9.2. Wasnoci trjktw.pdf 

9. 2. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW

Klasyfikacja trójkątów

Podział trójkątów ze względu na boki

róŜnoboczny równoramienny równoboczny

o st ro k ąt n y a b

c

b b a

a a a p ro st o k ąt n y

c

a

·

b

a b

·

a P o d zi ał tr ó jk ąt ó w z e w zg lę d u n a k ąt y ro zw ar to k ąt n y

c

a

b

b b a

Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa

180

°

c) Odcinki i linie w trójkącie

wysokość trójkąta h – odcinek łączący wierzchołek trójkąta z

przeciwległym bokiem, prostopadły do

h niego.

r s

d dwusieczna kąta d – półprosta , która dzieli kąt na pół

· ·

środkowa trójkąta r – odcinek łączący wierzchołek trójkąta

ze środkiem przeciwległego boku. Twierdzenie o środkowych trójkąta: Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie, który nazywamy środkiem cięŜkości trójkąta. Punkt ten dzieli kaŜdą ze środkowych w stosunku 2 : 1 licząc do wierzchołków. symetralna boku trójkąta s – prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek

Trójkąt równoramienny

a- podstawa trójkąta b- ramię trójkąta

- kąty przy podstawie są równe,

- wysokość dzieli podstawę na połowę

- wysokość dzieli kąt między ramionami na połowę

b b

α α a

Przykład 9.2.1. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie 8 i ramieniu 5. Środkowe

przecinają się w punkcie P. Oblicz odległości tego punktu od kaŜdego z

wierzchołków trójkąta

Rozwiązanie

Komentarz

Dane: Szukane:

8

=

a

g,

d

5

=

b

Analiza zadania.

c

g

=

2

Z twierdzenia o środkowych trójkąta:

Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie, który nazywamy środkiem cięŜkości trójkąta. Punkt ten dzieli

kaŜdą ze środkowych w stosunku 2 : 1 licząc do wierzchołków,

wynika, Ŝe odcinek g jest dwa razy dłuŜszy od odcinka c. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczany długość odcinka c

(

) (

2

)

2 2

5

,

0

a

+

g

+

c

=

b

( )

2 2 2

5

3

4

+

c

=

1

1

16

25

9

25

9

16

2 2 2

=

=

−

=

=

+

c

c

c

c

2

1

2

2

=

⋅

=

=

c

g

Obliczamy długość odcinka g.

(

)

2 2 2

₀

_,

₅

_a

_d

c

+

=

17

17

16

1

4

1

2 2 2 2 2

=

=

=

+

=

+

d

d

d

d

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka d

Odp :

g

=

2

;

d

=

17

Przykład 9.2.2. Wyznacz kąt α trójkąta oraz długość boku x

x

84° 48°

8

Rozwiązanie

Komentarz

°

−

°

−

°

=

°

=

°

+

°

+

48

84

180

180

48

84

α

α

°

=

48

α

Kąt

α

wyznaczamy wykorzystując

własność: Suma kątów wewnętrznych

trójkąta jest równa

180 .

°

8

=

x

Dwa kąty w trójkącie są równe . Zatem

trójkąt jest równoramienny .

α

Przykład 9.2.3. Oblicz obwód trójkąta równoramiennego wiedząc, Ŝe kąt między

ramionami ma miarę 120°, a wysokość poprowadzona z wierzchołka tego kąta

ma długość 20 cm .

Rozwiązanie

Komentarz

Dane: Szukane: Wzory:

cm

h

=

20

Ob.

Ob

=

2

b

+

a

°

=

120

α

Analiza zadania.

°

=

=

60

2

1

α

β

40

20

2

1

60

cos

=

=

=

°

b

b

b

h

3

40

2

/

5

,

0

3

20

20

/

20

5

,

0

3

5

,

0

60

=

⋅

=

⋅

=

=

°

a

a

a

h

a

tg

Obliczamy b wykorzystując definicję kosinusa

stokatna

przeciwpro

y_α

katna_ prz

przyprosto

cosα

=

Obliczamy a wykorzystując definicję tangensa

α

α

α

_

_

_

_

przy

katna

przyprosto

naprzeciw

katna

przyprosto

tg

=

cm

a

b

d) Trójkąt równoboczny

- w trójkącie równobocznym wszystkie kąty maja po

60

°

.

- w trójkącie równobocznym środkowe, symetralne, wysokości, a a dwusieczne przecinają się w tym samym punkcie, który jest jednocześnie promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt, jak i

60 okręgu opisanego na tym trójkącie.

a wzór na pole trójkąta równobocznego

4

3

2

a

P

=

wzór na wysokość trójkąta równobocznego

2

3

a

h

=

wzory na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

r

h

3

1

=

6

3

a

r

=

wzory na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

R

h

3

2

=

3

3

a

R

=

Przykład 9.2.4. Oblicz obwód i promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

wiedząc, Ŝe jego pole wynosi

6

3

.

Rozwiązanie

Komentarz

Dane: Szukane: Wzory:

3

6

=

P

Ob,

r

Ob

=

3

a

6

3

a

r

=

4

3

2

a

P

=

Analiza zadania.

6

2

6

4

24

24

3

:

/

3

24

3

4

/

3

6

4

3

2 2 2

=

⋅

=

=

=

=

⋅

=

a

a

a

a

Wykorzystując wzór na pole trójkąta _{równobocznego obliczamy długość}

jego boku.

6

6

6

2

3

3

=

⋅

=

=

a

Ob

Obliczamy obwód trójkąta.

2

6

2

6

6

2

9

2

6

18

2

6

3

6

2

6

3

₌

⋅

₌

₌

⋅

₌

₌

=

a

r

Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt.

h r

h

Pole trójkąta

P

=

a

⋅

h

2

1

· a

sin

α

2

1

⋅

⋅

=

a

b

P

b α a a b

P

=

p

(

p

−

a

)(

p

−

b

)(

p

−

c

)

gdzie

p

=

(

a

+

b

+

c

)

2

1

c

Przykład 9.2.5. Oblicz długości wysokości trójkąta o bokach

8

cm

,

4

cm

,

6

cm

.

Rozwiązanie

Komentarz

Dane: Szukane:

cm

a

=

4

h

₁

,

h

₂

,

h

₃

cm

b

=

6

=

Analiza zadania. h

Wzory:

(

p

a

)(

p

b

)(

p

c

)

p

P

=

−

−

−

gdzie

p

=

(

a

+

b

+

c

)

2

1

1

2

1

h

a

P

=

⋅

₂

2

1

h

c

P

=

⋅

₃

2

1

h

b

P

=

⋅

(

)

(

4

6

8

)

9

2

1

2

1

₊

₊

₌

₊

₊

₌

=

a

b

c

p

(

−

)(

−

)(

−

)

=

9

(

9

−

4

)(

9

−

6

)(

9

−

8

)

=

3

15

=

p

p

a

p

b

p

c

P

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru

(

p

a

)(

p

b

)(

p

c

)

p

P

=

−

−

−

1

2

1

h

a

P

=

⋅

2

15

3

2

:

/

2

15

3

4

2

1

15

3

1 1 1

=

=

⋅

⋅

=

h

h

h

Obliczamy

h

₁

ze wzoru

1

2

1

h

a

P

=

⋅

2

2

1

h

c

P

=

⋅

4

15

3

4

:

/

4

15

3

8

2

1

15

3

2 2 2

=

⋅

=

⋅

⋅

=

h

h

h

Obliczamy

h

₂

ze wzoru

2

2

1

h

c

P

=

⋅

3

2

1

h

b

P

=

⋅

15

3

:

/

3

15

3

6

2

1

15

3

3 3 3

=

=

⋅

⋅

=

h

h

h

Obliczamy 3

h

ze wzoru 3

2

1

h

b

P

=

⋅

Ć

_WICZENIA

Ć

wiczenie 9.2.1. (3pkt ) Oblicz pole i obwód trójkąta równobocznego wiedząc, Ŝe promień

okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi cm

6

.

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie długości boku trójkąta.

1

2 Podanie pola trójkąta.

1

Ć

wiczenie 9.2.2. (3pkt ) Oblicz pole i obwód sześciokąta foremnego wiedząc ,Ŝe promień

okręgu wpisanego w ten sześciokąt wynosi

6

3

cm

.

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie długości boku sześciokąta.

1

2 Podanie pola sześciokąta.

1

3 Podanie obwodu sześciokąta.

1

Ć

wiczenie 9.2.3. (4pkt ) Oblicz pole i obwód trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej

długości

6

cm i kącie ostrym

30

°

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie długości krótszej przyprostokątnej.

1

2 Podanie długości dłuŜszej przyprostokątnej.

1

3 Podanie pola trójkąta.

1

4 Podanie obwodu trójkąta

1

Ć

wiczenie 9.2.4. (3pkt ) W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości

jest równa cm

4

.Kąt przy podstawie ma miarę

30 . Oblicz pole tego trójkąta.

°

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie wysokości trójkąta.

1

2 Podanie długości podstawy trójkąta

1

3 Podanie pola trójkąta

1

Ć

wiczenie 9.2.5. (2pkt ) Oblicz pole trójkąta o bokach

3

,

5

,

7

.

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie obwodu trójkąta

1