36, s. 321-326, Gliwice 2008
STAN NAPRĘśEŃ I PRZEMIESZCZEŃ
W CIŚNIENIOWYCH ŁĄCZNIKACH ELASTYCZNYCH
J
ERZYZ
IELNICA*, B
ARBARAJ
URKOWSKA***Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska; **OBRPG Poznań e-mail: jerzy.zielnica@put.poznan.pl
Streszczenie. Praca przedstawia analizę metodą elementów skończonych łączników elastycznych (kompensatorów). Celem łączników elastycznych jest tłumienie drgań wywołanych przez pompy, spręŜarki i dmuchawy, przenoszone na instalację rurową. Łączniki są zbudowane z materiału kompozytowego, składającego się z warstw kordu pokrytego gumą w osnowie gumy. Konstrukcja łączników i zastosowane materiały cechuje wysoka wytrzymałość i odporność zmęczeniowa. W celu ulepszenia konstrukcji kompensatorów i poprawy ich efektywności i trwałości wykorzystano metodę elementów skończonych do oceny wytrzymałościowej. W modelowaniu zastosowano powłokowy wielowarstwowy element kompozytowy.
1. WSTĘP
Materiały kompozytowe powstają z połączenia dwóch lub więcej składników (faz) o róŜnych własnościach fizyko-chemicznych, a mianowicie z materiału wiąŜącego, zwanego osnową oraz z jednego lub kilku elementów polepszających własności mechaniczne osnowy, zwanych zbrojeniem. WyróŜnia się tutaj kompozyty włókniste, zbudowane z włókien osadzonych w osnowie, kompozyty laminowane - zbudowane z wielu warstw materiałów o róŜnych własnościach, kompozyty cząsteczkowe - składające się z makro lub mikrocząstek rozmieszczonych regularnie lub losowo w osnowie i kombinację niektórych, lub wszystkich wyŜej wymienionych materiałów kompozytowych. Kompozyty wzmocnione włóknami są przewaŜnie traktowane jako materiały o własnościach liniowo spręŜystych, poniewaŜ włókna w większości zachowują się jak materiały liniowo spręŜyste w dość szerokim zakresie obciąŜeń i deformacji, a poza tym przenoszą większą część obciąŜeń wewnętrznych aniŜeli materiał osnowy, który moŜe wykazywać nieliniowości fizyczne. Aby udokładnić tego rodzaju przybliŜenie w analizie napręŜeń i odkształceń konstrukcji kompozytowych, naleŜałoby uwzględnić teorię materiałów fizycznie nieliniowych, a nawet wykorzystać związki fizyczne odpowiednich teorii plastyczności. Projektowanie i analiza wytrzymałościowa materiałów kompozytowych wymaga znajomości takich zagadnień jak:
spręŜystość anizotropowa, teoria konstrukcji i kryteria zniszczenia. W odróŜnieniu od materiałów izotropowych materiały anizotropowe wykazują złoŜone właściwości mechaniczne. Celem tego opracowania jest przedstawienie zastosowania metody elementów skończonych do wyznaczenia stanu napręŜeń, przemieszczeń i odkształceń oraz na podstawie kryteriów wytęŜenia materiałów kompozytowych właściwe zaprojektowanie rozpatrywanych
elementów, aby spełniały stawiane im zadania. Dobrymi odnośnikami bibliograficznymi są publikacje R. M. Jonesa [1] i A. Muca [2]. Niniejsza praca jest kontynuacją zadań zrealizowanych dotychczas i opublikowanych w pracy [3].
2. PODSTAWOWE ZALEśNOŚCI TEORETYCZNE
Zakłada się, Ŝe pojedyncza warstwa laminatu wielowarstwowego, wzmocnionego włóknami (rys. 1 i 2), znajduje się w płaskim stanie napręŜenia. Przyjęcie płaskiego stanu napręŜenia implikuje róŜną od zera wartość odkształcenia względnego w kierunku osi normalnej i równe zeru n/w kąty odkształcenia postaciowego
0 ,
0
, 23 31
2 23 1 13
33= σ + σ γ = γ =
ε S S . (1)
Rys. 1. Warstwa laminatu z włóknami ułoŜonymi
jednokierunkowo Rys. 2. Laminat wielowarstwowy z warstwami wielokierunkowymi Związki fizyczne przyjęto dla warstwy laminatu o dowolnej orientacji włókien zgodnie z pracą [1]. W ogólnym przypadku kierunki główne ortotropii nie pokrywają się z kierunkami głównymi przyjętego globalnego układu współrzędnych, które na ogół pokrywają się z podstawowymi kierunkami geometrycznymi. Do przejścia od kierunków głównych warstwy laminatu do osi globalnego układu współrzędnych słuŜą wzory transformacyjne
[ ] [ ]
=
=
−
−
12 2 1 1
12 2 1 1
2 1 2
1 ,
γ ε ε
γ ε ε τ
σ σ τ
σ σ
T T
xy y x
xy y x
,
Θ Θ
Θ
Θ
− Θ Θ
Θ Θ
Θ
=
2 cos 2
2sin 2 1
2sin 1
2 sin cos
sin
2 sin sin
cos ]
[ 2 2
2 2
T , (2)
gdzie T jest macierzą transformacji. Po wprowadzeniu pomocniczej macierzy R [1] związki fizyczne zapisze się w postaci
[ ] [ ] [ ][ ][ ][ ]
=
=
−
−
−
xy y x
xy y x
R T R Q T T
γ ε ε τ
σ σ τ
σ σ
1 1
12 2 1
1 ,
[ ]
Q =[ ] [ ][ ]
T −1 Q T −T,2 0 0
0 1 0
0 0 1 ]
[R = (3)
gdzie [Q] jest macierzą stałych materiałowych w związkach fizycznych, a [R] jest macierzą pomocniczą [1]. Po przekształceniach otrzymuje się
[ ]
=
=
xy y x
xy y x
xy y x
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q Q
γ ε ε γ
ε ε τ
σ σ
66 26 16
26 22 21
16 12 11
,
( )
( ) ( )
(
2)
sin cos cos , 2sin
, cos sin
cos sin 4
, sin cos
sin 2 2 cos
4 22 2 2 66 12 4
11 22
4 4
12 2 2 66 22 11 12
4 22 2 2 66 12 4
11 11
Θ +
Θ Θ +
+ Θ
=
Θ + Θ +
Θ Θ
− +
=
Θ +
Θ Θ +
+ Θ
=
Q Q
Q Q
Q
Q Q
Q Q Q
Q Q
Q Q
Q
(4)
Główną trudnością, jaką napotyka się przy analizie stanu napręŜeń i przemieszczeń w konstrukcjach ortotropowych, jest sprzęŜenie między ścinaniem i rozciąganiem/ściskaniem.
Do analizy stanu przemieszczeń i napręŜeń i przemieszczeń w rozwaŜanym kompensatorze elastycznym zastosuje się metodę elementów skończonych. Opis teoretyczny elementu kompozytowego o strukturze ortotropowej jest w zasadzie identyczny w ogólnej mechanice struktur kompozytowych z metodą elementów skończonych. Siły wewnętrzne i momenty w elemencie warstwowym dla konstrukcji powłokowych są następujące:
( ) ∫ ( ) ( ) ∫
−( ) ( ) ∫
−( )
−
=
=
= /2
2
/ 13 23
2 1 2
/ 2
/ 1 2 12
12 2 1 2
/
2 /
12 2 1 12
2
1, , , , , , , , , , , h ,
h h
h h
h
dz Q
Q zdz M
M M dz N
N
N σ σ τ σ σ τ τ τ , (5)
gdzie h jest grubością warstwy. Po wykorzystaniu związków fizycznych, podstawieniu do (5) i po całkowaniu otrzymuje się
=
23 13 12 2 1 12 2 1
11 12
12 11 33 13 13 33 23 13
23 22 12 23 22 12
13 12 11 13 12 11
33 23 13 33 23 13
23 22 12 23 22 12
13 12 11 13 12 11
2 1 12
2 1 12 2 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
γ γ κ κ κ γ
ε ε
E E
E E D D D B B B
D D D B B B
D D D B B B
B B B A A A
B B B A A A
B B B A A A
Q Q M
M M N
N N
, (6)
gdzie współczynniki sztywności w związkach (6) są następujące:
( ) ( ) ( )
( )
∫
∫
−
−
+ +
=
=
=
=
=
2 /
2 / 2 /
2 /
2
4 j 4, i , oraz 2 , 1 , , ,
, 3 , 2 , 1 , , , , 1 ,
,
h
h
j i m ij
h
h m ij ij
ij ij
j i dz k k Q E
j i dz z z Q D
B A
β
αβ α
, (7)
Indeks górny m w powyŜszych zaleŜnościach to numer warstwy w laminacie. Współczynniki
m
Qij zaleŜą od własności materiału i kierunku ułoŜenia włókien w kaŜdej warstwie. Parametry ki są współczynnikami korekcyjnymi napręŜeń stycznych. Gdy laminat składa się z n warstw, to powyŜsze zaleŜności moŜna, po wykonaniu całkowania, zapisać w jawnej postaci:
( ) ( )
( ) ∑ ( )
∑
∑
∑
=
−
=
+
=
+
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
n
m
j i m m m ij
n
m
m m m ij ij
n
m
m m m ij ij
n
m
m m m ij ij
k k h h Q A
h h Q D
h h Q B
h h Q A
1
1 1
3 1 3
1
2 1 2 1
1
3 , 1
2 , , 1
αβ
, (8)
gdzie hm i hm-1 w powyŜszych związkach wskazują, Ŝe m-ta warstwa jest ograniczona powierzchniami z=hm i z=hm-1. Układ warstw zawierających kord w kompensatorze (+45o,
−45o) kwalifikuje go do grupy laminatów symetrycznych o konfiguracji kątowej.
3. MODELOWANIE ŁĄCZNIKA ELASTYCZNEGO I WYNIKI ANALIZY
Łączniki elastyczne są wykonane z warstw kordu pokrytego gumą, nawiniętych wokół rdzeni metalowych (rys. 3). Na podstawie badań materiałowych składników warstwy laminatu wyznaczono podstawowe stałe materiałowe, które zestawiono w poniŜszej tablicy.
Tabela 1. Parametry materiałowe dla kompozytu łącznika elastycznego Symbol Wartość z badań
Opis Ek 2995.8 MPa Moduł spręŜystości podłuŜnej kordu
Eg 3.1 MPa Moduł spręŜystości podłuŜnej osnowy (guma) Gk 1243.0 MPa Moduł odkształcenia postaciowego kordu
Gg 1.05 MPa Moduł odkształcenia postaciowego materiału osnowy νk 0.205 Współczynnik Poissona kordu
νg 0.475 Współczynnik Poissona gumy
Vk 0.207 Udział objętościowy kordu w pojedynczej warstwie
Vg 0.793 Udział objętościowy materiału osnowy w pojedynczej warstwie Wykorzystując powyŜsze dane, wyznaczono stałe materiałowe w kierunkach osi głównych ortotropii dla pojedynczej warstwy laminatu:
• Moduły spręŜystości podłuŜnej wzdłuŜ osi lokalnej 1 (rys. 1) i osi 2 MPa
6 . 622
*
1 =Vk*Ek+Vg Eg =
E , 2 =3.9MPa
= +
k g g k
g k
E V E V
E
E E (9)
• Współczynniki Poissona
003 , 0 ) / ( ,
419 ,
0 21 12 2 1
12 =Vgνg+Vkνk = ν =ν E E =
ν (10)
• Moduł ścinania w płaszczyźnie układu lokalnego 1-2 MPa 32 .
12 =1
= +
k g k g
g k
V G G V
G
G G (11)
Rys. 3. Rysunek techniczny kompensatora elastycznego ZE-100 oraz model MES Kompozytowa konstrukcja kompensatora została zamodelowana jako układ sześciowarstwowy (rys.4). Zastosowano czterowęzłowy kompozytowy element powłokowy i przyjęto, Ŝe warstwy górna i dolna są izotropowe i wykonane z gumy, a warstwy środkowe są ortotropowe, dla których osie główne laminatu tworzą naprzemiennie kąty +45o/-45o
względem osi układu globalnego kompensatora. Górną i dolną płaszczyznę modelu utwierdzono, blokując translacyjne stopnie swobody w trzech kierunkach osi globalnego układu współrzędnych, a jako obciąŜenie zadano wewnętrzne ciśnienie referencyjne równe 1 MPa. Analizie poddano pięć rodzajów kompensatorów, dla których siatki podziału MES w postaci początkowej i zdeformowanej pod wpływem zadanego ciśnienia pokazuje rys. 5.
Wyniki analiz napręŜeń prezentowano za pomocą map izolinii wszystkich składowych
b=10mm
h =1,032mm
1
h=1,686mm
h =1,032mm 1 Nr warstwy
1 2 3 4 5
6
H=7,5mm
Rys. 4. Pojedyncza warstwa laminatu i kompozyt dla modelowania MES
ZE50 ZE80 ZE100
ZE150 ZE200
Rys. 5. Modele MES kompensatorów i siatki zdeformowane.
stanu napręŜenia. Stwierdzono, Ŝe poziom napręŜeń w warstwach izotropowych zewnętrznej i wewnętrznej (Nr1 i Nr6) nie jest wysoki. Maksymalne napręŜenia zredukowane H–M wynoszą ok. 4,16 MPa i odpowiadają poziomowi równemu około 1/3 wartości napręŜeń maksymalnych wyznaczonych na podstawie badań materiałowych (Rm=12,14 MPa) dla gumy. Poziom napręŜeń w warstwach ortotropowych (kord w osnowie gumy, warstwy Nr2 – Nr5) równieŜ nie jest wysoki dla kompozytu. Maksymalne napręŜenia zredukowane wynoszą ok. 146 MPa i odpowiadają poziomowi równemu około 1/3 wartości napręŜeń maksymalnych wyznaczonych na podstawie badań materiałowych (Rm=470MPa).
4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI
Celem pracy jest wyznaczenie stanu napręŜeń i przemieszczeń w kompensatorach pod wpływem zadanego ciśnienia wewnętrznego za pomocą metody elementów skończonych.
W obliczeniach wykorzystano autorski program MES. Końcowej analizie poddano napręŜenia
zredukowane wyznaczone według hipotezy energetycznej Hubera-Misesa [4]. Stwierdzono, Ŝe wewnętrzne ciśnienie wywołuje napręŜenia rozciągające w poszczególnych warstwach kompozytu, więc zrezygnowano, na tym etapie badań, z przyjęcia hipotezy Tsai-Wu, uwzględniającej róŜne wartości granic wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie dla kompozytu. Analiza wykazała, Ŝe maksymalne napręŜenia normalne stanu błonowego są przeszło 2 razy większe (σmax=91MPa) od napręŜeń maksymalnych stanu zgięciowego (σmax=45MPa). NapręŜenia błonowe dominują w tego rodzaju konstrukcji. Rys. 6 pokazuje zbiorczy wykres maksymalnych napręŜeń zredukowanych dla poszczególnych rodzajów
0 1 2 3 4 5 6
0 40 80 120 160 200
ZE50 ZE80 ZE100 ZE150 ZE200
56,13 77,8
104,75 149,35
186,08 [MPa]
σred[MPa]
0 1 2 3 4 5 6
0 10 20 30 40 50
13,38 19,56
32,00 38,87
49,36 [mm]
uwyp[mm]
ZE50 ZE80 ZE100 ZE150 ZE200
Rys. 6. NapręŜenia zredukowane Rys. 7. Przemieszczenia wypadkowe kompensatorów, a na rys. 7 pokazano wykres zmian maksymalnych przemieszczeń wypadkowych dla kompensatorów Z50-Z200. Jak moŜna wywnioskować na podstawie wyników analiz, im większa średnica nominalna łącznika elastycznego, tym większe są maksymalne napręŜenia zredukowane w kompensatorze. Zwiększenie średnicy nominalnej wywołuje równieŜ wzrost maksymalnych przemieszczeń wypadkowych – przy takim samym ciśnieniu wewnętrznym.
LITERATURA
1. Jones R.M.: Mechanics of composite materials. 2-nd edition. Taylor&Francis, 1999.
2. Muc A.: Mechanika kompozytów włóknistych. Kraków 2003.
3. Zielnica J., Jurkowska B.: Elastic pressure connectors – experimental investigation and stress FEM analysis.
In: Proceedings of the 4th Conference on Thin-Walled Vessels and Beams. Kołobrzeg 2007, p. 213-222.
4. Milton G. W.: The theory of composites. Cambridge Univ. Press, 2004.
THE FEM ANALYSIS OF DISPLACEMENTS AND STRESSES IN PRESSURIZED ELASTIC CONNECTORS
Summary. The paper deals with the strength finite element analysis for the elastic pressure connectors, and it focusses on fiber reinforced composites composed of fibers embedded in a matrix. The structure of the connectors and the applied materials are featured by a high tensional strength and fatigue resistance.
In order to improve the structural design of the connectors the use is made of the finite element method to determine the stresses and displacements for the connectors designed as a typical composite material.
*) Praca wykonana w ramach Projektu Badawczego nr 3 T08E 062 30
