Pewne uwagi dotyczące oceny jakości modelowania procesu fizycznego

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

S e r i a : GÓRNICTWO z. 205 Nr k o l. 1179

1992

Bogdan DŻEGNIUK Eugeniusz BOBULA Wiesław PIWOWARSKI

I n s t y t u t G e o d e z ji G ó r n ic z e j i P rzem ysłow ej AGH, Kraków

PEWNE UWAGI DOTYCZĄCE OCENY JAKOŚCI MODELOWANIA PROCESU FIZYCZNEGO

S tr e sz c z e n ie . W p ra c y p rz e d s ta w io n o pewne w arunki oceny ja k o ś c i o p i­

s u p r o c e s u . K o r z y s t a ją c z t e o r i i m nogości, że p o w szech n ie sto so w an a - Jak o o c e n a - m ia ra b łę d u w edług m etody n a jm n ie js z y c h kw adratów n i e j e s t w sk aźn ik iem w y s ta rc z a ją c y m . S tą d r o z s z e rz o n o k r y te r iu m o ceny o m ia rę z b ie ż n o ś c i c ią g u pochodnych. Wprowadzono ró w n ie ż w arunek m in i­

m a l i z a c j i f u n k c jo n a łu ko sztó w . Sform ułow ane k r y te r iu m s ta n o w ić może od­

n i e s i e n i e porów nawcze d l a t e o r i i ruchów g ó ro tw o ru .

REMARKS ON A PHYSICAL PROCESS MODELLING QUALITY ESTIMATION

Summary. The p a p e r d e a l s w ith some c o n d it io n s o f a p r o c e s s d e s c r i p ­ t i o n e s t i m a t i o n . H aving fo llo w e d th e s e t th e o r y i t was i n d i c a t e d t h a t th e common e r r o r m easure - a p p li e d a c c o r d in g t o th e l e a s t s q u a r e s m ethod a s an e s t i m a t i o n - i s n o t a s u f f l e i e n t in d e x . Hence th e e s t i m i - t a t i o n c r i t e r i o n was b ro a d e n e d by th e c o n v e rg e n c e o f d e r i v a t i v e s . The c o n d i t i o n o f c o s t f u n c t i o n a l m in im iz a tio n was a l s o in tr o d u c e d . The f o r ­ m u la te d c r i t e r i o n may c o n s t i t u t e a co m p a riso n f o r th e th e o r y o f ro c k - m ass movement.

HEKOTOPHE 3AMEHAHHH, KA.CAKXQŒCH OljEHKH KA^ECTBA M0JCEJIHPOBAHHH $H 3H H EC K 0r0 IIPOUECCA

Pe3ioMe. B p aô o ie npe.ncTaB.neHH neicoTopue j t c j i o b h h oneHKH KaqecSBa onHC&HHA npoiiecca. Hcnojii>3ya Teopmo UHOxeciB, aB -

*opH noKa3ajiH, h t o mapoito npaneiweMaa b KaaecTBe ouemca Mepa norpemHocTH no Meiony HaftMeHBmax KBaflpaioB, ne h b j i h - exca AOCTaxornuu noKasaxeaeu. n o o i o u y b KpaTepaM onemcH ObUia BKjnoweHa TaKxe Mepa c x o a h m o c t h nocnenoBaiejibHocTeit npoH3BOflHHx. Bujio Taicace seneHO ycjioBHe unHHunsaiiHH $yHKuao- HaJia pacxoflOB. C$opMyjiapoBaHHHit K paiepaii u o xe i C^{h t b} cpaBHH- zejibHhiM oiHeceHHeM ,h,jih teo p aa c flBHaceHHit ropHoro tiaccHBa,

104 B. Dźegnluk, E. Bobula, W. Piwowarski

1. WPROWADZENIE

Z a g a d n ie n ie o p isó w i a n a l i z ideow ych w ie lu - z a s a d n ic z y c h d l a z a s to s o w a ń - problem ów p ro w a d z ić m uszą do p o szu k iw ań o p ty m a liz u ją c y c h d ro g ą z m i e r z a j ą c ą do o cen y w a r t o ś c i r e a l n e g o z d a r z e n i a o r a z p o s i a d a ją c e g o c h a r a k t e r y s t y c z n e , m ie­

r z a l n e p a ra m e tr y ' i o p i s te o r e ty c z n y .

P ro b lem u z g o d n ie n ia o p is u te o r e ty c z n e g o ( n i e k o n ie c z n i e je d y n e g o ) z r e a l n i e i s t n i e j ą c y m z d a rz e n ie m (p o s ia d a ją c y m m i e r z a l n e c e c h y ) j e s t , j a k t o s i ę po w ie lu d o ś w ia d c z e n ia c h o d n o ś n ie do t e j p ro b le m a ty k i O k a z a ło , z a g a d n ie n ie m skom plikow anym i trudnym w s e n s i e je d n o z n a c z n o ś c i.

Na o g ó ł rozważmy pewną r z e c z y w is to ś ć mocy co n tin u u m , o k t ó r e j in f o r m a c je , j a k i e p o sia d a m y , s ą zadanym (uzyskanym w w yniku p o m ia ru lu b a p ro k s y m a c ji pom iarów ) z b io re m pewnych w a r to ś c i d y s k r e tn y c h . Na e t a p i e m odelow ania p ro c e s u staw iam y z a s a d n i c z e p y t a n i e d o ty c z ą c e z g o d n o ś c i t e o r i i z r e a l n i e m ierzonym i w a r to ś c ia m i z ja w is k a , a p o n a d to k w e s tię w yboru o p is u o p ty m a ln e g o .

Z k o l e i słow o o p ty m a ln y t e ż może i e ć w i e le o d n i e s ie ń , je g o z d e f i n io w a n ie w y n ik a z r e g u ł y ja k o e f e k t m i n i m a l i z a c j i o d p o w ied n io w prow adzonego f u n k c j o ­ n a łu k o sz tó w .

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Z ałóżm y ż e w pewnym o b s z a r z e £2 u z y s k a liś m y z a d o w a la ją c ą zg o d n o ść w yni­

ków o p is u te o r e ty c z n e g o z w a r to ś c ia m i o d p o w ie d n ic h w i e l k o ś c i f i z y k a ln y c h , o trz y m a n y c h n a p o d s ta w ie p o m iaru . P rz y czym te r m in " z a d o w a la ją c a zg o d n o ść"

może o z n a c z a ć t u w ie lk o ś ć b łę d u w ro z u m ie n iu m etody " n a jm n ie js z y c h kw ad ra­

tów" .

W s p o s ó b n a t u r a l n y z a c h o d z i p y t a n i e , j a k w ia ry g o d n a j e s t t u u ż y ta t o r i a ( t e o r i e ) w s e n s i e p o ró w n a n ia wyników, m odelow ania p r o c e s u z w ynikam i p o m iaru w o b s z a r z e £2. P o n a d to , na i l e z a sto s o w a n a t e o r i a może aproksym ow ać z b ió r w i e lk o ś c i m ie r z a ln y c h ( w ie l k o ś c i ty p u c o n tin u u m ) p o za o b szarem £2.

N ie j e t ła tw o o d p o w ie d z ie ć p r e c y z y j n i e n a t a k p o s ta w io n e p y ta n i e . W d a l ­ s z e j c z ę ś c i p o s łu ż o n o s i ę pewnym p rz y k ła d e m .

Pewne uwagi dotyczące oceny. 105

3. PRÓBA ANALIZY PROBLEMU

P rzypom nijm y p ew ien p a ra d o k s znany w t e o r i i m nogości punktow ych [1 ] . Mamy do c z y n ie n i a z tr ó jk ą t e m p ro s to k ą tn y m . P o d z ie lim y w t r ó j k ą c i e p r z e c iw p r o s to - k ą tn ą n a "n" odcinków . P r z e z p u n k ty p o d z i a ł u poprow adzono p r o s t e ró w n o le g łe do obu p r z y p r o s to k ą tn y c h . N a s tę p n ie p o łą c z o n o k ażd e dwa n a j b l i ż s z e p u n k ty po­

d z i a ł u w zd łu ż l i n i i ró w n o le g ły c h do obydwu p r z y p r o s to k ą t n y c h ( r y s . 1 ).

x=n'Ax y=n-Ay c = n- Al

Rys. 1. Schem at p o ró w n an ia z b ie ż n o ś c i ciągów f u n k c j i ( y ( x )

A yn(s^

F ig . 1. D iagram o f " s u p p le m e n tin g " o f th e m easu rem en ts la c k i n g . O b s e rv a tio n r e s u l t s i n " j"**1 s e r i e s

Key: --- m easurem ent r e s u l t - - - a p p ro x im a tio n r e s u l t

U zyskujem y tzw . l i n i ę łam aną, k t ó r e j d łu g o ś ć j e s t rów na sum ie d łu g o ś c i p r z y ­ p r o s to k ą tn y c h . Z m ie rz a ją c z p o d z ia łe m n =* oo, wówczas l i n i a łam ana d ą ż y do p r z e c i w p r o s t o k ą t n e j, a j e j d łu g o ś ć j e s t c o n s t ( n i e z a l e ż n a od i l o ś c i punktów p o d z ia ł u " n " ) i j e s t sumą a l g e b r a i c z n ą d łu g o ś c i p r z y p r o s to k ą tn y c h . W ynikający z t e j k o n s t r u k c j i "w n io s e k ", że d łu g o ś ć p r z e c i w p r o s to k ą t n e j w t r ó j k ą c i e j e s t

106 B. Dżegniuk, E. Bobula, W. Piwowarski

rów na sum ie a l g e b r a i c z n e j d łu g o ś c i p r z y p r o s to k ą t n y c h (pomimo ż e d ą ż y do n i e j ) j e s t o c z y w iś c ie fa łs z y w y .

Można t o u z a s a d n ić t r y w i a ln ą a n a l i z ą w zoru na d łu g o ś ć k rz y w e j ( 1 ) .

1 - i n / 1 + P s Ą 2 d x - ( 1 )

a g d z ie :

krzyw a o p is a n a j e s t wzorem y = y ( x ) .

Z z a l e ż n o ś c i (1 ) w ynika, ż e d l a l i n i i ła m a n e j n i e i s t n i e j e pochodna w p u n k ta c h p o d z i a ł u i j e s t zerem p o za pu n k tam i p o d z ia ł u .

Zatem ja k o w n io se k - d łu g o ś ć ła m a n e j n i e p r z y b l i ż a d ł u g o ś c i k rz y w e j, n a ­ to m ia s t łam ana p r z y b l i ż a krzyw ą, d a l e j p r z y b l i ż a p o le pod krzyw ą (co w ynika z d e f . c a ł k i R iem anna). Wobec pow yższego k r y te r iu m w s e n s i e b łę d u metody n a jm n ie js z y c h kw adratów r ó ż n i c o d l e g ł o ś c i dwu krzyw ych p o zw ala o c e n ić ja k o ś ć m odelow ania w p o s t a c i z b ie ż n o ś c i danego c ią g u f u n k c j i .

W c e l u o p ty m a l i z a c j i o p is u n a le ż y u w z g lę d n ić z b ie ż n o ś ć j e j pochodnych. Wy­

n i k a j ą w ię c dwa k r y t e r i a : a ) max | y ( x ) - y n (x ) | = 0

n >* oo

b ) max | y ^ x ) - yp (x ) | = a ^

n => oo

g d z ie :

yn (x ) - c i ą g f u n k c j i z d ą ż a j ą c y do k rz y w e j y ( x ) .

I m p li k a c ją d o k o n a n e j a n a l i z y w z a k r e s i e o ceny o p ty m aln eg o o p is u t e o r e t y c z ­ nego j e s t m ia ra w ew nętrzna i z e w n ę trz n a d l a aproksym ow ania p o s z u k iw a n e j w i e l ­ k o ś c i .

Pow yższa (b a rd z o p r o s t a ) a n a l i z a dow odzi, ż e do o cen y j a k o ś c i o p is u t r z e b a w prow adzić p o j ę c i e m ia ry w e w n ę trz n e j i z e w n ę tr z n e j. S tą d d l a a p ro k s y m a c ji w ie lk o ś c i b ę d ą c e j fu n k c jo n a łe m zależn y m od k rz y w e j y = y ( x ) , optym alnym k r y ­ te r iu m j a k o ś c i o p is u j e s t z d ą ż a n ie obu m ia r (w e w n ę trz n e j i z e w n ę tr z n e j ) do t e j sam ej w a r t o ś c i .

W tym momencie n a le ż y z a z n a c z y ć , ż e sto so w a n a - ja k o m ia ra - w ie lk o ś ć b łę d u wg m etody n a jm n ie js z y c h kw adratów może o k a z a ć s i ę n ie w y s t a r c z a j ą c a , w p rz y p a d k u gdy o p i s d o ty c z y ró w n ie ż pochodnych j a k w (2 b ) . P o n a d to n a le ż y

Pewne uwagi dotyczące oceny. 107

p o d k r e ś l i ć , ż e m e t o d a n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w p o s i a d a i m p l i c i t e z a ł o ż e n i e o n o r m a l n o ś c i r o z k ł a d u b ł ę d ó w c o n i e z a w s z e j e s t s p e ł n i o n e .

W p r z y p a d k u f u n k c j i ( m o d e l u ) w i e l u a r g u m e n t o w y c h r o z w a ż a n i a m o ż n a p r z e ­

p r o w a d z i ć p o d o b n i e j a k d l a f u n k c j i j e d n o a r g u m e n t o w y c h , w p r o w a d z a j ą c k r y t e r i u m

z b i e ż n o ś c i r ó w n i e ż w y ż s z y c h p o c h o d n y c h . P o c i ą g a t o k o n i e c z n o ś ć o c e n y t e o r i i

( f u n k c j i a p r o k s y m u j ą c e j ) w e d ł u g z b i e ż n o ś c i c i ą g u d o f u n k c j i o r a z z b i e ż n o ś c i

i c h p o c h o d n y c h , c o m o ż n a z a p i s a ć n a s t ę p u j ą c o :

a ) m a x I f ( x ) - f (x) I => 0

1 n 1

n =» 00

(3)

b ) m a x I D P f ( x ) - I ^ f (x) I =» 0

1 n 1

n => 00

g d z i e :

D P

a + 0 + . . . + u = p x e R n

K r y t e r i u m (2) ( l u b 3 - f u n k c j a w i e l u z m i e n n y c h ) j e s t w z a s a d z i e w y s t a r ­

c z a j ą c e d o o c e n y j a k o ś c i m o d e l o w a n i a p r o c e s u .

J e ś l i z a c h o d z i k o n i e c z n o ś ć p o r ó w n a n i a d w ó c h ( l u b w i ę c e j ) mo d e l i d o t y c z ą ­

c y c h o k r e ś l o n e g o p r o c e s u , w ó w c z a s p o w y ż s z e k r y t e r i a o b o wi ą z u j ą - j e d n a k

b r a k u j e t u o c e n y w p ł a s z c z y ź n i e " e k o n o m i k i " m o d e l o w a n i a .

N a l e ż y w i ę c o c z e k i w a ć s p e ł n i e n i a t a k ż e k r y t e r i u m m i n i m a l i z a c j i f u n k c j o n a ł u k o s z t ó w p r z y j e g o o d p o w i e d n i m s f o r m u ł o w a n i u . Z a z w y c z a j p o d t y m t e r m i n e m r o z u m i e m y o p ł a c a l n o ś ć m e t o d y , c z y l i k o s z t p r z e p r o w a d z e n i a o p e r a c j i r a c h u n ­ k o w e j .

Z a ł ó ż m y , ż e d o o p i s u p r o c e s u d y s p o n u j e m y dwoma m o d e l a m i : i

F = 3 ( a , x )

1 (4)

f2 = 3 (0, x )

g d z i e :

a = ( a ^ . a ^ , . . . ) - z b i ó r p a r a m e t r ó w t e o r i i F^

0 = ( 0 , 0 2 > . . . ) - z b i ó r p a r a m e t r ó w t e o r i i F^, r

■ L

0X 3x

a p dx

108 B. Dżegniuk, E. Bobula, W. Piwowarski

5 - op e r a t o r odwzorowania, X e R 3 .

O b y d w a m od ele w wersji użyt ko w ej w y m a g a j ą u s t a l e n i a p e wnej ilości p a r a ­ m e t r ó w (a^) lub (0^). Jeżeli dim(a) > dim(0), w ó w c z a s p r o c e d u r a w y z n ac z en i a z b io ru p a r a m e t r ó w a jest tu bard zi e j złożona, a w i ę c czas p ot r z e b n y do w y ­ k onani a z adania dłuższy.

O z n a c z a j ą c p r z e z Ij, I2 ; tpj, tf2 odpowiednio:

IŁ ) “ funkcjonał k o s z t ó w zadania

tF l ^ tF2^ ~ c2as realizacji zadania w ó wcza s

V l ŁF2

V t F i ) - J Fj (. , t )dt; I2 (tF 2 ) =

J F2(

t0

gdzie:

{.) - uog ól n i o n e współrzędne, t - zmienna niez a l e ż n a (czas).

(5)

F u nk cjona ł ko s z t ó w jako k r yt e r i u m (5) w i n i e n o s i ą g a ć m i n i m u m - stąd o p e r a ­ tor relacji (a, s) rozstrzyga.

Za e f e k t y w n i e j s z y g l o ba l n i e u z n a j em y ten model, k t ó r y - spe łnia wa r u n e k (2) lub (3),

- m i n i m a l i z u j e funkcjona ł (5).

W p ra k t y c e niezm i e r n i e rzadko speł n io n e jest p r z e z j eden model s i lne m i n i ­ mum, z r e g u ł y o t r z y m u j e m y a l t e rn a ty w ę - w ó w c z a s n a d r z ę d n e w i nn o b y ć k r y t e ­ rium (2) lub (3).

4. ZAKO Ń C Z E N I E

W k o n t e k ś c i e p o w y ż s z y c h uwag nasu w a się pytanie, czy m o żl i wa jest g l o ­ baln a ocena, k t ó r a (z p ow s z e c h n i e s t o s ow a n y c h w p o l s k i m g ór n ictwie) teoria r uchów g ó r o t w o r u [2], [3] w sensie s fo r m u ł o w a n y c h k r y t e r i ó w jest e f e k t y w n i e j ­ sza (pomijając z g odność w e w n ę t r z n ą teorii).

Pewne uwagi dotyczące oceny. 109

S t wi erd zeni a generalnie jednoznac z n e go nie m ożna wyprowadzić. Jedynie o c e ­ ny lokalne (dotyczące k o nkret n yc h w a r u n kó w g ó r n i c z o - g eologicznych) są możliwe.

S p ec yfi ka p r z eds taw ionego p ro bl e mu - dok ł a d no ś ć o p i s u zjawiska j e s t tu szczególnie w a ż n ą cechą u t ylitar ną modelu, stąd k r y t e r i u m (2) lub (3) winno być głó wnie uwzględniane.

L ITERATURA

[1] B o b u l a E . : 0 o dwracalności procesów. P a ństwowe W y d a w n i c t w o Naukowe, W a r ­ s zawa (w druku).

[2] K n o t h e S . : R ów nan ie pr o f i l u o st atecznie wyk s zt a łc o n e j niecki osiadania.

A r chiwum G ór n i c t w a i H u tnictwa t. I, z. 1, 1953.

[3] K o c h m a ń s k i T . : O b l iczanie ruchów p u n k t ów g ó r ot w o r u pod w p ł y w e m e k s p l o a t a ­ cji górniczej. PWN, Wa r s z a w a 1956.

[4] H a u r i n K . : Analiza, Część I. PWN, W ar s z a wa 1983.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. M i r o s ł a w C H UDEK

Wpłynęło do Redakcj i w styczniu 1992 r.