ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI SLASKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 101
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Nr kol.1033
G r z e g o r z P u s z
Pol i t e c h n i k a W r o c ł a w s k a
A L G O R Y T M Y S T E R O W A N I A G R U P A R U C H O M Y C H R O B O T Ó W Z U W Z G L Ę D N I E N I E M U N I K A N I A K O L I Z J I
S t r e s z c z e n i e . P r a c o d o t y c z y p r o b l e m u s t e r o w a n i a g r u p ą r u c h o m y c h r o b o t ó w w o g r a n i c z o n y m o b s z a r z e , w k t ó r y m z n a j d u j e s i o p e w n a l i c z b a n i e r u c h o m y c h p r z e s z k ó d . U w z g l ę d n i o n e s ą d y n a m i c z n e w ł a s n o ś c i r o b o t ó w . Z a d a n i e p o l e g a n a s t e r o w a n i u k a ż d y m z r o b o t ó w w t a k i s p o s ó b , a b y p r z e j e c h a ł o n z z a d a n e g o p u n k t u p o c z ą t k o w e g o d o k o ń c o w e g o , u n i k a j ą c k o l i z j i z p r z e s z k o d a m i i i n n y m i r o b o t a m i , w j a k n a j m n i e j s z y m c z a s i e .
i. W p r o w a d z e n i e
B o d z i e m y s i ę z a j m o w a ć p r o b l e m e m s t e r o w a n i a grupa. c h o m y c h r o b o t ó w ( w ó z k ó w ) w o g r a n i c z o n y m o b s z a r z e , w k t ó r y m z n a j d u j e s i o p e w n a l i c z b a n i e r u c h o m y c h p r z e s z k ó d . Z a k ł a d a m y , ż e p o ł o ż e n i a p r z e s z k ó d a a zn a n e . Z a d a n i e m d l a k a ż d e g o r o b o t a j e s t r e a l i z a c j a n a d c h o d z ą c y c h d o s y s t e m u z a d a ń t r a n s p o r t o w y c h , p o l e g a j ą c y c h n a p r z e j e c h a n i u z p u n k t u p o c z ą t k o w e g o d o z a d a n e g o p u n k t u k o ń c o w e g o w t e n s p o s ó b , a b y n i e d o s z ł o d o k o l i z j i z p r z e s z k o d ą ł u b i n n y m r o b o t e m i a b y r o b o t n i e w y j e c h a ł p o z a o b s z a r d o p u s z c z a l n y . P r z y j m u j e m y , ż e r o b o t p o s i a d a k o ł o w y u k ł a d j e z d n y ( r y s . l ), przy c z y m w i e l k o ś c i s t e r u j ą c e d l a t e g o u k ł a d u s a n a s t o p u j a c e :
v - m o m e n t s i ł y d z i a ł a j a c y n a k ó ł k o n a p ę d z a j ą c e r o b o t ,
» - m o m e n t s i ł y d z i a ł a j ą c y n a k ó ł k o s t e r u j ą c e z a k r ę c a n i e m r o b o t a .
Z ak ł a d a m y , ż e z m i e n n e s t e r u j ą c e v i w m o g ą p r z y j m o w a ć t y l k o w a r t o ś c i ze zbiorów C r ó j e l e m e n t o w y c h :
v e { -V, 0, V } , w € { - W , 0, W >.
Tak w i e c m o ż e m y n a k a ż d e z k ó ł e k p r z y ł o ż y ć p e ł n y m o m e n t z e z n a k i e m p l u B lub m i n u s l u b n i e p r z y ł o ż y ć n i c . N i e m a m o ż l i w o ś c i p r z y ł o ż e n i a p o ś r e d n i c h wartości m o m e n t u . Z b i ó r m o ż l i w y c h s t e r o w a ń j e s t z a t e m d z i e w i e c i o e l e r a e n t o w y .
P r z y j m i j m y n a s t ę p u j ą c e o z n a c z e n i a :
a - o d l e g ł o ś ć k ó ł k a s k r ę c a j ą c e g o o d o s i p o p r z e c z n e j r o b o t a , r - p r o m i e ń k ó ł k a n a p ę d z a j ą c e g o ,
Hj.- m a s a r o b o t a , k f - w s p ó ł c z y n n i k t a r c i a , E - p r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e ( g « 9 . 8 1 m / s ^ ).
A k t u a l n y s t a n ( p o ł o ż e n i e i p r ę d k o ś ć ) r o b o t a j e s t o p i s a n y n a s t ę p u j ą c y m i w i e l k o ś c i a m i :
t - w s p ó ł r z ę d n e r o b o t a w u k ł a d z i e z e w n ę t r z n y m ( r y s . l ), Praca b y ł a c z ę ś c i o w o f i n a n s o w a n a p r z e z C P B R n r 0 2 . 1 3 .
228
G.Pus:
(
1
)Fig.l. b e s c n p b i o n o f robot- locat-ion Jn s p a c e a - k a t p o m i ę d z y o s i a w z d ł u ż n a r o b o t a a o s i a
t> - kat p o m i ę d z y o s i a w z d ł u ż n a r o b o t a a płaszczyzna, k ó ł k a s k r a c a j ą c e g o , p - p r ę d k o ś ć l i n i o w a r o b o t a w a k t u a l n y m k i e r u n k u jazdy.
P r z y z a ł o ż e n i u , ż e j a z d a o d b y w a sie bez p o ś l i z g u , m o ż n a wyprowadzi!
n a s t e p u j a c e p r z y b l i ż o n e rcwnania r u c h u r o b o t a , u w z g l ę d n i a j ą c e d y n a m i k ę tegs r u c h u :
dx (1) dt d * < 2 >
= p ( t ) cos [ a ( t ) + <o(t) ]
= p ( t ) s i n [ a( t ) •+ e{ t ) ]
p( t ) sin 1 ł?(t) ] ( 1 )
w(t)
V ( t ) / r - g M_ k.
dt d o d t ~ d e d t ~ dp
d t ~ * * !'Tr
J e s t to m o d e l u p r o s z c z o n y , k t ó r y u w z g l ę d n i a n a j w a ż n i e j s z e czynniki, tj*
w p ł y w m a s y r o b o t a i t a r c i a k ó ł k a i p r z e k ł a d n i n a p r z y s p i e s z e n i e w aktua!o.'ł k i e r u n k u r u c h u wózka. P o m i n i ę t e z o s t a ł y i n n e s i ł y t a r c i a , przyspieszeni w i ą ż ą c e s i e z f a k tem, ż e w ó z e k n i e j e s t u k ł a d e m i n e r c j a l n y m , mon«1 b e z w ł a d n o ś c i w ó z k a p r z y j e g o o b r o c i e w o k ó ł w ł a s n e j osi itp. P e ł n y model d y n a m i c z n y w ó z k a m o ż n a u z y s k a ć p i s z ą c d l a n i e g o r ó w n a n i a Lagrarige'a.
U z y s k a n e z a l e ż n o ś c i b o d a j e d n a k t a k s k o m p l i k o w a n e , ż e uniemożliwi d z i a ł a n i e a l g o r y t m u s t e r o w a n i a , p o n i e w a ż b a r d z o z n a c z n i e w y d ł u ż y sie clii o b l i c z e ń p r z y k o r z y s t a n i u z m o d e l u . P o n a d t o . z a c h o w a n i e w ó z k a jes- w y s t a r c z a j ą c o d o b r z e o p i s a n e p o w y ż s z y m i r ó w n a n i a m i t a k , ż e z a s t o s o w a n i ' m o d e l u d o k ł a d n e g o n i e z m i e n i w s p o s ó b i s t o t n y w y n i k ó w . P o d a n y wyżej mace j e s t m o d e l e m c i ą g ł y m . P o n i e w a ż z a k ł a d a m y , ze s t e r o w a n i e j e s t dyskretne' c z a s i e , d o c e l ó w s t e r o w a n i a b o d z i e m y u ż y w a ć m o d e l u d y s k r e t n e g o - ukls;- r ó w n a ń r ó ż n i c o w y c h , p r z y c z y m w c h w i l i p o c z ą t k o w e j w a r t o ś c i z m i e n n y c h stż-
r i \ f *■> t są r ó w n e x ( i )
0
(2 )
Po-
R o z w a ż a n o - s y t u a c j ę , nr k t ó r e j w d a n y m z a m k n i ę t y m o b s z a r z e z p r z e s z k o d a -
Algorytmy s t e r o w a n i a grupa.
229
porusza sio k w ó z k ó w : w.
*kw (rys. 2). K a ż d y z n i c h m a d o wykonania s z e r e g z a d a ń t r a n s p o r t o w y c h , o k r e ś l o n y c h p r z e z p u n k t p o c z ą t k o w y jazdy d a n e g o w ó z k a Pq, p u n k t d o c e l o w y j a z d y pj, o r a z c z a s r o z p o c z ę c i a j a z d y tg. O z n a c z m y p r z e z z t1 ■ j - t e z a d a n i e t r a n s p o r t o w e d l a i - t e g o w ó z k a i zdefiniujmy j e j a k o
ij. PO
ij
P k(ij) t (ij) >,
gdzie:
Sjj — p r i o r y t e t d a n e g o z a d a n i a .
K a ż demu z z a d a ń j e s t p r z y p o r z ą d k o w a n a d o d a t n i a l i c z b a c a ł k o w i t a s-., będąca j e g o p r i o r y t e t e m w s t o s u n k u d o p o z o s t a ł y c h . J e ś l i w p e w n e j ch w i l i nie b e d z i e m o ż l i w e j e d n o c z e s n e r e a l i z o w a n i e w s z y s t k i c h z a d a ń transportowych, u k ł a d s t e r o w a n i a p o w i n i e n w y b r a ć do w y k o n a n i a z a d a n i a w kolejności od n a j w y ż s z e g o p r i o r y t e t u . O z n a c z a to, ż e j e ś l i m i a ł a b y n a s t ą p i ć kolizja d w ó c h w ó z k ó w r e a l i z u j ą c y c h z a d a n i a t r a n s p o r t o w e o r ó ż n y m priorytecie, u k ł a d s t e r o w a n i a p o w i n i e n t a k zmodyfikować t r a j e k t o r i ę w ó z k a wykonującego z a d a n i e o n i ż s z y m p r i o r y t e c i e , a b y d o k o l i z j i n i e d o s zło.
Zakładamy, ż e z n a m y z g ó r y w s z y s t k i e z a d a n i a t r a n s p o r t o w e , p r z y c z y m w Bomencie p o c z ą t k o w y m w ó z e k z n a j d u j e s i e w p u n k c i e p o c z ą t k o w y m p i e r w s z e g o zadania, j a k i e raa w y k o n y w a ć ( j e ś l i t a k n i e j e st, n a l e ż y z a d a ć d o d a t k o w e zadanie d l a t e g o w ó z k a , k t ó r e b e d z i e w y k o n y w a n e j a k o p i e r w s z e i b e d z i e polegać na d o j e c h a n i u d o p u n k t u Pq ). Z a t e m z a d a n i a t r a n s p o r t o w e , j a k i e raaja do w y k o n a n i a w ó z k i , sa o p i s a n e p r z e z z b i ó r
^ = i z^j }, i e 1 , 2 , . . . , k w .
Aby w y k o n a ć te z a d a n i a , w ó z k i m u s z a p r z e j e c h a ć od o d p o w i e d n i c h p u n k t ó w początkowych d o k o ń c o w y c h , o m i j a j ą c p r z e s z k o d y , a t a k ż e u n i k a j a c k o l i z j i z innymi w ó z k a m i z n a j d u j ą c y m i s i ę w r o z w a ż a n y m o b s z a r z e . Z a ł o ż y m y , ż e k o l i z j a następuję, j e ś l i o d l e g ł o ś ć d w ó c h w ó z k ó w z n a j d u j ą c y c h s i © w p u n k t a c h Xj i x 2 jest m n i e j s z a od z a d a n e j w a r t o ś c i 2 r w ( rw - o d l e g ł o ś ć n a j d a l s z e g o punktu, wózka od p u n k t u , k t ó r y o k r e ś l a w s p ó ł r z ę d n e w ó z k a z o d p o w i e d n i m m a r g i n e s e m bezpieczeństwa ), tzn. j e ś l i
V«
C x ^ ) ,2 (1) )2 ( x( 2 )
(2
) y 2r.230 G.Pusz
W ó z k i p o r u s z a j ą s i o w p r o s t o k ą t n e j p r z e s t r z e n i X ( rys. 2 )>
w k t ó r e j z n a j d u j e s i e p e w n a l i c z b a lp p r z e s z k ó d Pj c X, g d z i e i - n u mer p r z e s z k o d y .Z a k ł a d a m y , ż e p r z e s z k o d y s ą w i e l o k ą t a m i w y p u k ł y m i . W ó w c z a s p r z e s z k o d a Pj m o ż e b y ć o p i s a n a p r z e z p o d a n i e z b i o r u jej w i e r z c h o ł k ó w . Z a k ł a d a m y r ó w n i e ż , ż e p r z e s z k o d y n i e poruszają sie.
Na m a p ę M s k ł a d a j ą sie: o p i s p r z e s t r z e n i X "i o p i s z n a n y c h p r z e s z k ó d F: : M = < X, P >.
O z n a c z m y p r z e z Uj j c i ą g s t e r o w a ń u n d o p r o w a d z a j ą c y i-ty w ó z e k o d punktu p o c z ą t k o w e g o p Q d o p u n k t u k o ń c o w e g o
Uj j = [ U j , u 2 , . . . ,uN i j ],
O s t a t e c z n i e z a d a n i e s t e r o w a n i a g r u p ą r u c h o m y c h r o b o t ó w z u w z g l ę d n i e n i e ® u n i k a n i a k o l i z j i i d y n a m i k i i c h r u c h u m o ż e m y z d e f i n i o w a ć n a s t ę p u j ą c o : Z a d a n i e s t e r o w a n i a .
D l a d a n e j m a p y o b s z a r u Mj w k t ó r y m p o r u s z a j ą s i e r o b o t y , modelu ( u w z g l ę d n i a j ą c e g o d y n a m i k ę ) r o b o t ó w ( 1 ), i c h p o ł o ż e ń p o c z ą t k o w y c h - oraz d a n e g o z b i o r u z a d a ń t r a n s p o r t o w y c h d o w y k o n a n i a Z, n a l e ż y z n a l e ź ć :
c i ą g s t e r o w a ń U — d l a k a ż d e g o z a d a n i a t r a n s p o r t o w e g o , k t ó r y zapewnia d o j e c h a n i e z p u n k t u p o c z ą t k o w e g o d o k o ń c o w e g o ( tzn. do o t o c z e n i a p u n k t u k o ń c o w e g o o p r o m i e n i u ) b e z k o l i z j i z p r z e s z k o d ą lub i n n y m w ó z k i e m o r a z b e z w y j e c h a n i a p o z a o b s z a r X, w t a k i s p o s ó b , a b y czas p r z e j a z d u T był j a k n a j m n i e j s z y . W y m a g a s i e p o n a d t o , a b y p r i o r y t e t y zadań b y ł y p r z e s t r z e g a n e , a p r ę d k o ś ć w ó z k a p o d o j e c h a n i u d o o t o c z e n i a punktu k o ń c o w e g o o p r o m i e n i u b y ł a m n i e j s z a o d z a d a n e j w a r t o ś c i e , tzn.
PC T ) S , v .
2. A l g o r y t m y s t e r o w a n i a g r u p a r u c h o m y c h r o b o t ó w
A l g o r y t m z a k ł a d a z n a j o m o ś ć w s z y s t k i c h z a d a ń t r a n s p o r t o w y c h Zjj. Wyznacza o n k o l e j n o s t e r o w a n i a z a p e w n i a j ą c e w y k o n a n i e p r z e z w ó z k i z a d a ń z u w z g l ę d n i e n i e m m o m e n t ó w p o c z ą t k o w y c h , o d k t ó r y c h m o ż e s i ę rozpocząć w y k o n y w a n i e z a d a n i a , o r a z p r i o r y t e t ó w z a d a ń . P r z y w y z n a c z a n i u sterowania p r z y j m u j e m y , ż e k o l i z j a n a s t ę p u j e , j e ś l i p o ł o ż e n i a d w ó c h w ó z k ó w r ó ż n i ą się m n i e j n i ż z a d a n a w a r t o ś ć . A l g o r y t m m o ż e p r z y t y m p r z e w i d y w a ć k o l i z j e na k i l k a k r o k ó w n a p d r z ó d , c o z w i ę k s z a e f e k t y w n o ś ć u z y s k i w a n e g o rozwiązania.
J e ś l i m i a ł a b3' n a s t ą p i ć k o l i z j a , a l g o r y t m m o d y f i k u j e s t e r o w a n i e w ó z k i e m o n i ż s z y m p r i o r y t e c i e w t e n s p o s ó b , a b y w y m i n ą ć w ó z e k o w y ż s z y m priorytecie, u w z g l ę d n i a j ą c j e g o k i e r u n e k j a z d y i prędkość. A l g o r y t m m a następującą p o s t a ć :
A l g o r y t m 1'
1. W y b i e r z t o z z a d a ń , d l a k t ó r e g o n i e o b l i c z o n o j e s z c z e s t e r o w a n i a , które m a n a j w i ę k s z y p r i o r y t e t . O z n a c z m y t o z a d a n i e p r z e z z^j.
2. Z n a j d ź w ó z e k , k t ó r y m a r e a l i z o w a ć to z a d a n i e i o b l i c z s t e r o w a n i e Ujj, r e a l i z u j ą c e to z a d a n i e , k o r z y s t a j ą c z a l g o r y t m u w y z n a c z a n i a sterowani«
j a z d ą p o j e d y n c z e g o w ó z k a ł . P r z y t j m p o ł o ż e n i a , j a k i e m a j a wózki ,®
w y z n a c z o n y c h j u ż t r a j e k t o r i a c h , w o k r e ś l o n y c h m o m e n t a c h c z a s u sa t r a k t o w a n e w t a k i s a m s p o s ó b , j a k p r z e s z k o d y s t a ł e . J e ś l i wyznaczane s t e r o w a n i e m i a ł o b y d o p r o w a d z i ć d o k o l i z j i z i n n y m w ó z k i e m , którego t r a j e k t o r i a j e s t j u ż z n a n a , n i e j e s t o n o b r a n e p o d u w a g ę .
Algorytmy s t e r o w a n i a g r u p a
231
3. P o w t a r z a j p u n k t y 1 i 2 a ż d o w y z n a c z e n i a s t e r o w a n i a s t e r o w a n i a d l a w s z y s t k i c h z a d a ń t r a n s p o r t o w y c h d o w y k o n a n i a .
Algorytm ł p m a za z a d a n i e w y l i c z e n i e s t e r o w a n i a r e a l i z u j ą c e g o p o j e d y n c z e zadanie t r a n s p o r t o w e . S k ł a d a s i o o n z d w ó c h kroków.:
Krok 1. P o l e g a n a w y z n a c z e n i u n a j k r ó t s z e j w s e n s i e g e o m e t r y c z n y m d r o g i ł ą c z ą c e j p u n k t p o c z ą t k o w y i k o ń c o w y , k t ó r a o m i j a p r z e s z k o d y i w ó z k i o j u ż u s t a l o n y c h t r a j e k t o r i a c h . D r o g a t a p r z y p r z y j ę t y c h z a ł o ż e n i a c h d o t y c z ą c y c h p r z e s z k ó d ( r e p r e z e n t o w a n y c h p r z e z w i e l o k ą t y ) j e s t ł a m a n a o w i e r z c h o ł k a c h w w i e r z c h o ł k a c h p r z e s z k ó d . Krok 2. Z n a l e z i e n i e c i ą g ó w s t e r o w a ń p o z w a l a j ą c y c h w m o ż l i w i e k r ó t k i m
c z a s i e p r z e j e c h a ć m i e d z y k o l e j n y m i w i e r z c h o ł k a m i ł a m a n e j . P r z y t y m j a k o s t a n p o c z ą t k o w y p r z e d p r z e j e c h a n i e m k o l e j n e g o o d c i n k a p r z y j m u j e s i ^ s t a n , j a k i z o s t a ł o s i ą g n i ę t y p o z a k o ń c z e n i u p r z e j a z d u p o p r z e d n i e g o o d c i n k a . Z a k o ń c z e n i e p r z e j a z d u o d c i n k a n a s t ę p u j e p o z b l i ż e n i u s i ę d o p u n k t u k o ń c o w e g o t e g o o d c i n k a n a o d l e g ł o ś ć m n i e j s z ą o d z a d a n e j l i c z b y . Z a t e m p r z y j m u j e s i ę p e w n ą t o l e r a n c j ę p o ł o ż e n i a o r a z n i e n a k ł a d a o g r a n i c z e ń n a p r ę d k o ś ć i k ą t y ct i o na k o ń c u o d c i n k a , j e ś l i n i e j e s t t o o d c i n e k k o ń c o w y .
R e a l i z a c j a k r o k u 1 z o s t a ł a o p a r t a n a m e t o d z i e z b l i ż o n e j d o m e t o d y podziałów i o g r a n i c z e ń . D o k ł a d n y o p i s a l g o r y t m u m o ż n a z n a l e ź ć w [ 2 ].
Dó r o z w i ą z a n i a p r o b l e m u p r z e j a z d u p o m i ę d z y k o l e j n y m i w i e r z c h o ł k a m i wyznaczonej w p i e r w s z y m e t a p i e m e t o d y ł a m a n e j o r a z z a t r z y m a n i a w ó z k a w otoczeniu p u n k t u k o ń c o w e g o z a s t o s o w a n a z o s t a ł a r ó w n i e ż z m o d y f i k o w a n a metoda p o d z i a ł ó w i o g r a n i c z e ń . W k o l e j n y c h k r o k a c h a l g o r y t m u z n a j d u j e s i ę sterowanie m i n i m a l i z u j ą c e c z a s p r z e j a z d u m i e d z y d w o m a n a s t ę p u j ą c y m i p o sobie w i e r z c h o ł k a m i ł a m a n e j , k t ó r e m o ż e m y o z n a c z y ć p r z e z x g i x e - W pierwszym k r o k u s z u k a m y s t e r o w a n i a m i n i m a l i z u j ą c e g o c z a s p r z e j a z d u m i ę d z y punktem s t a r t o w y m i p i e r w s z y m w i e r z c h o ł k i e m ł a m a n e j , t j . x s= Xq i x e =x ^ . W ostatnim k r o k u x e = x y w c z a s i e w y z n a c z a n i a s t e r o w a n i a m i n i m a l i z u j ą c e g o c z a s przejazdu m i e d z y d w o m a z a d a n y m i w i e r z c h o ł k a m i ł a m a n e j w k r o k u m + 1 r o z p a t r u j e m y z b i o r y s t e r o w a ń r o z p o c z y n a j ą c e s i ę o k r e ś l o n ą s e k w e n c j ą sterowań o d ł u g o ś c i m. M a j ą c d a n y w e k t o r s t a n u w ó z k a n a p o c z ą t k u j a z d y , model w ó z k a i s e k w e n c j ę s t e r o w a ń , m o ż e m y w y z n a c z y ć p o ł o ż e n i e w ó z k a
^ J u z y s k a n e p o w y k o n a n i u d a n e j s e k w e n c j i s t e r o w a ń . D l a wszystkich t a k o k r e ś l o n y c h c i ą g ó w s t e r o w a ń o k r e ś l a m y o s z a c o w a n i e q f u n k c j i Kryterialnej Q (tj. c z a s u p r z e j a z d u m i e d z y k o l e j n y m i w i e r z c h o ł k a m i ł a m a n e j ) jako
P m a x - m a k s y m a l n a p r ę d k o ś ć l i n i o w a w ó z k a , c > 1 - w s p ó ł c z y n n i k k a r y .
Dodanie w s p ó ł c z y n n i k a k a r y z a o d l e g ł o ś ć p o w o d u j e , ż e p r z y w y b o r z e z b i o r u d o podziału w k o l e j n y m k r o k u p r z e s z u k i w a n i a p r e f e r o w a n e s a t r a j e k t o r i e d o p r o w a d z a j ą c e w p o b l i ż e p u n k t u d o c e l o w e g o , n a w e t , j e ś l i r z e c z y w i s t e
q ■= At _ + c m
p m a x gdzie;
A t m - c z a s p o t r z e b n y n a p r z e j a z d o d p u n k t u p o c z ą t k o w e g o ( w i e r z c h o ł k a ł a m a n e j ) d o p u n k t u x m ( p o m t a k t a c h s t e r o w a n i a ) , A t m = m At, A t - d ł u g o ś ć t a k t u s t e r o w a n i a ,
232 G.Pust
o s z a c o w a n i e c z a s u j e s t d l a n i c h g o r s z e . B e z w p r o w a d z e n i a w s p ó ł c z y n n i k a kary c m e t o d a b y ł o b y n i e e f e k t y w n a - p r z e s z u k i w a n y b y ł b y z b y t o b s z e r n y zbiór s t e r o w a ń i cz a s d z i a ł a n i a a l g o r y t m u b y ł b y z b y t długi.
D o d a t k o w y m p r o b l e m e m z w i ą z a n y m z d y n a m i k a w ó z k a j e s t w y m a g a n i e osiągnięcia p u n k t u d o c e l o w e g o j a z d y [xk ^ • x k ^ 3 o p r o m i e n i u e k w t e n s p o sób, aby k o ń c o w a p r ę d k o ś ć b y ł a m n i e j s z a od z a d a n e j z g ó r y w a r t o ś c i e v - A b y zapewnić s p e ł n i e n i e t e g o w y m a g a n i a , p o d o j e c h a n i u p r z e z w ó z e k w otoczenie punktu k o ń c o w e g o o p r o m i e n i u c^, s t o s o w a n a j e s t n o w a p o s t a ć qj, f u n k c j i
k r y t e r i a l n e j i :
= At m
♦ < 4 2)- 4 2)>2 1 raax
+ b
1
gdzie:
p m - l i n i o w a p r ę d k o ś ć w ó z k a p o m k r o k a c h s t e r o w a n i a , h - w s p ó ł c z y n n i k k a r y za p r ę d k o ś ć .
T a k wiecj,'. a l g o r y t m w k o l e j n y c h k r o k a c h d o k o n u j e p o d z i a ł u z b i o r u sterowań r o z p o c z y n a j ą c y c h sio od o k r e ś l o n e j s e k w e n c j i m+1 e l e m e n t o w e j . J a k o nowy e l e m e n t s e k w e n c j i d l a k a ż d e g o n o w e g o z b i o r u p r z y j m u j e s i ę j e d n o ze sterowań n i e d o p r o w a d z a j ą c y c h d o k o l i z j i z p r z e s z k o d y . D a n y m i w e j ś c i o w y m i dla a l g o r y t m u są: k o l e j n e w i e r z c h o ł k i ł a m a n e j X Q , x , , . . . , x k . w a r t o ś ć początkowa w e k t o r a s t a n u o r a z m o d e l w ó z k a .
A l g o r y t m m o ż n a z d e f i n i o w a ć n a s t ę p u j ą c o : 1. P o d s t a w x„=*xn , x =x. .
s U e 1
£. J a k o o s z a c o w a n i e f u n k c j i k r y t o r i a l n e j p r z y j m u j e m y o d l e g ł o ś ć m i ę d z y i x^.
3. W y z n a c z a m y z b i ó r w s z y s t k i c h s t e r o w a ń d o p u s z c z a ł n y c h w d a n y m kroku.
4. W y b i e r a m y po d z b i ór o m i n i m a l n e j w a r t o ś c i : aj q . j eśl i
i
b> gj w p r z y p a d k u p r z e c i w n y m .
5. J e ś l i o s t a t n i p u n k t o s i ą g n i ę t y p r z e z w ó z e k n a l e ż y do o t o c z e n i a punktu Xj. o p r o m i e n i u c.k , p r z e j d ź d o 7.
6. Wybrany' z b i ó r p o d z i e l n a p o d z b i o r y s e k w e n c j i s t e r o w a ń o d ł u g o ś c i m+1, i k t ó r y c h p i e r w s z e m j e s t '¡identyczne j a k w z b i o r z e w y j ś c i o w y m . Dla tak u z y s k a n y c h p o d z b i o r ó w w y z n a c z p u n k t y i o s z a c o w a n i a q lub q j . P r z e j d ź d o 3.
7. J e ś l i x e = * k i P S e v , z a k o ń c z w y k o n y w a n i e a l g o r y t m u . J e ś l i x g = Xy. i p > c v , p r z e j d ź do 6.
8. P o d s t a w Ig — Xg , x g = x n + j i p r z e j d ź do 2.
Algorytmy s t e r o w a n i a g r u p a 233
3. O m ó w i e n i e w y n i k ó w b a d a n s y m u l a c y j n y c h p r z e b i e g u s t e r o w a n i a p r z y u życiu o p i s a n y c h a l g o r y t m ó w
Jak w s p o m n i a n o , za p o m o c ą o p r a c o w a n e j m e t o d y o t r z y m u j e sie r o z w i ą z a n i e suboptymalne. M i a r a E t r a t y o p t y m a l n o ś c i w y n i k a j ą c e j z p r z y b l i ż o n e g o rozwiązania d r u g i e g o e t a p u m e t o d y m o ż e b y ć n a s t ę p u j ą c y w s p ó ł c z y n n i k :
f i " *
*"met ^ o p t
* o p t
gdzie: t Q - c z a s przejścia", wg; s t e r o w a n i a o p t y m a l n e g o ,
* m e t ~ c z a s u z y s k a n y p r z y s t o s o w a n i u s t e r o w a n i a w y z n a c z o n e g o p r z e z a l g o r y t m .
N i e s t e t y , s t e r o w a n i e o p t y m a l n e * a z a t e m i cz a s t ^ nie s a znane.
Wspó ł c z y n n i k m o ż n a j e d n a k o s z a c o w a ć od góry, z a m i e n i a j ą c c z a s t t p r z e z jego d o l n e o g r a n i c z e n i e
, s
t ° P t ° ~ P ~ a i
gdzie? s - d ł u g o ś ć n a j k r ó t s z e j g e o m e t r y c z n i e d r o g i od p u n k t u s t a r t o w e g o d o celu,
P m 6 X - m a k s y m a l n a p r ę d k o ś ć ? j a k ą m o ż e o s i ą g a ć robot.
Obecnie p r z e d s t a w i m y s p o s t r z e ż e n i a o d n o ś n i e do w y n i k ó w o t r z y m a n y c h d l a pr z y k ł a d o w y c h p r z y p a d k ó w s t e r o w a n i a j e d n y m w ó z k i e m .
Wartość w s pół c z y n n i k a w b a r d z o d u ż y m s t o p n i u z a l e ż y od k o n f i g u r a c j i przeszkód i p o ł o ż e n i a punktif s t a r t o w e g o i k o ń c o w e g o . P r z e p r o w a d z o n o b a d a n i a dla r ó ż n y c h k o n f i g u r a c j i p r z e s z k ó d i o t r z y m a n o ^ w z a k r e s i e 0.01 - 0.8. D l a zadanej k o n f i g u r a c j i m o ż n a s t w i e r d z i ć pewna, z a l e ż n o ś ć w s p ó ł c z y n n i k a i c z a s u realizacji a l g o r y t m u w y z n a c z a n i a s t e r o w a n i a od d ł u g o ś c i t a k t u s t e r o w a n i a i doboru w s p ó ł c z y n n i k a k a r y c. Z w i ę k s z a n i e d ł u g o ś c i t a k t u sterowania p o w o d u j e zwiększenie w a r t o ś c i w s p ó ł c z y n n i k a , ale- r ó w n o c z e ś n i e z m n i e j s z a s i ę c z a s obliczeń. P r z y k ł a d o w e w y n i k i d l a o k r e ś l o n e j k o n f i g u r a c j i p r z e s z k ó d prze d s t a w i o n e j n a r y s u n k u 3 i s t a ł e j w a r t o ś c i p o z o s t a ł y c h p a r a m e t r ó w przedstawia t a b e l a 2.1.
£ T: 0. 0 ? 0 . 2 0 . 0.7 0.9
A
t i ! 0.1 0.3 1.0 1.5fl [: 0 . 0 6 0. 0 7 0 . 3 8 0 . 7 9
t ! 37 21 15 13
lab 2.1 Z a l e ż n o ś ć w s p ó ł c z y n n i k a ^ i c z a s u r e a l i z a c j i a l g o r y t m u t o d d ł u g o ś c i t a k t u s t e r o w a n i a At
Wartość p o z o s t a ł y c h p a r a m e t r ó w a l g o r y t m u b y ł a n a s t ę p u j ą c a : a = 0 . 5 m , r= 0 . 0 5 m , VfO.35.Nm, W = 0 . 7 r d / s , Q =0 . 2 m , k f = 0 .4, c = 5 , cCc =0 , f c =0. Z w i ę k s z a n i e t a k t u sterowania w y m a g a p r o p o r c j o n a l n e g o z w i ę k s z a n i a £. J e ś l i ta k t s t e r o w a n i a je s t duży. a C m a ł y to z n a c z n i e w y d ł u ż a się c z a s o b l i c z e ń . E k s p e r y m e n t a l n i e stwierdzono, ze z a l e ż n o ś ć p o m i ę d z y t a k t e m s t e r o w a n i a a C p o w i n n a jak
2 3 * G.Pusi
p o p r z e d n i o , b y ć n a s t ę p u jajca:
£ = s A t-V.
S t w i e r d z o n o , ż e z m i a n a w s p ó ł c z y n n i k a k a r y m a n i e w i e l k i w p ł y w ni o s i ą g n i ę t y c z a s s t e r o w a n i a . C h a r a k t e r y s t y c z n e j e s t , ż e p r z y zmniejszani»
w s p ó ł c z y n n i k a k a r y c p o n i ż e j 1.5 n a s t ę p u j ę g w a ł t o w n e z w i ę k s z e n i e czasu r e a l i z a c j i a l g o r y t m u p o w y ż e j w a r t o ś c i p r a k t y c z n i e a k c e p t o w a l n y c h . Niekiedy o k a z u j e s i ę n a w e t , ż e z w i ę k s z e n i e w s p ó ł c z y n n i k a k a r y p o p r a w i a wynik.
P r z y k ł a d o w e w y n i k i p o k a z u j e t a b e l a 2.2.
! c i
« i 1 . 0 5 1.1 1.2 3 5
! t
J m e t ! 1 8 . 2 1 8 . 7 1 9 . 4 20.1 20. 2
1 1
i 1 0 . 1 2 0 . 1 2 0 . 2 6 0 . 2 8 0 . 2 8
1 t 1 215 97 53 34 34
T.ab.2. Zależność czasu sterowania t . i czasu realizac ii alcoryt-mu m e t
vryznaczania sterowania t od współczynnika leary c
P r o b l e m e m z w i ą z a n y m z d y n a m i k a j e e t w y b ó r t a k i e g o o t o c z e n i a punktu k o ń c o w e g o p o o s i ą g n i ę c i u k t ó r e g o r o z p o c z y n a s i e h a m o w a n i e r o b o t a taX, a b y p r ę d k o ś ć k o ń c o w a b y ł a r ó w n a z e ru. P r z y j ę c i e za d u ż e j w i e l k o ś c i powoduje s t r a t y z w i ą z a n e ze z b y t d ł u g i m c z a s e m j a z d y i o b l i c z e ń , a zb y t małej p r o w a d z i d o p r z e j e c h a n i a p o z a p u n k t k o ń c o w y .
O b e c n i e p r z e d s t a w i o n e z o s t a n ą w n i . s k i d o t y c z ą c e s t e r o w a n i a grupa, r o b o t ó w . Na r y s u n k a c h p r e d f i a w i o r o t r a j e k t o r i e r o b o t a d l a dwóch c h a r a k t e r y s t y c z n y c h przv;,a.!kr- m o z i w o f c i k o l i z j i : p i e r w s z y ^ k i e d y robot.’
j a d ą d o k ł a d n i e n a p r z e c i w s o b i e i m o g ł y b y s i e z d e r z y ć c z o ł o w o , a drugi, tfd) z b l i ż a j ą s i ę p o ć k ą t e m z b l i ż o n y m d o p r o s t e g o . W p o r ó w n a n i u z a l g o r y t m s t e r o w a n i a j e d n y m r o b o t e m i ydł u / ć s i ę c z a s o b l i c z e ń , p r z y c z y m w pevfi:yc^
Rys. 4. U n i k a n i e z d e r z e n i a czołowego z i n n y m w ó z k i e m
Fig. 4. A v o i d a n c e of h e a d - o n col-lisic«
w i t h a n o t h e r c a r R y s . 3. W y m i j a n i e p r z e s z k ó d s t a ł y c h
Fię.3. A v o i d a n c e o f fixed o b s t r a c l e s
Algorytmy sterowania grupa
235
sytuacjach w y d ł u ż e n i e j e s t z n a c z n e i s t a n o w i p r o b l e m . J e s t to s p o w o d o w a n e faktem, ż e a l g o r y t m p r z e s z u k u j e b a r d z o s z e r o k i e z b i o r y s t e r o w a ń we wszystkich k i e r u n k a c h , w t y m w k i e r u n k a c h , w k t ó r y c h j e d z i e d r u g i rob o t , co prowadzi d o n a s t ę p n e j m o ż l i w o ś c i k o l i z j i w j e d n y m z n a j b l i ż s z y c h k r o k ó w . Z tego w z g l ę d u a l g o r y t m z o s t a ł u z u p e ł n i o n y w t e n s p o s ó b , a b y n i e w s z y s t k i e kierunki u n i k n i ę c i a k o l i z j i b y ł y b r a n e p o d uw a g o . A l g o r y t m w y l i c z a ka,t niędzy k i e r u n k a m i j a z d y r o b o t ó w i z a b r o n i o n e sa s t e r o w a n i a p r o w a d z ą c e p o z a n a j k o r z y s t n i e j s z y k i e r u n e k u n i k a n i a k o l i z j i . W t e n s p o s ó b u z y s k a n o lep s z e unikanie k o l i z j i p r z y j e d n o c z e s n y m z m n i e j s z e n i u c z a s u o b l i c z e ń . A l g o r y t m unikania k o l i z j i m o ż n a p r z y t y m p r ó b o w a ć d a l e j u d o s k o n a l i ć tak, a b y u z y s k a ć bardziej p ł y n n y p r z e b i e g t r a j e k t o r i i p r z y o m i j a n i u d r u g i e g o r o b o t a , niż przebiegi p r z e d s t a w i o n e n a r y s u n k a c h . J e s t to z a d a n i e d o r o z w i ą z a n i a w dalszych p r a c a c h .
Wymijanie i n n y c h r o b o t ó w p o w o d u j e , ż e d ł u g o ś ć t r a j e k t o r i i r o b o t a d l a jazdy od p u n k t u p o c z ą t k o w e g o d o k o ń c o w e g o j e s t d ł u ż s z a ( c z a s a m i z n a c z n i e ) niż d ł u gość t r a j e k t o r i i L d l a j a z d y p o j e d y n c z e g o r o b o t a . W y d ł u ż e n i e to silnie z a l e ż y o d u k ł a d u p u n k t ó w p o c z ą t k o w y c h , k o ń c o w y c h , p r z e s z k ó d s t a ł y c h i ilości r o b o t ó w .
Drugim p o d s t a w o w y m p r o b l e m e m , j a k i p o j a w i a s i o p r z y s t e r o w a n i u g r u p ^ wózków, j e s t p r o b l e m z n a l e z i e n i a e f e k t y w n e g o a l g o r y t m u h e u r y s t y c z n e g o przeszukiwania d r z e w a r o z w i ą z a ń . A l g o r y t m t a k i p o w i n i e n z a p e w n i ć m o ż l i w o ś ć wycofania s i ę z d r o g i , k t ó r a m i m o d ł u g o t r w a ł y c h p o s z u k i w a ń n i e d a j e polepszenia r e z u l t a t u . T a k ż e t e n a l g o r y t m b e d z i e d o s k o n a l o n y w d a l s z y c h pracach. M a o n p o d s t a w o w e z n a c z e n i e , p o n i e w a ż j e g o p o l e p s z e n i e p o z w a l a na zmniejszenie c z a s u o b l i c z e ń o r a z w y m a g a ń c o d o w i e l k o ś c i p a m i ę c i k o m p u t e r a realizującego a l g o r y t m .
O .
¡k w 2
a
Rys. 5. U n i k a n i e k o l i z j i p r z e z g r u p o r u c h o m y c h rob o t ó w . Fig.5. A v o i d a n c e o f collisions in a g r o u p o f m o v i n g r o b o t s
Podsumowując Jxzyskan^ wyniki', o p r a c o w a n y a l g o r y t m p o z w a l a na s t e r o w a n i e grupaj r u c h o m y c h r o b o t ó w z u n i k a n i e m k o l i z j i w o b e c n o ś c i p r z e s z k ó d , p r z y
236 G.Pust
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LITERATURA
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R e c e n z e n t : P r o f .dr inż.H.Kowalowski W p ł y n ę ł o d o Redakcji do 1990-04-30.
C O L L I S I O N A V O I D A N C E C O N T R O L F O R T H E G R O U P O F M O B L E R O B O T S
S u m m a r y
In t h e p a p e r t h e control o f a g r o u p o f mobile r o b o t s m o v i n g in the c o n s t r a i n e d s p a c e w i t h o b s t a c l e s is considered. T h e d y n a m i c p r o p e r t i e s of r o b o t s m o t i o n a r e t a k e n into account. T h e p r o b l e m f o r t h e r o b o t s is t o move f r o m t h e s t a r t p o i n t s t o e n d points, avoiding collision w i t h t h e obstacles a n d o t h e r r o b o t s , in a m i n i m u m time. T h e p a p e r d e s c r i b e s t h e p r o p e r t i e s of t h e w o r k e d o u t heuristic cont r o l algorithm.
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