Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi:
1. Jedynka trygonometryczna to trygonometryczna postać twierdzenia Pitagorasa:
+ = dzieląc obie strony przez otrzymamy:
2. Funkcja kąta dopełniającego :
Funkcja kąta dopełniającego jest równa cofunkcji danego kąta
.3. Jak wyrazić cos
Analogicznie:
√( )
√( )
4. Zamień na iloczyn :
Są
kątami trójkąta. Wtedy:= 180 − ( + ) ⇒ = sin( + )
Wykorzystam wzór na sumę sinusów i sinus podwojonego kąta:
+ + =
= 2 ⋅ +
2 ⋅ −
2 + 2 ⋅ +
2 ⋅ +
2 =
= 2 ⋅ +
2 ⋅ ( −
2 + +
2 ) =
= 4 ⋅ +
2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ sin (90 − 2) ⋅ 2 ⋅ 2 Ostatecznie:
5. Równania trygonometryczne.
Każde równanie trygonometryczne najlepiej doprowadzić w końcowym etapie do równania typu:
Wzory podane powyżej są tożsamością więc równanie trygonometryczne jest równoważne alternatywie równań algebraicznych.
Przykład: rozwiąż równie:
sin(3x)+cos(2x)=0
Są dwie metody zamiana na iloczyn lub według schematu podanego powyżej.
−sin(3 ) = cos (2 ) ⇒ sin(−3 ) = cos(2 ) ⇒
cos + 3 = cos(2 ) ⇒ :
2 + 3 = 2 + 2 ∨ 2 + 3 = −2 + 2
=−
2 + 2 ∨ 5 = − 2 + 2
Pokażę teraz zamianę na iloczyn:
sin(3x)+cos(2x)= cos − 3 + cos(2 ) = 2 cos 4 − 2 ⋅ cos 4 − 5
2 = 0 ⇒
4 − 2 = 2 + ∨ 4 − 5
2 = 2 + 2 = −
4 − ∨5
2 = −
4 −
