idealizacji a) albo b)). Skuteczne aplikacje modelu 20.

(22) b) dotyczą głównie teorii nośności granicznej konstrukcji oraz tzw. płaskiego płynięcia, por. np. Sawczuk [241], Olszak red. [207], Lubliner [183], Wojewódzki [291, 292, 293]. a). b). c). d). Rysunek 1.6. Idealizacje próby jednoosiowego rozciągania (modele jednowymiarowe). Najprostsze modele plastyczności: a) model sztywno – idealnie plastyczny, b) model sprężysto – idealnie plastyczny, c) model sprężysto-plastyczny ze wzmocnieniem izotropowym, d) model sprężysto–plastyczny ze wzmocnieniem kinematycznym. 2. Sprężystość 2.1. Ogólna struktura relacji konstytutywnych sprężystości W teorii sprężystości, z zasady zachowania energii mechanicznej ciała sprężystego bez więzów wewnętrznych, wynika następująca ogólna postać relacji konstytutywnej materiału sprężystego, por. np. Nowacki [203], Lubliner [183]:. σ. W ε , ε ε εT. (2.1). która musi być spełniona dla każdej cząstki ciała. Występująca we wzorze (2.1) funkcja W ε zwana jest funkcją jednostkowej energii sprężystości (ES). Całkowita energia sprężystości nagromadzona w ciele odkształconym wynosi WdV . . 21.

(23) W klasycznej teorii sprężystości zakłada się, że istnieje stan naturalny ciała, w którym nie występują w ciele odkształcenia i naprężenia, tzn.: W 0 0, σ 0, t0 0 , gdzie t0 jest wybraną chwilą czasu, od której rozpatrywane są odkształcenia ciała. Równania (1.1), (1.4) i (2.1), uzupełnione warunkami brzegowymi i początkowymi oraz tzw. równaniami zgodności tych warunków, prowadzą do sformułowania zagadnienia brzegowo-początkowego ciała sprężystego. Jeżeli funkcja W ε jest funkcją wypukłą względem ε dla każdej cząstki ciała, to w sformułowaniu przemieszczeniowym teorii sprężystości otrzymuje się równania hiperboliczne dla zadania dynamicznego, zaś eliptyczne dla zadania statycznego (dodatkowo jeżeli (2.1) jest funkcją liniową, to odpowiednie równania różniczkowe są liniowe), por. np. Nowacki [203]. Jednoznaczne zdefiniowanie relacji konstytutywnej (2.1) wymaga zapostulowania funkcji W ε . Jeżeli funkcja W ε jest funkcją izotropową względem ε , to materiał zwany jest izotropowym. W przeciwnym wypadku, tj. kiedy właściwości mechaniczne są zależne od kierunku materiał zwany jest anizotropowym, a funkcja ES jest funkcją anizotropową. Relacja konstytutywna anizotropowego materiału sprężystego jest postulowana lokalnie dla każdej cząstki ciała, a nie dla całego ciała. Jeżeli związek fizyczny jest postulowany dla podobszarów ciała (albo jest parametrycznie zależny od położenia cząstki w ciele), to materiał nazywamy niejednorodnym. Sprecyzowanie wzoru na jednostkową energię sprężystości W ε w postaci formy kwadratowej: 1 (2.2) W ε ε.C.ε 2 prowadzi do związku Hooke’a dla dowolnych materiałów anizotropowych: σ C.ε ,. (2.3). gdzie C jest podwójnie symetrycznym tensorem czwartego rzędu zwanym tensorem sztywności. Kropką w (2.2) i (2.3) oznaczono pełne nasunięcie tensorów. Tensor C należy do przestrzeni o 21 wymiarach, co oznacza, że reprezentacja tego tensora ma w ogólności 21 niezależnych składowych. Liniowe równania konstytutywne anizotropowego materiału sprężystego nazywa się często uogólnionym „prawem” Hooke’a. Należy podkreślić, że po kilku wiekach intensywnych prac badawczych (za początek przyjmuje się pracę Hooke’a z 1676 roku, ze słynnym anagramem ceiiinosssttuv) mechaników, krystalografów i matematyków, por. np. Zhang i Rychlewski [319], ustalono, że spośród całego bogactwa materiałów anizotropowych, związek Hooke’a „rozróżnia” tylko 8 różnych ich typów symetrii, por. Rychlewski [238, 239]. Materiały te, za Rychlewskim, zwane są materiałami Hooke’a. W ogólności, w przypadku nieliniowej teorii sprężystości małych przemieszczeń, aby jednocześnie spełnić zasadę obiektywności i wymaganie „obserwowanej” (danej) symetrii cząstki ciała rozpatruje się W jako funkcję tensora odkształcenia ε , z dodatkowym zbiorem parametrów tensorowych Pi , i 1,.., N (tzw. tensorami struktury), por. np. Boehler 1987r. [38]. Grupa symetrii zewnętrznych tensorów Pi definiuje grupę symetrii materiału. Niech: Si Q O 3 Pi Q Pi . 22. . Sm S1. S2. ..... SN ,. (2.4).

(24) gdzie tensory ortogonalne Q należą do pełnej grupy obrotów i odbić lustrzanych O 3 trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej [113], zaś operacja Q Pi oznacza obrót (lub obrót i odbicie lustrzane) tensora Pi , por. np. Ploch 1990r. [222]. W ogólności dla danego ciała tensory parametryczne mogą być funkcją x , co pozwala na rozpatrywanie dowolnej niejednorodności ciała. Mamy wtedy zadane pole tensorów parametrycznych. W praktyce, aby zweryfikować doświadczalnie zaproponowane relacje konstytutywne, trzeba zdefiniować tzw. reprezentatywną objętość ciała, dla której dane są (lub wynikające z obserwacji i/lub rozważań o mikrostrukturze ciała) niezależne od x tensory parametryczne Pi . Skoro (2.4) jest grupą symetrii rozpatrywanego materiału anizotropowego, to jednostkowa energia sprężystości rozważanego materiału anizotropowego musi spełniać następujące warunki: (2.5) W ε, Pi W QεQT , Pi , !Q Sm , i 1,.., N ,. W ε, Pi W QεQT , Q Pi , !Q O 3 , i 1,.., N .. (2.6). Z wymagań (2.5) i (2.6) oraz twierdzeń o reprezentacji skalarnych anizotropowych funkcji tensorowych [38, 135, 155] wynika, że funkcja W jest zależna tylko od nieredukowalnych niezmienników anizotropowych tensorów ε i Pi . Z punktu widzenia zastosowań praktycznych istotny jest wybór bazy anizotropowych niezmienników tensora odkształcenia, gdyż w istotny sposób wpływa to na łatwość interpretacji wyników badań doświadczalnych i procedurę wyznaczenia parametrów materiałowych, por. [38, 144]. Ponieważ baza wielomianowa niezmienników anizotropowej funkcji skalarnej zależnej od symetrycznego tensora drugiego rzędu jest jednocześnie bazą funkcyjną (por. Boehler ed. [38], Jemioło i Telega [155]), to w ogólności funkcje W ε, Pi mają postać:. W ε, Pi W Ni ; i 1,. , I,. (2.7). gdzie zbiór niezmienników N i tworzy nieredukowalną bazę wielomianową funkcji ES. Przykładowo w przypadku ortotropii liczba niezależnych niezmienników wynosi I 7 , dla transwersalnej izotropii I 5 i dla izotropii I 3 . Z (2.1) i (2.7) wynika, że relacje konstytutywne rozpatrywanych materiałów sprężystych są następujące:. σ σ ε . W W ε. I. ε ε. Symetryczne tensory drugiego rzędu G i. T. ε. " i 1. W Ni Ni ε. I. " i G i . ε. ε εT. (2.8). i 1. zwane są generatorami tensorowymi relacji. konstytutywnej. Zarówno w przypadku funkcji W ε, Pi , jak i relacji konstytutywnych (2.8), zakłada się istnienie stanu naturalnego dla zerowego tensora odkształcenia ε :. W 0, Pi 0, σ 0 0 . (2.9) Jeżeli funkcja W N i jest co najmniej dwukrotnie różniczkowalna względem niezmienników N i , to pomiędzy funkcjami i , występującymi w (2.8), zachodzą zależności:. 23.

(25) i j ; i, j 1,, I . N j N i. (2.10). Natomiast z założenia stanu naturalnego (2.9) wynika, że: i 0,,0 0, i 1,, I . W 0,,0 0 ,. (2.11). Należy podkreślić, że stosując relacje konstytutywne sprężystości mamy sytuację, w której po zdjęciu obciążeń działających na ciało, wraca ono do konfiguracji początkowej, do tzw. stanu naturalnego, czyli nie występują żadne odkształcenia trwałe. W przypadku dowolnych liniowych materiałów anizotropowych związek między prędkościami naprężeń i odkształceń ma identyczną postać jak (2.3): σ C.ε ,. (2.12). W ogólności związek dla części sprężystej może być nieliniowy. Wtedy, jeżeli W jest klasy C 2 , relacja konstytutywna ma następującą postać:. σ. W ε. # σ ε εT. 2W .ε Ce .ε , ε $ ε ε εT. (2.13). gdzie operator Ce ε ma interpretację tzw. stycznego tensora sztywności. Jeżeli funkcja W jest funkcją wypukłą względem ε , to styczny tensor sztywności jest dodatnio określonym, podwójnie symetrycznym tensorem czwartego rzędu (por. monografię Rockafellar’a 1970r. [234] o analizie wypukłej). Relacja odwrotna do (2.13) ma postać:. ε gdzie W. *. W * σ. # ε σ σT. 2W * .σ Se .σ , σ $ σ σσT. (2.14). σ jest funkcją sprzężoną do W ε , przy czym zachodzi: W * σ W ε σ.ε. (2.15). oraz Se σ jest podwójnie symetrycznym tensorem czwartego rzędu, nazywanym stycznym tensorem podatności materiału. Uwaga: Dalej będziemy stosowali uproszczoną notację, tzn.:. W ε. ε ε. T. W , itp. ε. 2.2. Izotropia Jednostkowa energia sprężystości izotropowego materiału sprężystego może być funkcją co najwyżej trzech niezmienników tensora odkształceń ε :. . . W W Iˆ1 , Iˆ2 , Iˆ3 .. (2.16). Iˆ1 trε , Iˆ2 trε 2 , Iˆ3 trε3 .. (2.17). W W W 2 I2 ε3 ε W1I 2W2ε 3W3ε 2 . ˆ ˆ I1 I 2 Iˆ3. (2.18). gdzie Z (2.8) wynika, że. σ. 24.

(26) Z kolei z (2.13) otrzymamy:. . . σ [W11I $ I 2W12 ε $ I I $ ε 3W13 ε 2 $ I I $ ε 2 4W222ε $ ε . . . ]ε 6W23 ε 2 $ ε ε $ ε 2 2W2 1 9W33ε 2 $ ε 2 3W3 ε%I I%ε ].. (2.l9). gdzie wprowadzono oznaczenia na pochodne funkcji ES względem niezmienników w postaci: 2W W113 , itp. W (2.19) 1 jest jednostkowym tensorem czwartego rzędu (o symetriach Iˆ Iˆ 1. 3. wewnętrznych tensorów Hooke’a), w bazach ortonormalnych, składowe tensora czwartego rzędu A%B obliczamy jako Aik B jl Ail B jk / 2 , por. [155]. Warto podkreślić, że postać operatora czwartego rzędu występująca w (2.19) jest w przypadku funkcji różniczkowalnych najogólniejsza z możliwych i zgodna z teorią reprezentacji funkcji tensorowych. Korzystając ze wzoru (2.19) łatwo można uzyskać postać operatora czwartego rzędu, kiedy funkcja ES zależy tylko od dwóch pierwszych niezmienników stanu odkształcenia, tj. Iˆ1 i Iˆ2 . Otrzymuje się wtedy: Ce W11I $ I 2W12 ε $ I I $ ε 4W22ε $ ε 2 2W W2 1 .. (2.20). Jeżeli założy się dodatkowo liniowość relacji konstytutywnej (co oznacza: W11 const , W1122 0 , W222 0 , W2 const ) i wprowadzimy oznaczenia: W1111 & , W2 ' , otrzymamy z (2.20) następujący tensor:. C & I $ I 2' 1 ,. (2.21). czyli tensor sztywności w liniowym izotropowym związku Hooke’a. 2.3. Uwagi o implementacji związków sprężystości w programie ABAQUS 1) Modele konstytutywne o relacji nieliniowej sprężystości w postaci (2.19) nie są standardowo dostępne w programie ABAQUS. W pracy doktorskiej Gajewskiego [99] zaprogramowano (2.19) (oraz związki transwersalnej izotropii) w ramach procedury UMAT. Prace badawcze przy wykorzystaniu ogólnej relacji konstytutywnej sprężystości można kontynuować w wielu kierunkach, np. uwzględniać właściwości nieliniowe materiałów, analizować materiały o różnych właściwościach na ściskanie i rozciąganie, itd., por. także [144] i literaturę tam cytowaną. W programie ABAQUS dostępnych jest natomiast wiele modeli nieliniowych w ramach teorii hipersprężystości [1-4], patrz także Rozdział IV. 2) Sprężystość w postaci liniowej (2.21) jest w programie ABAQUS dostępna standardowo w ramach opcji *ELASTIC, w której sprężyste właściwości materiału charakteryzuje się przez podanie modułu Younga E i liczby Poissona ( . Standardowo dostępne są także dowolne liniowe materiały anizotropowe. 3) Możliwe jest zaimplementowanie pewnych modeli nieliniowej, izotropowej sprężystości małych przemieszczeń przy wykorzystaniu opcji *HYPOELASTIC i procedury użytkownika UHYPEL. W procedurze UHYPEL programuje się moduł Young’a E i współczynnik Poissona ( , jako funkcje trzech niezmienników stanu odkształcenia 1 2 ( trε , trε 2 trε , det ε ). Przykłady modeli materiałów nieliniowo sprężystych 2 powstałych według tej koncepcji zaprezentowano np. w pracach [99, 144], por. także literaturę tam cytowaną.. . . 25.

(27) 3. Izotropowy związek Hooke’a W przypadku materiału izotropowego tensor sztywności czwartego rzędu jest tensorem izotropowym z dwoma niezależnymi stałymi. W wielu sytuacjach (np. w zadaniach brzegowych sprężystości rozwiązywanych analitycznie) wygodnie jest zrezygnować z zapisu z tensorem czwartego rzędu. Ze względu jednak na sposób formułowania zależności przyrostowych sprężysto-plastyczności (także w zakresie dużych deformacji) w punkcie tym zamieszczamy różne postaci związków Hooke’a z zastosowaniem tensorów sztywności i podatności. Związek Hooke’a materiałów izotropowych można zapisać z modułem Younga E i współczynnikiem Poissona ( jako dwoma niezależnymi stałymi w postaci: ε. 1 1 ) ( 1 ( * σ I $ I . .σ S.σ . (3.1) )1 ( σ ( trσ I *, trσ I *. )-1 E+ 2' -+ 1 ( , 2' + 1 ( ,. Występujący w (3.1) tensor czwartego rzędu jest tensorem podatności materiału izotropowego i jest sumą dwóch tensorów izotropowych. Odwracając relację (3.1) uzyskuje się: E ( ) σ )1 2( ε ( trε I *, 2 ' -ε trε I .* & tr ε I 2' ε 1 ( 1 2( + + 1 2( , 1 ) * & I $ I 2 '1 .ε C.ε -/ I $ I 2 ' 1 I $ I . .ε / tr ε I 2 ' e, 3 , +. gdzie parametry. &. (E , 1 2( 1 ( . ' G. E , 2 1 ( . (3.2). (3.3). zwane są stałymi sprężystości Lame’go oraz dodatkowo 2 3. / & ' . E , 1 2(. (3.4). jest modułem ściśliwości objętościowej. W teorii małych odkształceń: ( 1/ 2 / 0 odpowiada materiałowi nieściśliwemu. We wzorach (3.1)3 i (3.2)4,5 występuje tensor jednostkowy czwartego rzędu 1 I%I . Tensor 1 jest operacją identycznościową dla tensorów symetrycznych drugiego rzędu, np. 1.ε ε . Oczywiście w przypadku, gdy funkcja W jest funkcją kwadratową względem tensora odkształceń, to z (2.13) i (2.14) otrzymuje się odpowiednio (3.1) i (3.2). Wtedy Ce C const i Se S const oraz. 1 1 2 1 1 1 tr σ trs2 . (3.5) W ε ε.C.ε / tr 2ε ' tre 2 , W * σ σ.S.σ 2 18/ 4' 2 2 We wzorach (3.5) wydzielone są części energii ES (i jej funkcji dopełniającej) odpowiedzialne za deformacje objętościowe i deformacje kształtu. Wg hipotezy wytężeniowej Hubera z 1904r. [130], krytyczna wartość energii sprężystości związanej z deformacją kształtu powoduje uplastycznienie materiału. Tensory C i S , zgodnie ze wzorami (3.1) i (3.2) nazywa się tensorami Hooke’a materiałów izotropowych. 26.

(28) 4. Warunek plastyczności Hubera Warunek plastyczności Hubera [130] jest w przypadku izotropowych stali i stopów aluminium zgodny z podstawowymi wynikami badań doświadczalnych oraz jest pod względem matematycznym (i aplikacji w MES) najprostszym warunkiem plastyczności o postaci, por. np. Olszak [207], Sawczuk [241]: 2 f σ =trs2 2k 2 trs2

(29) p2 0 , 3. (4.1). lub. 2 fˆ σ = trs 2 2k trs 2

(30) p 0 , 3 gdzie 2. trs 2 s.s s s12 s22 s32 sij s ji 1) 1 2 2 2 2

(31) 1

(32) 2

(33) 2

(34) 3

(35) 3

(36) 1 *,

(37) ij

(38) ji

(39) ii , 3+ 3 1 sij i

(40) ij są odpowiednio reprezentacjami tensorów s σ trσ I i σ , zaś si i

(41) i są 3 wartościami własnymi tych tensorów. W zbiorze naprężeń głównych

(42) i powierzchnia (4.1) jest walcem o przekroju kołowym w płaszczyźnie dewiatorowej. Z reguły w zastosowaniach inżynierskich stałą k (mającą interpretację granicy plastyczności na ścinanie) wyznacza się z testu jednoosiowego rozciągania.. Rysunek 4.1. Warunek plastyczności MaxwellaHubera-Misesa-Hencky’ego w przestrzeni naprężeń głównych. W przypadku warunku plastyczności Hubera (4.1) stosuje się w literaturze z teorii plastyczności różne nazwy, patrz Olesiak [206]. Należy podkreślić, że uzasadniona jest stosowana nazwa powierzchni plastyczności (4.1) jako kryterium uplastycznienia MaxwellaHubera-Misesa-Hencky’ego (MHMH), odpowiednio ze względu na prace [187, 130, 190, 122]. Ponieważ funkcja f w (4.1) jest zależna od niezmiennika J 2 trs 2 / 2 (równoważnie do (4.1) można napisać J 2 k 2 0 ), to także w anglojęzycznej literaturze z metody elementów skończonych (w kontekście teorii plastyczności metali ze wzmocnieniem izotropowym) używa się nazwy „teoria J 2 ”. Wygodnie jest zapisać powierzchnię (4.1) w postaci:. J2 k 0 . 27. (4.2).

(43) Należy zaznaczyć, że funkcje trs2 , s , J 2 i. J 2 są funkcjami wypukłymi zarówno. względem dewiatora s , jak i tensora naprężenia σ . W konsekwencji np. nierówność J 2 k 0 definiuje zbiór wypukły w przestrzeni stanów naprężenia. W zastosowaniach i algorytmach MES [1-5] powszechnie wprowadza się tzw. naprężenia zastępcze Misesa (zwane także intensywnością naprężenia) 3 2 trs 2.

(44) z . 3 s . 2. (4.3). Stosując oznaczenie (4.3), warunek plastyczności HMHM można zapisać równoważnymi do (4.1) zależnościami:.

(45) z 3k

(46) z

(47) p 0 ,. (4.4). gdzie

(48) p jest granicą plastyczności wyznaczoną w teście jednoosiowego rozciągania.. 5. Idealna plastyczność 5.1. Relacje konstytutywne idealnej plastyczności Rozpatrzmy obecnie przypadek idealnej plastyczności, czyli mamy funkcję płynięcia:. f : 22S 1R ,. (5.1). zależną tylko od stanu naprężenia. Prawo płynięcia plastycznego ma postać związku (1.7) stowarzyszonego z warunkiem plastyczności, por. rys.5.1.. Rysunek 5.1. Wypukły zbiór dopuszczalnych stanów naprężenia Z

(49) . Interpretacja geometryczna (wektorowa) gradientu funkcji płynięcia i stowarzyszonego prawo płynięcia plastycznego ε p g. Gdy spełniony jest warunek plastyczności przez stan naprężenia, tzn.. f σ 0 ,. (5.2). to podstawowym zagadnieniem jest rozróżnienie stanu obciążania od odciążania. Kryterium obciążania formułujemy warunkiem:. f f .σ g.σ 0 , (5.3) σ co oznacza brak zmian warunku plastyczności w trakcie narastania odkształceń plastycznych, czyli g 3 σ , por. rys.5.1. Mogą natomiast zmieniać się składowe tensora naprężenia

(50) ij , ale tylko w taki sposób aby jednocześnie zachodziły warunki:. f 0 .. f 0, 28. (5.4).

(51) Geometrycznie warunek (5.3) żąda, aby tensor σ ‘leżał’ w płaszczyźnie stycznej do powierzchni plastyczności f σ 0 . Jeżeli stan naprężenia ulega zmianie poniżej wartości określonej przez warunek plastyczności, to następuje odciążenie zdefiniowane warunkiem:. f f .σ g.σ 0 , σ. (5.5). Mamy zatem do czynienia z przejściem stanu naprężenia w obszar Z

(52) , por. rys.5.2.. Rysunek 5.2. Interpretacja graficzna procesów obciążania i odciążania w przestrzennym modelu sprężystoplastyczności. Podsumowując powyższe rozważania, stwierdzamy, że relacje konstytutywne idealnej plastyczności zawierają następujące związki: a) Stowarzyszone prawo płynięcia:. f , σ oraz zbiór, definiujący stany naprężeń, dla których materiał jest sztywny – nieodkształcalny, Z

(53) σ T2s : f σ 0 ,. εp g ,. gdzie. g. (5.6). (5.7). jest zbiorem wypukłym i zawiera zerowy stan naprężenia. Oznacza to także, że funkcja płynięcia, f : 22S 1R , jest funkcją wypukłą. b) Warunki obciążania/odciążania (warunki Kuhna-Tuckera). f σ 4 0 , 0 ,. f σ 0 .. (5.8). c) Warunek zgodności. f σ g.σ 0 .. (5.9). Relacje konstytutywne idealnej plastyczności są stosowane m.in. w teorii nośności konstrukcji, patrz monografie [159, 241, 242] oraz podręczniki Wojewódzkiego [291-293], które dotyczą płyt, powłok i układów prętowych. 5.2. Uwaga o funkcjach jednorodnych Zanim przystąpimy do interpretacji funkcji dyssypacji oraz relacji konstytutywnych idealnej plastyczności zamieszczamy uwagę o funkcjach jednorodnych. W literaturze bardzo często stosuje się warunki plastyczności, które są funkcjami jednorodnymi stanu naprężenia (zwykle stopnia pierwszego lub drugiego).. 29.