Metoda pomiaru mocy biernej obwodów o przebiegach odkształconych wykorzystująca modulację jednowstęgową

SeriaJ ELEKTRYKA z. 88 Nr kol. 779

Leszek S. CZARNECKI

Instytut Podstawowych Problemów Elektrotechniki i Energoelektroniki Politechniki £ląskiej

METODA POMIARU MOCY BI ERNE3 OBWODÓW O PRZEBIEGACH ODKSZTAŁCONYCH WYKORZYSTU3ACA M0DULAC3^ BEDNOW ST ^G OW Ą

St r e s z c z e n i e . W artykule omówiona Jest zasada działania miernika mocy biernej, wg definicji Budeanu, obwodów i przebiegach odkształ­

conych, oparta na modulacji jednowstęgowej pary harmonicznych na­

pięć kwadraturowych wartościami chwilowymi prądu i napięcia odbior­

nika.

Po latach niepowodzeń zagadnienie konstrukcji miernika mocy biernej zdefiniowanej przez C.I. Budeanu w roku 1927 Jako

gdzie Un , I n , ę>n są odpowiednio wartościami skutecznymi harmonicznych prądu i napięcia odbiornika i ich wzajemnym przesunięciem fazowym, znala­

zło ostatnio kilka rozwiązań i posiada obecnie dość bogatą literaturę.Pew­

ną liczbę prac dotyczących konstrukcji miernika mocy biernej obwodów o przebiegach odkształconych zestawiono na końcu tego artykułu [lłio], Dają one konstruktorowi takich mierników pewną swobodę wyboru rozwiązań, naj­

bardziej odpowiadających ich potrzebom. Autor niniejszego artykułu prag­

nie dołączyć do zbioru istniejących rozwiązań tego zagadnienia Jeszcze Jedno rozwiązanie, mianowicie wykorzystujące modulację Jednowatęgową.

2. Zasada pomiaru

Przedstawiona metoda umożliwia pomiar mocy biernej obwodów o prze­

biegach odkształconych z wi dm em ograniczonym do pasma częstotliwo­

ści w ^-5 ta ag N u ^ , gdzie jest częstotliwością przebiegów a N Jest 1. Wstęp

( i ) n=l

6 •L.S. Czarnecki

pewnę liczbę naturelnę. Przyjmujemy ponadto. Ze napięcie odbiornika nie poalada składowej stałej, tj. ma przebiegi

N

Un coe(nw1 t ♦ cen ) (2)

n»l

Pręd odbiornika ooZe natomiast mleć składowę stałę 1Q oraz.przebiegi

N

1 “ Zo * 1nC08(nwl t * * n " i 3 >

n»l

Napięciem odbiornika moduluje elę amplitudowo napięcie harmonicznej

u. 6 V ? Ua * in“gt

o częstotliwości c«Jg > N&>1 , tworzęc układem mnoZęcym (rys. i) iloczyn

N

U1 A " l ua u " °lU e J 2 V l n K + "“i** ♦ a n] + n*»l

N

+ *lU a 2 Z Un*l n [(“ g “ “ a n]* (5) mai

Rys. 1

gdzie m^ jaat współczynnikiem wymiarowym układu mnoZęcego. Otrzymana na­

pięcia u^ Jaat przebiegiem o widmie dwuwatęgowym, symetrycznym względem

częstotliwości W g (rys. 2a). Górna wstęga widn a napięcia u1 tłumione Jest następnie filtrem dolnoprzepustowym o transmitancji częstotliwościo­

wej

m,UaUn

f

«V«,

( 6 )

Gdy w paśmie częstotliwości o) > o>g ♦ W j (rya. 2b)

•^(co) - O.

wówczas napięcie wyjś ci ow e filtru FŁ Jest równe i

N

u2 " " l u a K j i W g * n o ^ J U ^ l n |(ojg - n o ^ )t - <*n “ " n w i )]

n»l

(7)

Gednocześnie z mnożeniem napięcia odbiornika przez napięcie u# pręd o d ­ biornika mnożony jest przez napięcie równe i

ub * & V in(a>gt " f > (9)

Napięcie wyjściowe układu mnożęcego Jeet równe i N

u3 6 m2 ubi - 1 2 m2 U bIoe i n ( < y - § ) ♦ »2 Ub £ V i n H ♦ no^ )t ♦ * n - p n - f }

L.S. Czarnecki

Po stłumieniu górnej wstęgi widma tego napięcia filtrem dolnoprzepustowym F2 o transmitancji

-J$2 (eo)

Kgijco) » ^ ( t e j e ( n )

i właściwościach podobnych do właściwości filtru otrzymujemy napię­

cie s

u4 - i S m2U bK2 (W g )loein[W g t -

f -

+

N

n2Uj b X K2 (wg - nti ^ n 8 1 ^ “ ~ - | - & 2 <w g “ "“i ’]

+ — >

n=l (1 2)

Napięcia wyjściowe obu filtrów sę następnie mnożone przez siebie i uśred­

niane. Ponieważ, poza szczególnym przypadkiem, gdy częstotliwość generato- ra jest wybrana w ten sposób, że 6>g - Na^ = u>1 . napięcia wyjściowe fil­

trów nie sę przebiegami okresowymi, dlatego iloczyn musi być uśredniany w przedziale czasowym T z n a c z n i e większym od okresu zmienności składni­

ków o najmniejszej częstotliwości, tj.

T u » ^ - ^ < « >

Napięcie wyjściowe układu uśredniajęcego jest wó wczas równe:

T u5 = r ~

u o

1 / U2 U4 dt

n=l

I "lB2 m3 UaUb X K1 (wg “ n«L )K2 (wg " nWl ^ n 1»!®0® K " 2 + *1 (wg " ncol ) “

- $2 (cog - nc^)] (14)

3eśli dla n - 1,2,...,N

Kj/Wg “ n6)i (w g “ nCti ) ” kf (15)

(16)

wówczas

N

(17) n«l

gdzie

(18)

Deśli spełnione są więc wymagania dotyczęce dokładności mnożenia, uśred­

niania oraz przesunięcia o kęt JC/Z faz napięć uq i ub oraz Jeśli spełnione 6ę warunki! (7), (15), (16), to układ przedstawiony na rys. 1 przekształca pręd i napięcie odbiornika w napięcie stałe, proporcjonalne do mocy biernej (Budeanu) odbiornika.

3. Uwagi o ograniczeniach dokładności metody

Możliwości spełnienia wy magać dotyczących dokładności mnożenia, uśred­

niania, przesunięcia o si/2 kętów fazowych napięć ufl i ub , dokładności ich wartości skutecznych U fl, U b i kształtu zależę tylko od technolo­

gicznego poziomu wykonania miernika i nie sę niczym ograniczone. To samo dotyczy warunku wzajemnej symetrii charakterystyk fazowych filtrów (16).

Nie może być natomiast spełniony dokładnie ani warunek (7) dla filtru F , z podobnym dla filtru F^, ani warunek (15), a ponadto warunki te eę wza­

jemnie przeciwstawne. Dokładność ich spełnienia możne poprawić tylko przez zwiększenie stopnia złożoności filtrów.

Względne błędy pomiaru spowodowane osobno niestsłościę modułu trana- mitancji filtru w paśmie przepuszczania, ograniczonym tłumieniem górnej wstęgi widma oraz brakiem wzajemnej symetrii charakterystyk fazowych fil­

trów można oszacować w sposób następujęcy.

1. Deśli w paśmie przepuszczania filtru stałość modułu transmitancjl utrzymana Jeet z błędem d ^ « ! , tj.

- n « l )K2 (o>g - nc^) * k2 (l ♦ d j 2 . (19)

to względny błęd pomiaru mocy jest równyt N

n-l ( 2 0 )

^8xn

zaś jego moduł ograniczony Jest nierównością

(2i)

gdzie symbol MaxjxnJ oznacza wartość największej liczby ze zbioru modu­

łów xn> a Qgzn oznacza znamionowę moc biernę miernika.

2. Gdy warunek zupełnego tłumienia górnej wstęgi nie Jest spełniony, lecz dla co > u * nco

9 1

+ nw1 )K2 (aJg + no^) > 0 . (22)

to względny błęd pomiaru ma wartość:

N

10 L.S. Czarnecki

. / ^{3£2 U} I c o s (cp * %)

i- u _ □ n n n irn 2' o k 5 m n=l

* »--- ^°3zn--- . (23)

zaś Jego moduł ograniczony Jest n i e r ó w n o ś c i ę :

*t l 2 § _ Max

®Bzn

3. Gdy nie Jest spełniony warunek (16), lecz

i 1 (cog - no^) - fgitcig - no^) » A f n . (26)

wówczas, jeśli ó f n < K - i stęd cosó$n « l , s i n A f Of , względny błęd pomiaru ma w a r t o ś ć :

N

k ] l * W n C08?,n

«J. i K U5 " ___________

$ «Bzn ~ «Bzn ' (* 7)

zaś jego moduł ograniczony Jest nierównościę:

M* x { l A * n l ) '

gdzie P Jest mocę czynnę odbiornika.

(28)

Aby wyznaczyć stopień złożoności filtrów k, tj. liczbę elementów re- ak t a n c y j n y c h , niezbędnych do ich realizacji, pozwalający utrzymać moduły błędów względ ny ch | cim | oraz | | w dopuszczalnych granicach, trzeba, dla określonej liczby N, wyznaczyć zależności wartości Max jjdn || ora z Maxji^j od stopnia złożoności filtrów, k. W tym celu przyjmujemy,że granicą pasma przepuszczania filtrów (rys. 2 a ) jest częstotliwość co - oj oraz norma­

lizujemy względem niej charakterystykę filtrów, wpro wa dz aj ąc częstotli­

wość względną i r ó w n ą :

A CO

A - — -W g W 1■ (29)

Uzyskanie sk ut ec zn eg o tłumienia górnej wstęgi częstotliwości, przy mo ż l i ­ wie najniższym stopniu złożoności filtru, wymaga przyjęcia równomiernie falistej ch arakterystyki modułu transmitancji w paśmie p r z e p u s z c z a n i a ,t J . odchyleniu od wa rt oś ci stałej opisanej wi el om ia ne m Czebyszewa. Przyjmuje­

my ponadto, że oba filtry mają mieć taką samą transmitancję oraz że na granicy pasma przepuszczania, tj. dla

a

K ł (w) - Kg (w) - K(o>) & ^ * 6 — , (30) Yi + feT^o.)

gdzie Jest wi el om ia ne m Czebyszewa stopnia k, mianowicie

(

(31)

cos h(k ar cos hA) dla a > 1 zaś 6 jest ws pó łc zy nn ik ie m określającym falistość charakterystyki.

Orientacyjny przebieg charakterystyki częstotliwościowej iloczynu mo du­

łów transmitancji obu filtrów

i c ( a ) K U ) - --- 1 - \ t (32) i ♦ et^(a)

dla k « 5, przedstawia rys. 3.

Na rys. 3, oz nacza częstotliwość względną leżących w górnej w s t ę ­ dze sk ła dn ik ów napięć ux i u3 o najniższej częstotliwości, tj. o czę­

st ot li wo śc i równaj e>g ♦ ^ i stąd

12 k.g., CMrng.citŁ

Jeśli przyjęć, Ze w g “ (N + 1 , wówczas ■ (N ♦ 2)/N.

Jeśli zatem moduł tranamltancjl filtrów określony Jest wzorem (30),to po*

równujęc wzory (19) 1 (32) otrzymamy:

Mex( M " I

natomiast

M a x { ^ } 1 » 6 1 ♦ i T ^ j

1 ♦ fi

■ --- 7--- Ł--- 1 + 6 i c o e h [ k ar cosh(—

Tak więc, przy określonej liczbie harmonicznych N prędu 1 napięcia o d ­ biornika wartość 96^ zalały od przyjętego współczynnika falistości fi i liczby elementów r e a k ta nc yj ny ch, k, filtrów, tj. od stopnia ich za le żn o­

ści. #

Minimalne liczby elementów reaktancyjnych filtrów i F^, o ch ar ak­

terystyce modułu tran8mitancjl aproksymowanej wielomianem Czebyszewa i ze- pewnlajęcych epełnlenie nierówności W ^ fi , zestawiono dla kilku wa r t o ­ ści N oraz £ w tabeli 1.

Tabela 1 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

N ■ 5 5 5 5 6 7

N - 10 6 7 7 8 9

N ■ 15 8 8 9 9 11

N - 20 9 9 10 11 12

3ak na to wskazuję zestawione w tabeli wyniki, konstrukcja miernika, mierzącego dostatecznie dokładnie moc bierną kilkunastu ha rmonicznych.mo­

że wymagać dość złożonych filtrów. Wymagania te można w pewnym stopniu zmniejszyć, wybierając inne, od powyżej omawianych, charakterystyki modu­

łu transmitancji, w szczególności, dopuszczając pewną falistość charak­

terystyki w paśmie tłumienia filtru.

4. Wnloeki

Przedstawiona metoda umożliwia pomiar mocy biernej obwodów o przebie­

gach odkształconych, przy czym dopuszczalna liczba harmonicznych, która może być objąta pomiarem, zależy wyłącznie od właściwości filtrów i głów­

nie od ich właściwości zależy dokładność miernika. Tak więc metoda ta spro­

wadza zagadnienie konstrukcji miernika mocy biernej niemal całkowicie do dobrze rozwiniętego, chociaż obszernego, zagadnienia syntezy odpowiedniej jakości filtrów dolnoprzapustowych.

LITERATURA

[1] ANTONIU S . I . , LEON M. : Linear electronic model for the determination of active and reactive powers in nonsinusoidal systems, Acta IMEKO 1967, Budapest.

[ 2] ANTONIU S . I . , LEON M . , T U OU CE R. : P. <1, O - metre apparail pour la mesure des puissances et energies actives, reactives et deformantes dans un regime energetique déformant. Congres MESUCORA, Paris 1973.

[ 3J CZARNECKI L.S. : Konstrukcja miernika mocy biernej w układzie z prze­

biegami odkształconymi. Zeszyty Naukowe Politechniki ś l ą s k i e j ,3.Elek­

tryka z. 36, Gliwice 1973.

[ 4] CZARNECKI L.S. 1 Miernik mocy biernej dla układów z przebiegami od­

kształconymi, Patent PRL P-168155, 1974.

[ 5] SAWICKI 3. : Urządzenie do pomiaru mocy reaktywnej X ¡ U I.sinjj, , Pa­

tent, PRL nr 111781, 1977. k k k

[6j SAWICKI 3.: The measurement of reactive p o w e r f u l sinę>, Acta IMEKO 1977, Budapest.

[ 7] LOPEZ R . A . , A S QU ER IN O 3 . C . M . , RO DR IG EZ-IZGUIERDO G . : Reactive power for nonsinusoidal systems, IEEE Trans. Inst. Maas,, Vol.IM-2 0 , No.3,

1977. .

[s] SAWICKI 3.¡ Przetwornik mocy biernej przebiegów odkształconych, Pra­

ce Naukowe Instytutu Metrologii Elektrycznej Politechniki wrocław­

skiej, nr 19, Wr oc ła w 1979.

[ 9J MOSKOWICZ S . : Zastosowanie filtrów wszechprzspustowych drugiego rzę­

du do budowy waromierza, PAK 8/79, 1979.

[10J CZARNECKI L.S. i Measurement principle o f a reacrice power metsr for po ns in us oi da l systems, IEEE Trans. Instr. Meas. Vol. IM-30, No. 3,

1981.

14 L.S. Czarnecki

[li] CZARNECKI L . S . : Sposób przetwarzania nocy biernej przenoszonej przez niesinusoidalne przebiegi okresowe na napięcie stałe. Patent PRL, Nr 222-113, 1980.

Recenzent: prof, dr hab. ini. Oerzy Sawicki

Wpłynęło do redakcji dn. 1 . III.1983 r.

HET0.Ę H3MEPEHHH PEAKTHBHOfl MOGiHOCTH UEHEtt C £E$OHIHPOBAHH}JMH XOjWKH, OCHOBAHHHił H A O^HOJIEHTHOH

P e s d u e

Paccuoipep npHHiptn AeftcTBaa HSMepHTeza peaKtHBHofi mohjhocth ( no B u d e a n u ) nenea c AeJiopuapoBaHHiMH zo^auii, ochobćih Ha uoAyjiHUHH o^nojieHTHoB napa rap- uoHHaecKHX KBa^paTHboc HanpaieHHfi uruoBeamniu 3hslhqhhhvh Tona a HanpaxeHBeu npaeuHHKa.

A PRINCIPLE OF T H E REACTIVE POWER MEASUREMENT WITH THE SINGLE SIDE-BANO MODULATION IN NONSINUSOIDAL SYSTEMS

S u m m a r y

Thie paper presents a principle of operation of the reactive power m e ­ ter in nonainusoidal systems. The method is based on the single side-band modulation of the sinusoidal quadrature voltages by the instantaneous load voltage and the instantaneous load current.