MODELOWANIE SYSTEMÓW Z RUCHEM ZINTEGROWANYM I PRZELEWEM RUCHU

(1)

Mariusz Głąbowski Katarzyna Kubasik Dominik Mikołajczak Maciej Stasiak

Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych Politechnika Poznańska, ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań e-mail: mariusz.glabowski@et.put.poznan.pl

MODELOWANIE SYSTEMÓW Z RUCHEM ZINTEGROWANYM I PRZELEWEM RUCHU

Streszczenie: W artykule zaproponowano analityczną meto- dę wyznaczania charakterystyk ruchowych systemów, któ- rym oferowany jest ruch przelewowy składający się ze stru- mieni ruchu zintegrowanego. Przedstawiona została także metoda wyznaczania parametrów ruchu spływającego z wią- zek podstawowych oraz przybliżona metoda wymiarowania systemów obsługujących wielousługowy ruch przelewowy.

1. Wstęp

W hierarchicznej sieci telekomunikacyjnej ze strate- gią kierowania ruchu drogami alternatywnymi (kolej- nego wyboru, obejściowymi) wykorzystywane są wiąz- ki dwóch typów, tj. wiązki o wysokim wykorzystaniu oraz wiązki o małych stratach. W wiązkach o wyso- kim wykorzystaniu ruch załatwiony jest z natłokiem większym od założonego z góry współczynnika strat.

Ruch nie załatwiony na takiej wiązce jest przelewany na wiązkę alternatywną, natomiast w wiązkach o ma- łych stratach, natłok nie jest większy od założonego z góry współczynnika strat. Ruch nie załatwiony na tej wiązce jest ruchem straconym.

Systemy z ruchem przelewowym były przedmiotem wielu rozważań, np. [1–3]. Prace te dotyczyły jednakże tylko sieci z ruchem jednokanałowym, tj. tradycyjnych jednousługowych sieci telefonicznych. W przypadku sieci z ruchem zintegrowanym, podstawową metodą określania charakterystyk ruchowych jest wykorzysta- nie tzw. wzorów Kaufmana-Robertsa (KR) [4,5]. Wzo- ry te pozwalają na prawidłowe modelowanie systemów ze strumieniami PCT1 (tj. Poissonowskich strumie- niami ruchu od nieskończonej liczby źródeł ruchu), oferowanymi bezpośrednio wiązkom telekomunikacyj- nym (tzw. wiązkom podstawowym). Jednakże stru- mień zgłoszeń spływający z wiązki podstawowej nie jest już zgodny z rozkładem Poissona [1]. W związ- ku z tym, ruch przelewowy jest opisywany przez dwa parametry, tj. przez wartość średnią ruchu przelewa- nego R na wiązkę alternatywną (obejściową) oraz jego wariancję σ

²

[1, 6, 7]. Strumień zgłoszeń zgodny z roz- kładem Poissona również można opisać parametrami R i σ

²

, jednak w tym przypadku wartości obu tych parametrów są równe (R = σ

²

). W przypadku stru- mienia zgłoszeń spływających, wariancja jest zawsze większa (nieraz nawet kilkakrotnie) od wartości śred-

niej. Oznacza to, że strumień przelewowy jest bardziej nierównomierny niż strumień zgłoszeń oferowanych.

Miarą tej nierównomierności jest wartość współczyn- nika degeneracji Z = σ

²

/R, która dla strumienia spły- wającego z wiązki podstawowej jest większa od jedno- ści (Z > 1), a dla strumienia zgłoszeń oferowanych równa jedności (Z = 1).

Mając na uwadze powyższe stwierdzenia docho- dzimy do wniosku, że wzory KR w swojej podstawo- wej postaci (opracowane przy założeniu wykładnicze- go rozkładu odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami) nie mogą być stosowane do wyznaczania współczynni- ków blokady zgłoszeń ruchu zintegrowanego w wiązce alternatywnej. Celem tego artykułu jest przedstawie- nie modyfikacji wzorów KR, umożliwiającej wyzna- czanie współczynników blokady i strat zgłoszeń nale- żących do różnych strumieni przelewowego ruchu zin- tegrowanego w wiązce alternatywnej.

Dalszy układ artykułu jest następujący. W roz- dziale 2 przedstawiono model Kaufmana-Robertsa dla wiązki doskonałej z Poissonowskim strumieniem zgło- szeń. W rozdziale 3 przedstawiono model jednousłu- gowy KR dla wiązki z ruchem przelewowym. Rozdział 4 zawiera opis metody wymiarowania systemów z ru- chem zintegrowanym i przelewem ruchu, a w rozdziale 5 przedstawiono metodę wyznaczania rozkładu zaję- tości w wielousługowym modelu KR. Rozdział 6 za- wiera porównanie wyników obliczeń z danymi symu- lacji. W rozdziale 7 przedstawiono najważniejsze wnio- ski wynikające z przeprowadzonych badań.

2. Modelowanie wiązek pełnodostępnych z ruchem zintegrowanym

Rozważmy wiązkę o pojemności V PJP (podstawo- wych jednostek pasma). System ten obsługuje M Po- issonowskich strumieni ruchu (tzw. strumieni PCT1) o intensywnościach: λ

1

, λ

2

, . . .,λ

M

. Zgłoszenie klasy i wymaga t

i

PJP do zestawienia połączenia. Czasy ob- sługi zgłoszeń wszystkich klas mają charakter wykład- niczy z parametrami µ

1

,µ

2

,. . .,µ

M

. Zatem, ruch ofero- wany przez strumień klasy i jest równy:

A

i

= λ

i

/µ

i

. (1)

2006

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne

Poznań 7 - 8 grudnia 2006

(2)

V

1

V

2

V

M

V

A1,t1

E1, E2, …, EM

R1,

A2,t2 AM,tM

R2, RM,

Rys. 1. Fragment sieci z przelewowym ruchem zintegrowanym, wiązki podstawowe obsługują

pojedynczą klasę ruchu

Przedstawiony model systemu z integracją usług opisywany jest najczęściej wzorem KR [8–10]:

n[P

n

]

V

= X

M

i=1

A

i

t

i

[P

n−ti

]

V

, (2) gdzie P (n) jest prawdopodobieństwem przebywania systemu w stanie n (zajętych PJP). Prawdopodobień- stwo blokady E

i

dla strumienia klasy i oraz prawdo- podobieństwo strat B

_i

dla strumienia klasy i może być określone następująco:

E

i

= B

i

= X

V

n=V −ti+1

[P

n

]. (3) Wiązka pełnodostępna jest systemem, w którym nie występuje zależność strumienia zgłoszeń od stanu, w którym system się znajduje. Oznacza to, że przejście z jednego stanu do drugiego pod wpływem strumienia klasy i nie zależy od liczby n zajętych PJP.

3. Model jednousługowy KR dla wiązki doskonałej z ruchem przelewowym 3.1. Założenia modelu

Rozpatrzmy fragment sieci przedstawiony na rys. 1.

W systemie tym założono, że każdej z wiązek pod- stawowych oferowana jest tylko jedna klasa zgłoszeń.

Realne łącza, tworzące sieć z ruchem zintegrowanym, przenoszą różne rodzaje usług w celu efektownego wy- korzystania ich zasobów. Przyjęte w tym rozdziale za- łożenie ma na celu ułatwienie zrozumienia wyprowa- dzanych zależności analitycznych. Systemy, w których wiązki podstawowe obsługują wiele klas ruchu, przed- stawione zostaną w p. 5. W rozważanym systemie znajduje się M wiązek podstawowych o wysokim wy- korzystaniu. Wiązka o numerze i ma pojemność równą V

i

PJP. Każdej z wiązek oferowany jest inny strumień zgłoszeń charakteryzujący się natężeniem ruchu A

i

. Zgłoszenia klasy i żądają do obsługi t

i

PJP.

3.2. Parametry ruchu spływającego

W wyniku zajmowania kolejnych PJP w wiązkach do- chodzi do sytuacji, w których następuje blokada wią- zek podstawowych i przelewanie ruchu na wiązkę al- ternatywną o pojemności V . Współczynniki blokady

w wiązkach podstawowych można obliczyć przy pomo- cy pierwszego wzoru Erlanga. Należy jednak uwzględ- nić, że jedno zgłoszenie klasy i zajmuje jednocześnie t

i

PJP. Czyli z punktu widzenia modelu Erlanga jest to równoznaczne z t

i

-krotnym zmniejszeniem pojemności wiązki o rzeczywistej pojemności V

i

PJP. Oznacza to, że przed podstawieniem do pierwszego wzoru Erlanga, pojemność wiązki należy podzielić przez liczbę PJP żądanych do zestawienia połączenia danej klasy. Dru- gim sposobem, w wyniku którego otrzymamy te same wartości współczynników blokady, jest zastosowanie wzorów KR (2) i (3). Będą one uwzględniały wiązkę o pojemności V

i

, której oferowany jest jeden strumień zgłoszeń o rozkładzie Poissona, tworzony przez zgło- szenia żądające do zestawienia połączenia t

i

PJP.

Znając współczynniki blokady w wiązkach podsta- wowych możemy obliczyć parametry ruchu spływają- cego każdej z klas, tj. wartość średnią R i wariancję σ

²

. Wykorzystujemy do tego celu tzw. wzory Riordana:

R

i

= A

i

E

Vi

(A

i

), (4) σ

_i²

= R

i

A

i

V

i

+ 1 − A

i

+ R

i

+ 1 − R

i

. (5) Następnie, na podstawie tych parametrów, określamy poziom nierównomierności poszczególnych strumieni ruchu spływającego, obliczając wartości współczynni- ków degeneracji Z

i

= σ

²_i

/R

i

.

3.3. Rozkład zajętości w wiązce alternatywnej Zgłoszenia tracone w wiązkach podstawowych są ofe- rowane wiązce alternatywnej i kolejno zajmują jej za- soby. Zatem wiązka ta obsługuje M klas zgłoszeń.

W celu wyznaczenia współczynników blokady zgłoszeń w takiej wiązce, posłużymy się analogią do metody Hayworda, opisanej w [1]. Przypomnijmy, że była ona przeznaczona do wyznaczenia współczynnika blokady w wiązce o pojemności V z ruchem jednousługowym, której oferowany jest przelewowy strumień zgłoszeń o wartości średniej R, dodatkowo charakteryzowany przez współczynnik degeneracji Z. Jak wiemy, nie jest to strumień o rozkładzie Poissona. W metodzie tej wy- korzystywany jest wzór Erlanga poddany następującej modyfikacji:

B = E = E

V Z

R Z

. (6)

W przypadku wiązki z ruchem zintegrowanym, posłu- żymy się identyczną modyfikacją dla wzorów KR:

E

1

, . . . , E

M

= KR

R

1

Z

1

, . . . , R

M

Z

M

; t

1

, . . . , t

M

; V Z

, (7) gdzie KR(· · · ) oznacza algorytm wyznaczania współ- czynników blokady zgłoszeń poszczególnych klas E

1

,. . . , E

M

, na podstawie wzorów KR (2) i (3), które przyjmują następującą postać:

n [P

n

]

_{V /Z}

= X

M i=1

R

i

Z

i

t

i

[P

n−ti

]

_{V /Z}

, (8) B

i

= E

i

= X

^V_Z

n=^V_Z−ti+1

[P

n

]

_{V /Z}

. (9)

(3)

Współczynnik degeneracji pełni funkcję normali- zującą. Poprzez podzielenie wartości średnich ruchów spływających poszczególnych klas zgłoszeń przez od- powiadające im wartości współczynników Z

i

, doko- nujemy przekształcenia nierównomiernego strumienia ruchu przelewowego w strumień Erlanga. Analogicz- nie jak w zależności (6), również pojemność wiązki al- ternatywnej V dzielimy przez wartość współczynnika degeneracji. Po takiej operacji wzór (7) nie będzie wy- konywany dla V stanów zajętości wiązki, a jedynie dla V /Z stanów. Zwróćmy uwagę, że pojemność wiązki al- ternatywnej we wzorach (8) i (9) jest dzielona przez tzw. zbiorczy współczynnik degeneracji Z. Problem wyznaczenia tego współczynnika, dla M klas zgłoszeń, z których każda może mieć inną wartość współczynni- ka Z

i

, zostanie omówiony w p. 3.4.

Wzory (8) i (9) są uogólnieniem wzorów KR na wszystkie rodzaje wiązek obsługujących ruch zintegro- wany, zarówno nie-Poissonowski (ruch przelewowy), jak i Poissonowski. Dla rozkładu Poissona wartość współczynnika degeneracji jest równa jedności i wte- dy wzory (8) i (9) przyjmują postać podstawowych wzorów KR (2) i (3).

3.4. Wyznaczanie zbiorczego współczynnika Z W poprzednim punkcie pominęliśmy problem wyzna- czania wartości współczynnika degeneracji Z, przez którą dzielimy pojemność wiązki. Zgodnie ze wzo- rem (7), do wiązki alternatywnej napływa M klas zgłoszeń, z których każda może posiadać inną wartość współczynnika Z

i

. Problemem jest zatem sposób wy- znaczenia wartości zbiorczego współczynnika Z w celu normalizacji wiązki o pojemności V .

Rozwiązaniem tego problemu jest wprowadzenie średniej ważonej współczynników Z

i

poszczególnych strumieni zgłoszeń:

Z = X

M i=1

Z

i

k

i

, gdzie k

i

= R

i

t

i

P

_M

l=1

R

l

t

l

. (10)

We wzorze (10) przyjęto, że wkład degeneracji strumienia klasy i w zbiorczym współczynniku dege- neracji Z jest wprost proporcjonalny do liczby żąda- nych PJP w wiązce alternatywnej przez klasę i oraz do wartości ruchu oferowanego przez klasę i wiązce al- ternatywnej. Zasadność takiego założenia została po- twierdzona badaniami symulacyjnymi [11].

4. Wymiarowanie wiązek tranzytowych z ruchem zintegrowanym

Do tej pory zajmowaliśmy się wyznaczaniem rozkładu zajętości w alternatywnej wiązce doskonałej o pojem- ności V , której oferowany był zintegrowany ruch prze- lewowy. Na jego podstawie wyznaczaliśmy współczyn- niki blokady zgłoszeń należących do różnych strumieni ruchu przelewanego. Podstawą tych obliczeń były od- powiednio zmodyfikowane wzory KR (8) i (9).

W tym rozdziale zajmiemy się problemem wymia- rowania wiązek alternatywnych. Znając parametry ru- chu zintegrowanego, spływającego na wiązkę obejścio- wą, wyznaczymy pojemność tej wiązki w taki spo-

sób, aby zapewnić odpowiednią jakość obsługi zgło- szeń napływających do systemu. Zagadnienie to moż- na sformułować następująco: dla założonych wartości współczynników blokady zgłoszeń każdej z klas nale- ży określić minimalną pojemność wiązki alternatyw- nej. Podstawą takich rozważań będą zmodyfikowane wzory Kaufmana-Robertsa (8) i (9).

Rozważmy ponownie system telekomunikacyjny przedstawiony na rys. 1. Znając parametry ruchu spływającego na wiązkę alternatywną (R

1

, . . ., R

M

; Z

1

, . . ., Z

M

), wyznaczymy pojemność tej wiązki w taki sposób, aby nie przekroczyć zadanych wartości współ- czynników blokady E

1

, . . ., E

M

. W tym celu będzie- my zmniejszać pojemność wiązki alternatywnej V , za- czynając od pewnej wartości stanowiącej górną gra- nicę V

gr

. Po każdorazowym zmniejszeniu pojemno- ści V , możemy wyznaczyć aktualne prawdopodobień- stwa blokady e

1

, e

2

, . . ., e

M

na podstawie wzorów KR:

e

1

, . . . , e

M

= KR

R

1

Z

1

, . . . , R

M

Z

M

; t

1

, . . . , t

M

; V Z

. (11) Zmniejszanie pojemności V wykonujemy do czasu, gdy spełniony jest warunek, że wartości współczyn- ników blokady nie przekraczają wartości zadanych:

e

1

¬ E

1

; e

2

¬ E

2

; . . . ; e

M

¬ E

M

. (12) Jeżeli w r-tym, kolejnym kroku obliczeń naruszona zo- stanie którakolwiek z nierówności (12), za końcową wartość pojemności wiązki obejściowej przyjmujemy wartość otrzymaną w kroku r − 1.

Stwierdziliśmy, że zmniejszania pojemności doko- nujemy od pewnej granicznej wartości pojemności V

_gr

. W celu szybkiego wykonania tego algorytmu (czyli wykonania minimalnej liczby dekrementacji) koniecz- ne jest odpowiednie określenie wartości granicznej.

Rozpatrzmy to zagadnienie w następujący sposób. Po- traktujmy oddzielnie każdą z klas ruchu tworzących zintegrowany strumień przelewowy, oferowany wiązce alternatywnej V . Dla każdego z M składowych stru- mieni zgłoszeń o natężenia ruchu R

i

, wyznaczamy ele- mentarną pojemność wiązki v

i

. Pojemność ta musi być tak dobrana, aby zapewnić jakość obsługi zgłoszeń klasy i zgodnie z założonym współczynnikiem blokady E

i

. Pojemności elementarne v

i

wyznaczamy na pod- stawie metody Hayworda:

E

i

= B

i

= E

vi Zi

R

i

Z

_i

. (13)

Z tablic Erlanga odczytujemy wartość

_Z^vⁱ

i

, na pod-

stawie której wyznaczamy v

i

. Określona, na podsta-

wie równania (13), wartość v

i

zapewnia żądaną ja-

kość obsługi zgłoszeń z prawdopodobieństwem bloka-

dy nie przekraczającym wartości E

i

. Dodatkowo, pra-

wo wiązki upoważnia nas do stwierdzenia, że także

wiązka alternatywna o pojemności v

1

+ v

2

+ . . . + v

M

,

obsługująca zintegrowany strumień zgłoszeń (klasy od

1 do M ), zapewnia przynajmniej założony poziom ob-

sługi dla każdej z klas ruchu. Zgodnie bowiem z pra-

wem wiązki, współczynniki blokady zgłoszeń w wiąz-

ce powstałej z połączenia kilku wiązek składowych,

(4)

są mniejsze od współczynników blokady występują- cych w wiązkach składowych przed ich połączeniem.

W odniesieniu do rozważanego systemu oznacza to, że zgłoszenia są obsługiwane ze znacznie mniejszymi prawdopodobieństwami blokady niż założono. Wyni- ka stąd konieczność zmniejszenia pojemności wiązki obsługującej ruch przelewowy.

Po określeniu pojemności elementarnych, wyzna- czamy całkowitą pojemność graniczną V

gr

wiązki al- ternatywnej:

V

gr

Z = v

1

Z

1

+ v

2

Z

2

+ . . . + v

M

Z

M

. (14)

Dekrementację rozpoczynamy od wartości początko- wych v

_i

wchodzących w skład wzoru (14). Zmniej- szania dokonujemy cyklicznie dla każdej z klas, za- czynając przykładowo od klasy najmłodszej (obsługi- wanej przez fikcyjną wiązkę v

1

), czyli tej, która żą- da do zestawienia połączenia najmniejszej liczby PJP.

W każdym kroku dekrementujemy pojemność tylko jednej wiązki składowej. Po każdorazowym zmniejsze- niu o jedną PJP kolejnych pojemności v

i

, określamy znormalizowaną pojemność wiązki tranzytowej V , we- dług wzoru:

V Z = v

1

Z

1

+ v

2

Z

2

+ . . . + v

M

Z

M

. (15)

Otrzymaną wartość (15) podstawiamy do zależno- ści (11) i wyznaczamy prawdopodobieństwa blokady zgłoszeń każdej klasy. Powyższe operacje wykonuje- my do czasu naruszenia warunku (12). Po zakończeniu działania algorytmu, otrzymujemy pojemność wiązki alternatywnej, która zapewnia poziom obsługi zgło- szeń z odpowiednimi współczynnikami blokady nie przekraczającymi założonych wartości E

1

, . . ., E

M

.

Podsumowując przedstawione rozważania, algo- rytm wymiarowania wiązki, której oferowany jest zin- tegrowany ruch przelewowy, składający się z M klas zgłoszeń, można przedstawić w sposób następujący:

1. Wyznaczenie pojemności wiązek elementarnych v

1

, v

2

,. . . ,v

M

(wzór (13));

2. Wyznaczenie początkowej pojemności wiązki V

gr

z ruchem przelewowym na podstawie wartości v

i

obliczonych w poprzednim kroku (wzór (14));

3. Cykliczne zmniejszanie pojemności wiązek ele- mentarnych i określanie współczynników blokady zgłoszeń, do czasu naruszenia warunku (12).

4. Określenie pojemności wiązki alternatywnej, po- przez zsumowanie otrzymanych w poprzednim kroku pojemności wiązek składowych v

1

+ . . . + v

M

, dla których spełnione są jeszcze warunki wy- rażone wzorem (12).

5. Model wielousługowy KR dla wiązki doskonałej z ruchem przelewowym Dotychczas zajmowaliśmy się projektowaniem wiązek alternatywnych w systemach, w których wiązki bez- pośrednie obsługiwały tylko jeden strumień zgłoszeń.

V

1

V

2

V

M

V

A11, A12, …, A1M

E1, E2, …, EM

AK1, AK2, …, AKM

A21, A22, …, A2M

t1, t2, …, tM t1, t2, …, tM t1, t2, …, tM

R11, R12, …, R1M 11, 12, …, 1M

R21, R22, …, R2M 21, 22, …, 2M

RK1, RK2, …, RKM K1, K2, …, KM

Rys. 2. Fragment sieci z przelewowym ruchem zintegrowanym, wiązki podstawowe obsługują wiele

klas ruchu

Był to przypadek czysto teoretyczny, mający na ce- lu ułatwienie zrozumienia wyprowadzanych zależno- ści analitycznych. W rzeczywistych systemach, wiązki podstawowe przenoszą ruch zintegrowany składający się z kilku klas zgłoszeń.

Stosowane dotychczas założenie pozwalało na pro- ste wyznaczenie wariancji ruchu spływającego z wią- zek podstawowych na podstawie wzorów Riordana.

W przypadku gdy wiązka przenosi ruch zintegrowa- ny, bezpośrednie zastosowanie wzorów Riordana nie jest możliwe. W tym rozdziale podamy przybliżoną metodę wyznaczania wariancji różnych klas zgłoszeń w przypadku ruchu spływającego z wiązek obsługu- jących ruch zintegrowany. Rozważmy system teleko- munikacyjny przedstawiony na rysunku 2. System ten składa się z K wiązek bezpośrednich o wysokim wy- korzystaniu. Każdej z wiązek jest oferowanych M klas zgłoszeń. Natężenie ruchu zgłoszeń klasy i oferowa- nych wiązce j wynosi A

i,j

Erl. Blokowany w wiąz- kach bezpośrednich ruch poszczególnych klas przele- wany jest na wiązkę alternatywną. Współczynnik blo- kady zgłoszeń klasy i w wiązce bezpośredniej j (B

i,j

) można określić na podstawie (3). Znając prawdopodo- bieństwa blokady możemy wyznaczyć wartość średnią natężenia ruchu klasy i spływającego z wiązki j:

R

i,j

= A

i,j

E

i,j

. (16) W celu pełnego scharakteryzowania ruchu przele- wowego niezbędne jest określenie wariancji każdego strumienia zgłoszeń. Parametr ten określimy w spo- sób przybliżony, przeprowadzając dekompozycję każ- dej wiązki rzeczywistej na M fikcyjnych wiązek skła- dowych o pojemnościach V

ij

. Każda wiązka fikcyjna będzie obsługiwała wyłącznie zgłoszenia jednej klasy, co umożliwi zastosowanie wzorów Riordana do okre- ślenia wariancji σ

_ij²

ruchu klasy i spływającego z wiąz- ki j. Określmy zatem pojemności wiązek fikcyjnych.

W tym celu najpierw wyznaczymy ruch załatwiany klasy i w wiązce j:

Y

i,j

= A

i,j

(1 − E

i,j

). (17)

(5)

Zgodnie z definicją, wartość Y

i,j

określa średnią liczbę zgłoszeń klasy i, obsłużonych w wiązce j. Za- tem wyrażona w PJP średnia wartość natężenia ruchu klasy i będzie równa Y

i,j

t

i

. Pojemność fikcyjnej wiązki składowej V

i,j

zdefiniujemy jako tę część rzeczywistej wiązki V

j

, która nie jest zajmowana przez zgłoszenia pozostałych klas (różnych od klasy i). Otrzymujemy zatem:

V

i,j

= V

j

− X

M

l=1;l6=i

Y

l,j

t

l

, (18) gdzie V

j

jest pojemnością wiązki podstawowej, a suma po prawej stronie równania (18) określa liczbę PJP zajmowanych przez zgłoszenia pozostałych klas.

Dysponując wszystkimi parametrami (tj. R

i,j

, A

i,j

i V

i,j

możemy – na podstawie wzoru Riordana – wy- znaczyć wariancję σ

²_ij

dla poszczególnych strumieni zgłoszeń spływających na wiązkę alternatywną:

σ

²_i,j

= R

i,j

A

i,j Vi,j

ti

+ 1 − A

i,j

+ R

i,j

+ 1 − R

i,j

! , (19) gdzie iloraz

^V_t^i,j

i

normalizuje system do przypadku jed- nousługowego. Taka operacja jest konieczna, ponieważ wzory Riordana w swej podstawowej postaci są prze- znaczone do wyznaczania parametrów ruchu spływa- jącego w systemach jednousługowych.

Ponieważ poszczególne strumienie zgłoszeń ofero- wane systemowi są statystycznie niezależne, to para- metry całkowitego ruchu klasy i, oferowanego wiązce alternatywnej, będą równe:

R

i

= X

K

j=1

R

i,j

, (20)

σ

²_i

= X

K

j=1

σ

_i,j²

. (21)

W tym miejscu dysponujemy już wszystkimi pa- rametrami, które charakteryzują M strumieni zgło- szeń oferowanych projektowanej wiązce alternatywnej.

W celu wyznaczenia pojemności tej wiązki możemy zastosować opisany w rozdziale 4 algorytm wymiaro- wania wiązki alternatywnej, obsługującej przelewowy ruch zintegrowany.

Dysponując zależnościami (20) i (21) możemy tak- że wyznaczyć rozkład zajętości oraz prawdopodobień- stwo blokady w systemie z przelewowym ruchem zin- tegrowanym, przedstawionym na rys. 2. Do tego celu zastosujemy wzory (8) i (9), gdzie zbiorczy współczyn- nik Z jest określony zgodnie ze wzorem (10).

6. Porównanie wyników analitycznych z danymi symulacji

Przedstawione metody wyznaczania rozkładu zajęto- ści oraz prawdopodobieństwa blokady w systemach z przelewowym ruchem zintegrowanym są metodami przybliżonymi. W celu określenia dokładności pro- ponowanych rozwiązań, wyniki obliczeń analitycz- nych porównano z danymi symulacji. Badania prze- prowadzono dla systemu telekomunikacyjnego, złożo- nego z trzech wiązek bezpośrednich, obsługujących ruch zintegrowany, oraz z jednej wiązki alternatywnej

Tabela 1.

Parametry badanych systemów telekomunikacyjnych Nr systemu Parametry systemu

1 t

1

= 1, t

2

= 2, t

3

= 4 a

1

= 24, a

2

= 14, a

3

= 12 V

1

= 10, V

2

= 20, V

3

= 40 2 t

1

= 1, t

2

= 2 t

3

= 6

a

1

= 24, a

2

= 14, a

3

= 12 V

1

= 10, V

2

= 20, V

3

= 40 3 t

1

= 1, t

2

= 2, t

3

= 6

a

1

= 24, a

2

= 22, a

3

= 12 V

1

= 16, V

2

= 54, V

3

= 96 4 t

1

= 1, t

2

= 4, a

1

= 24, a

2

= 14

V

1

= 16, V

2

= 54

Tabela 2.

Porównanie wyników analitycznych z danymi symu- lacji dla procesu wymiarowania wiązki alternatywnej, obsługującej przelewowy ruch zintegrowany

Nr E

1

E

2

E

3

V

obliczenia

V

symulacja

1 0,001 0,002 0,005 85 84

2 0,001 0,002 0,005 131 128

3 0,005 0,010 0,020 59 59

4 0,001 0,002 – 103 102

(o pojemności 120 PJP), obsługującej ruch spływają- ycy z wiązek bezpośrednich. Strukturę ruchu spływa- jącego (parametr Z

i

) z wiązek bezpośrednich podano w podpisach rysunków, przedstawiających prawdopo- dobieństwo blokady w wiązce alternatywnej dla róż- nych wartości współczynników Z ruchu oferowanego wiązce alternatywnej. Wartości prawdopodobieństwa blokady wyrażono w funkcji ruchu jednostkowego, ofe- rowanego pojedynczej PJP wiązki alternatywnej.

Na rys. 3(a)–3(c) przedstawiono rezultaty prawdo- podobieństwa blokady w wiązce obsługujących ruch zintegrowany, o równych wartościach współczynnika Z dla każdej klasy ruchu. Przeprowadzone badania mia- ły na celu sprawdzenie, czy możliwe jest uogólnienia wzoru KR (2), pozwalające na określania charakte- rystyk ruchowych systemów obsługujących strumienie ruchu o wartości współczynnika degeneracji Z > 1. Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że uogólnienie takie jest możliwe. W dalszej części badań określano prawdopodobieństwo blokady w systemach, w których poszczególne strumienie zgłoszeń charakte- ryzowały się różnymi wartościami współczynnika Z.

Również i w tym przypadku (rys. 3(d)), uzyskane wy- niki obliczeń charakteryzują się wysoką dokładnością.

W ostatniej części badań przeprowadzono proces wy-

miarowania systemów z ruchem przelewowym. Bada-

nia przeprowadzono dla systemów scharakteryzowa-

nych w tab. 1. Uzyskane pojemności wiązki obsługu-

jącej ruch zintegrowany (dla założonych współczynni-

ków blokady E

1

, E

2

, E

3

), o współczynnikach degene-

racji Z > 1, przedstawiono w tab. 2. Możemy zauwa-

żyć, że porównanie danych analitycznych (V

obliczenia

)

z danymi symulacji (V

_symulacja

) wskazuje na wysoką

dokładność proponowanego rozwiązania.

(6)

10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 ruch oferowany [Erl]

Ei

Obliczenia - klasa 1 Obliczenia - klasa 2 Obliczenia - klasa 3 Symulacja - klasa 1 Symulacja - klasa 2 Symulacja - klasa 3

(a) Z1= Z2= Z3= 2

10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

Ei

(b) Z1= Z2= Z3= 3

10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

Ei

(c) Z1= Z2= Z3= 4

10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 ruch oferowany [Erl]

Ei

(d) Z1= 2, Z2= 3, Z3= 4

Rys. 3. Prawdopodobieństwo blokady w wiązce z przelewowym ruchem zintegrowanym,

R

1

t

1

: R

2

t

2

: R

3

t

3

= 1 : 1 : 1

7. Podsumowanie

W artykule zaproponowano analityczną metodę wy- znaczania rozkładu zajętości oraz prawdopodobień- stwa blokady w wiązkach sieci telekomunikacyj- nych, obsługujących przelewowy ruch zintegrowany.

Przedstawiona metoda bazuje na modyfikacji wzoru Kaufmana-Robertsa. Modyfikacja ta polega na wpro- wadzeniu współczynnika degeneracji Z, charakteryzu- jącego nierównomierność strumienia zgłoszeń, do pro- cesu obliczeń prawdopodobieństw stanów w algoryt- mie Kaufmana-Robertsa. Dodatkowo, w artykule za- proponowano efektywną metodę wymiarowania syste- mów z ruchem zintegrowanym, spływającym z wią- zek bezpośrednich. Dokładność proponowanych me- tod analitycznych została zweryfikowana badaniami symulacyjnymi.

Literatura

[1] R.I. Wilkinson. Theories of toll traffic engineering in the USA. Bell System Technical Journal, 40:421–514, 1956.

[2] Y. Rapp. Planning of junction network in a multi- exchange area. Proceedings of 4th International Tele- traffic Congress, strona 4, London, 1964.

[3] A. Fredericks. Congestion in blocking systems — a simple approximation technique. Bell System Techni- cal Journal, 59(6):805–827, July–August 1980.

[4] J.S. Kaufman. Blocking in a shared resource envi- ronment. IEEE Transactions on Communications, 29(10):1474–1481, 1981.

[5] J.W. Roberts. A service system with heterogeneous user requirements — application to multi-service tele- communications systems. G. Pujolle, redaktor, Proce- edings of Performance of Data Communications Sys- tems and their Applications, strony 423–431, Amster- dam, 1981. North Holland.

[6] G. Bretschneider. Die Berechnung von Le- itungsgruppen f¨ ur berfließenden Verkehr in Fern- sprechw¨ahlanlagen. Nachrichtentechnische Zeitung (NTZ), (11):533–540, 1956.

[7] H. Akimuru, K. Kawashima. Teletraffic: Theory and Application. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1993.

[8] J.W. Roberts. Teletraffic models for the Telcom 1 in- tegrated services network. Proceedings of 10th Inter- national Teletraffic Congress, strona 1.1.2, Montreal, Canada, 1983.

[9] M.E. Beshai, D.R. Manfield. Multichannel servi- ces performance of switching networks. Proceedings of 12th International Teletraffic Congress, strony 857–864, Torino, Italy, 1988. North Holland-Elsevier Science Publishers.

[10] M. Stasiak. Blocking probability in a limited- availability group carrying mixture of diffe- rent multichannel traffic streams. Annales des T´el´ecommunications, 48(1-2):71–76, 1993.

MODELOWANIE SYSTEMÓW Z RUCHEM ZINTEGROWANYM I PRZELEWEM RUCHU

Mariusz Głąbowski Katarzyna Kubasik Dominik Mikołajczak Maciej Stasiak

Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych Politechnika Poznańska, ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań e-mail: mariusz.glabowski@et.put.poznan.pl