Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J S e ria: A U T O M A T Y K A z. 136
2002 N r k o l. 1556
K r z y s z to f F L E S Z A R P o lite c h n ik a W a r s z a w s k a
NOWE HEURYSTYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA JEDNOWYMIAROWEGO PROBLEMU BIN-PACKING
S t r e s z c z e n i e . Z a d a n ie u p a k o w a n ia d a n e g o z e s ta w u e le m e n tó w w m o ż liw ie m a le j lic z b ie j e d n a k o w y c h p o je m n ik ó w , z w a n e b in -p a c k in g , w y s tę p u je c z ę s to w p ro b le m a c h d y s try b u c ji i p r o d u k c ji. W re fe ra c ie o p is u ję k ilk a n o w y c h m e to d h e u ry s ty c z n y c h r o z w ią z y w a n ia je d n o w y m ia ro w e j w e rsji te g o p ro b le m u . C z ę ś ć m e to d o p ie r a s ię n a h e u r y s ty c e M B S (m in im u m b in s la c k ) a u to rs tw a G u p ty i H o , k tó r a z n a jd u je r o z w ią z a n ie w y z n a c z a ją c n a jle p s z e m o ż liw e w y p e łn ie n ie k o le jn y c h p o je m n ik ó w . I n n a m e to d a b a z u je n a m e ta h e u ry s ty c e V N S (v a ria b le n e ig h b o u rh o o d s e a rc h ) M la d e n o v ic ia i H a n s e n a , s to s o w a n e j d o r o z w ią z y w a n ia w ie lu p r o b le m ó w o p ty m a liz a c ji d y s k re tn e j.
E k s p e ry m e n ty w y k o n a n e z w y k o rz y s ta n ie m s ta n d a rd o w y c h te s tó w p o r ó w n a w c z y c h p o k a z u j ą ż e p r e z e n to w a n e m e to d y m o g ą k o n k u ro w a ć n ie ty lk o z in n y m i h e u ry s ty k a m i, a le r ó w n ie ż z m e to d a m i d o k ła d n y m i.
NEW HEURISTICS FOR ONE-DIMENSIONAL BIN-PACKING
S u m m a r y . S e v e ra l n e w h e u ris tic s fo r s o lv in g th e o n e -d im e n s io n a l b in p a c k in g p r o b le m a re p re s e n te d . S o m e o f th e s e a re b a s e d o n th e m in im u m b in s la c k (M B S ) h e u r is tic o f G u p ta a n d H o . A d iffe re n t a lg o rith m is o n e b a s e d o n th e v a ria b le n e ig h b o u r h o o d s e a rc h m e ta h e u r is tic o f M la d e n o v ic a n d H a n se n . W h e n te s te d o n s ta n d a r d b e n c h m a r k p r o b le m in s ta n c e s , a lg o rith m s p ro v e d c a p a b le o f a c h ie v in g v e ry g o o d r e s u lts in c o m p a r is o n to o th e r m e th o d s , b o th h e u ris tic a n d o p tim u m s e e k in g .
1. Wprowadzenie
P r o b le m b in - p a c k in g m o ż n a s fo rm u ło w a ć w n a s tę p u ją c y s p o s ó b . D a n y j e s t z e s ta w
« e le m e n t ó w o w ie lk o ś c ia c h i,-, g d z ie i = 1, or a z n ie o g r a n ic z o n a lic z b a p o je m n ik ó w o je d n a k o w e j p o je m n o ś c i c (w s z y s tk ie w ie lk o ś c i s ą lic z b a m i n a tu ra ln y m i). N a le ż y z n a le ź ć ta k ie p r z y p o rz ą d k o w a n ie w s z y s tk ic h e le m e n tó w d o p o je m n ik ó w , a b y n ie p rz e k ro c z y ć p o je m n o ś c i p o je m n ik ó w o r a z ż e b y lic z b a u ż y ty c h p o je m n ik ó w b y ła m in im a ln a .
46 K. Fieszar
B in - p a c k in g n a le ż y d o k la s y p r o b le m ó w N P -tru d n y c h [3]. Is tn ie je w ie le h e u ry s ty c z n y c h i d o k ła d n y c h p r o c e d u r j e g o ro z w ią z y w a n ia . N a jp r o s ts z e i n a jb a rd z ie j z n a n e s ą h e u ry s ty k i F F D (fir s t-fit d e s c e n d in g ) i B F D (b e s t-fit d e s c e n d in g ) . S o r tu ją o n e e le m e n ty w e d łu g m a le ją c y c h w ie lk o ś c i, p o te m u m ie s z c z a ją k o le jn e e le m e n ty w p o je m n ik a c h w n a s tę p u ją c y s p o s ó b : F F D u m ie s z c z a e le m e n t w p ie rw s z y m p o je m n ik u , w k tó ry m j e s t j e s z c z e w y s ta r c z a ją c o m ie js c a , a B F D u m ie s z c z a e le m e n t w p o je m n ik u , w k tó ry m j e s t
n a jm n ie j, a le w c ią ż w y s ta rc z a ją c o w o ln e g o m ie jsc a .
S c h o ll, K le in i J ü r g e n s p o d a ją p r z e g lą d is tn ie ją c y c h m e to d r o z w ią z y w a n ia p r o b le m u b in - p a c k in g [7 ], P o z a p o d a n y m i p r z e z n ic h m e to d a m i n a le ż y w s p o m n ie ć o d w ó c h n o w y c h a lg o ry tm a c h . J e d e n z n ic h to a lg o ry tm d o k ła d n y a u to rs tw a C a rv a lh o [8], b ę d ą c y p o łą c z e n ie m m e to d y p o d z ia łu i o s z a c o w a ń z m e to d ą g e n e ra c ji k o lu m n , d ru g i to h e u ry s ty k a M B S {m in im u m b in s la c k ) , k tó re j a u to ra m i s ą G u p t a i H o [4].
W ty m re fe ra c ie p re z e n to w a n y c h j e s t k ilk a n o w y c h h e u ry s ty k . W ię k s z o ś ć z n ic h b a z u je n a w s p o m n ia n e j w c z e ś n ie j h e u ry s ty c e M B S , a je d n a j e s t z a s to s o w a n ie m m e ta h e u ry s ty k i V N S { v a r ia b le n e ig h b o u r h o o d s e a r c h ) , k tó re j tw ó rc a m i s ą M la d e n o v ic i H a n s e n [5, 6]. S z c z e g ó ło w e w y n ik i p re z e n to w a n e j tu ta j p ra c y z n a jd u ją s ię w [2],
2. Heurystyka MBS
M in im u m b in s la c k (M B S ) [4] b u d u je ro z w ią z a n ie w y p e łn ia ją c p o je d n y m p o je m n ik u n a ra z . D la p ie r w s z e g o p o je m n ik a w y z n a c z a n y j e s t z b ió r e le m e n tó w lo k a ln ie o p ty m a ln y , tzn . ta k i, k tó ry n ie p r z e k r a c z a p o je m n o ś c i p o je m n ik a i p o z o s ta w ia w p o je m n ik u n a jm n ie js z ą m o ż liw ą w o l n ą p r z e s tr z e ń . P o z n a le z ie n iu ta k ie g o z b io ru j e g o e le m e n ty s ą u m ie s z c z a n e w p o je m n ik u . D la k o le jn e g o p o je m n ik a z b ió r e le m e n tó w lo k a ln ie o p ty m a ln y w y z n a c z a n y j e s t z w y łą c z e n ie m w c z e ś n ie j u ż y ty c h e le m e n tó w . W y p e łn ia n ie p o je m n ik ó w k o ń c z y s ię , g d y u ż y te z o s t a n ą w s z y s tk ie e le m e n ty .
N a jle p s z y z b ió r e le m e n tó w w y p e łn ia ją c y je d e n p o je m n ik w y z n a c z a n y j e s t p r z e z p r z e g lą d w s z y s tk ic h m o ż liw y c h p o d z b io r ó w z b io ru d o s tę p n y c h e le m e n tó w w k o le jn o ś c i le k s y k o g ra fic z n e j z g o d n e j z m a le ją c y m i w ie lk o ś c ia m i e le m e n tó w . A lg o ry tm w y z n a c z a ta k ie p o d z b io r y p r z e z p o s o r to w a n ie e le m e n tó w w k o le jn o ś c i n ie ro s n ą c y c h w ie lk o ś c i, a n a s tę p n ie p ró b n e p r z y p is y w a n ie k o le jn y c h e le m e n tó w d o p o d z b io r u te s to w e g o . P r o c e d u ra k o ń c z y się ,
Nowe heurystyczne metody. 47
g d y z n a le z io n y z o s ta je p o d z b ió r w y p e łn ia ją c y p o je m n ik c a łk o w ic ie , lu b g d y p r z e te s to w a n e z o s ta n ą w s z y s tk ie m o ż liw e p o d z b io ry .
I m p le m e n ta c je o p is y w a n e j p ro c e d u ry m o ż n a z n a le ź ć w [2 , 4 ]. Jej p e s y m is ty c z n a z ło ż o n o ś ć o b lic z e n io w a w y n o s i 0(2"), j e d n a k w p ra k ty c z n y m z a s to s o w a n iu c z a s o b lic z e ń m o ż e n ie b y ć w y g ó ro w a n y z n a s tę p u ją c y c h p o w o d ó w :
* L ic z b a e le m e n tó w m ie s z c z ą c y c h się w je d n y m p o je m n ik u j e s t z a z w y c z a j n ie d u ż a , co z n a c z n ie r e d u k u je lic z b ę p rz e g lą d a n y c h p o d z b io ró w . J e ż e li w je d n y m p o je m n ik u m ie ś c i się n ie w ię c e j n i ż m e le m e n tó w , to p e s y m is ty c z n a z ło ż o n o ś ć p ro c e d u ry w y n o s i 0 ( n m).
* P o d z b io r y c a łk o w ic ie w y p e łn ia ją c e p o c z ą tk o w e p o je m n ik i s ą z w y k le w y z n a c z a n e p o b a rd z o n ie w ie lu p ró b a c h .
* M B S p r z e g lą d a n a jp ie rw p o d z b io r y z a w ie ra ją c e d u ż e e le m e n ty o n ie w ie lk ie j lic z n o ś c i, co p r z y ś p ie s z a ic h w y z n a c z a n ie .
O s ta tn ia w ła s n o ś ć n ie ty lk o p r z y ś p ie s z a p o s z u k iw a n ie ro z w ią z a n ia , a le r ó w n ie ż p o p r a w ia ś r e d n ią j a k o ś ć ro z w ią z a ń . G d y b y p o s z u k iw a n ia z u ż y w a ły n a jp ie rw n a jm n ie js z e e le m e n ty , to p o d k o n ie c z o s ta ło b y d u ż o e le m e n tó w d u ż y c h , tru d n y c h d o u p a k o w a n ia .
G u p ta i H o p o k a z u j ą ż e M B S d a je z n a c z n ie le p s z e w y n ik i, n iż p r o s te h e u ry s ty k i F F D lu b B F D [4 ]. W a d ą a lg o ry tm u j e s t to , ż e w s p e c y fic z n y c h p r z y p a d k a c h c z a s p r z e tw a r z a n ia m o ż e b y ć b a r d z o d łu g i. N a p r z y k ła d w y s ta rc z y , a b y w ie lk o ś c i e le m e n tó w b y ły lic z b a m i p a rz y s ty m i, a w ie lk o ś ć p o je m n ik a - lic z b ą n i e p a r z y s tą a b y p ro c e d u r a p r z e g lą d a ła w s z y s tk ie m o ż liw e z e s ta w y ( ż a d e n z e s ta w n ie w y p e łn i p o je m n ik a c a łk o w ic ie ). W p ra k ty c e z ta k im i p rz y p a d k a m i m o ż n a s o b ie p o r a d z ić o g ra n ic z a ją c m a k s y m a ln ą lic z b ę p r z e g lą d a n y c h z b io ró w .
W e r s ja h e u ry s ty k i p o d a n e j p r z e z G u p tę i H o [4] m o ż e b y ć z n a c z n ie u s p ra w n io n a . M o ż liw e j e s t z n a c z n e o g ra n ic z e n ie z a k r e s u p rz e g lą d a n y c h p o d z b io r ó w b e z u tra ty ro z w ią z a n ia lo k a ln ie o p ty m a ln e g o . D o k ła d n ie te m a t te n j e s t o p is a n y w [2],
3. Nowa heurystyka MBS’
D o h e u ry s ty k i M B S w p r o w a d z a m y n a s tę p u ją c ą m o d y fik a c ję : p rz e d r o z p o c z ę c ie m w y z n a c z a n ia lo k a ln ie o p ty m a ln e g o p o d z b io r u w y p e łn ia ją c e g o p o je m n ik n a jw ię k s z y d o s tę p n y e le m e n t j e s t u m ie s z c z a n y w p o je m n ik u n a s ta le , a d o p ie ro p o z o s ta ła p r z e s tr z e ń j e s t w y p e łn ia n a p o p r z e z p r z e g lą d m ie s z c z ą c y c h się w n iej p o d z b io ró w . D z ię k i te m u w p o je m n ik u
48 K. Fleszar
p o z o s ta je m n ie j m ie js c a d o w y p e łn ie n ia , co s k ra c a c z a s p rz e s z u k iw a n ia . J e d n o c z e ś n ie w y m u s z a to u ż y w a n ie w ię k s z y c h e le m e n tó w w p ie rw s z e j k o le jn o ś c i.
Z m o d y f ik o w a n y a lg o ry tm n a z w a n y z o s ta ł M B S ’. J e s t o c z y w is te , ż e w y n ik i M B S ’ m o g ą s ię r ó ż n ić o d w y n ik ó w M B S . N o w y a lg o ry tm m o ż e z n a le ź ć g o rs z e ro z w ią z a n ie w p rz y p a d k u , g d y z b u d u je n ie p e łn e z e s ta w y d la p ie rw s z y c h p o je m n ik ó w z u ż y w a ją c e le m e n ty , k tó r e m o g ły b y n a le ż e ć d o p e łn y c h z e s ta w ó w , g d y b y z a s to s o w a n o M B S . Z d ru g ie j s tro n y o r y g in a ln y M B S m a te n d e n c je d o w c z e s n e g o z u ż y w a n ia m a ły c h e le m e n tó w , je ś li w ię k s z e e le m e n ty s p r a w ia ją k ło p o ty (tru d n o z ic h u ż y c ie m z n a le ź ć z e s ta w d o b rz e w y p e łn ia ją c y p o je m n ik ). W te d y n a k o n ie c p rz e tw a rz a n ia p o z o s ta ją ty lk o d u ż e e le m e n ty , p r z e z c o w o s ta tn ic h p o je m n ik a c h z o s ta je d u ż o w o ln e g o m ie js c a . P r z y p a d e k te n ilu s tru je n a s tę p u ją c y p r z y k ła d (ry s. 1). 6 e le m e n tó w o w ie lk o ś c ia c h t\ = h = tj = 5 i U = ts — k — 3 n a le ż y u p a k o w a ć w p o je m n ik a c h o w ie lk o ś c i c = 9. M B S u m ie ś c i w p ie r w s z y m p o je m n ik u w s z y s tk ie e le m e n ty o w ie lk o ś c i 3 , g d y ż j e s t to je d y n y p o d z b ió r, k tó ry c a łk o w ic ie w y p e łn ia p o je m n ik . W re z u lta c ie p o z o s ta łe trz y e le m e n ty z a j m ą trz y k o le jn e p o je m n ik i. P o n ie w a ż M B S ’ w y m u s z a u ż y c ie a k tu a ln ie n a jw ię k s z e g o e le m e n tu w k a ż d y m p o je m n ik u , w s z y s tk ie p o je m n ik i z o s t a n ą w y p e łn io n e p a ra m i e le m e n tó w o w ie lk o ś c ia c h 5 i 3 , d a ją c r o z w ią z a n ie z a jm u ją c e trz y p o je m n ik i, a w ię c o je d e n m n ie j, n iż w r o z w ią z a n iu z h e u ry s ty k i M B S .
E lem e n ty p ro b le m u W y n ik M B S W y n ik M B S ’ R y s. 1. P o r ó w n a n ie d z ia ła n ia h e u r y s ty k M B S i M B S ’ d la p r z y k ła d o w e g o p r o b le m u F ig . 1. C o m p a r is o n o f M B S a n d M B S ’ h e u ris tic s o n a n e x a m p le in s ta n c e
G e n e ra ln ie ż a d n a z d w ó c h r o z w a ż a n y c h h e u ry s ty k n ie j e s t d o m in u ją c a . W je d n y m p r z y p a d k u le p s z e r o z w ią z a n ia m o ż e d a ć M B S , w in n y m - M B S ’. J e d n a k s ta ty s ty c z n ie M B S ’ p o w in n a o s ią g a ć le p s z e w y n ik i w k ró ts z y m c z a s ie n iż M B S .
4. Heurystyki oparte na MBS’
N a p o d s ta w ie h e u ry s ty k i M B S ’ p o w s ta ły k o le jn e h e u ry s ty k i. K a ż d a z n ic h w y z n a c z a w ie le r o z w ią z a ń , a ja k o w y n ik z w r a c a n a jle p s z e u z y s k a n e r o z w ią z a n ie .
Nowe heurystyczne metody... 49
• R e la x e d M B S ’. M o d y f ik a c ja w p r o w a d z o n a w te j h e u ry s ty c e p o le g a n a p rz e r y w a n iu w y s z u k iw a n ia lo k a ln ie o p ty m a ln e g o p o d z b io r u w y p e łn ia ją c e g o p o je m n ik w p rz y p a d k u , g d y n a jle p s z y z n a le z io n y d o tą d p o d z b ió r p o z o s ta w ia n ie w ię c e j n iż v m ie js c a w p o je m n ik u . T a k z m o d y f ik o w a n a h e u ry s ty k a M B S ’ j e s t u ru c h a m ia n a w ie lo k r o tn ie d la v z m ie n ia ją c e g o s ię o d c d o [0 .8 c l c o [0 .0 0 5 c l (p a ra m e try d o b ra n e w o p a r c iu o tes ty ).
• P e r t u r b a t i o n M B S ’ . R o z p o c z y n a ją c o d r o z w ią z a n ia u z y s k a n e g o p r z e z M B S ’, P e r tu r b a tio n M B S ’ w ie lo k r o tn ie w y k o n u je n a s tę p u ją c e c z y n n o ś c i: d o d a je n o w y p o je m n ik , w y z n a c z a p o d z b ió r e le m e n tó w n a jle p ie j w y p e łn ia ją c y te n p o je m n ik , p rz e n o s i e le m e n ty d o n o w e g o p o je m n ik a i u s u w a p u s te p o je m n ik i. T e n k r o k w y k o n y w a n y j e s t 10 0 0 ra z y . P rz y w y z n a c z a n iu p o d z b io r u e le m e n tó w n a jle p ie j w y p e łn ia ją c y c h n o w y p o je m n ik p r z e g lą d a n e s ą w s z y s tk ie m o ż liw e p o d z b io r y p o d o b n ie j a k w M B S ’. J e d n a k k o le jn o ś ć p rz e g lą d a n ia j e s t w ty m p rz y p a d k u z a le ż n a n ie o d m a le ją c y c h w ie lk o ś c i e le m e n tó w , le c z o d w ie lk o ś c i m ie js c w p o je m n ik a c h , w k tó ry c h w a k tu a ln y m ro z w ią z a n iu z n a jd u ją s ię e le m e n ty . N a jp ie r w r o z w a ż a n e s ą p o d z b io r y z a w ie ra ją c e e le m e n ty z m n ie j, a p ó ź n ie j z b a rd z ie j w y p e łn io n y c h p o je m n ik ó w . J e ś li e le m e n ty z n a jd u ją się w p o je m n ik a c h o je d n a k o w y m s to p n iu w y p e łn ie n ia , to k o le jn o ś ć ic h r o z w a ż a n ia j e s t lo so w a .
• S a m p l i n g M B S ’. S a m p lin g M B S ’ w y z n a c z a w ie le ro z w ią z a ń w y w o łu ją c w ie lo k r o tn ie h e u ry s ty k ę M B S ’. W k o le jn y c h p rz e b ie g a c h m o d y fik o w a n a j e s t k o le jn o ś ć p r z e g lą d a n ia p o d z b io r ó w e le m e n tó w . K o le jn o ś ć r o z w a ż a n ia e le m e n tó w j e s t u s ta la n a p rz e d k a ż d y m u r u c h o m ie n ie m h e u ry s ty k i M B S ’ lo s o w o , z p r a w d o p o d o b ie ń s tw e m w y b r a n ia e le m e n tu p ro p o r c jo n a ln y m d o j e g o w ie lk o ś c i. H e u ry s ty k a M B S ’ u ru c h a m ia n a j e s t 5 0 ra zy .
5. Metaheurystyka VNS
V a r ia b le n e ig h b o u r h o o d s e a r c h (V N S ) j e s t m e to d ą o p ty m a liz a c ji g lo b a ln e j [5, 6], D la k o n k re tn e g o p r o b le m u o k re ś la n e s ą s ą s ie d z tw a N k(x) ro z w ią z a n ia x , p rz y c z y m N k + i(x) j e s t sz e rs z e n i ż JV*(x). P o s z u k iw a n ie z a c z y n a s ię o d r o z w ią z a n ia p o c z ą tk o w e g o x := o r a z k : = 1.
D o p ó k i k n ie p r z e k r o c z y p e w n e j u s ta lo n e j sta łe j V nćX, V N S w y k o n u je n a s tę p u ją c e c z y n n o ś c i:
1. W s t r z ą s a n i e (s h a k in g ) - g e n e ru je lo s o w o p u n k t x ’ n a le ż ą c y d o s ą s ie d z tw a N k(x).
2. O p t y m a l i z a c j a l o k a l n a (l o c a l o p tim is a tio n) - s ta rtu ją c z x ’ z n a jd u je m in im u m lo k a ln e x ” . 3. P r z e s u n i ę c ie l u b n ie (m o v e o r n ot) - j e ś li x ” j e s t le p s z e n iż x , to p o d s ta w ia x : = x ” i k 1,
w p r z e c iw n y m p r z y p a d k u p rz e c h o d z i d o s z e rs z e g o s ą s ie d z tw a p o d s ta w ia ją c k := k + 1.
50 K. Fleszar
V N S d la p r o b le m u b in -p a c k in g b a z u je n a d w ó c h p r z e k s z t a ł c e n i a c h r o z w ią z a n ia x:
• p r z e n i e s ie n i e - j e d e n e le m e n t w x z o s ta je p rz e n ie s io n y d o in n e g o p o je m n ik a ,
• z a m i a n a - d w a e le m e n ty z ró ż n y c h p o je m n ik ó w w x z a m ie n ia ją s ię m ie js c a m i.
R o z w a ż a n e s ą je d y n ie p r z e k s z ta łc e n ia , k tó r e n ie p r o w a d z ą d o p r z e k r o c z e n ia p o je m n o ś c i p o je m n ik ó w i n ie d o d a ją n o w y c h p o je m n ik ó w . Z je d n e j s tro n y j e s t to k o rz y s tn e , g d y ż n ie p o g a r s z a r o z w ią z a n ia w s e n s ie lic z b y u ż y ty c h p o je m n ik ó w , z d ru g ie j s tro n y m o ż n a u z n a ć to z a w a d ę , g d y ż z n a c z n ie o g ra n ic z a s w o b o d ę p r z e s z u k iw a n ia s ą s ie d z tw a .
K o r z y s ta ją c z d e fin ic ji p rz e k s z ta łc e n ia d e fin io w a n e s ą p o d s ta w o w e e le m e n ty a lg o ry tm u . L o s o w e ro z w ią z a n ie x ’ z s ą s ie d z tw a N k(x) w y z n a c z a n e j e s t p r z e z w y k o n a n ie k lo s o w y c h p r z e k s z ta łc e ń n a x . M in im u m lo k a ln e w y z n a c z a n e j e s t m e to d ą n a js z y b s z e g o s p a d k u . P r z e g lą d a n e s ą w s z y s tk ie m o ż liw e p r z e k s z ta łc e n ia p o p r a w ia ją c e d a n e ro z w ią z a n e ( ic h w y z n a c z a n ie m o ż n a z n a c z n ie z o p ty m a liz o w a ć , p a tr z [2]) i w y k o n y w a n e j e s t to , k tó re p r o w a d z i d o n a jw ię k s z e j p o p r a w y w a rto ś c i fu n k c ji c e lu . T a o p e r a c ja j e s t p o w ta r z a n a d o c h w ili, g d y n ie m a j u ż p r z e k s z ta łc e n ia , k tó re p o p ra w iło b y r o z w ią z a n ie .
K o r z y s ta n ie w a lg o ry tm ie z try w ia ln e j fu n k c ji c e lu , tz n . lic z b y u ż y ty c h p o je m n ik ó w , n ie p r o w a d z i d o d o b ry c h re z u lta tó w . W ty p o w y c h p rz y p a d k a c h p o tr z e b a w ie le p r z e k s z ta łc e ń , a b y z m n ie js z y ć lic z b ę p o je m n ik ó w o je d e n . Z te g o p o w o d u u ż y w a n a j e s t fu n k c ja :
max/ W = X (/ (c r)]2 , 0 )
a = 1
g d z ie m j e s t lic z b ą p o je m n ik ó w u ż y ty c h w r o z w ią z a n iu x , a 1 ( a ) o z n a c z a z a ję to ś ć p o je m n ik a a w x . D z ię k i tej fu n k c ji p r o c e d u r a m in im a liz a c ji lo k a ln e j d ą ż y d o m a k s y m a ln e g o w y p e łn ie n ia p o je m n ik ó w , a w ię c p o ś re d n io d o o p ró ż n ia n ia p o je m n ik ó w m a ło w y p e łn io n y c h .
P rz y w y z n a c z a n iu w a rto ś c i p rz e k s z ta łc e n ia ( p r z e n ie s ie n ia lu b z a m ia n y ) n ie j e s t k o n ie c z n e w y lic z a n ie n o w e j w a rto ś c i fu n k c ji c e lu . W y s ta rc z y p o lic z y ć z m ia n ę je j w a r to ś c i Af ż e b y o c e n ić , k tó r e p r z e k s z ta łc e n ie j e s t n a jk o rz y s tn ie js z e . Z a ró w n o w p rz y p a d k u p r z e n ie s ie n ia e le m e n tu z p o je m n ik a a d o p o je m n ik a J3, j a k i z a m ia n y e le m e n tó w m ię d z y p o je m n ik a m i a i /?, z m ia n a w a r to ś c i fu n k c ji c e lu A /z a le ż y je d y n ie o d z m ia n y 1( a ) i 1(J3).
M a k s y m a ln a w ie lk o ś ć p r z e s z u k iw a n e g o s ą s ie d z tw a u s ta lo n a z o s ta ła n a k !” ** = 2 0 . P o w y ż e j tej w a r to ś c i r o z w ią z a n ia u le g a ją b a rd z o n ie w ie lk ie j p o p ra w ie , a c z a s p r z e tw a r z a n ia r o ś n ie z n a c z ą c o . D o d a tk o w o a lg o ry tm j e s t z a trz y m y w a n y , j e ś l i lic z b a p o je m n ik ó w w r o z w ią z a n iu j e s t r ó w n a d o ln e m u o g ra n ic z e n iu n a lic z b ę p o je m n ik ó w , k tó re g o w a r to ś ć j e s t o b lic z a n a z w y k o rz y s ta n ie m m e to d p o d a n y c h p r z e z F e k e te i S c h e p e rs [1].
Nowe heurystyczne metody.. 51
6. Testy algorytmów
W s z y s tk ie a lg o ry tm y z o s ta ły z a p ro g ra m o w a n e w B o rla n d D e lp h i 5 .0 . T e s ty z o s ta ły w y k o n a n e n a k o m p u te r z e z p r o c e s o r e m P e n tiu m II 4 0 0 M H z p o d s y s te m e m W in d o w s N T 4 .0 .
D o te s tó w w y k o rz y s ta n e z o s ta ły d a n e z O R L ib ra ry (h ttp ://w w w .m s .ic .a c .u k /in f o .h tm l) o ra z d a n e , k tó r y m i p o s łu ż y li s ię S c h o ll, K le in i J ü rg e n s te s tu ją c in n e a lg o ry tm y [7 ]. W O R L ib ra ry d o s tę p n y c h j e s t 8 z b io r ó w p o 2 0 p r o b le m ó w k a ż d y , o z n a n y c h ro z w ią z a n ia c h o p ty m a ln y c h : p r o b le m y w z b io r a c h U 1 2 0 , U 2 5 0 , U 5 0 0 i U 1 0 0 0 z a w ie r a ją o d p o w ie d n io 120, 2 5 0 , 5 0 0 i 1 0 0 0 e le m e n tó w o w ie lk o ś c ia c h ró w n o m ie rn ie r o z m ie s z c z o n y c h w p rz e d z ia le [20, 1 0 0 ], k tó r e m u s z ą b y ć u p a k o w a n e w p o je m n ik a c h o w ie lk o ś c i 150 k a ż d y . P ro b le m y w z b io r a c h T 6 0 , T 1 2 0 , T 2 4 9 i T 5 0 1 z a w ie r a ją o d p o w ie d n io 6 0 , 120, 2 4 9 i 501 e le m e n tó w o w ie lk o ś c ia c h w z a k r e s ie [2 5 , 5 0 ], k tó r e m u s z ą b y ć u p a k o w a n e w p o je m n ik a c h o w ie lk o ś c i 50 k a ż d y . P r o b le m y w k la s ie T z o s ta ły w y g e n e ro w a n e w ta k i s p o s ó b , ż e is tn ie je r o z w ią z a n ie o p ty m a ln e w y p e łn ia ją c e c a łk o w ic ie k a ż d y p o je m n ik d o k ła d n ie tr z e m a e le m e n ta m i.
D a n e te s to w e u ż y w a n e p r z e z S c h o lia , K le in a i J ü r g e n s a [7] p o d z ie lo n e s ą n a 3 z b io ry , k tó re w d a ls z e j c z ę ś c i n a z y w a n e s ą B l , B 2 i B 3 . B I z a w ie ra 7 2 0 p ro b le m ó w , z k tó ry c h 7 0 4 z o s ta ło r o z w ią z a n y c h o p ty m a ln ie . B 2 z a w ie r a 4 8 0 p ro b le m ó w , a o p ty m a ln e r o z w ią z a n ia z n a n e s ą d la 4 7 7 z n ic h . P ro b le m y z e z b io r ó w B l i B 2 z a w ie r a ją o d 50 d o 5 0 0 e le m e n tó w , a w ie lk o ś ć e le m e n tó w i p o je m n ik ó w j e s t z r ó ż n ic o w a n a (d o k ła d n y o p is z n a jd u je s ię w [7 ]).
Z b ió r B 3 s k ła d a s ię z 10 tru d n y c h p ro b le m ó w . K a ż d y z n ic h z a w ie r a 2 0 0 e le m e n tó w o w ie lk o ś c ia c h z p r z e d z ia łu o d 2 0 0 0 0 d o 3 5 0 0 0 , k tó re m u s z ą b y ć u p a k o w a n e w p o je m n ik a c h o w ie lk o ś c i 1 0 0 0 0 0 . T y lk o d la 3 p r o b le m ó w z B 3 z n a n e s ą o p ty m a ln e r o z w ią z a n ia .
W y n ik i o b lic z e ń te s to w a n y c h a lg o ry tm ó w p o r ó w n y w a n e s ą z w a rto ś c ia m i n a jle p s z y c h z n a n y c h o g r a n ic z e ń d o ln y c h n a lic z b ę p o je m n ik ó w . T y lk o w 2 6 p ro b le m a c h n a 1370 p r o b le m ó w n ie s ą to w a rto ś c i o p ty m a ln e . K o m p le tn e w y n ik i p r z e p r o w a d z o n y c h te s tó w z n a jd u ją s ię w [2]. W p o n iż s z y m te k ś c ie p rz e d s ta w io n e s ą ic h s k r ó t o r a z g łó w n e w n io s k i.
W ta b lic y 1 z n a jd u ją się w y n ik i te s tó w a lg o ry tm ó w . D la M B S i M B S ’ p o d a n e s ą lic z b y r o z w ią z a n y c h p r o b le m ó w w p o s z c z e g ó ln y c h k la s a c h , a d la p o z o s ta ły c h h e u ry s ty k p o d a n e s ą lic z b y p r o b le m ó w ro z w ią z a n y c h p o n a d te, k tó re z o s ta ły r o z w ią z a n e p r z e z M B S ’.
W k la s a c h U i T h e u ry s ty k i M B S i M B S ’ u z y s k a ły p o d o b n e w y n ik i. N a to m ia s t w z b io rz e B I z n a c z n ie le p s z e re z u lta ty u z y s k a ła M B S ’, p o d c z a s g d y w z b io r z e B 2 n ie c o le p s z e r e z u lta ty u z y s k a ła M B S . P o tw ie r d z a to s p o d z ie w a n ą w ła s n o ś ć b r a k u d o m in a c ji m ię d z y M B S i M B S ’ z je d n o c z e s n ą s t a t y s t y c z n ą p r z e w a g ą M B S ’.
52 K. Fleszar
T a b lic a 1 L ic z b a p r o b le m ó w ro z w ią z a n y c h p r z e z te s to w a n e a lg o ry tm y
w p o s z c z e g ó ln y c h z b io ra c h Z b ió r L ic z b a
p ro b le m ó w M B S M B S ’ R elax e d M B S ’
P ertu rb atio n M B S ’
S a m p lin g
M B S ’ V N S
U12 0 20 12 1 1 +8 +0 +8 + 9
U 2 5 0 20 10 12 +4 + 1 +4 +7
U 5 0 0 20 1 1 1 1 +5 +3 +6 +8
U1000 20 7 7 +6 + 9 + 1 2 + 1 3
T 6 0 20 0 0 +0 +20 +0 +0
T 1 2 0 20 0 0 +0 +20 +0 +0
T 2 4 9 20 0 0 +0 + 20 +0 +0
T 501 20 0 0 +0 + 20 +0 + 0
B I 72 0 251 62 9 + 5 2 +8 + 3 4 + 6 5
B2 48 0 387 381 + 4 4 + 2 4 + 8 3 +93
B3 10 0 0 +2 0 0 + 2
W sz y stk ie 1370 67 8 1051 + 12 1 + 125 + 1 4 7 + 1 9 7
P o z o s ta łe h e u ry s ty k i u ru c h a m ia n e s ą z ro z w ią z a n ia m i p o c z ą tk o w y m i u z y s k a n y m i z M B S ’. R e la x e d M B S ’, S a m p lin g M B S ’ i V N S p o p r a w ia ją z n a c z n ą lic z b ę r o z w ią z a ń w k la s a c h U i B . W ś ró d n ic h w y ra ź n ie d o m in u je V N S , k tó ry d la c z te r e c h p r o b le m ó w z k la s y B I z n a jd u je r o ż w ią z a n ia le p s z e n iż n a jle p s z e z n a n e d o tą d . Z a s k a k u ją c e j e s t, ż e ż a d e n z p o w y ż s z y c h a lg o r y tm ó w n ie r o z w ią z u je a n i je d n e g o p ro b le m u z k la s y T , n a to m ia s t P e rtu r b a tio n M B S ’ ro z w ią z u je j e w s z y s tk ie . W o b e c p o w y ż s z e g o s k o n s tr u o w a n y z o s ta ł k o ń c o w y a lg o ry tm h y b ry d o w y , w y w o łu ją c y k o le jn o M B S ’, P e rtu r b a tio n M B S ’ i V N S .
T a b lic a 2 p r z e d s ta w ia re z u lta ty te s tó w w s z y s tk ic h p r e z e n to w a n y c h h e u ry s ty k . P o d a n e s ą lic z b y p ro b le m ó w r o z w ią z a n y c h i n ie ro z w ią z a n y c h , b e z w z g lę d n e i w z g lę d n e ś re d n ie i m a k s y m a ln e o d c h y le n ia o d o g ra n ic z e ń d o ln y c h o r a z ś re d n i i m a k s y m a ln y c z a s o b lic z e ń .
T a b lic a 2 W y n ik i te s tó w a lg o ry tm ó w d la w s z y s tk ic h d a n y c h te s to w y c h
A lg o ry tm P ro b lem y ro z w ią za n e
P ro b lem y nie ro z w ią za n e
O d c h y len ie b ezw zg lęd n e
O d ch y len ie
w z g lęd n e [%] C zas [s]
Ś red n ie M ak s. Ś red n ie M ak s. Ś red n i M ak s.
M B S 67 8 692 1.0 2 9 1.42 16.67 0.05 8 .99
M B S ’ 1051 31 9 0.3 8 9 0.61 14.29 0.02 4.5 7
R elax e d M B S ’ 1172 198 0.1 6 6 0.31 14.29 0 .0 9 5 .88
P e rtu rb a tio n M B S ' 1176 194 0.22 5 0.38 14.29 0.0 8 4 .5 7
S a m p lin g M B S ’ 1198 172 0 .1 4 2 0 .2 4 5.5 6 0 .10 16.63
V N S 1248 12 2 0.0 9 2 0 .1 8 5 .0 0 0 .0 9 4 .57
P ert. M B S ’ + V N S 1329 41 0.03 2 0.0 4 2 .9 4 0 .1 4 5 .05
M B S ’ z n a c z n ie p o p r a w ia ś r e d n ią j a k o ś ć r o z w ią z a ń w s to s u n k u d o M B S , przy j e d n o c z e s n y m o k o ło d w u k ro tn y m s p a d k u c z a s u o b lic z e ń . K o le jn e h e u ry s ty k i p o p ra w ia ją r o z w ią z a n ia M B S ’ w p ro w a d z a ją c ty lk o n ie w ie lk i w z r o s t c z a s u p rz e tw a rz a n ia . P e rtu rb a tio n
Nowe heurystyczne metody.. 53
M B S ’ + V N S w y ra ź n ie d o m in u je n a d w s z y s tk im i p o z o s ta ły m i h e u ry s ty k a m i, u z y s k u ją c r o z w ią z a n ia w z a k r e s ie 3 % o d o p tim u m p rz y ty lk o n ie z n a c z n y m w z ro ś c ie c z a s u o b lic z e ń .
N a p o d s ta w ie p r o b le m ó w z k la s y B w ta b lic y 3 a lg o ry tm y M B S ’ i P e rtu rb a tio n M B S ’ + V N S s ą p o r ó w n a n e z in n y m i z n a n y m i a lg o ry tm a m i ro z w ią z y w a n ia p ro b le m u b in -p a c k in g . D a n e p o r ó w n a w c z e z o s ta ły z a c z e rp n ię te z b a d a ń o p is a n y c h w [7 ], M B S ’ w y ra ź n ie d o m in u je n a d p ro s ty m i h e u ry s ty k a m i. P e rtu r b a tio n M B S ’ + V N S o s ią g a z n a c z n ie le p s z e r e z u lta ty o d ta b u - s e a r c h ( D u a lT a b u ). R ó w n ie ż p o ró w n a n ie z m e to d ą p o d z ia łu i o s z a c o w a ń B IS O N w y p a d a b a r d z o k o r z y s tn ie d la V N S . W b a rd z o d łu g im c z a s ie (c h o c ia ż n a n ie c o w o ln ie js z y m k o m p u te rz e ) B IS O N o s ią g a re z u lta ty p o ró w n y w a ln e z P e rtu r b a tio n M B S ’ + V N S .
T a b lic a 3 L ic z b a p r o b le m ó w ro z w ią z a n y c h p r z e z ró ż n e z n a n e a lg o ry tm y - p o ró w n a n ie
(T L - lim it c z a s u n a 4 8 6 66M H z ) Z b ió r L icz b a
p ro b le m ó w F F D B F D W F D B 2 F F F D -B 2 F M B S ’ D ualT abu B ISO N T L = 5 0 s
B IS O N T L = 1000s
P e r t . M B S ’ + V N S
B1 7 2 0 547 548 40 9 545 61 7 629 666 695 69 7 694
B2 4 8 0 23 6 2 3 6 192 29 2 31 9 381 4 6 6 4 7 2 473 47 4
B3 10 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2
7. Podsumowanie
W r e fe r a c ie z a p r e z e n to w a n o s z e re g h e u ry s ty k d o r o z w ią z y w a n ia p r o b le m u b in - p a c k in g , b a z u ją c y c h n a h e u ry s ty c e M B S o r a z m e ta h e u ry s ty c e V N S . M im o iż h e u ry s ty k i b a z u ją c e n a M B S m a j ą w y s o k ą p e s y m is ty c z n ą z ło ż o n o ś ć o b lic z e n io w ą , w te s ta c h o k a z u ją s ię b a rd z o w y d a jn e . U z y s k a n y a lg o ry tm h y b ry d o w y P e rtu rb a tio n M B S ’ + V N S o k a z a ł s ię b a rd z o w y d a jn y w p o r ó w n a n iu z in n y m i m e to d a m i h e u ry s ty c z n y m i i d o k ła d n y m i, u z y s k u ją c w k r ó tk im c z a s ie r o z w ią z a n ia b a rd z o b lis k ie o p ty m a ln y c h .
L IT E R A T U R A
1. F e k e te S. P ., S c h e p e rs J.: N e w c la s s e s o f lo w e r b o u n d s fo r b in p a c k in g p ro b le m s . L e c tu re n o te s in c o m p u te r s c ie n c e , v o l. 1 4 1 2 ,1 9 9 8 , p p . 2 5 7 - 2 7 0 .
2. F le s z a r K ., H in d i K . S .: N e w H e u ris tic s fo r O n e -D im e n s io n a l B in -P a c k in g . C o m p u te rs a n d O p e r a tio n s R e s e a rc h , V o l 2 9 /7 , 2 0 0 2 , p p . 8 2 1 -8 3 9 .
3. G a re y M . R ., J o h n s o n D . S .: C o m p u te rs a n d In tra c ta b ility : A G u id e to th e T h e o r y o f N P - C o m p le te n e s s . W . H . F re e m a n , 1979.
54 K. Fieszar
4 . G u p ta J . N . D ., H o J. C .: A n e w h e u ris tic a lg o rith m fo r th e o n e -d im e n s io n a l b in - p a c k in g p ro b le m . P ro d u c tio n P la n n in g & C o n tro l, v o l. 10, n o . 6, 1 9 9 9 , p p . 5 9 8 - 6 0 3 .
5. H a n s e n P ., M la d e n o v ic N .: A n I n tro d u c tio n to V a r ia b le N e ig h b o u r h o o d S e a rc h . R o z d z ia ł w V o s s S . (re d a k to r): M e ta h e u ris tic s , A d v a n c e s a n d T re n d s in L o c a l S e a rc h P a ra d ig m s fo r O p tim iz a tio n , p p . 4 3 3 - 4 5 8 . K lu w e r, 1 999.
6. M la d e n o v ic N ., H a n s e n P .: V a r ia b le N e ig h b o u rh o o d S e a rc h . C o m p u te rs & O p e ra tio n s R e s e a r c h , v o l. 2 4 , n o . 11, 1 997, p p . 1 0 9 7 -1 1 0 0 .
7. S c h o ll A ., K le in R ., J ü r g e n s C .: B IS O N : A fa s t h y b rid p ro c e d u re fo r e x a c tly s o lv in g th e o n e - d im e n s io n a l b in p a c k in g p ro b le m . C o m p u te rs & O p e ra tio n s R e s e a rc h , v o l. 2 4 , n o . 7,
1 9 9 7 , p p . 6 2 7 - 6 4 5 .
8. V a le rio d e C a rv a lh o J. M .: E x a c t s o lu tio n o f b in -p a c k in g p r o b le m s u s in g c o lu m n g e n e r a tio n a n d b ra n c h -a n d -b o u n d . A n n a ls o f O p e ra tio n s R e s e a rc h , v o l. 86, 1 9 9 9 , p p . 6 2 9 -6 5 9 .
R e c e n z e n t: D r h a b . in ż. K o n ra d W a la , P ro f. A G H
A b s t r a c t
A b in - p a c k in g p r o b le m c o n s id e re d h e re c a n b e s ta te d a s fo llo w s : g iv e n a n u m b e r o f ite m s o f k n o w n s iz e s , w h a t is th e m in im u m n u m b e r o f b in s , e a c h h a v in g th e s a m e c a p a c ity , n e c e s s a r y to p a c k a ll ite m s.
S e v e ra l n e w h e u r is tic s fo r s o lv in g th e o n e -d im e n s io n a l b in p a c k in g p r o b le m a re p re s e n te d . S o m e o f th e s e a re b a s e d o n th e m in im u m b in s la c k (M B S ) h e u r is tic o f G u p ta a n d H o . M B S is b in - f o c u s e d . A t e a c h s te p , it fin d s a s e t o f ite m s th a t fits th e b in c a p a c ity a s m u c h a s p o s s ib le b y e n u m e r a tin g s e ts o f ite m s. N e w a lg o rith m s b a s e d o n M B S in c lu d e : M B S ’ ( fix e s o n e ite m b e fo re e n u m e r a tio n ) , R e la x e d M B S ’ ( a c c e p ts s e ts o f ite m s th a t le a v e a s m a ll s la c k in a b in ), P e r tu r b a tio n M B S ’ (re p e a te d ly u p d a te s M B S ’ s o lu tio n b y fin d in g im p ro v e d s e ts o f ite m s ), S a m p lin g M B S ’ ( b u ild s m a n y s o lu tio n s w ith d iffe re n t o r d e r o f e n u m e ra tio n ).
A d if f e r e n t a lg o r ith m is a n a p p lic a tio n o f th e v a r ia b le n e ig h b o u rh o o d s e a rc h (V N S ) m e ta h e u r is tic o f M la d e n o v ic a n d H a n s e n to th e b in -p a c k in g p ro b le m . It im p r o v e s a g iv e n s o lu tio n b y r e p e a te d ly “ s h a k in g ” ( r a n d o m ly m o v in g ite m s b e tw e e n b in s ) a n d lo c a lly o p tim is in g th e s o lu tio n (m o v in g ite m s b e tw e e n b in s to im p ro v e th e s o lu tio n ).
T h e m o s t e f fe c tiv e a lg o rith m tu rn e d o u t to b e o n e c o m p o s e d o f M B S ’, P e r tu r b a tio n M B S ’ a n d V N S , w h e re th e fo r m e r a lg o rith m p ro v id e s a n in itia l s o lu tio n f o r th e la tte r. W h e n te s te d o n 13 7 0 b e n c h m a r k p r o b le m in s ta n c e s fro m tw o s o u rc e s , th is la s t h y b rid a lg o rith m p r o v e d c a p a b le o f a c h ie v in g th e o p tim a l s o lu tio n fo r 13 2 9 in s ta n c e s , a n d c o u ld fin d fo r 4 in s ta n c e s s o lu tio n s b e tte r th a n th e b e s t k n o w n . T h is is re m a rk a b le p e r fo r m a n c e w h e n s e t a g a in s t o th e r m e th o d s , b o th h e u ris tic a n d o p tim u m s e e k in g .
