Równania Lagrange’a II rodzaju Wykład 4 Karol Kołodziej

Wykład 4

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Rozważmy układ N punktów materialnych z więzami holonomicznymi danymi równaniami

fi(q1, q2, ..., q3N, t) = 0, i = 1, 2, ..., k.

Po wyleliminowaniu k zależnych współrzędnych związki pomiędzy wektorami położenia poszczególnych punktów an= 3N − k pozostałymi, niezależnymi współrzędnymi uogólnionymidane są równaniami

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N.

Rozważmy układ N punktów materialnych z więzami holonomicznymi danymi równaniami

fi(q1, q2, ..., q3N, t) = 0, i = 1, 2, ..., k.

Po wyleliminowaniu k zależnych współrzędnych związki pomiędzy wektorami położenia poszczególnych punktów an= 3N − k pozostałymi, niezależnymi współrzędnymi uogólnionymidane są równaniami

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N.

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i =

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙q_j +∂~ri

∂t

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙q_j +∂~ri

∂t

i zróżniczkujmy obustronnie po ˙ql

∂ ˙~r_i

∂˙q_l =

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙q_j +∂~ri

∂t

i zróżniczkujmy obustronnie po ˙ql

∂ ˙~r_i

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

∂˙qj

∂˙q_l =

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙q_j +∂~ri

∂t

i zróżniczkujmy obustronnie po ˙ql

∂ ˙~r_i

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

∂˙qj

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δ_jl =

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙q_j +∂~ri

∂t

i zróżniczkujmy obustronnie po ˙ql

∂ ˙~r_i

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

∂˙qj

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δ_jl = ∂~r_i

∂q_l,

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙q_j +∂~ri

∂t

i zróżniczkujmy obustronnie po ˙ql

∂ ˙~r_i

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

∂˙qj

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δ_jl = ∂~r_i

∂q_l, gdzie skorzystaliśmy z faktu, że _∂q^∂~ri

j i ^∂~_∂t^ri nie zależą od ˙ql, gdyż różniczkowanie jawnej zależności od czasu nie wprowadza zależności od ˙ql.

Obliczmy pochodną czasową związków

~

r_i = ~r_i(q1, q2, ..., q_n, t) , i = 1, 2, ..., N,

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙q_j +∂~ri

∂t

i zróżniczkujmy obustronnie po ˙ql

∂ ˙~r_i

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

∂˙qj

∂˙q_l = Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δ_jl = ∂~r_i

∂q_l, gdzie skorzystaliśmy z faktu, że _∂q^∂~ri

j i ^∂~_∂t^ri nie zależą od ˙ql, gdyż różniczkowanie jawnej zależności od czasu nie wprowadza zależności od ˙ql.

Różniczkując obustronnie po q_l wzór

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙qj +∂~ri

∂t

dostaniemy

∂ ˙~r_i

∂ql

= Xn

j=1

∂²~r_i

∂qj∂ql

˙qj + ∂²~r_i

∂t∂ql

.

Różniczkując obustronnie po q_l wzór

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙qj +∂~ri

∂t

dostaniemy

∂ ˙~r_i

∂ql

= Xn

j=1

∂²~r_i

∂qj∂ql

˙qj + ∂²~r_i

∂t∂ql

.

Z drugiej strony, pochodna _∂q^∂~ri

l jest funkcją współrzędnych q1, q2, ..., qni czasu, więc

d dt

∂~ri

∂q_l



= Xn

j=1

∂

∂q_j

∂~ri

∂q_l



˙qj + ∂

∂t

∂~ri

∂q_l



= Xn

j=1

∂²~ri

∂q_l∂q_j ˙qj + ∂²~ri

∂q_l∂t.

Różniczkując obustronnie po q_l wzór

˙~r_i = Xn

j=1

∂~ri

∂q_j ˙qj +∂~ri

∂t

dostaniemy

∂ ˙~r_i

∂ql

= Xn

j=1

∂²~r_i

∂qj∂ql

˙qj + ∂²~r_i

∂t∂ql

.

Z drugiej strony, pochodna _∂q^∂~ri

l jest funkcją współrzędnych q1, q2, ..., qni czasu, więc

d dt

∂~ri

∂q_l



= Xn

j=1

∂

∂q_j

∂~ri

∂q_l



˙qj + ∂

∂t

∂~ri

∂q_l



= Xn

j=1

∂²~ri

∂q_l∂q_j ˙qj + ∂²~ri

∂q_l∂t.

Dla funkcji klasy C² odpowiedznie pochodne mieszane są równe, więc

∂ ˙~r_i

∂q_l = ∂

∂q_l d~r_i dt =

Dla funkcji klasy C² odpowiedznie pochodne mieszane są równe, więc

∂ ˙~r_i

∂q_l = ∂

∂q_l d~r_i dt = d

dt

∂~r_i

∂q_l

 .

Dla funkcji klasy C² odpowiedznie pochodne mieszane są równe, więc

∂ ˙~r_i

∂q_l = ∂

∂q_l d~r_i dt = d

dt

∂~r_i

∂q_l

 .

Zatem dla dowolnej funkcji klasy C² możemy zamieniać kolejność pochodnych

∂

∂q_l d dt = d

dt

∂

∂q_l .

Dla funkcji klasy C² odpowiedznie pochodne mieszane są równe, więc

∂ ˙~r_i

∂q_l = ∂

∂q_l d~r_i dt = d

dt

∂~r_i

∂q_l

 .

Zatem dla dowolnej funkcji klasy C² możemy zamieniać kolejność pochodnych

∂

∂q_l d dt = d

dt

∂

∂q_l .

Rozpatrywany układ jest opisywany równaniem d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i = 0.

Przesunięcia wirtualne dane są wzorem

δ~ri = Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj, i = 1, 2, ..., N,

gdzie pominęliśmy znikający wyraz, który pojawiłby się w wyrażeniu na różniczkę zupełną d~ri

∂~ri

∂t δt = 0, bo δt= 0,

Rozpatrywany układ jest opisywany równaniem d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i = 0.

Przesunięcia wirtualne dane są wzorem

δ~ri = Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj, i = 1, 2, ..., N,

gdzie pominęliśmy znikający wyraz, który pojawiłby się w wyrażeniu na różniczkę zupełną d~ri

∂~ri

∂t δt = 0, bo δt= 0, gdyżprzesunięcia wirtualne są natychmiastowe.

Rozpatrywany układ jest opisywany równaniem d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i = 0.

Przesunięcia wirtualne dane są wzorem

δ~ri = Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj, i = 1, 2, ..., N,

gdzie pominęliśmy znikający wyraz, który pojawiłby się w wyrażeniu na różniczkę zupełną d~ri

∂~ri

∂t δt = 0, bo δt= 0, gdyżprzesunięcia wirtualne są natychmiastowe.

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

=

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

" _N X

i=1

F~i · ∂~ri

∂q_j

#

| {z }

Qj

δqj

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

" _N X

i=1

F~i · ∂~ri

∂q_j

#

| {z }

Qj

δqj

=

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

" _N X

i=1

F~i · ∂~ri

∂q_j

#

| {z }

Qj

δqj

= Xn

j=1

Q_jδq_j,

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

" _N X

i=1

F~i · ∂~ri

∂q_j

#

| {z }

Qj

δqj

= Xn

j=1

Q_jδq_j,

gdzie wstawiliśmy wyrażenie dla δ~ri,

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

" _N X

i=1

F~i · ∂~ri

∂q_j

#

| {z }

Qj

δqj

= Xn

j=1

Q_jδq_j,

gdzie wstawiliśmy wyrażenie dla δ~ri,zamieniliśmy kolejność sumowania

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

" _N X

i=1

F~i · ∂~ri

∂q_j

#

| {z }

Qj

δqj

= Xn

j=1

Q_jδq_j,

gdzie wstawiliśmy wyrażenie dla δ~ri, zamieniliśmy kolejność sumowaniai wprowadziliśmy symbol siły uogólnionej Qj,

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

" _N X

i=1

F~i · ∂~ri

∂q_j

#

| {z }

Qj

δqj

= Xn

j=1

Q_jδq_j,

gdzie wstawiliśmy wyrażenie dla δ~ri, zamieniliśmy kolejność sumowania i wprowadziliśmy symbolsiły uogólnionej Qj,która dana jest wzorem

Q_j = XN

i=1

F~_i · ∂~r_i

∂q_j .

Rozważmy drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych.

XN

i=1

F~i·δ~ri = XN

i=1

F~i· Xn

j=1

∂~ri

∂q_jδqj

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

" _N X

i=1

F~i · ∂~ri

∂q_j

#

| {z }

Qj

δqj

= Xn

j=1

Q_jδq_j,

gdzie wstawiliśmy wyrażenie dla δ~ri, zamieniliśmy kolejność sumowania i wprowadziliśmy symbolsiły uogólnionej Qj,która dana jest wzorem

Q_j = XN

i=1

F~_i · ∂~r_i

∂q_j .

Rozważmy pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i·δ~r_i =

Rozważmy pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i·δ~r_i = XN

i=1

m_i~r¨_i · Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j

| {z }

δ~ri

=

Rozważmy pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i·δ~r_i = XN

i=1

m_i~r¨_i · Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δq_j,

Rozważmy pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i·δ~r_i = XN

i=1

m_i~r¨_i · Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δq_j,

gdzie znowu wstawiliśmy wyrażenie na δ~r_i i zamieniliśmy kolejność sumowania.

Rozważmy pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i·δ~r_i = XN

i=1

m_i~r¨_i · Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δq_j,

gdzie znowu wstawiliśmy wyrażenie na δ~r_i i zamieniliśmy kolejność sumowania.

Skorzystajmy z wzoru na pochodną iloczynu d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂qj

!

= ¨~r_i · ∂~r_i

∂qj

+ ˙~ri · d dt

∂~r_i

∂qj

Rozważmy pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i·δ~r_i = XN

i=1

m_i~r¨_i · Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δq_j,

gdzie znowu wstawiliśmy wyrażenie na δ~r_i i zamieniliśmy kolejność sumowania.

Skorzystajmy z wzoru na pochodną iloczynu d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂qj

!

= ¨~r_i · ∂~r_i

∂qj

+ ˙~ri · d dt

∂~r_i

∂qj

⇒

Rozważmy pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i·δ~r_i = XN

i=1

m_i~r¨_i · Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δq_j,

gdzie znowu wstawiliśmy wyrażenie na δ~r_i i zamieniliśmy kolejność sumowania.

Skorzystajmy z wzoru na pochodną iloczynu d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂qj

!

= ¨~r_i · ∂~r_i

∂qj

+ ˙~ri · d dt

∂~r_i

∂qj

⇒ ~r¨_i· ∂~r_i

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂q_j

!

− ˙~r_i · d dt

∂~r_i

∂q_j.

Rozważmy pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i·δ~r_i = XN

i=1

m_i~r¨_i · Xn

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j

| {z }

δ~ri

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δq_j,

gdzie znowu wstawiliśmy wyrażenie na δ~r_i i zamieniliśmy kolejność sumowania.

Skorzystajmy z wzoru na pochodną iloczynu d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂qj

!

= ¨~r_i · ∂~r_i

∂qj

+ ˙~ri · d dt

∂~r_i

∂qj

⇒ ~r¨_i· ∂~r_i

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂q_j

!

− ˙~r_i · d dt

∂~r_i

∂q_j.

Skorzystajmy z udowodnionych wcześniej tożsamości:

∂ ˙~r_i

∂˙ql

= ∂~r_i

∂ql

i d

dt

∂~r_i

∂ql



= ∂ ˙~r_i

∂ql

we wzorze

~r¨_i · ∂~ri

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~ri

∂q_j

!

− ˙~r_i· d dt

∂~ri

∂q_j= d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~ri

∂˙q_j

!

− ˙~r_i · ∂ ˙~ri

∂q_j .

Skorzystajmy z udowodnionych wcześniej tożsamości:

∂ ˙~r_i

∂˙ql

= ∂~r_i

∂ql

i d

dt

∂~r_i

∂ql



= ∂ ˙~r_i

∂ql

we wzorze

~r¨_i · ∂~ri

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~ri

∂q_j

!

− ˙~r_i· d dt

∂~ri

∂q_j= d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~ri

∂˙q_j

!

− ˙~r_i · ∂ ˙~ri

∂q_j .

Zauważmy ponadto, że

˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂˙qj

= 1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

oraz ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂q_j = 1 2

∂ ˙~r_i²

∂q_j.

Skorzystajmy z udowodnionych wcześniej tożsamości:

∂ ˙~r_i

∂˙ql

= ∂~r_i

∂ql

i d

dt

∂~r_i

∂ql



= ∂ ˙~r_i

∂ql

we wzorze

~r¨_i · ∂~ri

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~ri

∂q_j

!

− ˙~r_i· d dt

∂~ri

∂q_j= d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~ri

∂˙q_j

!

− ˙~r_i · ∂ ˙~ri

∂q_j .

Zauważmy ponadto, że

˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂˙qj

= 1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

oraz ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂q_j = 1 2

∂ ˙~r_i²

∂q_j. Dlatego

~r¨_i · ∂~r_i

∂qj

= d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

.

Skorzystajmy z udowodnionych wcześniej tożsamości:

∂ ˙~r_i

∂˙ql

= ∂~r_i

∂ql

i d

dt

∂~r_i

∂ql



= ∂ ˙~r_i

∂ql

we wzorze

~r¨_i · ∂~ri

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~ri

∂q_j

!

− ˙~r_i· d dt

∂~ri

∂q_j= d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~ri

∂˙q_j

!

− ˙~r_i · ∂ ˙~ri

∂q_j .

Zauważmy ponadto, że

˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂˙qj

= 1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

oraz ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂q_j = 1 2

∂ ˙~r_i²

∂q_j. Dlatego

~r¨_i · ∂~r_i

∂qj

= d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

.

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δq_j

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δq_j

=

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δq_j

= Xn

j=1

"

d dt

∂

∂˙qj

XN

i=1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂qj

XN

i=1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δq_j

= Xn

j=1

"

d dt

∂

∂˙qj

XN

i=1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂qj

XN

i=1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

=

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δq_j

= Xn

j=1

"

d dt

∂

∂˙qj

XN

i=1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂qj

XN

i=1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

= Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂qj

# δq_j,

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δq_j

= Xn

j=1

"

d dt

∂

∂˙qj

XN

i=1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂qj

XN

i=1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

= Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂qj

# δq_j,

gdzie wyciągnęliśmy pochodne przed sumę po i oraz

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i=1

m_i~r¨_i ·δ~r_i = Xn

j=1

XN

i=1

m_i~r¨_i· ∂~r_i

∂q_jδq_j

= Xn

j=1

XN

i=1

m_i

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δq_j

= Xn

j=1

"

d dt

∂

∂˙qj

XN

i=1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂qj

XN

i=1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

= Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂qj

# δq_j,

gdzie wyciągnęliśmy pochodne przed sumę po i oraz

wprowadziliśmy wzór naenergię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i=1

1 2 mi˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i =

wprowadziliśmy wzór naenergię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i=1

1 2 mi˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i = Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j

# δq_j−

Xn

j=1

Q_jδq_j

wprowadziliśmy wzór naenergię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i=1

1 2 mi˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i = Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j

# δq_j−

Xn

j=1

Q_jδq_j

=

wprowadziliśmy wzór naenergię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i=1

1 2 mi˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i = Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j

# δq_j−

Xn

j=1

Q_jδq_j

= Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j −Q_j

#

δq_j = 0.

wprowadziliśmy wzór naenergię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i=1

1 2 mi˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i = Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j

# δq_j−

Xn

j=1

Q_jδq_j

= Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j −Q_j

#

δq_j = 0.

Ponieważ wszystkie przesunięcia wirtualne δqj, j = 1, 2, ..., n, są niezależne,

wprowadziliśmy wzór naenergię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i=1

1 2 mi˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i=1

m_i~r¨_i − ~F_i^·δ~r_i = Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j

# δq_j−

Xn

j=1

Q_jδq_j

= Xn

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j −Q_j

#

δq_j = 0.

Ponieważ wszystkie przesunięcia wirtualne δqj, j = 1, 2, ..., n, są niezależne,

to wszystkie współczynniki tej kombinacji liniowej muszą znikać, a więc

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j −Q_j = 0, j = 1, 2, ..., n.

W mechanice istotną rolę odgrywają siły zachowawcze, dla których istnieje potencjał V = V (~r¹, ~r2, ..., ~rN, t) ≡ V (~r, t), taki że

F~_i = −~∇_iV(~r, t)

to wszystkie współczynniki tej kombinacji liniowej muszą znikać, a więc

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j −Q_j = 0, j = 1, 2, ..., n.

W mechanice istotną rolę odgrywają siły zachowawcze, dla których istnieje potencjał V = V (~r¹, ~r2, ..., ~rN, t) ≡ V (~r, t), taki że

F~_i = −~∇_iV(~r, t)= −

∂V

∂x_i,∂V

∂y_i,∂V

∂z_i



to wszystkie współczynniki tej kombinacji liniowej muszą znikać, a więc

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂q_j −Q_j = 0, j = 1, 2, ..., n.

W mechanice istotną rolę odgrywają siły zachowawcze, dla których istnieje potencjał V = V (~r¹, ~r2, ..., ~rN, t) ≡ V (~r, t), taki że

F~_i = −~∇_iV(~r, t) = −

∂V

∂x_i,∂V

∂y_i,∂V

∂z_i



≡ −∂V

∂~r_i .