Obliczanie wybranych przemieszczeń w kratownicy
Wzór Maxwela-Mohra:
1̄𝑖⋅ 𝛥 + ∑ 𝑅̄𝑖𝑟⋅ 𝛥𝑟
𝑟
− ∑𝑅̄𝑖𝑠⋅ 𝑅𝑝𝑠 𝐾𝑠 𝑠
= ∫𝑀𝑖𝑀𝑝 𝐸𝐽 𝑑𝑠
𝑙
+ ∫𝑁𝑖𝑁𝑝 𝐸𝐴 𝑑𝑠
𝑙
+ ∫ 𝜅𝑇𝑖𝑇𝑝 𝐺𝐴 𝑑𝑠
𝑙
+ ∫ 𝑀𝑖
𝛼𝑡𝛥𝑡 ℎ 𝑑𝑠
𝑙
+ ∫𝑁𝑖𝛼𝑡𝑡𝑜𝑑𝑠
𝑙
W przypadku kratownicy momenty i siły tnące są równe 0, a jedyne siły wewnętrzne jakie są niezerowe to siły normalne.
1̄𝑖⋅ 𝛥 + ∑ 𝑅̄𝑖𝑟⋅ 𝛥𝑟
𝑟
− ∑𝑅̄𝑖𝑠⋅ 𝑅𝑝𝑠
𝐾𝑠
𝑠
= ∫𝑁𝑖𝑁𝑝
𝐸𝐴 𝑑𝑠
𝑙
+ ∫𝑁𝑖𝛼𝑡𝑡𝑜𝑑𝑠
𝑙
W belkach siły normalne były zaniedbywane, bo ich wpływ na końcowy wynik był mały w porównaniu do tego co wynikało z momentów zginających. W ramach także wpływy statyczne były też liczone jedynie od momentów, a siły normalne były brane tylko ze stanu wirtualnego przy obliczaniu wpływu temperatury równomiernej.
W kratownicy nie możemy stwierdzić, że wpływ sił normalnych jest mały, bo składnik uwzględniający momenty jest zerowy.
Dodatkowo, w wydanych projektach nie zadałem w kratownicy wymuszonych przemieszczeń na podporach. Nie ma też podpór sprężystych, dlatego po lewej stronie zostaje tylko jeden składnik, a w zasadzie tylko obliczane przemieszczenie. Po prawej stronie całki zostaną zamienione na sumy całek na poszczególnych prętach.
𝛥 = ∑ ∫𝑁𝑖𝑁𝑝
𝐸𝐴 𝑑𝑠
𝑢 𝑙
+ ∑ ∫𝑁𝑖𝛼𝑡𝑡𝑜𝑑𝑠
𝑢 𝑙
Siły w prętach są niezmienne na ich długości, a zarówno sztywność podłużna EA, jak i współczynnik rozszerzalności termicznej t są takie same dla całej kratownicy.
𝛥 = 1
𝐸𝐴∑ 𝑁𝑖𝑁𝑝∫𝑑𝑠
𝑢 𝑙
+ 𝛼𝑡∑ 𝑁𝑖𝑡𝑜∫𝑑𝑠
𝑢 𝑙
Całka ∫ 𝑑𝑠𝑙 to długość pręta, więc ostatecznie wzór w przypadku zadanej kratownicy ma postać:
𝛥 = 1
𝐸𝐴∑ 𝑁𝑖𝑁𝑝𝑙
𝑢
+ 𝛼𝑡∑ 𝑁𝑖𝑡𝑜𝑙
Formalnie rzecz ujmując suma jest po wszystkich prętach (indeks u), więc 𝑢
każdy element pod sumą powinien mieć dodatkowy indeks u. Zostało to pominięte dla uproszczenia zapisu.
Co z tych przekształceń wynika?
Całkowanie w przypadku kratownicy sprowadza się do sumowania iloczynów, a następnie dzielenia lub mnożenia przez odpowiednie wielkości: sztywność podłużną EA i współczynnik rozszerzalności termicznej t.
Należy wyznaczyć siły normalne w stanie „P”, czyli w poszczególnych prętach siły wynikające z działania zadanych obciążeń statycznych (sił skupionych).
Następnie należy przyjąć stan wirtualny odpowiadający poszukiwanemu przemieszczeniu (obciążenie jednostkowe na kierunku przemieszczenia).
Iloczyn pod pierwszą sumą, wyznaczany dla każdego pręta, to mnożenie siły normalnej ze stanu wirtualnego przez siłę normalną ze stanu „P” i długość danego pręta. Iloczyn w drugiej sumie to mnożenie siły normalnej ze stanu wirtualnego przez temperaturę na pręcie i długość danego pręta. Zsumowane iloczyny dla całej kratownicy należy podzielić odpowiednio przez sztywność podłużną EA i pomnożyć przez współczynnik rozszerzalności termicznej t.
W celu obliczenia drugiego przemieszczenia zakładamy nowy stan wirtualny oraz wykorzystujemy wcześniej wyliczone siły ze stanu rzeczywistego „P”.
Geometria kratownicy:
WĘZŁY:
PRĘTY:
Przekrój:51,0×4,0 mm
Pole przekroju poprzecznego:
lub WIELKOŚCI PRZEKROJOWE:
--- Nr. A[cm2] h[cm]
--- 1 5,9 5,1
---
Materiał:stal Moduł Younga:
Sztywność podłużna:
Współczynnik rozszerzalności termicznej podłużnej:
1 2 3 4
5
6
7
2,000 2,500 3,000
H=7,500 1,067 1,333 1,600
V=4,000
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11
2,000 2,500 3,000
H=7,500 1,067 1,333 1,600
V=4,000
STAŁE MATERIAŁOWE:
--- Materiał: Moduł E: AlfaT:
[N/mm2] [1/K]
--- 1 Stal 205000 1,20E-05
---
OBCIĄŻENIA:
OBCIĄŻENIA:
- statyczne: dwie pionowe siły skupione (15kN w węźle 1 i 10kN w węźle 6) oraz jedna ukośna 20 kN przyłożona do węzła 3 i równoległa do osi pręta 10 - termiczne: obciążenie temperaturą równomierną, temperatury w RM-Win podawane są zawsze jako dotyczące włókien górnych i dolnych, jednak w przypadku kratownicy, z uwagi na przegubowe połączenia prętów w węzłach, różnica temperatur nie powoduje przemieszczeń węzłów (w projekcie zadana jest tylko jedna temperatura na pręcie, która informuje, o ile dany pręt został ogrzany lub oziębiony względem temperatury montażu
--- Pręt: Rodzaj: Kąt: P
--- Grupa: A ""
1 Skupione 0,0 15,000 8 Skupione 0,0 10,000 10 Skupione -113,1 -20,000
--- Pręt: Rodzaj: Kąt: Tg Td
--- 2 Temp. 20,000 20,000 3 Temp. 25,000 25,000 8 Temp. 20,000 20,000 10 Temp. 15,000 15,000 ---
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11 15,000
T
20,0 20,0
T
25,0 25,0 10,000
20,020,0T
-20,000
T
15,0 15,0
Stan „P”
NORMALNE: [kN]
REAKCJE PODPOROWE: [kN]
Ponieważ w projekcie nie ma wymuszonych przemieszczeń, ani podpór sprężystych, to reakcje nie wpływają na wielkości przemieszczeń. Obliczane są jedynie w celu wyznaczenia sił w prętach albo tak jak w tym przykładzie z kratownicą wspornikową, do sprawdzenia obliczeń.
UWAGA:
Z powodu niedokładności modelowania, pręty 4-5-6, które w tym zadaniu powinny leżeć na jednej prostej, w RM-Winie nie spełniają tego warunku, stąd na schemacie siły w prętach 4 i 5 są różne, a w pręcie 10 siła jest różna od 0.
Podobne niedokładności można zauważyć w stanach wirtualnych.
W dalszych obliczeniach (w tabelach) uwzględnione zostały siły obliczone na podstawie równań, a nie te z rozwiązania numerycznego.
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11
-28,116 -28,116 -28,116
-28,116 -28,116-28,116-28,116 -28,116
-46,520 -46,520
-46,520 -46,520 31,867
31,867
31,867 31,867
31,873
31,873
31,873 31,873
47,047
47,047
47,047 47,047
7,854 7,854
7,854
7,854 -22,140
-22,140
-22,140 -22,140 -0,010
-0,010 -0,010
-0,010
-17,144
-17,144 -17,144
-17,144
1 2 3 4
5
6
7
59,908
32,850 41,512
59,908
Stan „i”
Stan wirtualny do policzenia pionowego przemieszczenia węzła 1.
Założone obciążenie wirtualne to pionowa siła jednostkowa w tym węźle.
OBCIĄŻENIA: [-]
NORMALNE: [-]
REAKCJE PODPOROWE: [-]
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10 1,000 11
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1,874 -1,874
-1,874
-1,874 -1,874-1,874-1,874 -1,874-1,875-1,875-1,875 -1,875 2,124
2,124
2,124 2,124
2,125
2,125
2,125 2,125
2,125
2,125
2,125 2,125
-1,000 -1,000
-1,000 -1,000
1 2 3 4
5
6
7
1,875
1,000 1,875
1,875
Nr L [m] Np [kN] Ni [-] Ni*Np*L [kN*m] t [K] Ni*t*l [K*m]
1
2 -28.125 -1.875 105.469 0.000
2
2.5 -28.125 -1.875 131.836 20 -93.750
3
3 -46.521 -1.875 261.681 25 -140.625
4
2.267 31.875 2.125 153.554 0.000
5
2.833 31.875 2.125 191.891 0.000
6
3.4 47.046 2.125 339.907 0.000
7
1.067 0 0 0.000 0.000
8
2.4 7.849 0 0.000 20 0.000
9
4 -22.14 -1 88.560 0.000
10
2.718 0 0 0.000 15 0.000
11
3.842 -17.143 0 0.000 0.000
Suma 1272.898 Suma -234.375
y
p=Suma/EA 0.010513 y
t=
t*Suma -0.002813 y [m] 0.007701 Ostateczny wynik:
𝑦 = 𝑦𝑝+ 𝑦𝑡= 0.010513𝑚 − 0.002813𝑚 = 0.007701𝑚 = 7,701𝑚𝑚
Pionowy przesuw węzła 1 do dołu (zgodnie z siłą wirtualną), gdyż wynik jest dodatni.
Stan „j”
Stan wirtualny do policzenia zmiany odległości między węzłami 2 i 6.
Założone obciążenie wirtualne to dwie przeciwnie zwrócone siły jednostkowe na kierunku linii łączącej te węzły.
OBCIĄŻENIA:
NORMALNE: [-]
REAKCJE PODPOROWE: [-]
Przy obliczaniu sił wewnętrznych, zarówno w stanie „P” jak i w stanie wirtualnym zakładamy, że kratownica tworzy tarczę sztywną. Obciążenie w stanie wirtualnym ma wypadkową równą 0 (tzw. układ zerowy) i nie zmienia równowagi całego układu. Ze względu na równowagę zewnętrzną, przyłożenie
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1,000
1,000
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
0,721 0,721 11
0,721 0,721
0,818
0,818
0,818 0,818
0,693 0,693 0,693 0,693
0,308 0,308
0,308 0,308 -0,784
-0,784 -0,784
-0,784
1 2 3 4
5
6
7
układu zerowego nie wpływa na stan tej konstrukcji, a więc reakcje podporowe są takie same, jakby nie było przyłożonych żadnych obciążeń, zatem są one zerowe. Co innego, jeśli chodzi o równowagę wewnętrzną, czyli pojawiają się niezerowe siły wewnętrzne, ale są one ograniczone do pól w których przyłożone są siły wirtualne.
Nr L [m] Np [kN] Nj [-]
Nj*Np*L
[kN*m] t [K]
Nj*t*l [K*m]
1
2 -28.125 0 0.000 0.000
2
2.5 -28.125 0.7214 -50.723 20 36.070
3
3 -46.521 0 0.000 25 0.000
4
2.267 31.875 0 0.000 0.000
5
2.833 31.875 0.8176 73.831 0.000
6
3.4 47.046 0 0.000 0.000
7
1.067 0 0.6925 0.000 0.000
8
2.4 7.849 0.3078 5.798 20 14.774
9
4 -22.14 0 0.000 0.000
1
0
2.718 0 -0.7843 0.000 15 -31.976
1
1
3.842 -17.143 0 0.000 0.000
Suma 28.906 Suma 18.868
p=Suma/EA 0.0002387
t=
t*Suma 0.0002264 [m] 0.0004652
Ostateczny wynik:
∆= ∆𝑝+ ∆𝑡= 0,0002387𝑚 + 0,0002264𝑚 = 0,0004652𝑚 = 0,4652𝑚𝑚
Dodatnia zmiana odległości między węzłami oznacza zwiększenie odległości między tymi węzłami (zgodnie z działaniem sił wirtualnych.
Stan „k”
Stan wirtualny do policzenia zmiany kąta pomiędzy prętami 2 i 8.
Założone obciążenie wirtualne to dwa przeciwnie zwrócone momenty jednostkowe.
Ponieważ kratownica może zostać obciążona jedynie przez siły skupione w węzłach, to momenty wirtualne zostają przedstawione każdy jako para sił, czyli dwie równoległe przeciwnie zwrócone siły z liniami działania przesuniętymi względem siebie. Wypadkowa siła takiej pary sił jest równa 0, powstaje jedynie wypadkowy moment. Ponieważ moment ma mieć wartość 1, to do prętów 2 i 8 zostały przyłożone po dwie siły, prostopadłe do odpowiednich prętów. Wówczas ramię pary sił to długość pręta, a wypadkowy moment oblicza się jako:
𝑀 = 𝑃𝑙 = 1̅
Siła w parze sił będzie równa:
𝑃 =1̅
Do węzłów pręta 2 o długości 2,5 m zostają przyłożone siły o wartości 𝑙 1 2,5𝑚⁄ = 0,41
𝑚, a do węzłów pręta 8 o długości 2,4 m – siły 1 2,4𝑚⁄ = 0,41671
𝑚. Do pręta 2 siły przyłożone są w taki sposób, że wypadkowy moment jednostkowy działa przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, na pręcie 8 siły tworzą moment jednostkowy zgodny z ruchem wskazówek zegara.
OBCIĄŻENIA: [1/m]
NORMALNE: [1/m]
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
0,400 -0,400 11
0,417
-0,417
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11 0,472
0,472
0,472 0,472
0,400 0,400 0,400 0,400
-0,222 -0,222
-0,222 -0,222 -0,453
-0,453 -0,453
-0,453
REAKCJE PODPOROWE: [1/m]
Podobnie jak w poprzednim stanie wirtualnym, obciążenie wirtualne tworzy układ zerowy (wypadkowe momenty jednostkowe się znoszą) – wypadkowa siła i wypadkowy moment przyłożonego układu sił jest równy zero, a więc także w tym przypadku reakcje w stanie wirtualnym są równe 0. Siły wewnętrzne powstają jedynie w polach ograniczonych przez węzły, w których przyłożone zostały siły.
Nr L [m] Np [kN] Nk [1/m] Nk*Np*L [kN] t [K] Nk*t*l [K]
1
2 -28.125 0 0.000 0.000
2
2.5 -28.125 0 0.000 20 0.000
3
3 -46.521 0 0.000 25 0.000
4
2.267 31.875 0 0.000 0.000
5
2.833 31.875 0.4722 42.641 0.000
6
3.4 47.046 0 0.000 0.000
7
1.067 0 0.4 0.000 0.000
8
2.4 7.849 -0.2222 -4.186 20 -10.666
9
4 -22.14 0 0.000 0.000
10
2.718 0 -0.453 0.000 15 -18.469
11
3.842 -17.143 0 0.000 0.000
Suma 38.455 Suma -29.134
p=Suma/EA 0.0003176
t=
t*Suma -0.0003496
[rad] -3.201E-05
Ostateczny wynik:
∆𝛽 = ∆𝛽𝑝+ ∆𝛽𝑡= 0,0003176 − 0,0003496 = −3,201 ∙ 10−5= −0,001834°
Zmiana kąta między prętami - wynik jest ujemny, czyli nastąpiło zmniejszenie kąta między tymi prętami (przeciwnie do obciążeń wirtualnych).
1 2 3 4
5
6
7
Stan „l”
Stan wirtualny do policzenia kąta obrotu pręta 10.
Założone obciążenie wirtualne to moment jednostkowy przyłożony do pręta 10.
Moment wirtualny zostają przedstawiony jako para sił. Ponieważ moment ma mieć wartość 1, to do pręta 10 zostały przyłożone dwie siły, prostopadłe do pręta.
Do węzłów pręta 10 o długości 2,718 m zostają przyłożone siły o wartości 1 2,718𝑚⁄ = 0,36791
𝑚. Założony wypadkowy moment jednostkowy działa przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
OBCIĄŻENIA: [1/m]
NORMALNE: [1/m]
REAKCJE PODPOROWE: [1/m]
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11 0,368
-0,368
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11
-0,417 -0,417
-0,417 -0,417 0,472
0,472
0,472 0,472
0,283
0,283
0,283 0,283
-0,222 -0,222
-0,222
-0,222 -0,133
-0,133
-0,133 -0,133 -0,296
-0,296 -0,296
-0,296
0,213
0,213 0,213
0,213
1 2 3 4
5
6
7
0,250 0,250
0,250
Nr L [m] Np [kN] Nl [1/m] Nl*Np*L [kN] t [K] Nl*t*l [K]
1
2 -28.125 0 0.000 0.000
2
2.5 -28.125 0 0.000 20 0.000
3
3 -46.521 -0.4167 58.156 25 -31.253
4
2.267 31.875 0 0.000 0.000
5
2.833 31.875 0.4722 42.641 0.000
6
3.4 47.046 0.2833 45.316 0.000
7
1.067 0 0 0.000 0.000
8
2.4 7.849 -0.2222 -4.186 20 -10.666
9
4 -22.14 -0.1333 11.805 0.000
10
2.718 0 -0.296 0.000 15 -12.068
11
3.842 -17.143 0.2134 -14.055 0.000
Suma 139.676 Suma -53.986
p=Suma/EA 0.001154
t=
t*Suma -0.000648 [rad] 0.000506 Ostateczny wynik:
𝛾 = 𝛾𝑝+ 𝛾𝑡= 0,001154 − 0,000648 = 0,000506 = 0,02898°
Kąt obrotu pręta - wynik jest dodatni, czyli obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara (zgodnie z obciążeniami wirtualnymi).
