odrzucić H 0 prawdziwa decyzja poprawna błąd I rodzaju fałszywa błąd II rodzaju β decyzja poprawna

Statystyka matematyczna – moc testu statystycznego W procesie weryfikacji hipotezy statystycznej można popełnić :

▪ błędu I rodzaju polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej w sytuacji gdy jest ona prawdziwa (poziom istotności  to prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju),

▪ błąd II rodzaju polegający na nieodrzuceniu hipotezy zerowej, która jest w rzeczywistości fałszywa (prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju oznaczane jest jako β).

Moc testu statystycznego to prawdopodobieństwo określające szanse na podjęcie poprawnej decyzji w przypadku gdy hipoteza zerowa jest fałszywa (tzn. odrzucenie hipotezy na rzecz hipotezy alternatywnej), moc testu opisuje więc zdolność testu do odrzucania hipotez fałszywych.

Istnieje ścisła zależność pomiędzy mocą testu a liczebnością próby:

im większa liczebności próby → tym większa moc testu.

Przyjmuje się, że moc testu powinna wynosić co najmniej 0,8, tzn. prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju nie może być wyższe niż 0,2, wartości te pozwalają na wykrywanie znaczących odchyleń od wartości postulowanych w hipotezie zerowej.

Hipoteza zerowa (w rzeczywistości)

Decyzja

nie odrzucać H₀ odrzucić H₀ prawdziwa decyzja poprawna błąd I rodzaju  fałszywa błąd II rodzaju β decyzja poprawna

Statystyka matematyczna – moc testu statystycznego Przykład 1.

Przedmiotem kontroli jest proces napełniania butelek wodą. Zakładając, że rozkład ilości wody jest rozkładem normalnym o odchyleniu standardowym  = 0,1, na poziomie istotności  = 0,01 należy sprawdzić czy istnieją dowody na to, że ilość wody w napełnianych butelkach jest mniejsza niż µ₀= 1.

W zadaniu należy więc zweryfikować hipotezę zerową

H₀: µ₀ = 1, wobec hipotezy alternatywnej

H₁: µ₀ < 1.

Jeżeli populacja generalna ma rozkład N(, ) przy czym znane jest odchylenie standardowe populacji  to rozkład średniej z próby jest zbieżny do rozkładu N(, /n) i do weryfikacji hipotezy o średniej wykorzystywana jest standaryzowana zmienna o rozkładzie N(0, 1):

gdzie:

,

x

n x x

n Z x











    

 

.

x





Statystyka matematyczna – moc testu statystycznego Przykład 1.cd. Obszar krytyczny wyznacza się jako:

Otrzymana wartość graniczna jest wartością standaryzowaną (została obliczona z rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1)). Rzeczywistą wartość graniczną otrzymuje się z zależności:

Zakładając, że do kontroli pobranych zostanie 10 butelek, średnia ilość wody w butelkach, która umożliwi odrzucenie hipotezy zerowej wynosi:

z

(z)

z_

 z_ ^1

  





0.

0  



  

     

 _x

x

z x x

z

93 , 0 10 1

1 , 33 0 ,

2  



  x

z_= -2,33 z

(z)



0 x_= 0,93 x

f(x)



1

Statystyka matematyczna – moc testu statystycznego

Przykład 1.cd. Moc testu opisuje zdolność testu do odrzucania hipotez fałszywych.

Załóżmy, że :

H₀: µ₀ = 1 (fałszywa) H₁: µ₀ = µ₁ = 0,9 (prawdziwa)

Przy założeniu, że hipoteza zerowa jest fałszywa, test statystyczny pozwoli odrzucić tą hipotezę dla wartości średnich mniejszych od 0,93. Wartości większe od 0,93 doprowadzą do podjęcia błędnej decyzji nie pozwalając na odrzucenie fałszywej hipotezy zerowej. Prawdopodobieństwo podjęcia błędnej decyzji, czyli prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju β wyniesie w tym przypadku:

Moc testu czyli prawdopodobieństwo określające szanse na podjęcie poprawnej decyzji w przypadku gdy hipoteza zerowa jest fałszywa jest w tym przypadku akceptowalna i wynosi:

rozkład średniej dla prawdziwej H₀

0,93 x



1 0,9

β

_ rozkład średniej dla

prawdziwej H₁

prawdopodobieństwo przyjęcia fałszywej H₀ (β)

   

 

10 1 , 0

9 , 0 93 , 1 0

1 1

1 _, ¹

1  

 



 





 



 



 





















x

x x F

x x P x

x

P x 

 _{  N   } ^ 



^ 

Statystyka matematyczna – moc testu statystycznego Przykład 1.cd.

Dla rozważanego w przykładzie testu lewostronnego wzór na moc można po przekształceniach:

zapisać w postaci ogólnej jako:

Oznacza to, że przy założeniu, że rzeczywista średnia µ₁= 0,8, moc testu ma wartość:

dla rzeczywistej średniej µ₁= 0,97, moc testu spadłaby poza dopuszczalne granice:

 

 



 



  







 



 













x x x

z x x

F x

x

P x 









 _{   } ^ ^{1  0 1}

1 1

 

, 





 ^{0 1} _{ } ¹

1  ^



 



  





 z gdzie z

x

, 1 33 , 10 2 1 , 0

8 , 0

1 1  



 



  







. 08 , 0 33 , 10 2 1 , 0

97 , 0

1 1 

 



  







0,93 x



1 0,8

β

_ 0,93 x



1 0,97

β

_

Statystyka matematyczna – moc testu statystycznego Przykład 1.cd.

Zależność na moc testu próby pozwala na szacowanie minimalnej liczebności próby dla określonej mocy testu.

Wiedząc, że z wzoru na moc testu wyznacza się liczebność próby:

Załóżmy, że należy wyznaczyć minimalną liczebność próby, która umożliwi wykrycie przesunięcia średniej do wartości µ₁= 0,97 z mocą (1 – β) = 0,8.

Wykrycie spadku ilości wody w napełnianych butelkach z nominalnej µ₀= 1 do µ₁= 0,97 będzie możliwe z mocą o (1 – β) = 0,8 o ile do testu zostanie wykorzystanych co najmniej 112 butelek wody.

 

, 





 ^{0 1} _{ } ¹

1  ^



 



  





 z gdzie z

x x









 

 





  _{   }  _  







 







 



 



  





 ^ 1 _{ } ^ 1

1 ^{0 1 1 0 1} ₁ ^{0 1} z₁ ¹

z n z

n z

n z ,

     



 





















 

 

z z z

n z z n

z n

z

z 



 



 



 







 



 

 







2 1 0 1

2 2 1 1

2

1 0 1 1

0 1

. 51 , 111 01

, 1 0

97 , 0

32 , 2 84 ,

0 ² 



 







  n





 

1

1_ ^  z_ ^ 

z

Statystyka matematyczna – moc testu statystycznego

Przykład 1.cd. Zmiany mocy testu w zależności od rzeczywistej wartości średniej przedstawiane są na wykresach mocy:

Umieszczenie na wykresie krzywych dla różnych wielkości próby pozwala na oszacowanie minimalnej liczebności próby dla określonej mocy testu, np. wykrycie przesunięcia średniej do wartości µ₁= 0,97z mocą (1 – β) = 0,8umożliwi test wykonany dla próby o liczebności n ≈ 112.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,8 0,9 1 1,1µ₁

1-β 0,99997

0,97 0,08

Im większa odległość rzeczywistej średniej od weryfikowanej wartości tym większa moc testu.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,8 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1

n=10 n=25 n=50 n=75 n=100 n=125 1-ß=0,8

Weryfikacja hipotezy o średniej (znane odchylenie standardowe) – moc i rozmiar próby

Jeżeli populacja generalna ma rozkład N(, ) przy czym znane jest odchylenie standardowe  to rozkład średniej z próby jest zbieżny do rozkładu N(, /n). Do weryfikacji hipotezy o średniej wykorzystywana jest zmienna o rozkładzie N(0, 1):

Moc i minimalną liczebność próby wyznacza się tak jak to zostało pokazane w przykładzie 6.

gdzie:

Test Moc testu i minimalna liczebność próby

Statystyka matematyczna – moc testu statystycznego

,

x

Z x







,



 



  





 _





 ^{1 0} ₁

1 z

x

2,

2

0 1

1

1 







 

 







 z ^  z ^ n

0 1

0 0

: :











 H

H ,



 



  







 



  





 ^{0 1} _{1 2} ^{1 0} _{1 2}

1 _{ }











  z z

x x

2 2

0 1

2 1

1 







 



 







 z ^  z ^ n

0 1

0 0

: :











 H

H

0 1

0 0

: :











 H

H





 ^ 

 ¹ 1

z1 z_{1 2} ^1









 





STATISTICA – moc testu statystycznego

parametry z przykładu 1.

STATISTICA – moc testu statystycznego

Rozkład: Rozkła Średnie H01,00000 H1 ,970000

Przyjęta Sigma: ,100000 błąd I rodzaju: ,01000 (jednostron.)

błąd II rodzaju: ,20000

N=172 N=152 N=132 N=92 N=72 N=52 N=32 N=112

,95 ,96 ,97 ,98 ,99 1, 1,01

Przesunięcie średn 0,0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Prawd. odrzucenia hipotezy H0 (moc)

STATISTICA – moc testu statystycznego

Rozkład: Rozkła Średnie H01,00000 H1 ,970000

Przyjęta Sigma: ,100000 błąd I rodzaju: ,01000 (jednostron.)

błąd II rodzaju: ,91585

N=9 N=8 N=7 N=6 N=5 N=4 N=3 N=2 N=1 N=10

,86 ,88 ,9 ,92 ,94 ,96 ,98 1, 1,02

Przesunięcie średn 0,0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Prawd. odrzucenia hipotezy H0 (moc)

 = 0,91585 → 1 – = 0,0841

Karty kontrolne a błędy I i II rodzaju W statystycznej kontroli jakości:

błąd I rodzaju jest nazywany ryzykiem producenta,

Ryzyko producenta związane jest z kosztem poszukiwania przyczyny nieistniejącego problemu.

Wprowadzona ewentualnie korekta nie zmieni dalszej analizy procesu, błąd ten nie jest więc niebezpieczny.

błąd II rodzaju jest nazywany ryzykiem odbiorcy,

Błąd II rodzaju jest poważniejszy w skutkach – polega na przeoczeniu niestabilności procesu.

Prawdopodobieństwo wystąpienia tego błędu ( oznacza, że karta kontrolna nie jest w stanie wykryć znaczącej zmiany procesu bezpośrednio po jej wystąpieniu. Moc testu (1–) określa szanse na wykrycie tej zmiany bezpośrednio po jej wystąpieniu.

₀ 

½

½

k

_{1 UCL}

LCL CL Prawdopodobieństwa wystąpienia błędów I

i II rodzaju można obliczyć.

Dalej zostanie przedstawiona analiza dla karty Xśr przy założeniu, że istotną zmianę procesu sygnalizuje przekroczenie linii kontrolnej (nie są sprawdzane specjalne układy punktów które również świadczą o nielosowych zmianach procesu).

Zakładając, że:

czyli:

Oznacza to, że dla domyślnych granic (tzn. L=3):

Karta kontrolna X_śr a test istotności średniej

Idea karty kontrolnej jest podobna do idei testu statystycznego:

▪ zakładając, że karta została wcześniej skonfigurowana, tzn. wyznaczone zostały:

średnia procesu ₀ i odchylenie standardowe  oraz położenia linii kontrolnych UCLi LCL,

▪ analiza próbki na karcie sprowadza się do przeprowadzenia testu istotności dla wartości średniej w k–tej próbce:

H₀: średnia nie uległa zmianie tzn.:  =₀, H₁: średnia uległa zmianie, tzn.:  ≠ ₀,

▪ do weryfikacji hipotezy o średniej wykorzystywana zmienna o rozkładzie N(0,1):

▪ hipoteza H₀ jest odrzucana gdy średnia z próbki znajdzie się w obszarze krytycznym – w przypadku karty kontrolnej obszar krytyczny wyznaczają linie UCL i LCL,

₀ 

½

½

k

_{1 UCL}

LCL CL

n , z_n x^k



₀

 

,

, ₀

0 L x LCL L x

UCL









 





F L _x

x

 



 

0

0 L L

x

x   





  



 







 

2 L



 

 

2     

 L





3

Karta kontrolna X_śr a moc testu

Przyjmijmy, że analizowany proces uległ przesunięciu, tzn. średnia procesu zmieniła swoją wartość z ₀ na:

₁ =₀ + k.

Zakładając, że zmianę średniej procesu sygnalizuje przekroczenie linii kontrolnej, moc testu przeprowadzanego przy pomocy karty można wyznaczyć z zależności:

w przypadku karty X_śrgranicę obszaru krytycznego wyznaczają linie kontrolne:

moc testu wynosi więc:

w związku z tym błąd II rodzaju otrzymuje się jako:

lub

,



 



  







 



  





 ^{0 1} _{1 2} ^{1 0} _{1 2}

1 _{ }











  z z

x x

 

^{   }

1 2

1 L L

z_ ^





 



L k n

k      



 



   







 



   





 













 ^{0 0 0 0}

1

   

1 Lk n  Lk n



₀ 

½

½

k

_{1 UCL}

LCL CL



 







Karta kontrolna X_śr a błąd II rodzaju i krzywe OC

Prawdopodobieństwo wystąpienia błędu II rodzaju dla karty X_śr wynosi:

Zakładając, że średnia procesu przesunęła się o k = 1 otrzymuje się następujące prawdopodobieństwa :

W przypadku karty X_śr zależność błędu II rodzaju od wielkości przesunięcia procesu jest przedstawiana za pomocą krzywych operacyjno charakterystycznych OC (ang. operating characteristic curve) wykreślanych dla różnych rozmiarów próbek.



 







_n4 



 



 



 



_n6 



 



 



 



0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 1 2 3 4 5

k



n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=9

0,8413

0,7775

0,7090

0,5000 0,5

0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 1 2

k



n=4 n=5 n=6 n=9

STATISTICA – moc testu statystycznego

Karty kontrolne i wskaźniki ARL

Szybkość i koszt wykrywania zmian procesu na karci kontrolnej:

▪ zwiększanie rozmiaru próbki prowadzi do zmniejszania błędu II rodzaju (wskazują na to obliczone wielkości błędów  i wykresy OC),

▪ im większe próbki i większa częstotliwość ich pobierania tym szybciej można wykryć nieprawidłowości,

▪ zwiększanie liczby kontroli pociąga za sobą dodatkowe koszty.

Wniosek:

ustalenie rozmiaru i częstotliwości pobierania próbek wymaga kompromisu pomiędzy kosztami kontroli a ryzykiem, że część wyprodukowanych wyrobów nie będzie spełniać wymogów specyfikacji.

Dobór rozmiaru i częstotliwości pobierania próbek ułatwiają wskaźniki ARL. Wskaźniki ARL definiują średnią długości serii (ang. average run length) albo inaczej średnią liczbę próbek po których wystąpi sygnał o przekroczeniu linii kontrolnej:

▪ wskaźnik ARL₀ jest średnią liczbą próbek, po której proces statystycznie uregulowany wygeneruje odstającą próbkę,

▪ wskaźnik ARL₁ jest średnią liczbą próbek, po której proces statystycznie rozregulowany wygeneruje odstającą próbkę.

Wskaźniki ARL wyznaczają średnie liczby próbek po których na karcie powinien pojawić się sygnał o rozregulowaniu. Dodatkowo, może być również ważne wyznaczenie średniej liczby pomiarów po których na karcie pojawia się próbka odstająca:

. ARL n I 

Karta X_śr – wskaźnik ARL₀

ARL₀ – średnia liczba próbek do momentu pojawienia się sygnału o rozregulowaniu dla procesu statystycznie uregulowanego.

Niech l oznacza numer pierwszej odstającej próbki. W tabeli zestawione zostały prawdopodobieństwa dla różnych wartości l:

Średnią liczbą próbek, po której proces statystycznie uregulowany wygeneruje odstającą próbkę wyznacza się wykorzystując wartość oczekiwaną rozkładu zmiennej l:

Ostatecznie, wskaźnik ARL₀ wynosi więc:

l opis prawdop.

l = 1 pierwsza próbka przekroczy linię kontrolną 

l = 2 pierwsza próbka znajdzie się w granicach wyznaczonych przez linie kontrolne

a druga próbka wypadnie poza granicami wynosi (1 – )  l = 3 pierwsze dwie próbki znajdą się w granicach a trzecia próbka wypadnie poza

granicami (1 – )² 

l = k pierwsze (k – 1) próbek znajdzie się w granicach a k–ta próbka wypadnie poza

granicami (1 – )^k–1 

    

 

 



1 1

1 1

1 1

 

 

 

 









  



 









 



 

 



 



 

















   







 



 

 d

d d

k d k

k l P k l

E

k

k k

k k

k k

1.

0 ^  ARL

Karta X_śr – wskaźnik ARL₁

ARL₁ – średnia liczba próbek do momentu pojawienia się sygnału o rozregulowaniu dla procesu statystycznie rozregulowanego.

Niech l oznacza numer pierwszej odstającej próbki. W tabeli zestawione zostały prawdopodobieństwa dla różnych wartości l:

Średnią liczbą próbek, po której proces statystycznie rozregulowany wygeneruje odstającą próbkę wyznacza się wykorzystując wartość oczekiwaną rozkładu zmiennej l:

Ostatecznie, wskaźnik ARL₁ wynosi więc:

l opis prawdop.

l = 1 pierwsza próbka przekroczy linię kontrolną 1 – 

l = 2 pierwsza próbka znajdzie się w granicach wyznaczonych przez linie kontrolne

a druga próbka wypadnie poza granicami wynosi  (1 – ) l = 3 pierwsze dwie próbki znajdą się w granicach a trzecia próbka wypadnie poza

granicami  ² (1 – )

l = k pierwsze (k – 1) próbek znajdzie się w granicach a k–ta próbka wypadnie poza

granicami  ^k–1(1 – )

           

 





1 1 1

1 1 1

1 1

1 ₂

1 1

1 1

 

 

 

 









  

 

 



 





 

 



 



 











  







 

 d

d d

k d k

l E

k k k

k k

k

1 . 1

1   ARL

n  _ARL1 I = n ARL₁ 4  ≈ 0,8413 ARL₁ = 1/(1-0,8413) ≈ 6,3012 I ≈ 25,2 5  ≈ 0,7775 ARL₁ = 1/(1-0,7775) ≈ 4,4944 I ≈ 22,5 6  ≈ 0,7090 ARL₁ = 1/(1-0,7090) ≈ 3,4364 I ≈ 20,6

9  = 0,5 ARL₁ = 1/(1-0,5) = 2 I = 18

11  ≈ 0,3758 ARL₁ = 1/(1-0,3758) ≈ 1,602 I ≈ 17,6 13  ≈ 0,2724 ARL₁ = 1/(1-0,2724) ≈ 1,3744 I ≈ 17,9 20  ≈ 0,0705 ARL₁ = 1/(1-0,0705) ≈ 1,0758 I ≈ 21,5 Karta X_śr – wskaźniki: ARL₀, ARL₁ oraz I

Prawdopodobieństwo wystąpienia sygnału o rozregulowaniu dla karty X_śr o domyślnych liniach kontrolnych wynosi  = 0,0027, średnia liczba próbek, po której pojawi się próbka odstająca wyniesie więc:

Zakładając, że proces analizowany na karcie uległ przesunięciu o k = 1, średnia liczba próbek i średnia liczba pomiarów po której pojawi się próbka odstająca wyniosą w zależności od liczebności próbki:



3

. 370

0 1



Karta X_śr – wskaźniki: ARL₁ oraz I

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

k

ARL1

n=1 n=4 n=5 n=6 n=9 n=11 n=13 n=20

0 5 10 15 20 25

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

k

I

n=1 n=4 n=5 n=6 n=9 n=11 n=13 n=20

17 19 21 23 25

0,9 1 1,1

STATISTICA – karty kontrolne (skuteczność wykrywania przesunięcia procesu) Przykład 1.

W oparciu o dane zapisane w arkuszach dane1 i dane2 sprawdź wpływ liczności próbki na szybkość wykrywania przesunięcia procesu na karcie . Dane1 wylosowano z rozkładu N(0,1), dane2 z wyjątkiem pierwszych 20 (wylosowanych z rozkładu N(0,1)) pochodzą z rozkładu przesuniętego o +1 , tzn.: N(1,1).

dane1 dame2

His togram: pomiar: =RndNormal(1) K-S d=,03246, p> .20; Lilliefors p> .20

Oc z ek iwana normalna

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

X <= Granic a k las y 0

10 20 30 40 50 60 70 80

Liczba obs.

Wykres normalności: pomiar pomiar: =RndNormal(1)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Wartość -3

-2 -1 0 1 2 3

Wartość normalna

His togram: pomiar: =RndNormal(1)+1 K-S d=,03676, p> .20; Lilliefors p> .20

Oc z ek iwana normalna Pomiń przypadki: 1:20

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

X <= Granic a k las y 0

10 20 30 40 50 60 70

Liczba obs.

Wykres normalności: pomiar pomiar: =RndNormal(1)+1

Pomiń przypadki: 1:20

-2 -1 0 1 2 3 4

Wartość -3

-2 -1 0 1 2 3

Wartość normalna

STATISTICA – karty kontrolne (skuteczność wykrywania przesunięcia procesu) Przykład 1. cd.

konfiguracja karty (dane1), n=4

STATISTICA – karty kontrolne (skuteczność wykrywania przesunięcia procesu) Przykład 1. cd.

konfiguracja karty (dane1), n=4

STATISTICA – karty kontrolne (skuteczność wykrywania przesunięcia procesu)

Przykład 1. cd.

monitorowanie procesu (dane2), n=4

Analiza wyników:

▪ sygnał o rozregulowaniu (pierwsza próbka poza UCL) pojawił się w próbce 12.,

▪ zmiana procesu nastąpiła w próbce 6 (20 pierwszych wyników w arkuszu dane2 pochodzi z N(0,1)),

▪ od czasu zmiany do jej wykrycia przybyło na karcie 7 próbek,

▪ wskaźnik ARL₁dla karty X_śri przesunięcia k = 1 wynosi ARL₁= 6,3012,

▪ rezultat jest więc zgodny z oczekiwaniami.

STATISTICA – karty kontrolne (krzywe OC)

Karta X_śr – krzywe OC Krzywa OC (karta X-śr.); zmienna: pomiar Granice kontrolne: UCL=2,940558 LCL=-3,020997

Średnie przesunięcie wartości; Krok=0,5*Sigma

Prawdopodobieństwo akceptacji (beta)

N=4 N=2 N=3 N=5 N=6 N=7 N=8 N=9

-3,517794 -3,020997 -2,524201 -2,027405 -1,530609 -1,033812 -0,537016 -0,040220 0,456576 0,953373 1,450169 1,946965 2,443761 2,940558 3,437354 3,934150 4,500000 5,000000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Krzywa OC (karta X-śr.); zmienna: pomiar Granice kontrolne: UCL=2,940558 LCL=-3,020997

Średnie przesunięcie wartości; Krok=0,5*Sigma

Prawdopodobieństwo akceptacji (beta)

N=4 N=2 N=3 N=5 N=6 N=7 N=8 N=9

-4,014590 -3,517794 -3,020997 -2,524201 -2,027405 -1,530609 -1,033812 -0,537016 -0,040220 0,456576 0,953373 1,450169 1,946965 2,443761 2,940558 3,437354 3,934150

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1,0  = 0,5

 = 0,778

 = 0,841

 = 0,709

STATISTICA – karty kontrolne (krzywe OC) Karta R – krzywe OC

Krzywa OC (karta R); zmienna: pomiar Granice kontrolne: UCL=2,940558 LCL=-3,020997

Stosunek odch. std. nowego i starego procesu

Prawdopodobieństwo akceptacji (beta)

N=4 N=2 N=3 N=5 N=6 N=7 N=8

1,0 1,5 2,0 N=9

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Krzywe OC karty R pokazują wartość błędu w funkcji zmiany odchylenia standardowego (stosunek odchylenia standardowego nowego do starego).

Z wykresu można odczytać np., że dla n=4:

▪ jeśli  zwiększy się 1,5 raza to  wyniesie 0,88, ARL₁wyniesie 8,33,

▪ jeśli  zwiększy się 2 razy to  wyniesie 0,65, ARL₁wyniesie 2,86.