Metody otrzymywania i właściwości optyczne materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania

Metody otrzymywania i właściwości optyczne materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania

Praca dyplomowa magisterska

Milena Dziębaj

Opiekun:

dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda prof. PWr.

Wrocław 2006

Wydział Podstawowych Problemów Techniki

Serdecznie dziękuję

Panu profesorowi Włodzimierzowi Salejdzie za pomoc, cenne uwagi merytoryczne

i wsparcie w trakcie pisania tej pracy

Spis treści

Cel pracy ...4

Wykaz waŜniejszych oznaczeń i skrótów...5

I Wprowadzenie ...6

I.1 Ukryte właściwości równań Maxwella... 7

I.2 Ośrodek „dodatni” ... 10

I.3 Ośrodek „ujemny” ... 12

II Wytwarzanie metamateriałów...15

II.1 Pierwsze materiały o ujemnych parametrach ... 15

Powierzchniowy rezonans plazmowy ... 16

II.2 Tablica długich drutów metalicznych... 18

II.3 Rozproszone rezonatory kołowe ... 23

II.4 Pierwszy ośrodek o ujemnym współczynniku załamania ... 26

II.5 Model linii transmisyjnych... 27

Symulacja rzeczywistego dielektryka ... 28

Symulacja ujemnego współczynnika załamania ... 34

II.6 Nanostruktury z drutów metalicznych... 37

II.7 Metamateriały dla zakresu widzialnego ... 40

III Eksperymenty ...44

III.1 Pierwsze dowody eksperymentalne... 44

Ujemne załamanie – fikcja czy rzeczywistość? ... 47

III.2 Modulacja transmisji fali EM ... 50

III.3 Istnienie fal wstecznych... 53

III.4 Ujemne załamanie światła ... 54

IV Zastosowania ...58

IV.1 Perfekcyjna soczewka... 58

Idealna soczewka płaska... 58

Idealna soczewka sferyczna... 61

IV.2 Urządzenia mikrofalowe... 62

IV.3 Najnowsze odkrycia ... 63

V Transmitancja warstwowych układów optycznych ...65

V.1 Ujemne załamanie fali EM ... 67

V.2 Polaryzacja typu „s” i „p”... 68

V.3 Dyspersja współczynnika załamania ... 69

V.4 Amplitudowe współczynniki transmisji ... 69

V Podsumowanie ...74

Dodatek A – Iloczyn wektorowy ...76

Dodatek B – Magnetyczny potencjał wektorowy...76

Dodatek C – Teoria linii transmisyjnych ...78

Dodatek D – Formalizm macierzowy...82

Bibliografia ...84

Cel pracy

Zjawisko ujemnego załamania opisane w 1967 roku przez Viktora Veselago wywołało oŜywioną dyskusję w świecie naukowym w dziedzinie, której zjawiska i rządzące nimi prawa wszyscy traktowali juŜ jak dogmat. Opisane przez niego ukryte właściwości równań Maxwella wymogły ponowną dogłębną analizę bardzo dobrze znanych juŜ obszarów fizyki.

Celem pracy była analiza syntetyczna osiągnięć naukowych związanych ze zjawiskiem ujemnego załamania fali elektromagnetycznej oraz z wytwarzaniem sztucznych materiałów dielektrycznych (metamateriałów) na przestrzeni lat 1967-2006.

Uzasadnione było to niesłabnącym w ostatnich latach zainteresowaniem naukowców tym zagadnieniem i mnogością publikacji dotyczących tematu. Ze względu na dość liczne głosy krytyki podwaŜające sam fakt istnienia zjawiska ujemnego załamania, w pracy przedstawiono wyniki kilku najbardziej przełomowych eksperymentów, potwierdzających moŜliwość przyjmowania przez współczynnik załamania wartości ujemnych, jak równieŜ inne ciekawe właściwości metamateriałów.

Omówione zostały dotychczasowe osiągnięcia w dziedzinie zwanej niekiedy „nową optyką”. Podstawy fizyczne dotyczące zjawiska ujemnego załamania oraz sposób rozumowania, który doprowadził Veselago do przełomowych wniosków, przedstawione zostały w rozdziale I. Rozdział II stanowi przegląd technologii wytwarzania metamateriałów począwszy od pierwszych prób uzyskania takiego ośrodka, aŜ do stworzonego w tym miesiącu metamateriału dla zakresu optycznego. Szereg prób doświadczalnej weryfikacji właściwości projektowanych ośrodków, z których te najbardziej udane i o kluczowym znaczeniu dla historii zjawiska ujemnego załamania zebrane zostały w rozdziale III, otworzył drogę do dyskusji na temat potencjalnych zastosowań sztucznych ośrodków w Ŝyciu mniej lub bardziej codziennym (rozdział IV).

Rozdział V zawiera wyprowadzenie analitycznych wzorów Fresnela na współczynniki transmitancji i reflektancji dla dwóch warstwowych układów zawierających elementy ujemne oraz opis zachowania się fali EM na granicy ośrodka dodatniego i ujemnego wraz ze schematem polaryzacji poszczególnych składowych fali.

Wykaz wa Ŝ niejszych oznacze ń i skrótów

Skróty

LHM – Left-Handed Material; ośrodek „ujemny”;

RHM – Right-Handed Material, ośrodek „dodatni”;

ALMW – Array of Long Metallic Wires, tablica długich drutów metalicznych;

SRR – Split-Ring Resonators, rozszczepione rezonatory kołowe;

CSRR – Crossed Split-Ring Resonators, skrzyŜowane rozszczepione rezonatory kołowe;

fala EM – fala elektromagnetyczna;

Oznaczenia E

r

– wektor natęŜenia pola elektrycznego;

H r

– wektor natęŜenia pola magnetycznego;

D r

– wektor indukcji elektrycznej;

B r

– wektor indukcji magnetycznej;

S r

– wektor Poyntinga;

k r

– wektor falowy;

ε₀ – przenikalność elektryczna próŜni;

µ0 – przenikalność magnetyczna próŜni;

εr – względna przenikalność elektryczna ośrodka;

µ_r – względna przenikalność magnetyczna ośrodka;

n – współczynnik załamania światła;

ω – częstość fali elektromagnetycznej;

f – częstotliwość fali elektromagnetycznej;

c – prędkość światła w próŜni;

)

v( f – prędkość fazowa fali;

)

v( g – prędkość grupowa fali;

d – grubość warstwy;

rs, rp – amplitudowe współczynniki odbicia dla polaryzacji s i p;

t_s, t_p – amplitudowe współczynniki transmisji dla polaryzacji s i p;

Γ – macierz charakterystyczna ośrodka;

P – macierz propagacji fali w warstwie dielektrycznej;

D – macierz transmisji fali na granicy ośrodków dielektrycznych;

τ – ślad macierzy 2 x 2;

σ – antyślad diagonalny macierzy 2 x 2;

ς – antysymetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 x 2;

η – symetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 x 2;

ΦD – strumień indukcji elektrycznej;

ΦB – strumień indukcji magnetycznej;

j – wektor gęstości prądu.

I Wprowadzenie

W ostatnich kilku latach moŜna zauwaŜyć znaczny wzrost zainteresowania nieznanym dotąd zjawiskiem tak zwanego ujemnego załamania światła. Za inicjatora tej tendencji powszechnie uwaŜa się rosyjskiego fizyka Victora Veselago, jednakŜe zjawisko to było przedmiotem zainteresowania naukowców o wiele wcześniej, bo juŜ na początku XX wieku [1]. Veselago jednak był pierwszym, który swoje przewidywania wyraził otwarcie dodatkowo popierając je spójnym i pełnym uzasadnieniem oczekiwanych zjawisk.

W 1967 roku¹ Victor Veselago w jednej ze swoich publikacji [1], [2] rozwaŜał jak zachowywałaby się fala świetlna padająca na wyimaginowany ośrodek charakteryzujący się obiema jednocześnie ujemnymi przenikalnościami – elektryczną i magnetyczną. Rok później praca ta przetłumaczona została na język angielski [4].

Veselago rozwaŜania swe oparł na wnikliwej analizie równań Maxwella, dzięki czemu odkrył nowe i nieoczekiwane ich właściwości. Konsekwencją tego była teza o istnieniu nowej grupy materiałów charakteryzujących się nieznanymi dotychczas właściwościami, które radykalnie zmieniłyby wiele dobrze znanych – jak się wydawało – zjawisk. Przez wiele lat temat ten nie był poruszany z uwagi na swój jedynie teoretyczny charakter i brak praktycznych moŜliwości realizacji takiego ośrodka. Jednak od końca XX wieku, kiedy J.B.Pendry i in. po raz pierwszy opisali obiecujące zastosowania hipotezy Veselago [5]−[7], zjawisko tak zwanego ujemnego załamania nieodmiennie skupia uwagę świata naukowego.

Niniejszy rozdział zawiera obszerne omówienie teorii wysuniętej przez Victora Veselago. Podkreślone zostały podstawowe róŜnice między materiałami „dodatnimi”

i „ujemnymi”.

1 W większości publikacji wymieniany jest jednak błędnie rok 1968 jako data pierwszej publikacji Victora Veselago na ten temat. Obie prace (w języku rosyjskim z roku 1967 jak i w języku angielskim z roku

I.1 Ukryte właściwości równań Maxwella

Podstawowymi równaniami elektrodynamiki są równania zaprezentowane w 1873 r. przez szkockiego matematyka i fizyka Jamesa Clerka Maxwella [8]−[10]. Celem Maxwella było przedstawienie zjawiska elektromagnetyzmu w jak najprostszy i jednolity sposób.

Równania te – znane dziś jako równania Maxwella – mają następujące postacie² Postać

róŜniczkowa

Postać całkowa

Sens fizyczny

ρV

=

⋅

∇ D

r d _V dV Q

S

=

⋅

=

⋅

∫

∫ ^ρ

ε

₀ ^{Er sr} Prawo Gaussa dla elektryczności – źródłem pola elektrycznego są ładunki

∂ t

−∂

=

×

∇ B

E

r r

dt

d d

^B

L

− Φ

=

∫ ^{E r} ⋅ ^{r l}

Prawo indukcji Faradaya – zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne

=0

×

∇ B

r

∫ ^{⋅ =}

S

d s 0

B r r

Prawo Gaussa dla magnetyzmu – pole magnetyczne jest bezźródłowe, linie pola magnetycznego są zamknięte

∂t +∂

=

×

∇ D

j H

r r

r 



 



 Φ +

=

∫

⋅^{d d}_dt^{E I}

L

0 0 ε µ l B

r

r Prawo Ampere’a–Maxwella – zmienne

pole elektryczne oraz przepływający prąd wytwarzają wirowe pole magnetyczne

Dodatkowo, równania materiałowe mają postać E E

D

r r

r

ε

r

ε ε

= 0

= , (1.1)

H H

B

r r

r

µ

r

µ µ

= 0

= . (1.2)

Na granicy dwóch ośrodków fala elektromagnetyczna musi spełniać następujące warunki ciągłości składowych stycznych wektorów natęŜenia pola elektrycznego E

r i magnetycznego H

r

i składowych normalnych wektorów indukcji elektrycznej D r

(1.1) i magnetycznej B

r

(1.2):

⊥

⊥

⊥

⊥ = _{1 1} = _{2 2} = ₂

1 E E D

D ε ε

⊥

⊥ = 2

1 B

B

||

2

||

1 E

E =

||

2 2

||

2 1

||

|| 1

1 B B H

H = = =

µ µ

(1.3)

gdzie E₁^⊥,E₂^⊥,D₁^⊥,D₂^⊥ to składowe wektora natęŜenia i indukcji pola elektrycznego normalne do kierunku propagacji fali elektromagnetycznej odpowiednio dla ośrodka 1 i 2, analogicznieB₁^⊥,B₂^⊥ – składowe prostopadłe wektora indukcji magnetycznej, zaś E₁^||,E^||₂,B₁^||,B₂^||,H₁^||,H₂^||– składowe styczne.

2 Spis uŜywanych w pracy oznaczeń znajduje się na stronie 5.

Victor Veselago [4] zauwaŜył dwa dodatkowe rozwiązania znanej równości opisującej związek współczynnika załamania ośrodka i jego przenikalności elektrycznej i magnetycznej

r

n² =

ε

r⋅

µ

. (1.4)

Dopuszczając wartości zespolone, uzyskał cztery moŜliwe pierwiastki powyŜszego równania

r

n=+ εr ⋅µ ^, n=+ (−ε_r)⋅(−µ_r)

r

n=− εr ⋅µ ^{, n}=− ⁽−ε_r⁾⋅⁽−µ_r⁾ (1.5) Aby sprawdzić, które z powyŜszych moŜliwości są dopuszczalne, Vesalago rozpatrzył równania Maxwella dla monochromatycznej fali płaskiej o postaci

) ( 0

t

e

i^{⋅ ⋅ − ⋅}

⋅

= E

^{kr ω}

E

rr

r r

, (1.6)

) ( 0

t

e

i^{⋅ ⋅− ⋅}

⋅

= B

^{kr ω}

B

rr

r r

. (1.7)

Równania Maxwella dla takiej fali prowadzą do równości

H E

k

r r

r × = µ

₀

⋅ µ

_r

⋅ ω ⋅

^{, (1.8)}

E H

k

r r

r × = − ε

0

⋅ ε

r

⋅ ω ⋅

, (1.9)

gdzie E r

– wektor natęŜenia pola elektrycznego, H r

– wektor natęŜenia pola magnetycznego, kˆ – wersor na kierunek k

r , k

r

– wektor falowy

k k = ⋅ ⋅ ˆ

c n ω

r (1.10)

Uwzględniając wzór

(1.10) otrzymujemy następujące równania:

H E

k

r

r = ⋅ ⋅ ⋅

×

⋅ ω ⋅ µ µ ω

c

r

n

ˆ

0 _{, (1.11)}

E H

k

r r = − ⋅ ⋅ ⋅

×

⋅ ω ⋅ ε ε ω

c

r

n

ˆ

0 _{, (1.12)}

z których wynikają następujące cztery moŜliwe rozwiązania:

• jeŜeli µr >0 ^{, to} n>⁰;

• jeŜeli µ <0 ^{, to} n<⁰;

• jeŜeli εr >0 ^{, to} n>⁰;

• jeŜeli εr <0 ^{, to} n<⁰.

Następnie zestawiając wszystkie przypadki otrzymujemy tylko dwie moŜliwości zgodne z równaniami Maxwella i nie zmieniające ich postaci:

• gdy µr >0 ⁱ εr >^{0 , to} n>⁰ (1.13)

• gdy µr <0 ⁱ εr <^{0 , to} n<⁰ (1.14) Oznacza to, iŜ równania Maxwella dopuszczają dwa spośród przytoczonych wcześniej zespolonych równań na bezwzględny współczynnik załamania ośrodka

r

n = + ε

r

⋅ µ

, (1.15)

) ( )

(

_{r r}

n = − − ε ⋅ − µ

. (1.16)

Pierwsza z powyŜszych zaleŜności (1.15) odpowiada ośrodkowi określanemu przez Veselago mianem prawoskrętnego, zaś druga (1.16) tak zwanemu ośrodkowi lewoskrętnemu.

Opisywane tu materiały, ze względu na swoją krótką historię, nie mają jeszcze jednoznacznie ustalonej nazwy. W głównych pozycjach literaturowych [4] zauwaŜyć moŜna pewną dowolność w tej kwestii. Ośrodki charakteryzujące ujemne załamanie nazywane są na przykład materiałami lewoskrętnymi³, jednak określenie to zostało juŜ uŜyte w opisie ośrodków chiralnych [12]. Innym zaproponowanym terminem jest materiał wsteczny⁴ uŜyty przez Lindell’a i in. [13], jednak termin ten z góry narzuca definicję kierunku wstecznego oraz stwarza problemy przy opisie innych niŜ płaskie czoła fali. Ziółkowski i Heyman w swojej pracy [14] uŜywają określenia materiał podwójnie ujemny ⁵ , które wyraźnie sugeruje jednoczesną ujemność rzeczywistych składowych przenikalności elektrycznej i magnetycznej, jednak nie podkreśla dostatecznie znaczenia efektów rozpraszania. Kolejnymi spotykanymi w wielu publikacjach terminami są materiał o ujemnym współczynniku załamania⁶ oraz materiał o ujemnej prędkości fazowej⁷, które są dość trafnymi nazwami dla tego typu ośrodków. W tej pracy uŜyte zostały dwa ostatnie określenia, jak równieŜ ośrodek „dodatni” oraz ośrodek „ujemny” intuicyjnie odnoszące się do dodatniego i ujemnego kąta załamania w omawianych ośrodkach. Ponadto naleŜy mieć na uwadze, iŜ uŜywane tu określenie metamateriał domyślnie oznacza sztuczny materiał ujemnie załamujący fale elektromagnetyczne.

3 LHM (left-handed medium)

4 BW (backward medium)

5 DNG (double negative medium)

6 NIM (negative index medium)

7 NPV (negative phase-velocity medium)

I.2 Ośrodek „dodatni”

Ośrodki, których współczynnik załamania opisać moŜna wzorem (1.15), zwane przez Veselago ośrodkami prawoskrętnymi, stanowią dobrze poznaną grupę powszechnie istniejących materiałów. Propagacja fal elektromagnetycznych przez takie ośrodki jest przedmiotem zainteresowania między innymi optyki czy akustyki i została juŜ wielokrotnie i wyczerpująco omówiona [8]−[10], [15]. Zachowanie fali EM w takim ośrodku określają prawa odbicia i załamania [10], zaś wektory E

r , H

r i k

r

opisujące falę tworzą prawoskrętną trójkę (Rys. 3).

Szybkość, z jaką fala elektromagnetyczna przemieszcza się w przestrzeni określić moŜna mierząc jak zmienia się połoŜenie pewnego jej fragmentu, czyli jak szybko w ośrodku przemieszcza się jej faza [10]. Mówimy wtedy o prędkości fazowej fali v^(f) i taki opis dobrze sprawdza się w przypadku fali monochromatycznej. JeŜeli mamy do czynienia z falą modulowaną – jaką jest rzeczywista fala elektromagnetyczna – złoŜoną z kilku sinusoidalnych fal składowych o róŜnej częstotliwości, to prędkość propagacji energii moŜe być inna niŜ prędkość fazowa fal składowych. Wtedy mówimy o prędkości przemieszczania się obwiedni lub paczek falowych, czyli o prędkości grupowej fali v^(g) (Rys. 1).

Rys. 1 Dwie fale sinusoidalne y₁ i y₂ o zbliŜonych częstotliwościach i długościach fal oraz obwiednia ich sumy (linia przerywana) rozchodzi się z prędkością grupową [16].

Prędkość fazową moŜna opisać zaleŜnością

π ω λ ω λ

2

)

( = = ⋅ f =

v ^f k . (1.17)

PoniewaŜ dla fal elektromagnetycznych częstość ω zaleŜna jest od wektora falowego (długości fali)

)

( ck

k =

ω ^, (1.18)

więc prędkość fazowa wyraŜa się jako

) (

) (

k n

v ^f = c , (1.19)

gdzie n(k) jest współczynnikiem załamania dla danej liczby falowej

λπ

= 2

k .

Analizując wzór (1.19) moŜna zauwaŜyć, Ŝe gdy n<1 prędkość fazowa moŜe przekroczyć prędkość światła. Nie oznacza to jednak moŜliwości przekazu informacji z prędkością większą niŜ prędkość światła⁸. Szybkość przepływu informacji określa prędkość grupowa, rozumiana jako prędkość przemieszczania się fali modulowanej. Jako Ŝe prędkość grupowa zawiera w sobie informację o tempie transportu energii, więc z punktu widzenia dynamiki ma ona większe znaczenie niŜ prędkość fazowa. Prędkość grupową określa równanie

ω ω ω

∂ + ∂

∂ =

= ∂

n n c v^{(g )} k

(1.20)

i jest ona mniejsza od prędkości światła c , czyli teoria względności nie zostaje naruszona.

Prędkość grupowa moŜe osiągać małe wartości v^(g) <<c dla >>1

∂

∂

ω ω^{n . Mówimy} wówczas o świetle spowolnionym, co jest zagadnieniem intensywnie badanym w ostatnich latach [17].

Poglądowe symulacje dotyczące prędkości grupowej i fazowej zamieszczone są w Internecie na stronach [18]−[20].

8Fala sinusoidalna ma z góry ustaloną postać na początku i na końcu kanału transmisyjnego, więc nie moŜna w niej zawrzeć Ŝadnej informacji [16].

I.3 Ośrodek „ujemny”

Materiał zaproponowany w 1967 r. przez Vesalago [1] był fikcją naukową – charakteryzował się ujemnym współczynnikiem załamania. Cecha ta powoduje, Ŝe faza fali przechodzącej przez taki ośrodek zmniejsza się zamiast zwiększać, jak to się dzieje w ośrodkach prawoskrętnych. Vesalago podkreślał, Ŝe ta podstawowa róŜnica między ośrodkami prawoskrętnymi i lewoskrętnymi ma decydujący wpływ na niemalŜe wszystkie zjawiska elektromagnetyczne. Wiele niespotykanych dotąd dla ośrodków prawoskrętnych efektów badanych jest do dziś [21].

Najłatwiej zauwaŜalnym efektem, wynikającym z ujemnej wartości współczynnika załamania, jest zmiana kąta ugięcia się fali załamanej na granicy ośrodków o przeciwnych znakach współczynnika załamania – doznaje ona ugięcia po tej samej stronie normalnej (Rys. 2). JeŜeli wartości współczynnika załamania obu materiałów są jednakowe, fala załamana moŜe nie być w ogóle obecna [22].

V

_p^(f)

V

_p^(g)

V

_L^(f)

V

_L^(g)

P

L

OP

n

P

> 0

OL n

L

< 0

Rys. 2 Załamanie fali elektromagnetycznej na granicy ośrodka prawo- i lewoskrętnego.

JeŜeli porównamy przytoczone wcześniej równania Maxwella (1.11) i (1.12) dla ośrodka prawoskrętnego, któremu odpowiada dodatnia wartość współczynnika załamania (1.15) oraz dla ośrodka lewoskrętnego o ujemnym współczynniku (1.16), odkryjemy podstawową róŜnicę między tymi ośrodkami.

Analizując równania (1.11) i (1.12) dla pierwszej z dopuszczonych moŜliwości (1.13), gdzie wszystkie parametry są większe od zera, postać przytoczonych równań nie zmienia się. Po opuszczeniu wartości skalarnych, moŜna zapisać

H E k

r r =

×

ˆ

_{, (1.21)}

E H k

r r =

×

ˆ

_{, (1.22)}

co zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego (Dodatek A) oznacza prawoskrętność trójki wektorów E

r , H

r i k

r

jak zostało to pokazane na Rys. 3.

Rys. 3 Wzajemne połoŜenie wektorów natęŜenia pola elektrycznego, magnetycznego, wektora falowego oraz wektora Poyntinga w ośrodkach „dodatnich”.

JeŜeli natomiast weźmiemy pod uwagę drugą moŜliwość (1.14), gdzie wszystkie parametry są mniejsze od zera, równania (1.11) i (1.12) przyjmą postać

H E

k

r

r = ⋅ − ⋅ ⋅

×

⋅ ⋅

− ω µ µ ω

) ˆ (

0 r

c

n

, (1.23)

E H

k

r r = − ⋅ − ⋅ ⋅

×

⋅ ⋅

− ω ε ε ω

) ˆ (

) (

0 r

c

n

. (1.24)

Analogicznie po opuszczeniu wartości skalarnych zapisać moŜna jako

H E k

r r =

×

ˆ

_{, (1.25)}

E H k

r r = −

×

ˆ

_{. (1.26)}

Zgodnie ze wspomnianymi juŜ właściwościami iloczynu wektorowego odpowiada to lewoskrętnej trójce wektorów E

r , H

r i k

r

(Rys. 4).

Rys. 4 Wzajemne połoŜenie wektorów natęŜenia pola elektrycznego, magnetycznego, wektora falowego oraz wektora Poyntinga w ośrodkach „ujemnych”.

Wektor Poyntinga, definiowany jest za pomocą iloczynu wektorowego

H E B E S

r r r r r

×

=

×

=

0

1

µ ^{, (1.27)}

gdzie E r

, B r

i H r

są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w danym punkcie. Po raz pierwszy wprowadzony został przez Johna Henry’ego Poyntinga [8]-[10]

i określa kierunek transportu energii przez falę elektromagnetyczną. Jednostką wektora Poyntinga w układzie SI jest 

 s m

J

2 . Za jego pomocą opisać moŜna szybkość przepływu energii płaskiej fali elektromagnetycznej przez jednostkową powierzchnię. Jak widać na Rys. 3, w ośrodku dodatnim kierunek i zwrot wektora Poyntinga S

r

są takie same jak wektora falowego k

r

, co oznacza Ŝe energia propaguje się zgodnie z kierunkiem rozchodzenia się fali. W ośrodku ujemnym (Rys. 4) kierunki wektorów S

r i k

r

są zgodne, ale ich zwroty przeciwne, co oznacza wsteczną propagację energii fali. Fakt ten stanowi kolejną istotną róŜnicą między ośrodkiem dodatnim i ujemnym. Fala taka określana jest mianem fali wstecznej⁹ i zjawisko to opisywał juŜ poczynając od roku 1904 H.Lamb [23], A.Schuster [24], H.C.Pocklington [25], L.I.Mandel’shtam [26], [27] oraz D.V.Sivukhin [28].

Jak zostało powyŜej zaznaczone, za przenoszenie informacji w fali odpowiada prędkość grupowa, zatem jej zwrot wskazuje kierunek propagacji energii przy przejściu fali EM przez granicę ośrodków dodatniego i ujemnego. Energia w takim układzie propaguje się tak samo jak w przypadku układu zbudowanego tylko z materiałów dodatnich, zatem zwrot prędkości grupowej przy przejściu przez granicę ośrodków nie zmienia się. Prędkość grupowa v₁^(g) i prędkość fazowa v₁^(f) w ośrodku lewoskrętnym (izotropowym) są równe co do wartości, lecz antyrównoległe. Przechodząc z ośrodka dodatniego do ujemnego prędkość fazowa zmienia zwrot na przeciwny (Rys. 2).

II Wytwarzanie metamateriałów

Rozdział stanowi podsumowanie dotychczasowych dokonań naukowych dotyczących metod wytwarzania metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania począwszy od pierwszych prób budowy kompozytów o moŜliwych do projektowania właściwościach fizycznych aŜ do najnowszych publikacji związanych z tematem pracy. Omówiono dające się zauwaŜyć analogie pomiędzy ośrodkami naturalnymi a metamateriałami oraz ewolucję struktury przestrzennej wytwarzanych kompozytów pozwalającą na rozszerzenie operacyjnego zakresu częstotliwości aŜ do zakresu optycznego.

W naturalnych materiałach dielektrycznych lokalne (mikroskopowe) oddziaływania elektromagnetyczne między tworzącymi je atomami i cząstkami powodują efekty na większą (makroskopową) skalę w postaci parametrów materiałowych znanych jako przenikalność elektryczna i przenikalność magnetyczna. Aby parametry te miały znaczenie praktyczne, wykluczone musi być zjawisko dyfrakcji fali EM na strukturze materiału, co sprowadza się do warunku d >>λ, gdzie d to wymiary elementarnej komórki tworzącej sieć krystaliczną danego materiału. Dla naturalnych dielektryków i fali z zakresu widzialnego warunek ten jest spełniony, bowiem długość fali świetlnej jest o wiele rzędów większa od rozmiaru atomu i komórki elementarnej. JeŜeli rozwaŜymy jednak przypadek promieniowania rentgenowskiego, którego λ≈d¹⁰, obserwować będziemy efekty dyfrakcyjne. Początkowo wytworzenie jakiegokolwiek sztucznego materiału mogącego symulować materiał naturalny wydawało się nieosiągalne właśnie ze względu na skalę, jaką naleŜy osiągnąć, aby wyeliminować dyfrakcję światła. JeŜeli jednak uŜyjemy promieniowania z zakresu mikrofalowego, których długość fali jest rzędu centymetrów, stworzenie sieci z komórek o rozmiarach mniejszych od długości takich fal nie jest juŜ abstrakcją. To właśnie miał na myśli Winston E. Kock wprowadzając po raz pierwszy w 1949 roku w swojej pracy [29] termin „sztuczny dielektryk”. Opisał on elektromagnetyczne struktury o moŜliwych praktycznie do wytworzenia rozmiarach, które naśladowałyby sposób oddziaływania naturalnych kryształów z promieniowaniem EM. Dwa lata wcześniej w swoich pracach [30], [31] Kock badał wielkogabarytowe anteny wykorzystujące układ płaskich soczewek metalicznych, początkowo nie zdając sobie sprawy z analogii zachodzących między jego metalicznymi soczewkami a naturalnymi dielektrykami. Kiedy jego późniejsze badania sztucznych dielektryków złoŜonych z komponentów o róŜnych kształtach wykazały liczne interakcje z promieniowaniem EM obserwowane w naturalnych kryształach – idea metamateriałów przestała być jedynie naukową fikcją.

II.1 Pierwsze materiały o ujemnych parametrach

Metamateriał jest to sztucznie wytworzony ośrodek, którego właściwości fizyczne wynikają nie tylko z rodzaju tworzących go elementów, ale głównie z jego struktury przestrzennej. Inspiracja metamateriałoznawców i technologów hipotezą Veselago [4]

zaowocowała kilkoma propozycjami takich ośrodków [32]–[37]. Głównym załoŜeniem było podejście do kaŜdego materiału naturalnie występującego w przyrodzie jak do kompozytu złoŜonego z atomów i cząstek, których rodzaj i wzajemne ułoŜenie mają decydujący wpływ na elektromagnetyczne właściwości danego ośrodka i sztuczne

10 Dla kryształu NaCl długość boku komórki elementarnej wynosi 0.562737 nm zaś długość fali promieniowania X jest rzędu 0.1 nm – dla porównania światło Ŝółte ma długość fali równą 589 nm [16].

wytworzenie analogicznego materiału tylko na większą skalę [7]. Struktura taka miałaby być zbudowana z powtarzających się komórek elementarnych (zwanych takŜe

„fotonicznym atomem”) o rozmiarach znacznie mniejszych niŜ długość fali elektromagnetycznej, dzięki czemu moŜna by traktować ją jak materiał jednorodny oraz miała być bardzo lekka, dzięki uŜyciu drobnych i cienkich metalowych elementów.

Jednymi z pierwszych propozycji były ośrodki wytworzone przy uŜyciu tablicy długich i cienkich drutów metalicznych¹¹ [5], [6], której ε <0 lub na bazie rozproszonych rezonatorów kołowych¹² o bardzo wysokiej polaryzowalności magnetycznej [7], których

<0

µ (przy częstotliwościach z zakresu mikrofalowego). Zadaniem tak zaprojektowanych struktur miała być symulacja zachowania plazmy, w której upatrywano klucza do wytworzenia ujemnych przenikalności elektrycznej i magnetycznej.

Powierzchniowy rezonans plazmowy

Plazma jest czwartym stanem skupienia obok stałego, ciekłego i gazowego, w jakim moŜe znaleźć się materia [38]. W stan plazmy przechodzi gaz, jeŜeli zostanie podgrzany do temperatury tak wysokiej, Ŝe elektrony uwalniane są z orbit atomowych, czyli następuje jego jonizacja. Ten sam efekt uzyskać moŜna oddziałując bardzo duŜym polem elektrycznym lub zmiennym polem magnetycznym. Obecność w plazmie swobodnych ładunków elektrycznych jest przyczyną tego, Ŝe plazma jest stanem przewodzącym i silnie oddziałuje z polem elektromagnetycznym. Cechą charakterystyczną tego stanu jest funkcja przenikalności elektrycznej, która poniŜej pewnej częstotliwości zwanej częstotliwością plazmową, przyjmuje wartości ujemne, co skutkuje urojoną wartością stałej propagacji energii. Ta właściwość plazmy zaowocowała zainteresowaniem naukowców moŜliwością modelowania ujemnej wartości przenikalności elektrycznej w sztucznych dielektrykach wykorzystując zjawisko rezonansu plazmowego.

Plazmon jest kwazicząstką powstałą w wyniku kwantyzacji drgań gęstości ładunku plazmy na powierzchni metalu. Plazmon powierzchniowy jest elektromagnetyczną falą powierzchniową, o polaryzacji typu p, propagującą się wzdłuŜ powierzchni styku dwóch materiałów, których stałe dielektryczne mają przeciwne znaki [10]. Związane z nią jest zanikające wykładniczo pole elektromagnetyczne prostopadłe do kierunku propagacji fali.

Zmieniając kąt padania lub długość fali promieniowania, które są funkcją współczynnika załamania, moŜliwe jest wzbudzenie powierzchniowego rezonansu plazmowego¹³, czego rezultatem jest skokowy spadek intensywności promieniowania odbitego. Powierzchniowy rezonans plazmowy jest zjawiskiem fizycznym mogącym wystąpić, gdy płasko spolaryzowana fala elektromagnetyczna z zakresu widzialnego lub bliskiego ultrafioletu pada na powierzchnię metalu przy spełnionych warunkach całkowitego wewnętrznego odbicia [10]. Wtedy pomimo, iŜ padające promieniowanie jest całkowicie odbijane przez powierzchnię metalu, pole elektromagnetyczne fotonów powierzchniowych rozciąga się poza powierzchnię metalu na odległość około ¼ długości fali promieniowania.

Materiały naturalne, na przykład metale, mogą zostać doprowadzone do stanu plazmy, jednak dla nich częstość plazmowa jest tak wysoka, Ŝe odpowiadające jej promieniowanie EM charakteryzuje się tak małą długością fali, Ŝe zbudowanie komórki o rozmiarach jeszcze od niej mniejszych jest właściwie niemoŜliwe. NaleŜało zatem

11 ALMW – Array of Thin Metallic Wires

12 SRR – Split Ring Resonator

znaleźć materiał, dla którego stan plazmy występuje przy niŜszej częstości. Zastosowanie tutaj znalazły opisane przez Kock’a sztuczne dielektryki [29], będące przedmiotem zainteresowania takŜe kilku innych prac naukowych [39]−[41]. Podsumowania historii dotyczącej rozwoju sztucznych dielektryków dostarcza praca [42].

Symulacji zachowań plazmowych przy uŜyciu sztucznych dielektryków jako jeden z pierwszych podjął się w 1962 roku Walter Rotman [43]. Efektem jego pracy był opis ośrodka dielektrycznego złoŜonego z drutów zorientowanych zgodnie z kierunkiem wektora falowego przyłoŜonego pola EM oraz ośrodek zbudowany z przewodzących pasków metalu. Analiza charakterystyk dyspersyjnych potwierdziła, iŜ taki ośrodek jest dobrą analogią plazmy.

Rys. 5 Schematyczna ilustracja zjawiska powierzchniowego rezonansu plazmowego (na podstawie: [44], [45]).

Plazmony powierzchniowe traktować moŜna jako powiązane oscylacje przy powierzchni metalu, których częstotliwość wyznaczona jest przez

0 ) ( )

( ₂

1 ω_s +ε ω_s =

ε ^, (2.1)

gdzie ε₁ ⁱ ε2 to funkcje dielektryczne na obu płaszczyznach oddziaływania metalu z promieniowaniem. JeŜeli pierwszym ośrodkiem jest próŜnia, a drugim metal i jeŜeli zaniedbamy rozpraszanie, to

2

p s

ω =ω , (2.2)

gdzie częstość plazmowa ω_p potrzebna do wywołania tego rezonansu zwyczajowo leŜy w ultrafiolecie i ma postać

e

p m

ne

0 2 2

ω =ε , (2.3)

gdzie m − efektywna masą elektronu, zaś n to gęstość elektronów w pojedynczym drucie. _e

Częstość plazmowa nie zaleŜy od długości fali padającego promieniowania, więc cechą charakterystyczną oscylacji plazmowych jest nieskończona prędkość fazowa i zerowa prędkość grupowa.

Plazmony mają znaczny wpływ na właściwości metalu i jego sposób oddziaływania z promieniowaniem elektromagnetycznym, gdyŜ przenikalność dielektryczna ε następująco zaleŜy od częstotliwości plazmowej

) 1 (

) (

2

γ ω ω ω ω

ε i

p

− +

= , (2.4)

gdzie γ to współczynnik rozpraszania energii plazmonu w układzie¹⁴. Przenikalność elektryczna takiej struktury jest silnie ujemna dla częstotliwości mniejszych niŜ plazmowa.

II.2 Tablica długich drutów metalicznych

W 1996 roku J.B.Pendry i in. [5], [6] zaproponowali sposób na przesunięcie częstotliwości rezonansowej aktywującej powierzchniowy rezonans plazmowy w metalach nawet o sześć rzędów wielkości (tj. w zakres GHz). Opisywany przez nich materiał składał się z bardzo cienkich drutów metalicznych o średnicy rzędu 1 µm zestawionych w periodyczną sieć kubiczną o stałej sieci a (Rys. 6). Struktura taka posiada właściwości nie zaobserwowane dotąd w paśmie GHz. PoniewaŜ druty metaliczne uŜyte do budowy tego materiału zajmowały znikomą część kaŜdej komórki elementarnej, sieć taka charakteryzowała się mniejszą koncentracją elektronów, co pozwoliło uzyskać przyrost efektywnej masy elektronu m . _e

Rys. 6 Periodyczna struktura złoŜona z cienkich drutów metalicznych, połączonych na krawędziach i ułoŜonych w kubiczną sieć, (na podstawie: [5])

Równolegle zagadnienie periodycznych struktur sieci metalicznych badała inna grupa naukowców [46], jednak nie kładli oni szczególnego nacisku na rozmiary uŜywanych drutów metalicznych, co według Pendry’ego [5], [6] ma kluczowe znaczenie, bowiem tylko przy takim załoŜeniu, promieniowanie padające na badaną strukturę moŜe

ω

wnikać w nią wystarczająco głęboko i jednocześnie nie powodować zjawiska wzajemnej indukcji między poszczególnymi drutami.

Periodyczne struktury elektromagnetyczne budowane na bazie dielektryków były kilkukrotnie juŜ opisywane [47]–[50]. Metale natomiast, ze względu na obecne w ich strukturze elektrony walencyjne umoŜliwiające sprawne przekazywanie energii, charakteryzują się specyficzną odpowiedzią na promieniowanie elektromagnetyczne, wiąŜącą się z występowaniem na ich powierzchni plazmowego rezonansu gazu elektronowego. Idealny metal opisać moŜna przy uŜyciu funkcji dielektrycznej

2 2

. 1

ω

εideal = −ω^{p , (2.5)}

i wynikająca z niego idealna zaleŜność dyspersyjna przedstawiona została na Rys. 7.

PowyŜej częstotliwości plazmowej powstają dwa poprzeczne asymptotyczne mody, dla częstości równej częstości plazmowej występuje jeden mod podłuŜny, zaś poniŜej częstości plazmowej obecne są tylko zanikające mody związane z urojoną wartością wektora falowego i promieniowanie wnika w metal bardzo płytko.

wektor falowy

częstość (w jednostkach częstości plazmowej) Rys. 7 ZaleŜność dyspersyjna dla światła padającego na idealny metal. [6]

Dla metalu rzeczywistego w zaleŜności (2.5) uwzględnić naleŜy uwzględnić tłumienie wynikające z rezystancji

(

ω γ

)

ω ε ω

1 i

2

. = − +^p

rzecz . (2.6)

W większości znanych metali (poza nadprzewodnikami) tłumienie przyjmuje znaczące wielkości dopiero w podczerwieni.

Celem było wytworzenie kompozytowego materiału, który powieliłby charakterystyczne dla metali oddziaływanie z falą elektromagnetyczną, ale dla zakresu GHz. Pendry rozpatrzył propagację promieniowania wzdłuŜ oś OZ i za aktywne uznał tylko druty do niej równoległe.

Rys. 8 Tablica cienkich drutów metalicznych równoległych do osi z i uporządkowanych w kwadratową sieć w płaszczyźnie x-y (na podstawie [6])

W takim układzie tylko część przestrzeni wypełniona jest metalem, więc efektywna gęstość elektronów jest mniejsza niŜ w metalu jednorodnym i wynosi

2 2

a n r n_ef π

= , (2.7)

gdzie n – gęstość elektronów w pojedynczym drucie, r – promień drutu, a – stała siatki.

Dominujące znaczenie ma fakt, Ŝe samoindukcja drutów zaleŜy takŜe od ich wzajemnego ułoŜenia przestrzennego i maleje logarytmicznie wraz z odległością od osi drutu. NatęŜenie pola magnetycznego wokół kaŜdego drutu w zaleŜności od odległości R od jego osi opisać moŜna zaleŜnością

R nve r R R I

π π

π ²

) 2 (

2

=

=

H , (2.8)

gdzie I to natęŜenie prądu płynącego przez drut, zaś v to średnia prędkość ruchu elektronów. Wektorowo pole magnetyczne wokół drutu moŜna opisać jako

) ( )

(R ₀¹ A R

H =µ⁻ ∇× ^, (2.9)

gdzie A to magnetyczny potencjał wektorowy (Dodatek B) równy



 



= 

R ve a r R

A ln

) 2 (

2 0

π π

µ . (2.10)

a

r

Biorąc pod uwagę dodatkowy wkład elektronów w polu magnetycznym do ich momentu wektorowego, moment na jednostkę długości drutu wynosi

( )

_{m r v}

r v a n r r e

n r

e _ef ²

2 2 2 2 0

2 ln )

( π

π π

π µ =



 



= 

A , (2.11)

gdzie m jest masą efektywną elektronów daną zaleŜnością _ef



 



= 

r n a r

m_ef e ln

2

2 2 0

π π

µ . (2.12)

Masa efektywna elektronów w badanej przez Pendry’ego strukturze była równa

p e

ef m m

m =2,4808×10⁻²⁶ kg=2,7233×10⁴⋅ =14,83⋅ gdzie m jest masą elektronu a _e m _p masą protonu. Tak duŜa masa efektywna miała wpływ na zmianę wartości częstości plazmowej

( )

^{5,15 10 rad s 8,20GHz}

ln

2 _{10 1}

2 2 0

0 2

2 = = = × ⋅ ⁻ =

r a a

c m

e n

ef ef p

π

ω ε ^(2.13)

Realizacja geometryczna badanej struktury przedstawiona została na Rys. 9.

Ze względu na łatwość wytworzenia i cenę, model Pendry’ego składał się ze skrzyŜowanych pod kątem 90^º arkuszy polistyrenowych, rozsuniętych na odległość 3 mm, wypełnionych cienkimi, powleczonymi złotem, wolframowymi drutami o średnicy 20 _µm.

Rys. 9 Realizacja geometryczna struktury o ujemnej przenikalności elektrycznej [6].

Na podstawie równania (2.13) wyjaśnić moŜna dlaczego kluczowe znaczenie w rozumowaniu Pendry’ego odgrywały małe rozmiary poprzeczne drutów. Gdyby druty nie były cienkie, czynnik ^ln

( )

^{a r} byłby bliski 1. Wtedy długość fali w próŜni przy częstotliwości plazmowej wynosiłaby

( )

^π

π π πω

λ ²

ln 2 2

2

12

2 2 0 0

0

0 a

r a a c c c

p

p  ≈









= 

=

−

,

zaś głębokość penetracji promieniowania w strukturę byłaby równa

( )

π 3 ln 2 a r

a . Zatem

gdyby druty tworzące badany materiał nie miały małego promienia, długość fali λ_0p byłaby rzędu stałej siatki i pojawiłyby się efekty dyfrakcyjne, zaś promieniowanie bardzo płytko wnikałoby do struktury.

Eksperyment potwierdził przewidywane właściwości trójwymiarowych struktur zbudowanych z cienkich drutów metalicznych. Warunkiem koniecznym okazały się odpowiednie wymiary drutów, które muszą być wystarczająco długie i cienkie. Taka geometria struktury zaproponowanej przez Pendry’ego [6] pozwoliła na obniŜenie częstości plazmowej.

II.3 Rozproszone rezonatory kołowe

Przedstawiając hipotezę dotyczącą ujemnego załamania fali EM Veselago [2] zdawał sobie sprawę z tego, Ŝe uzyskanie ujemnej przenikalności magnetycznej będzie stwarzało więcej trudności niŜ uzyskanie ujemnej przenikalności elektrycznej, czego główną przyczyną jest brak dowodów na istnienie elementarnej cząstki magnetycznej – monopolu magnetycznego. Jednak w 1999 roku Pendry i inni [7] opisali sztuczne ośrodki o niezwykłych właściwościach magnetycznych. Zaprezentowany przez Pendry’ego posiadał pojemność, która wraz z naturalnie występującą indukcją wynikającą ze struktury przestrzennej uŜytych pierścieni, dała efekt w postaci odpowiedzi rezonansowej opisanej przez efektywną przenikalność magnetyczną

(2.14)

gdzie r – promień pierścienia uŜytego w SRR, a – odległość między osiami sąsiadujących SRR leŜących w jednej płaszczyźnie, l – odległość między płaszczyznami, ρ– oporność metalu, C – pojemność pomiędzy dwoma płaszczyznami metalu.

Z równania (2.14) wynika, Ŝe materiał złoŜony z tablic SRR charakteryzowałby się ujemną przenikalnością magnetyczną dla częstości bliskich rezonansowym i ograniczony byłby tylko rezystywnością uŜytego metalu. Częstość rezonansowa wyraŜa się wzorem

3 0 0 2

3 Cr l µ ω = π

.

(2.15)

JeŜeli załoŜymy, Ŝe ρ →0, to ze wzoru (2.14) wynika, Ŝe ujemne wartości µ_eff ^przyjmie wówczas, gdy drugi czynnik w mianowniku będzie większy od 1, co odpowiada częstości plazmowej wyraŜonej jako







 −

=

2 2 3

0

2 1

3

a Cr r

l

mp π µ π

ω

,

(2.16)

gdzie F

a r₂ = π 2

to współczynnik wypełnienia informujący o stopniu wypełnienia komórki przez SRR.

Umieszczone w powietrzu tablice SRR mają pasmo zabronione w pobliŜu zakresu częstości pomiędzy ω₀ ^a ωmp co sugerować moŜe, Ŝe w tym zakresie przenikalność magnetyczna przyjmuje wartości ujemne. Jest to zjawisko wąskopasmowe, jednak moŜna częstość plazmową umieścić w obszarze GHz, powodując tym samym rozszerzenie wspomnianego wyŜej zakresu.

3 2 0 2 0

2 2

3 1 2

1

Cr l r

lj a

r

eff

ω µ µ π

ω ρ π

µ = − − − , ,

Typowe rozproszone rezonatory kołowe (SRR) formowane są z pary przewodzących pierścieni nadrukowanych na dielektryku (Rys. 10). Mechanizm powstawania ujemnej przenikalności magnetycznej jest następujący: zmienne w czasie pole magnetyczne przyłoŜone wzdłuŜ osi pierścienia indukuje przepływ prądu, który w zaleŜności od oporności pierścienia wytwarza przeciwne pole magnetyczne wzmacniające lub przeciwdziałające polu indukującemu [51]. Pierścienie tworzące SRR posiadają przerwy, dzięki czemu rezonans moŜe zostać osiągnięty przy uŜyciu długości fali wielokrotnie przekraczających średnicę pierścieni (typowe wymiary pierścieni to około jedna dziesiąta długości fali padającego promieniowania). Celem takiej geometrii układu jest generacja moŜliwie największej pojemności magnetycznej w małej przestrzeni pomiędzy pierścieniami, co pozwala znacząco obniŜyć częstotliwość rezonansu i skoncentrować pole elektryczne w obszarze SRR [32].

Rys. 10 Pojedynczy rozszczepiony rezonator kołowy zbudowany z dwóch niepełnych pierścieni. Przerwy w pierścieniach zorientowane są przeciwnie.

Odpowiedź SRR bezpośrednio zaleŜy od oddziałującego na pierścienie pola magnetycznego [52]. Pole elektryczne takŜe moŜe mieć swój wkład do rezonansu, ale zaleŜy on od jego orientacji względem przerw w pierścieniach tworzących SRR.

Wynika z tego, iŜ SRR jest w ogólności strukturą anizotropową, a w celu wytworzenia jednorodnego izotropowego metamateriału, struktury SRR często formowane są w kubiczne sieci, jak pokazane to zostało na Rys. 11.

Rys. 11 Sześcienna sieć złoŜona z SRR.

Olivier J.F. Martin opisał pokrewne struktury SRR o lepszych właściwościach magnetycznych [52]. Strukturą magnetyczną wykazującą jeszcze większą izotropię są skrzyŜowane rozszczepione rezonatory kołowe (CSRR)¹⁵ zbudowane z dwóch prostopadle ustawionych SRR. KaŜdy rozszczepiony rezonator kołowy zbudowany jest z dwóch aluminiowych pierścieni o średnicy 15 mm i 20 mm, osadzonych na słabo przewodzącej piance. Zmierzona odpowiedź elektromagnetyczna CSRR okazała się być idealnie izotropowa w płaszczyźnie poziomej niezaleŜnie od obrotu wokół osi badanej struktury [52]. Olivier J.F. Martin zasymulował numerycznie trzy róŜne typy geometrii CSRR dla dwóch skrzyŜowanych elementów SRR Rys. 12 oraz dwa typy geometrii CSRR dla trzech skrzyŜowanych elementów SRR Rys. 13.

Rys. 12 Trzy typy geometrii podwójnego CSRR: (a) przerwy dwóch skrzyŜowanych SRR umieszczone są na tym samym biegunie CSRR; (b) na biegunach przeciwnych;

(c) obrócone o 45^o kaŜda w przeciwne strony

Izotropią w płaszczyźnie XY wykazały się struktury CSRR (a) i (b) przedstawione na Rys. 12, zaś struktura (c) jest izotropowa tylko dla pewnych kierunków propagacji i nie kaŜdy kierunek propagacji jest w stanie w ogóle wywołać jej rezonans. Przyczyną są róŜnice w rozmieszczeniu przerw w pierścieniach tworzących struktury SRR – dla (a) i (b) ulokowane są one tak, Ŝe przepływ ładunku nie jest zaburzony, w przypadku (c) następuje zwarcie.

Rys. 13 Dwa typy geometrii potrójnego CRSS: (a) z trzech identycznych elementów SRR wzajemnie prostopadłych; (b) z trzech elementów SRR o róŜnych rozmiarach.

Potrójne CSRR charakteryzuje idealna izotropia w trzech wymiarach (niezaleŜnie od kierunku padania fali elektromagnetycznej) dla geometrii przedstawionej na Rys. 13 (b), ale w przypadku (a) kaŜda ze struktur SRR jest zwarta przez pozostałe dwie.

15 CSRR – Crossed Split Ring Resonators

II.4 Pierwszy ośrodek o ujemnym współczynniku załamania

Pierwszy metamateriał ujemnie załamujący fale EM zaproponowany został przez D.R.Smith’a [32]−[35]. Materiał miał postać trójwymiarowej tablicy zbudowanej z komórek zawierających rozproszone rezonatory kołowe [6] i cienkie druty metaliczne [7]

(Rys. 14). Opisane struktury wykorzystują rozproszone rezonatory kołowe do wytworzenia ujemnej przenikalności magnetycznej i drutów metalicznych do wytworzenia ujemnej przenikalności elektrycznej w pewnych – częściowo pokrywających się – pasmach częstotliwości. W ten sposób otrzymano okno częstotliwości, gdzie przenikalności magnetyczna µ i elektryczna ε są jednocześnie ujemne.

UŜyte przez Smitha rozproszone rezonatory miały postać dwóch kwadratowych miedzianych pierścieni grubości c = 0,25 mm z przerwą równą g = 0,46 mm, odległych od siebie o d = 0,3 mm. Zewnętrzny wymiar pojedynczego SRR wynosił w = 2,62 mm, a uŜyte druty metaliczne miały długość 1 cm. Komórka elementarna zbudowana była ze skrzyŜowanych, osadzonych na podłoŜu krzemowym sześciu rozproszonych rezonatorów kołowych (SRR) i dwóch cienkich drutów metalicznych (ALMW).

Rys. 14 (a) pojedynczy rezonator kołowy (SRR); (b) komórka elementarna metamateriału o stałej siatki 0,5 cm [35].

Dla takiego materiału Smith uŜył następujących wzorów opisujących przenikalności

( )

ω _{ω ω}^ω _ωγ

µ j

F

eff − −

− ⋅

= ₂

0 2

2

1 0 , (2.17)

( )

^{1 2}₂

ω ω ω

εeff = − ^{ep . (2.18)}

W oparciu o powyŜsze równania zostało udowodnione [53], Ŝe taki ośrodek osadzony w próŜni posiada analogię w postaci modelu opartego na linii transmisyjnej z elementami indukcyjnymi L, pojemnościowymi C i rezystancyjnymi (Rys. 15).

Rys. 15 Model linii transmisyjnych dla ośrodka zbudowanego z komórek elementarnych zawierających cienkie druty metaliczne i rozszczepione rezonatory kołowe [65].

Odkrycie tego ośrodka było przełomem w historii metamateriałów. Po weryfikacji eksperymentalnej [54], która potwierdziła oczekiwania (taki materiał posiada ujemny współczynnik załamania dla promieniowania mikrofalowego z pewnego zakresu częstotliwości), coraz śmielej zaczęto wierzyć (choć nie wszyscy [55]), iŜ zaskakująca teoria Veselago znajdzie swe zastosowanie praktyczne.

II.5 Model linii transmisyjnych

Zachowanie się fali EM przy przejściu przez dowolny ośrodek opisują dobrze znane juŜ równania Maxwella

B E

r r

−jω

=

×

∇ , (2.19)

D J

H

r r r = + ^jω

×

∇ , (2.20)

które w jednorodnymm izotropowym ośrodku uzupełnione są przez równania materiałowe, ściśle zaleŜne od częstości padającego promieniowania

H B

r r

) (ω µ

= , (2.21)

E D

r r

) (ω ε

= . (2.22)

Nowe podejście do tych dobrze znanych podwalin współczesnej fizyki zaprezentowali prawie równocześnie w 1944 roku Gabriel Kron [62], przedstawiając jednocześnie numeryczna procedurę rozwiązywania równań Maxwella w tej nowej postaci [63] oraz J.R.Whinnery i S.Ramo [64]. Udowodnili oni, Ŝe dzięki dyskretyzacji przestrzennej równań Maxwella moŜna zastosować je dla obwodów RLC, gdzie ich pełną analogią są równania prądowo-napięciowe Kirchhoffa, co było pierwszym krokiem w kierunku stworzenia modelu naturalnych ośrodków dielektrycznych opartych na obwodach RLC.

Kluczem do wytworzenia sztucznego dielektryka było zbudowanie takiego modelu, który umoŜliwiałby odnalezienie bezpośrednich analogii do ośrodków spotykanych w naturze. Podstawowym załoŜeniem, które naleŜy w tym celu poczyniono, było podejście do kaŜdego materiału – zarówno sztucznego jak i naturalnego – jak do sieci pewnych podstawowych elementów o bardzo małych wymiarach (w naturalnych materiałach są to atomy i cząstki). Analogie te powinny dać się takŜe zauwaŜyć w zachowaniu fali elektromagnetycznej padającej na wytworzony materiał – fale o długości porównywalnej z wymiarami pojedynczego elementu sieci (atomu, cząstki, komórki elementarnej) powinny doznawać efektów dyfrakcyjnych takich, jak ma to miejsce w ciałach stałych, zaś fale o długości odpowiednio większej od wymiarów jednostkowych komórek powinny załamywać się, a takŜe dawać moŜliwość zdefiniowania odpowiedniego dla tego przypadku współczynnika załamania fali elektromagnetycznej.

Symulacja rzeczywistego dielektryka

Model linii transmisyjnych (Dodatek C) mogący reprezentować naturalny ośrodek przy uŜyciu sieci rozproszonych reaktancji moŜe być złoŜony z komórek przedstawionych na Rys. 16.

{ Vy, Ix}

Oś Z

Oś Y

Oś X { Vy, Iz}

{ Vy+dVy, Ix+ dIx}

{ Vy+dVy, Iz+ dIz} ½ Zz

½ Z^x

Y ½ Zz

½ Z^x

Rys. 16 Elementarna komórka modelu linii transmisyjnej dla płaskiego, jednorodnego ośrodka dielektrycznego.(na podstawie: [65])

Aby podkreślić periodyczność sieci, równania Maxwella (2.19) – (2.22) dla takiego przypadku rozwiązuje się oddzielnie dla kaŜdej z komórek, dzięki czemu występujące tam pola elektryczne i magnetyczne moŜna traktować jako statyczne. Zakładamy, Ŝe istnieje jednostkowa komórka w przestrzeni o wymiarach ∆x, ∆y, ∆z (Rys. 17), której wymiary są pomijalnie małe w porównaniu do długości fali padającego promieniowania, co pozwala traktować pole E i H jako statyczne.

x

Oś X

Rys. 17 Rozkład quasi-statycznych pól w komórce elementarnej (na podstawie: [65])

W przypadku sieci dwuwymiarowej, moŜna przyjąć, Ŝe pole elektromagnetyczne jest stałe w kierunku y czyli →0

∂

∂

y . W takim przypadku wszelkie zjawiska elektromagnetyczne zachodzące w komórce opisać moŜna za pomocą kombinacji modów TE_y i TM_y. JeŜeli rozwaŜymy mod TM_y , dominującymi składowymi pól elektrycznego i magnetycznego będą E_y, H_x i H_z

z

y j H

x

E =− ωµ(ω)

∂

∂ , (2.23)

x

y j H

z

E =+ ωµ(ω)

∂

∂ , (2.24)

y z

x j E

x H z

H =+ ωε(ω)

∂

−∂

∂

∂ . (2.25)

Dyskretyzacja przestrzenna równań Maxwella prowadzi do następujących wyraŜeń:

x H j

z x E z x x

E_y( ₀ +∆ , ₀)− _y( ₀, ₀)=− ωµ(ω) _z∆ ^, _(2.26) z

H j

z x E z z x

E_y( ₀, ₀ +∆ )− _y( ₀, ₀)=+ ωµ(ω) _x∆ ^, _(2.27)

[ ] [ ]

z x y x E j

z z x H z x x H x z x H z z x H

y

z z

x x

∆

⋅

∆

⋅

⋅

⋅

⋅ +

=

=

∆

⋅

−

∆ +

−

∆

⋅

−

∆ +

) , ( ) (

) , ( ) , (

) , ( ) ,

(

0 0

0 0 0

0 0

0 0

0

ω ε

ω ^(2.28)

RóŜnicę potencjałów w elementarnej komórce definiuje się jako

∫

^⋅

−

=

−

'

'

a

a

a Va dl

V E

r

, (2.29)