ROZDZIAŁ IV. Właściwości optyczne kryształów

ROZDZIAŁ IV

___________________________________________________________________________

Właściwości optyczne kryształów

IV.1 Zjawisko podwójnego załamania światła

W odróżnieniu od ośrodków izotropowych, w kryształach prędkość światła υ , a więc i współczynnik załamania ⁿ= ^c/υ (c – prędkość światła w próżni) zależą od kierunku rozchodzenia się światła w krysztale. Anizotropia optycznych właściwości kryształów powoduje, iż pojedyncza wiązka światła przechodząca przez granicę kryształu załamuje się i rozszczepia się na dwie wiązki. Zjawisko „podwójnego ugięcia” wiązki światła przechodzącej przez kryształ nazywamy podwójnym załamaniem. Zjawisko podwójnego załamania światła jest związane z własnością posiadania przez kryształ dwóch współczynników załamania i wynika wprost z równań Maxwella [17,18]:

t E B

rot ∂

− ∂

=

 

,

t j D H

rot ∂

+ ∂

=

 

 , (IV.1.1a)

ρ

= D div

, divB = 0 . (IV.1.1b) W równaniach (IV.1) E - wektor natężenia pola elektrycznego; D - wektor indukcji pola elektrycznego (wektor przesunięcia); B - wektor indukcji pola magnetycznego; H - wektor natężenia pola magnetycznego; ρ - gęstość ładunku elektrycznego; j

- wektor gęstości prądu elektrycznego.

Zgodnie z prawem Ohma składowe wektora j

są powiązane ze składowymi wektora E zgodnie z równaniem [17,18]

j ij

i E

j = σ , (IV.1.2) gdzie σ ij są składowe tensora przewodnictwa.

Wektory D i E, oraz wektory B i H są powiązany między sobą za pomocą równań [17,18]

j ij

i E

D = ε₀ε , (IV.1.3)

j ij

i H

B = µ₀µ . (IV.1.4)

Tu ε0 jest przenikalnością elektryczną próżni (ε0=8.85 10^-12 F / m); µ 0 jest przenikalnością magnetyczną próżni (µ0=1.26 10^-6 H / m); εij i µij są odpowiednio bezwymiarowymi składowymi tensorów względnych przenikalności elektrycznej i magnetycznej.

Kryształy przezroczyste w zakresie widzialnym są złymi przewodnikami prądu, a ich przenikalności magnetyczne niewiele się różnią od przenikalności próżni. Zakładając więc, że

= 0

ρ , j = 0

, B H µ0

= (IV.1.5) możemy zapisać równania Maxwella w postaci

t E H

rot ∂

− ∂

=

 

µ 0 ,

t H D

rot ∂

= ∂

 

, (IV.1.6a)

= 0 D

div , divB = 0 . (IV.1.6b) Będziemy szukali rozwiązań równań (IV.1.6) w postaci fal płaskich

)]

( exp[

) ,

(r t E₀ i kr t E  =  − ω

, (IV.1.7a) )]

( exp[

) ,

(r t D₀ i kr t D  =  − ω

, (IV.1.7b) )]

( exp[

) ,

(r t H₀ i kr t H  =  − ω

. (IV.1.7c) Tu ω = ²π ν , ν jest częstotliwością fali świetlnej; r - promień wodzący punktu (x₁,x₂,x₃) w krysztale; k

- wektor falowy, który określa kierunek ruchu czoła fali świetlnej; E₀ , D₀

, H₀ są amplitudy fal, które zakładamy nie zależą od ω , k

i r . Łatwo sprawdzić, że dla dowolnej fali płaskiej

)]

( exp[

) ,

(r t A₀ i kr t A  =  − ω

, (IV.1.8) są słuszne związki

] [ ) ,

(r t i k A A

rot   

×

= , (IV.1.9a) )

( ) ,

(r t i k A A

div   

⋅

= , (IV.1.9b)

) , ) (

,

( A r t

t t r

A   

⋅

−

∂ =

∂ ω . (IV.1.9c)

Po uwzględnieniu wzorów (IV.1.9) otrzymujemy z równań (IV.1.6)

D H

k  

ω

−

=

× ]

[ , k E H

] 0

[ × = ω µ , (IV.1.10a) 0

) (k⋅D =

, (k⋅H)= 0

. (IV.1.10b) Z równań (IV.1.10) wynika, że wektory k

, H i D tworzą trójkę wzajemnie prostopadłych wektorów, a wektor E

jest prostopadły do wektora H i leży w płaszczyźnie wspólnie z wektorami D i k

(rys.IV.1.1).

Wprowadzając jednostkowy wektor k k k

0 = / i uwzględniając, iż c n

k ω

υ ω λ ν

π ν λ

π = = =

= 2 2

 , (IV.1.11)

zapiszmy wektor k

falowy w postaci

k0

c n

k = ω  . (IV.1.12) Tu ⁿ= ^c/υ jest współczynnikiem załamania światła.

Rys.IV.1.1. Wzajemna orientacja wektorów D , E

, H , k₀

i s w płasko spolaryzowanej fali świetlnej przechodzącej przez kryształ

Korzystając ze wzoru (IV.1.12), z równań (IV.1.10a) otrzymujemy H

c E k

n   

0

0 ]

[ × = µ , (IV.1.13)

D c H k

n   

−

=

× ]

[ ₀ . (IV.1.14) Po podstawieniu H ze wzoru (IV.1.13) do wzoru (IV.1..14) mamy

n D E c

k

k   

2 0 2 0

0 [ ]]

[ × × = − µ . (IV.1.15) Korzystając ze wzoru rozwijającego podwójny iloczyn wektorowy znajdziemy

n D k c

k E E k k E k

k         

2 0 2 0

0 0

0 0

0 [ ]] ( ) ( )

[ × × = ⋅ − ⋅ = − µ . (IV.1.16)

Wzór (IV.1.16) zapisany przez składowe wektorów przyjmuje postać

i j

j i

i D

n E c k k

E − _{0 0} = ²µ₂⁰ . (IV.1.17)

Skorzystamy teraz z równania materialnego (IV.1.3) i wprowadźmy dziewięć wielkości ηik

spełniających równanie

il kl

ikε δ

η = , (IV.1.18) gdzie δ il - symbol Kronekera.

Z (IV.1.18) i równania materialnego (IV.1.3) otrzymujemy

i k ik k

lk il l

ilD ε₀η ε E ε₀δ E ε₀E

η = = = , (IV.1.19a) czyli

j ij

i D

E = η₀η . (IV.1.19b) Tu η =0 1ε0. Tensor ηij nosi nazwę tensora nieprzenikalności elektrycznej.

Po postawieniu (IV.1.19b) do wzoru (IV.1.17) mamy

i l

jl oj oi l

il D

D n k k

D − η = 1₂

η . (IV.1.20)

Tu uwzględniliśmy, że c² = 1/(µ₀ε₀) [17,18].

Dotychczas nic nie mówiliśmy o wyborze osi współrzędnych Ox1,Ox2,Ox3. Wybierzemy teraz oś Ox3 wzdłuż kierunku wektora falowego k

. Biorąc pod uwagę, że w tym przypadku 1

; 0 ₀₃

02

01= k = k =

k , D₃ = 0, ze wzoru (IV.1.20) otrzymujemy następujący układ równań na D i D

0 1 )

( _{11 2 2 12}

1 η − + Dη =

D n , (IV.1.21a) 0

1 ) ( _{22 2}

2 12

1 + − =

D n

Dη η , (IV.121b) Układ równań (IV.1.21) ma niezerowe rozwiązanie jeżeli

1 0 1

22 2 12

2 12

11 =

−

−

n n

η η

η η

. (IV.1.22)

Z rozwiązania równania (IV.1.22) otrzymujemy

] ) 2 ( ) (

) 2[(

1 ₂

12 2

22 11 22

11 2

2 ,

1⁻ = η +η ± η −η + η

n . (IV.1.23)

Ponieważ prędkość fali jest jednoznacznie związana ze współczynnikiem załamania n, obecność dwóch współczynników załamania n wskazuje na to, że w kierunku osi 1,2 Ox mogą ₃ rozprzestrzeniać się dwie fale o różnych prędkościach υ1,2 = c/ n1,2.

Przy zmianie kierunku wektora k₀

, a również zmianie kierunku osi współrzędnych, zachodzą zmiany współczynników załamania n i ₁ n , ponieważ dla nowego układu ₂ współrzędnych wartości liczbowe η₁₁,η₂₂ oraz η₁₂ będą inne.

Każdy współczynnik załamania będzie miał swój wektor własny D . Wektory własne

) 2 ( ), 1

D( , odpowiadające współczynnikom n i ₁ n znajdziemy podstawiając ₂ n i ₁ n do układu ₂ równań (IV.1.21).

0 1 )

( _{2 2}^(1),(2) ₁₂

2 , 1 11 ) 2 ),(

1 (

1 η − + D η =

D n , (IV.1.24a)

0 1 )

( ₂

2 , 1 22 ) 2 ),(

1 ( 2 12 ) 2 ),(

1 (

1 + − =

D n

D η η . (IV.1.24b)

Jeżeli wybierzemy osi Ox i ₁ Ox w taki sposób żeby ₂ η₁₂ = 0 wtedy ze wzoru (IV.1.23) mamy

11 2 1⁻ = η

n , (IV.1.25a)

22 2 2⁻ = η

n , (IV.1.25b)

Po uwzględnieniu wzorów (IV.1.25) z równań (IV.1.24) znajdujemy, że wektor D⁽¹⁾, odpowiadający współczynnikowi załamania n₁= 1/ η₁₁, jest równoległy do osi Ox . ₁ Natomiast wektor D⁽²⁾, odpowiadający współczynnikowi załamania n₂ = 1/ η₂₂ , jest równoległy do osi Ox .₂

Wykazaliśmy więc, że w krysztale w kierunku określonym wektorem k₀

rozchodzą się z różnymi prędkościami dwie spolaryzowane liniowo fale, przy czym ich płaszczyzny polaryzacji (płaszczyzny stworzone z drgających wektorów E^(1),(2)

oraz wektora falowego k ) są względem siebie prostopadłe.

Charakterystyczną powierzchnię obrazującą zmianę wartości współczynnika załamania w zależności od kierunku rozprzestrzeniania się fali w krysztale nazywamy indykatrysą optyczną lub elipsoidą współczynników załamania. Równanie indykatrysy optycznej ma postać

= 1

j i ijxx

η . (IV.1.26) W układzie głównych osi tensora ηij równanie (IV.1.26) przyjmuje postać

2 1

3 2 3 2 2 2 2 2 1 2

1 + + =

n x n x n

x , (IV.1.27)

gdzie współczynniki

3 3 2 2 1 1

, 1 , 1

1

η η

η = =

= n n

n (IV.1.28)

nazywamy głównymi współczynnikami załamania kryształu. We wzorze (IV.1.28)

3 2 1,η ,η

η są główne składowe tensora „nieprzenikalności” dielektrycznej ηij.

Korzystanie z indykatrysy optycznej pozwala stosunkowo łatwo obliczyć współczynniki załamania i polaryzacji fal rozchodzących się w określonym kierunku. Po przecięciu elipsoidy współczynników płaszczyzną prostopadłą do wektora falowego k

otrzymujemy elipsę. W układzie współrzędnych dla którego oś Ox jest równoległa do wektora k₃ 

, a osi Ox i ₁ Ox ₂ pokrywają się z głównymi osiami elipsy równanie elipsy ma postać

2 1

2 2 2 2

1 + =

n x n

x . (IV.1.29)

Tu

22 2

11 1

, 1 1

η

η =

= n

n (IV.1.30)

są współczynnikami załamania światła rozchodzącego się w kierunku prostopadłym do płaszczyzny elipsy. Wektor indukcji D⁽¹⁾ fali ze współczynnikiem załamania n jest ₁ skierowany wzdłuż osi Ox , a wektor indukcji ₁ D⁽²⁾ fali ze współczynnikiem załamania n ₂ będzie skierowany wzdłuż osi Ox ₂.

Jeżeli kryształ posiada elementy symetrii, to kształt i orientacja indykatrysy optycznej podlega takim samym ograniczeniom co i charakterystyczna powierzchnia każdej innej właściwości fizycznej określonej przez tensor drugiego rzędu. Dla kryształów należących do układów heksagonalnego, tetragonalnego i trygonalnego indykatrysa optyczna jest elipsoidą obrotową dookoła odpowiedniej osi symetrii (rys.IV.1.2). Jeżeli wybierzemy oś symetrii jako oś Ox to równanie indykatrysy przyjmie postać3

2 1

2 3 2 2 2 2 2

1 + + =

e o

o n

x n x n

x . (IV.1.31)

Rys.IV.1.2. Indykatrysa optyczna jednoosiowego kryształu

Dla elipsoidy obrotowej istnieje tylko jeden przekrój w postaci koła. Jest to przekrój środkowy, prostopadły do osi symetrii kryształu. Promień tego przekroju kołowego wynosi n_o . Dlatego fala świetlna rozchodząca się w kierunku osi symetrii kryształu nie będzie ulegała podwójnemu załamaniu. Oś tę nazywamy osią optyczną kryształu, a takie kryształy

nazywamy kryształami jednoosiowymi. Inne przekroje środkowe indykatrysy optycznej kryształu jednoosiowego są elipsami. Jedna z osi elipsy ma zawsze długość n . Długość _o drugiej osi elipsy zmienia się od n doo n . Zatem w jednoosiowym krysztale jedna z fal e

świetlnych ma taki sam współczynnik załamania n w dowolnym kierunku rozchodzenia się _o fali. Fale tą nazywamy zwyczajną falą, a współczynnik załamania n tej fali nazywamy o

zwyczajnym współczynnikiem załamania. Współczynnik załamania drugiej fali, który zmienia się od n do o n nosi nazwę współczynnika nadzwyczajnego, a fale tę nazywamy e

falą nadzwyczajną. Jeżeli n_e − n_o> 0, kryształ nazywamy optycznie dodatnim. Gdy n_e− n_o<

0, mówimy, że kryształ jest optycznie ujemny.

Rys.IV.1.3. Indykatrysa optyczna dwuosiowego kryształu

Dla kryształów układów trójskośnego, jednoskośnego i rombowego elipsoida współczynników załamania jest elipsoidą trójosiową (rys.IV.1.3). Elipsoida trójosiowa ma dwa przekroje kołowe o promieniach równych średniemu co do wartości współczynnikowi załamania n . Stąd fale świetlne rozchodzące się w kierunkach prostopadłych do tych dwóch _m przekrojów kołowych nie będą ulegały podwójnemu załamaniu. Te dwa kierunki nazywamy osiami optycznymi kryształu, a kryształy takie nazywamy kryształami dwuosiowymi. W przypadku kryształu dwuosiowego współczynniki załamania dla dwóch fal zależą od kierunku rozchodzenia się fal, a więc obie fale są falami nadzwyczajnymi.

Dla kryształów należących do układu regularnego elipsoida współczynników załamania jest kulą, a więc dowolne przekroje środkowe indykatrysy optycznej są kołami. Zatem w kryształach układu regularnego w dowolnym kierunku rozchodzi się tylko jedna fala, której współczynnik załamania jest stały. Zjawisko dwójłomności światła w kryształach układu regularnego nie obserwuje się, a więc te kryształy są optycznie izotropowe.

Anizotropia dielektrycznych własności kryształów powoduje, że w ogólnym przypadku kierunek rozchodzenia się czoła fali (kierunek wektora falowego k₀

) nie pokrywa się z kierunkiem promienia świetlnego, czyli z kierunkiem rozchodzenia się strumienia energii fali świetlnej [17,18]. Kierunek promienia świetlnego określa wektor Poyntinga-Umowa [17,18]

] [ ] 1 [

0

H E B E

S    

×

=

×

= µ . (IV.1.32)

Tu uwzględniliśmy wzór (IV.1.5). Wektor H leży w płaszczyźnie czoła fali. Natomiast wektor E

nie leży w tej płaszczyźnie (rys.IV.1.1), a więc iloczyn wektorowy E

i H nie pokrywa się z kierunkiem wektora falowego k₀

, a leży w płaszczyźnie wspólnej z wektorami D

, E i k₀ (rys.IV.1.1). Ponieważ w kierunku wektora k₀

rozchodzą się dwie fale z wektorami indukcji elektrycznej D⁽¹⁾ i D⁽²⁾, odpowiadającymi im promieniami świetlnymi będą S⁽¹⁾ i S⁽²⁾. Z wektorem falowym k₀

promieni świetlne S⁽¹⁾

i S⁽²⁾ tworzą kąty α i β :

) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 (

cos

E D

E D ⋅

α = , (IV.1.33)

) 2 ( ) 2 (

) 2 ( ) 2 (

cos

E D

E D ⋅

β = , (IV.1.34)

Ze wzoru (IV.1.32) wynika, że jednostkowy wektor s= S/S wzdłuż promienia świetlnego jest prostopadły do wektorów E

i H , czyli 0

)

(s⋅E = , (s⋅H)= 0 . (IV.1.35) Korzystając ze wzorów (IV.1.13) i (IV.1.14), obliczymy iloczyny wektorowe wektora s oraz wektorów D i H:

q H k c

s H H s c k n

H k c s D n s



 



 



 

 

⋅ ⋅

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

=

×

×

−

=

×

)} 1 (

) ( {

]]

[ [ ] [

0 0

0

, (IV.1.36a)

q E k c

s E E s c k

n

E k c s

H n s

 

 

 



 

 



⋅ ⋅

−

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

×

×

=

×

) ( )} 1 ( ) ( {

]]

[ [ ]

[

0 0

0 0

0 0

µ µ

µ . (IV.1.36b)

Tu

α cos

1 )

( 1

0 = ⋅

⋅

= ⋅

k n s

q n   . (IV.1.37) Ponieważ prędkość rozchodzenia się energii fali świetlnej w kierunku promienia świetlnego wynosi u= υ ^/cosα , wielkość q= 1/(n⋅cosα )= u/c jest odwrotnie proporcjonalna do współczynnika załamania.

Porównajmy teraz równania Maxwella dla wektora falowego k₀

(równania (IV.1.13) i (IV.1.14), oraz (IV.1.3)) z równaniami (IV.1.36) i (IV.1.19) dla wektora promienia świetlnego

s:

wektor k₀ Wektor s

D c H k

n   

−

=

× ]

[ ₀

H c E k

n   

0

0 ]

[ × = µ

j ij

i D

E = η0η

E c H s

q   

] 0

[ × = − ε H c D s

q   

0

0 ]

[ ×η = µ

j ij

i E

D = ε0ε

(IV.1.38)

Ze wzorów (IV.1.38) wynika, że układ równań dla wektora falowego k₀

przechodzi do układu równań dla wektora promienia świetlnego s, jeżeli w tych równaniach wykonamy zamianę:

q n s

k H H E D

D

E⇒ η₀ ,  ⇒ ε₀,  ⇒ , ₀ ⇒ , η_ij ⇒ ε_ij, ⇒

. (IV.1.39) Korzystając z podobieństwa układów równań dla wektorów k₀

i s możemy z otrzymanych wyżej wyników dla wektora falowego k₀

od razu otrzymać wyniki dla wektora promienia

świetlnego s. Dla promienia świetlnego rolę powierzchni charakterystycznej odgrywa elipsoida Frenell’a

.

= 1

j i ijxx

ε (IV.1.40) Dla optycznie dwuosiowego kryształu elipsoida Frennell’a jest elipsoidą trójosiową i w układzie głównych osi tensora przenikalności dielektrycznej εij równanie elipsoidy Frennell’a ma postać

.

2 1

3 2 3 2 2 2 2 2 1 2

1x + n x + n x =

n (IV.1.41) Tu n₁= ε₁ =1 η₁ , n₂ = ε₂ =1 η₂ , n₃ = ε₃ =1 η₃ .

Dla optycznie jednoosiowego kryształu równanie elipsoidy Frennell’a ma postać .

2 1

3 2 2 2 2 0 2 1 2

0x + n x + n x =

n _e (IV.1.42) Dla kryształów układu regularnego elipsoida Frenell’a jest kulą o promieniu q= 1/n.

Przykład IV.1.1. Znajdziemy kąt między wektorem falowym k₀

i promieniem s fali świetlnej rozchodzącej się w krysztale LiNbO3 (grupa punktowa – 3m; główne wartości tensora nieprzenikalności dielektrycznej są równe: η₁ = η₂ = 0,023; η₃ = 0,03) w kierunku, który tworzy kąt 45⁰ z osią 3-krotną.

Kryształ LiNbO3 należy do układu trygonalnego, a więc jest to kryształ optycznie jednoosiowy. W układzie głównych osi tensora ηij wektor falowy k₀

ma składowe ( θ

θ , 0, cos

sin ) (rys.IV.1.4). Rozważmy układ współrzędnych Ox₁^/, Ox₂^/ = Ox₂, Ox₃^/ w którym oś Ox pokrywa się z kierunkiem wektora ₃^/ k₀

(rys.IV.1.4).

Macierz αij^/, określająca przejście od jednego układu współrzędnych do drugiego ma postać:

[ ]













−

=

θ θ

θ θ

α

sin 0

cos

0 1 0

cos 0 sin

ij/ . (IV.1.43)

Korzystając z reguł przekształcenia składowych tensora drugiego rzędu, znajdujemy, że w układzie współrzędnych Ox₁^/,Ox₂^/,Ox₃^/ tensor η_ij^/ ma postać

Rys.IV.1.4. Przekrój indykatrysy optycznej płaszczyzną x1Ox3

[ ]













+

−

− +

=

θ η θ η θ

θ η θ θ η

η

θ θ η θ θ η θ

η θ η η

2 3 2 1 3

1

1

3 1

2 3 2 1 /

sin cos

0 cos sin cos

sin

0 0

cos sin cos

sin 0

cos sin

ij . (IV.1.44)

Kierunki wektorów D⁽¹⁾ i D⁽²⁾ znajdziemy z rozwiązania układu równań (IV.1.24) 0

1 )

( _{2 2}^(1),(2) ₁₂^/

2 , 1 / 11 ) 2 ),(

1 (

1 η − + D η =

D n , ( IV.1.45a)

0 1 )

( ₂

2 , 1 / 22 ) 2 ),(

1 ( 2 / 12 ) 2 ),(

1 (

1 + − =

D n

D η η , (IV.1.45b)

gdzie, zgodnie z (IV.1.23) i (IV.1.44):

/ 11 2 / 12 2

/ 22 / 11 /

22 / 11 2

1 [( ) ( ) (2 ) ]

2

1 η +η + η −η + η = η

=

n− , (IV.1.46a)

1 / 22 2 / 12 2

/ 22 / 11 /

22 / 11 2

2 [( ) ( ) (2 ) ]

2

1 η + η − η −η + η = η = η

=

n− . (IV.1.46b)

Po podstawieniu (IV.1.46) do układu równań (IV.1.45) otrzymujemy, że wektory D⁽¹⁾ jest skierowany wzdłuż osi Ox (₁^/ D⁽¹⁾=(D₁⁽¹⁾,0,0)). Natomiast wektor D⁽²⁾ jest skierowany wzdłuż osi Ox₂^/ = Ox₂ (D⁽²⁾ = (0,D₂⁽²⁾,0)

). Wektory E⁽¹⁾ i E⁽²⁾ znajdziemy korzystając ze wzoru

j ij

i D

E = η0η .

Skąd dla składowych wektora E⁽¹⁾ mamy

. cos

sin ) (

, 0

, ) cos sin

(

) 1 ( 1 3

1 0 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2

) 1 ( 1 2 3 2 1 0 ) 1 ( 1

D E

E

D E

⋅

−

=

=

⋅ +

=

θ θ η η η

θ η

θ η η

(IV.1.47)

Kąt między wektorami k₀

i s znajdujemy stosując wzór (IV.1.33):

9925 , 0 2

1

) 2(

1

cos sin

cos cos sin

2 3 2 1

3 1

2 2 3 2 2 1

2 3 2 1 ) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 (

= +

= +

+ =

= +

⋅

= ⋅

η η

η η

θ η

θ η

θ η

θ α η

D E

D E 





.

Stąd mamy

70

α = .

Wektor E⁽²⁾ określa polaryzację fali zwyczajnej i jest równoległy do wektora D⁽²⁾. Składowe wektora E⁽²⁾ są równe E⁽²⁾ = (0,η ₀η₁D₂⁽²⁾,0)

, a więc dla fali zwyczajnej k s

0 || i β = 0.

Przykład IV.1.2. Przy przejściu światła przez kryształ optycznie anizotropowy zachodzi nie tylko podwójne załamanie światła, a również polaryzacja powstałych wiązek świetlnych.

Zjawisko to stosuje się w urządzeniach służących do wytwarzania (polaryzatory) oraz do badania (analizatory) światła spolaryzowanego. Najstarszym z tych urządzeń jest pryzmat Nicola, nazywany nikolem. Pryzmat Nicola zawiera dwie sklejone części z kryształu kalcytu tak, aby promień zwyczajny został odbity całkowicie od powierzchni sklejenia, a promień nadzwyczajny przechodził przez nią bez zmiany kierunku. Promień nadzwyczajny wychodzący z nikola jest spolaryzowany w kierunku wyznaczonym przez położenie przekroju głównego kryształu, czyli w płaszczyźnie przekroju zawierającego oś optyczną.

Wyprowadźmy wzór na natężenie światła, przechodzącego przez układ: polaryzator – kryształ – analizator (rys.IV.1.5), zakładając, ze płaszczyzny drgań w analizatorze i polaryzatorze tworzą kąt γ (płaszczyzny A i P na rys.IV.1.5), a płaszczyzny drgań (płaszczyzny I i II na rys.IV.1.5) w krysztale tworzą kąty α i β z odpowiednimi płaszczyznami polaryzatora i analizatora.

Rys.IV.1.5. Przekrój indykatrysy optycznej płaszczyzną powierzchni płytki

Jeżeli oznaczmy przez n i ₁ n współczynniki załamania światła spolaryzowanego ₂ odpowiednio w kierunkach I i II , a przez d oznaczmy grubość płytki krystalicznej, to różnica faz dwóch fał (fali spolaryzowanej wzdłuż kierunku I i fali spolaryzowanej wzdłuż kierunku II ) wynosi

) 2 (

2

1 n

n

d −

= λ

ϕ π . (IV.1.48)

Niech I jest natężenie wiązki światła wychodzącej z polaryzatora. Amplitudę tej wiązki 0

określa punkt P na rys. IV.1.5 (OP= I₀ ). Z rys.IV.1.5 wynika, że amplitudy fal spolaryzowanych w krysztale wzdłuż kierunków I i II są równe: OM₁ = I₀ ⋅cosα ,

α

0 sin

2 = I ⋅

OM . Natężenie wiązki światła wychodzącej z analizatora określa wzór ϕ

cos ) )(

( 2 ) ( )

(OA₁ ² OA₂ ² OA₁ OA₂

I = + − .

Ponieważ OA₁ = I₀ ⋅cosα ⋅cosβ i OA₂ = I₀ ⋅sinα ⋅sinβ , to na natężenie światła przechodzącego przez układ: polaryzator – kryształ – analizator otrzymujemy następujący wzór

) 2 / ( sin 2 sin 2 sin

cos² ₀ ²

0⋅ γ + ⋅ α ⋅ β ⋅ ϕ

= I I

I . (IV.1.49)

Tu uwzględniliśmy, że α + β + γ = 180⁰.

Ze wzoru (IV.1.49) wynika, że jeżeli nikole są skrzyżowane (γ = 90⁰, α + β = 90⁰), to

) cos 1 ( ) 4 cos 1 4 ( 1

) 2 / ( sin 2 sin

0

2 2

0

ϕ α

ϕ α

−

⋅

−

=

⋅

⋅

= I

I I

. (IV.1.50)

A zatem maksymalne natężenie światła będzie miała płytka dla której różnica faz wynosi π

ϕ = . Przy obrocie kryształu dookoła osi normalnej do płytki krystalicznej będziemy cztery razy obserwowali całkowite wygaszanie światła (przy α = 0,π 2,π ,3π 2) i całkowite przepuszczanie światła (przy α = π 4,3π 4,5π 4,7π 4).

Jeżeli nikole są zorientowane w taki sposób, że (γ = 0⁰, α + β = 180⁰), to )]

2 / ( sin 2 sin 1

[ ^{2 2}

0 ⋅ − α ⋅ ϕ

= I

I . (IV.1.51) Ze wzoru (IV.1.51) wynika, że przy obrocie kryształu dookoła osi normalnej do płytki krystalicznej również będziemy cztery razy obserwowali całkowite wygaszanie i przepuszczanie światła, ale w porządku odwrotnym: przepuszczanie światła będziemy obserwowali przy α = 0,π 2,π ,3π 2, a całkowite wygaszanie światła będziemy obserwowali przy α = π 4,3π 4,5π 4,7π 4.

Przykład IV.I.3. Znajdziemy kąt załamania ψ fali nadzwyczajnej dla światła padającego pod kątem ϕ na płytkę z optyczne jednoosiowego kryształu (na przykład kryształu kalcytu). Oś optyczna kryształu leży w płaszczyźnie padania światła i tworzy kąt β z wektorem normalnym do powierzchni płytki.

Przy rozwiązaniu zadania będziemy rozważać płaską falę świetlną jako foton o pędzie k

p 

 =  (tu  - stała Plancka, a k - wektor falowy) i skorzystamy z faktu, że składowa wektora falowego k

równoległa do powierzchni płytki musi być ciągła na tej powierzchni [17,18].

Dla znalezienia kąta załamania ψ prowadźmy z punktu padania fotonu O okręg o promieniu k1

(k₁

- wektor falowy padającego na płytkę fotonu) (rys.IV.1.6). Z tego samego punktu O prowadźmy teraz elipsę. Każdy z punktów elipsy określa możliwy wektor falowy

k2

fotonu w płytce. Dalej postępujemy następująco. Przedłużając prostą AO do przecięcia z okręgom otrzymujemy punkt P . Przecięcie linii prostopadłej do powierzchni płytki i przechodzącej przez punkt P z elipsą określa punkt B (rys.IV.1.6). Łącząc punkty O i B otrzymujemy prostą OB która właśnie określa kierunek rozchodzenia się fali nadzwyczajnej w

płytce. Istotnie, z rys.IV.1.6 wynika, że wektory k₁ = AO

i k₂ = OB

będą miały taką samą składową na powierzchni płytki.

Dla wektora falowego skierowanego wzdłuż osi optycznej n= n0, a dla fali nadzwyczajnej rozchodzącej się w kierunku prostopadłym do osi optycznej n= n_e. A zatem, biorąc pod uwagę, iż k ( c) n k₀

⋅

⋅

= ω , równanie elipsy przedstawionej na rys.IV.1.6 w układzie głównych osi elipsy możemy zapisać w postaci

2 1 2 3 3 2 2 2 2

2 3 2 2

2 x x k

n x n x

o e

= +

=

+ η η . (IV.1.52)

Tu wprowadziliśmy oznaczenia: η₂ = 1/n_e², η₃ = 1/n_o²; k₁² = ( cω )².

Zapiszmy teraz równanie elipsy (IV.1.52) w układzie współrzędnych x₂^/Ox₃^/, dla którego oś

/

Ox pokrywa się z kierunkiem wektora normalnego do powierzchni płytki.2

Rys.IV.1.6. Przekrój indykatrysy optycznej płaszczyzną polaryzacji światła (x2Ox3) W układzie x₂^/Ox₃^/ równanie (IV.1.52) przyjmuje postać

2 1 2 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2

2^{/ /}x ^/ + 2η ^{/ /}x ^/x ^/ + η ^{/ /}x^/ = k

η , (IV.1.53)

gdzie składowe tensora nieprzenikalności ηi^/j^/ są związane ze składowymi tensora ηij

równaniami

3 2 2 2 3

2 3 2 2 2

2 2 2

2/ / α /η α /η cos γ η sin γ η

η = + = ⋅ + ⋅ , (IV.1.54a)

3 2 2 2 3 2

3 2 3 2

2 3 3

3/ / α /η α /η sin γ η cos γ η

η = + = ⋅ + ⋅ , (IV.1.54b)

) (

sin

cos _{2 3}

3 3 3 3 2 2 2 3 2 2 3

2^{/ /} α ^/α ^/η α ^/α ^/η γ γ η η

η = + = ⋅ − . (IV.1.54c)

Tu γ = 90⁰ − β .

Rozważmy teraz koniec wektora falowego k₂

(punkt B ) na elipsie, określoną wzorem (IV.

1.53). Uwzględniając, że ctgψ = x₂^/ x₃^/ oraz x₃^/ ≡ (k₂)₃/ = k₁⋅sinϕ i podstawiając wzory (IV.

1.54) do wzoru (IV.1.543), otrzymujemy

sin 0 ) 1 sin

(cos

ctg 2 sin ) (

ctg ) cos

(sin

3 2 2 2 2

3 2 2

3 2 2 2

=

−

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅

− +

⋅

⋅ +

⋅

η ϕ β η

β

ψ β η

η ψ η

β η

β

. (IV.1.55)

Skąd mamy

) cos

(sin 2

sin ) cos sin

( 2 2 sin ) ctg (

3 2 2 2

3 2 2 2

3 2 2 2

3

η β η

β

η η ϕ β

η β η

β η

ψ η

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅

±

⋅

= − . (IV.1.56)

Ze wzorów (IV.1.55) i (IV.1.57) wynika, że w przypadku fali zwyczajnej, dla której

2 3 2 = η ≡ 1 n_o

η , mamy

no

ψ = ϕ sin

sin . (VI.1.57)

Wzór (VI.1.57) jest dobrze znanym z optyki ośrodków izotropowych jako prawo W.

Snelliusa.

Zadania do § IV.1.1

1. Znaleźć kąt α między wektorem falowym k₀

i promieniem s fali świetlnej rozchodzącej się w krysztale turmaliny ((Na,Ca)(Mg,Li,Al)₃Al₆[BO₃][Si₆O₁₈]grupa punktowa – 3m; główne wartości tensora przenikalności dielektrycznej są równe: ε₁ = ε₂ = 8,2;ε₃ = 7,5) w kierunku, który tworzy kąt 30⁰ z osią 3-krotną.

Odpowiedź: α = 1,03⁰.

2. Oś optyczna płytki o grubości 0.01cm, wyciętej z kryształu kwarcu znajduje się w płaszczyźnie płytki. Biorąc pod uwagę, że dla kwarcu n_e = 1.553, n_o = 1.544 (dla fali świetlnej o długości λ = 0.589µm) obliczyć różnicę faz między falą zwyczajną i nadzwyczajną.

Odpowiedź: ∆ϕ = 0.24rad.

3. Wykazać, że jeżeli oś optyczna płytki krystalicznej jest prostopadła do powierzchni płytki, to wektory falowe fal załamanych oraz oś optyczna znajdują się w jednej płaszczyźnie.

4. Obliczyć natężenie światła, przechodzącego przez układ: polaryzator – kryształ – analizator (rys.IV.1.5), zakładając, ze płaszczyzny drgań w analizatorze i polaryzatorze są skrzyżowane, a oś optyczna płytki o grubości 0.5cm z kryształu KDP (n_e = 1.469, n_o = 1.511 dla fali świetlnej o długości λ = 0.546µm) leży w płaszczyźnie płytki i tworzy kąt 45 z kierunkiem ⁰ drgań światła w polaryzatorze.

Odpowiedź: I/I₀ = 0.616. IV.2 Zjawisko elastooptyczne

Zmiana optycznych właściwości kryształu pod wpływem działania na kryształ naprężeń nosi nazwę zjawiska elastooptycznego albo piezooptycznego. Optyczne właściwości kryształu określa elipsoida współczynników załamania światła czyli tensor nieprzenikalności dielektrycznej ηij. Pod wpływem zewnętrznych naprężeń zachodzi zmiana składowych tensora ηij. W przypadku małych zmian kształtu, wymiarów oraz orientacji elipsoidy współczynników załamania światła te zmiany możemy opisać równaniem

ij ij

ij η η

η = −

∆ ⁰ . (IV.2.1) Tu ηij⁰ jest tensor nieprzenikalności dielektrycznej nie deformowanego kryształu, a ηij - tensor nieprzenikalności dielektrycznej kryształu deformowanego.

Wielkości ∆ηij są w ogóle niewiadomymi funkcjami składowych tensora naprężeń t . kl

Jednak w przypadku niewielkich zmian tensoraηij, zależności ∆ηij od t z dobrym _kl przybliżeniem (przybliżenie liniowe) możemy opisać wzorem

kl ijkl

ij = ⋅t

∆η π . (IV.2.2) Współczynniki π ijkl, które tworzą składowe tensora czwartego rzędu, nazywamy współczynnikami piezooptycznymi.

Ponieważ składowe tensora naprężenia t są związane ze składowymi tensora deformacji kl

r prawem Hooke’a (ij tij = cijkl ⋅rkl), zmiany tensora dielektrycznej nieprzenikalności możemy wyrazić również przez składowe tensora deformacji rij

kl ijkl

ij = p ⋅r

∆η . (IV.2.3) Tu wielkości pijkl = π ijmn⋅cmnkl są składowymi tensora czwartego rzędu i noszą nazwę współczynników elastooptycznych.

Korzystając z reguł macierzowego zapisu składowych tensora (patrz rozdział III) wzory (IV.2.2) i (IV.2.3) możemy zapisać w postaci

n mn

m = ⋅t

∆η π , (IV.2.4)

n mn

m = p ⋅r

∆η . (IV.2.5) Tensory π ijkl i p są tensorami materii, a zatem podlegają ograniczeniom narzucanym zasadą ijkl

Neumanna.

W praktyce najczęstszej wykorzystuje się efekt elastooptyczny podłużny i efekt elastooptyczny poprzeczny. W przypadku efektu elastooptycznego podłużnego kierunek działania naprężenia ściskającego płytkę krystaliczną pokrywa się z kierunkiem promienia fali świetlnej. Dla efektu elastooptycznego poprzecznego te kierunki są wzajemnie prostopadłe.

Przykład IV.2.1. Dla kryształów należących do układu regularnego elipsoida współczynników załamania jest kulą, a zatem zjawisko dwójłomności światła w kryształach układu regularnego nie obserwuje się. Rozważmy poprzeczny efekt elastooptyczny w kryształach klasy m3m w przypadku, gdy kryształ został ściśnięty wzdłuż osi symetrii 4-krotnej.

Wybierzmy osi współrzędnych Ox₁,Ox₂,Ox₃ wzdłuż trzech wzajemnie prostopadłych 4- krotnych osi symetrii i niech kryształ został ściśnięty wzdłuż osi Ox . Wtedy tensor naprężenia 3

ma jedną niezerową składową t₃ ≡ t. Zgodnie ze wzorem (IV.2.4) to naprężenie wywołuje następujące zmiany składowych tensora nieprzenikalności dielektrycznej

3 3 t

m

m = ⋅

∆η π . (IV.2.6) W kryształach klasy m3m tensor współczynników elastooptycznych π mn ma postać (patrz zadanie 1)

[ ]

























=

44 44 44 11 12 12

12 11 12

12 12 11

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

π π π π π π

π π π

π π π

π mn . (IV.2.7)

A zatem ze wzoru (IV.2.6) mamy

⋅t

=

∆

=

∆η₁ η₂ π₁₂ , ∆η₃ = π₁₁⋅t, ∆η₄ = ∆η₅ = ∆η₆ = 0 . (IV.2.8) Biorąc pod uwagę (IV.2.8), otrzymujemy równanie dla indykatrysy optycznej

1 ) (

) (

) (

) (

) (

) (

2 3 11 0 2 2 2 1 12

0

2 3 3 0 2 2 2 0 2 1 1 0

=

⋅ + + +

⋅

⋅ +

=

∆ + +

∆ + +

∆ +

x t x

x t

x x

x

π η π

η

η η η

η η

η , (IV.2.9)

gdzie η₀ = 1/n_o² i n - współczynnik załamania światła do deformacji kryształu.o

Ze wzoru (IV.2.9) wynika, że indykatrysa kryształu regularnego po ściśnięciu kryształu wzdłuż osi symetrii 4-krotnej przyjmuje kształt elipsoidy obrotowej. Główne współczynniki załamania światła są równe

t n n n

n

o

o 3 12

0 1 0

2 / 1 0

1 0

1 0 2 1

2 ) 1

2 1 1 1 (

) 1

1 ( 1

η π η η

η η η

η η

−

∆ =

−

≈

+ ∆

∆ =

= +

= ⁻

,

t n n n

o

o 3 11

0 3 0

2 / 1 0

3 0

3 0 3

2 ) 1

2 1 1 1 (

) 1

1 ( 1

η π η η

η η η

η η

−

∆ =

−

≈

+ ∆

∆ =

= + ⁻

.

Wielkość dwójłomności światła rozchodzącego się wzdłuż kierunku prostopadłego do osi Ox ₃ określa wzór

t n

n n

n= − = − _o − ⋅

∆ ( )

2 1

12 11 3 1

3 π π .

Przykład IV.2.2. Rozważmy efekt elastooptyczny w kryształach klasy m3m w przypadku, gdy kryształ został ściśnięty wzdłuż osi symetrii 3 - krotnej.

W danym układzie krystałicznym tensor naprężenia jednoosiowego działającego wzdłuż osi 3 – krotnej, która pokrywa się z kierunkiem [111], ma postać

[ ]

















=

t t t

t t t

t t t t_n

3

1 . (IV.2.10)

Zgodnie z (IV.2.4) i (IV.2.7) zmiany składowych tensora nieprzenikalności dielektrycznej wynoszą

⋅t +

=

∆

=

∆

=

∆ ( 2 )

3 1

12 11 3

2

1 η η π π

η , , ∆ ₄ = ∆ ₅ = ∆ ₆ = ₄₄⋅t

3 1π η η

η . (IV.2.11)

Biorąc pod uwagę (IV.2.11), otrzymujemy równanie dla indykatrysy optycznej 1 ) (

2 )

( ₁²+ ₂² + ₃² + ⋅ _{1 2} + _{1 3} + _{2 3} =

⋅ x x x b xx x x x x

a , (IV.2.12)

gdzie

t a= + ( + 2 )⋅

3 1

12 11

0 π π

η , b= ₄₄⋅t

3

2 1π .

Ze wzoru (IV.2.12) wynika, że dla odkształconego kryształu układ krystałofizyczny nie jest układem osi głównych indykatrysy optycznej. Znajdziemy główny układ osi indykatrysy optycznej.

Z równania

0 ] 2 ) ( )

[(

)

( − − ⋅ − ² + ⋅ − − ² =

=

−

−

−

b a

b a

b a a

b b

b a

b

b b

a

η η

η η

η η

,

otrzymujemy

b a−

=

= ₂

1 η

η , η₃ = a 2+ b . (IV.2.13) Ze wzoru (IV.2.13) wynika, że optyczna indykatrysa kryształu odkształconego jest elipsoidą obrotową (η1 = η2 ≠ η3). A więc deformacja kryształu regularnego wzdłuż osi 3 – krotnej powoduje, że kryształ będzie optycznie jednoosiowy. Kierunek głównej osi indykatrysy optycznej odpowiadającej η₃ znajdziemy z rozwiązania układu równań

0 ) (

3 ) (

)

(a−η₃ ⋅c₁+ b⋅ c₂ + c₃ = − b⋅c₁+ b⋅ c₁+ c₂ + c₃ = , 0 ) (

3 ) (

)

(a−η₃ ⋅c₂ + b⋅ c₁+ c₃ = − b⋅c₂ + b⋅ c₁ + c₂ + c₃ = ,

0 ) (

3 ) (

)

(a− η₃ ⋅c₃ + b⋅ c₂ + c₃ = − b⋅c₃+ b⋅ c₁ + c₂ + c₃ = ,

2 1

3 2 2 2

1 + c + c =

c .

Rozwiązanie tych równań ma postać

3 1

3 2

1 = c = c =

c .

A zatem kierunek osi optycznej deformowanego kryształu, pokrywa się z kierunkiem [111], czyli z kierunkiem działania naprężenia jednoosiowego.

Równanie indykatrysy optycznej deformowanego kryształu w układzie głównych osi tensora nieprzenikalności ma postać

1 ] ) 2

3( [ 1

) (

] 2 )

2 1 3(

[ 1

2 44 3 12 11 0

2 2 2 44 1

12 11 0

/

/ /

=

⋅ + + +

+

+

⋅

⋅

− + +

x t

x x t π π π η

π π

π η

. (IV.2.14)

Ze wzoru (IV.2.14) wynika, że główne współczynniki załamania światła są równe

t n

n n

n

o

o − + − ⋅

∆ =

−

≈

+ ∆

∆ =

= +

= ⁻

2 ) 2 1 6 (

) 1 2 1 1 1 (

) 1

1 ( 1

44 12

11 3 0

1 0

2 / 1 0

1 0

1 0 2 1

π π

η π η η

η η η

η η

,

t n

n n

o

o − + + ⋅

∆ =

−

≈

+ ∆

∆ =

= + ⁻

) 2

6 ( ) 1

2 1 1 1 (

) 1

1 ( 1

44 12 11 3 0

3 0

2 / 1 0

3 0

3 0 3

π π η π

η η

η η η

η η

.

Wielkość dwójłomności światła rozchodzącego się wzdłuż kierunku prostopadłego do osi Ox 3

określa wzór

t n n

n

n= − = − _o ⋅

∆ _{3 1} ³ ₄₄

4

1 π .

Zadania do §IV.2

1. Wykazać, że macierz współczynników elastooptycznych kryształów klasy 43m ma postać