Z E S Z Y T Y N A U K O W E PO L IT E C H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: A U T O M A T Y K A z. 123
________¡998 N r kol. 1389
Jo an n a JÓ Z E F O W S K A , M arek M IKA , Rafał RÓ ŻY CK I, G rzeg o rz W A L IG Ó R A , Jan W Ę G L A R Z
Politechnika P o zn ań sk a
M IN IM A L IZ A C J A M A K S Y M A L N E G O O PÓ ŹN IE N IA
W D Y S K R E T N O -C IĄ G Ł Y C H P R O B L E M A C H SZ E R E G O W A N IA - A L G O R Y T M Y H E U R Y S T Y C Z N E
Streszczen ie. W pracy rozw aża się d y skretno-ciągle problem y szeregow ania zadań z kryterium minimalizacji m aksymalnego opóźnienia. Z akłada się, że zadania są niezależne i niepodzielne. Zasób dyskretny stanow ią identyczne i rów nolegle m aszyny, zasó b ciągły je s t odnaw ialny, a chw ilow a prędkość w ykonyw ania zadania zależy od ilości zasobu ciągłego przydzielonego zadaniu w danej chwili. Z ap ro p o n o w an o algorytm y przybliżone, k tó re p o rów nano na podstaw ie eksperym entu obliczeniow ego.
M IN IM IZ A T IO N O F M A X IM U M L A T E N E SS IN D IS C R E T E -C O N T IN U O U S S C H E D U L IN G P R O B L E M S - H E U R IS T IC A L G O R IT H M S
S u m m ary. In this paper w e consider discrete-continuous scheduling problem s w ith the o bjective to m inim ize th e maximum lateness. W e assum e th at jo b s are independent and nonpreem ptable and th ere are tw o types o f resources. T he discrete reso u rce is rep resen ted by a set o f identical and parallel m achines, the continuous o n e is renew able and th e p rocessing rate o f a jo b at tim e t depends o f the am ount o f co n tin u o u s resource allo tted to this jo b at tim e t. P roposed heuristics have been com pared on a basis o f a com putational experim ent.
1. W stęp
W pracy ro zw aża się dyskretno-ciągłe problem y szeregow ania zadań z kryterium m inim alizacji m aksym alnego opóźnienia. Problem y takie w ystępują w p raktyce w sytuacjach, w k tó ry ch zadanie w ym aga do w ykonania nie tylko maszyny, ale tak że pew nej (nie znanej a priori) dodatniej ilości zasobu podzielnego w sposób ciągły (jak np. m oc elektryczna, hydrauliczna lub pneum atyczna, środki finansow e, siła robocza itp.). C zęsto też w zadaniach o c h arak terze produkcyjnym czy też projektow ym zleceniodaw ca określa żądany term in zak o ń czen ia zadania, k tó reg o przekroczenie m oże spow odow ać d o d atk o w e koszty.
222 J. Józefow ska. M. M ika. R. R óżycki. G. W aligóra. J. W ealarz.
M e to d o lo g ia rozw iązyw ania, ja k i po d staw o w e w łasności dyskretno-ciągłych p ro b lem ó w szeregow ania zostały om ów ione w pracy [5]. W pracy [2] przedstaw iono i u d o w o d n io n o p o d staw o w e w łasności rozw ażanego problem u dla kryterium minimalizacji m aksym alnego opóźnienia, w przypadku gdy liczba zadań je s t nie w iększa od liczby maszyn.
P ew n e w łaściw ości rozw iązań optym alnych dla szczególnych przypadków o raz zb u d o w an e na ich p o d staw ie algorytm y dokładne o złożoności w ielom ianow ej zostały przedstaw ione w pracach [3] o raz [5], P o n ad to w pracach [1] o raz [2] przedstaw iono pew ne algorytm y heurystyczne, a w [3] zastosow ano i porów nano na p odstaw ie eksperym entu obliczeniow ego trzy algorytm y m etaheurystyczne, tj. algorytm y sym ulow anego w yżarzania, przeszukiw ania tabu i genetyczny. G łó w n ą zaletą podejść m etaheurystycznych je s t to, że z reguły dają one rozw iązania b ard zo bliskie optym alnym (o ile nie optym alne). N iestety ich g łó w n ą w a d ą je s t to, ż e znalezienie tak ieg o rozw iązania je st w niektórych przypadkach bardzo czasochłonne.
P o n iew aż w w ielu przypadkach czas obliczeń je s t istotniejszy niż ja k o ś ć otrzym anego rozw iązania, niekiedy konieczne je st zastosow anie prostych algorytm ów heurystycznych.
W niniejszej pracy przedstaw iono propozycję takich algorytm ów dla rozw ażanego problem u szereg o w an ia w ra z z w ynikam i eksperym entu obliczeniow ego.
2. S fo rm u ło w a n ie problem u
D any je s t n-elem en to w y zbiór niezależnych i niepodzielnych zadań. K ażd e zadanie żąd a ró w n o cześn ie z aso b ó w dw óch kategorii, tj. zasobu dyskretnego i zasobu ciągłego.
Z aso b em dyskretnym je s t dow olna m aszyna z m -elem entow ego zbioru identycznych i rów noległych m aszyn. Z asób ciągły (tj. podzielny w sposób ciągły) m oże z o sta ć przydzielony zadaniu, k tó rem u ju ż przydzielono maszynę, w pew nej (a priori nie znanej) dodatniej ilości. O d teg o , ile te g o zasobu przydzielim y zadaniu w danej chwili t, zależy chw ilow a prędkość w ykonyw ania te g o zadania. Jest ona określona pew ną ciągłą, niem alejącą i funkcją fi[Uj(t)], i = 1 ,2 , ..., n, gdzie u ;(t) e [0, 1] je s t ilością zasobu ciągłego przydzielonego zadaniu i w chwili t. D la k ażd eg o zadania je st znany je g o rozm iar x , , funkcja określająca szybkość w ykonyw ania f; o ra z linia krytyczna d,. Czasy gotow ości w szystkich zadań są identyczne i w y n o szą zero , co oznacza, że w szystkie zadania są dostępne od początku procesu. S zybkość w y konyw ania zadania i je s t opisana następującym rów naniem :
M inim alizacja m aksym alnego opóźnienia 7 7 3
= x i(o )= 0 ,X j(C j) = xj.
g d z i e : X j(t) j e s t s t a n e m z a d a n ia i w c h w ili t;
U j(t) e [0,1] je s t ilością zasobu ciągłego przydzieloną do zadania i w chwili t;
fi(-) je s t niem alejącą i ciągłą funkcją, f;(0) = 0;
Ci je s t (nie zn an ą a priori) chw ilą zakończenia w ykonyw ania zadania i;
je s t znanym stanem końcow ym zadania i (rozm iarem zadania i).
Problem p o leg a na znalezieniu takiej sekw encji zadań na m aszynach i rów nocześnie takiego przydziału zasobu ciągłego do zadań, które minimalizują m aksym alne opóźnienie
L ™* = m ax{C i — dj .
I
3. W ła sn o ści problem u
N iech 7t będzie dyskretno-ciągłym problem em szeregow ania n zadań na m m aszynach z kryterium Lm,x K ażde zadanie je st określone przez x , , di o raz fi (i = 1, 2, n). Jak w iadom o [3], d la funkcji fj SCj U^C; = fj(l), i = 1,2,...,n , optym alne rozw iązanie otrzym uje się p rzez u szeregow anie w szystkich zadań na jednej maszynie w kolejności niem alejących linii krytycznych i przydzielenie każdem u zadaniu całej ilości zasobu ciągłego w każdej chwili.
N ato m iast w przypadku wklęsłych funkcji fi, i = 1 , 2 , n p o żądane je s t rów noległe w ykonyw anie zadań. W dalszym ciągu będziem y rozw ażać w yłącznie w klęsłe funkcje fi.
P rzy p a d ek n < m
W pracy [2] udow odniono, że w przypadku gdy liczba zadań n nie przek racza liczby m aszyn m, u szeregow anie optym alne m ożna otrzym ać przez przydzielenie k ażdego zadania do innej m aszyny i w ykonanie ich z ta k ą ilością zasobu ciągłego, że di - Ci = d2 - C2 = ... =
= d„ - C„ = A o raz Uj + u2 + ... + u„ = 1.
P rzyp ad ek n > m
Z g o d n ie z m eto d o lo g ią p rzedstaw ioną w [4] uszeregow anie d o puszczalne m ożna p rzed staw ić za p o m o cą tzw . ciągu dopuszczalnego o raz podziału ro zm iaró w zadań. Ciąg dopuszczalny składa się z n kom binacji Z i, Z2, ...,Z„ zadań takich, że:
i) k ażd e zadanie w ystępuje w co najmniej jednej kombinacji;
224 J. Józefow ska. M. M ika. R. R óżycki. G. W aligóra. J. W ęglarz.
ii) jeżeli zadanie w ystępuje w więcej niż jednej kombinacji, to, ze w zględu na niepodzielność zadań, m u szą to być kom binacje kolejne;
iii) k ażd a kom binacja zaw iera co najwyżej m zadań (pierw sze n - m + 1 kom binacji zaw iera dokładnie m zadań, następne zaw ierają o jedno zadanie mniej w stosunku do kombinacji poprzedniej, ta k w ięc kom binacja Z„ składa się tylko z jed n eg o zadania).
Jeżeli p rz e z Ki ( i = 1, 2, ...,n) oznaczym y zbiór indeksów w szystkich kom binacji, w których w y stęp u je zadanie i, to rozm iar x i zadania i m ożna podzielić na części x jŁ > 0, (i = l , 2, ...,n;
k e Ki), k tó re określają, ja k a część zadania i będzie w ykonana w kom binacji Z*. D la ro zw ażan eg o kryterium optym alizacji o raz dla danego ciągu dopuszczalnego m ożem y znaleźć optym alne w arto ści x ilc rozw iązując następujący problem program ow ania m atem atycznego[3]:
P roblem P.
Z m inim alizow ać z przy ograniczeniach:
S x i k = x i , i = 1 , 2 , . . . , n
kc K j
^ M j - d k < z , k = l , 2 , . . . , n
x ik ^ 0 i = 1 , 2 , n; k e K i
gdzie M* je s t jedynym dodatnim pierw iastkiem rów nania S f ; " ' r r r = 1 •
i t Z , k ^ k ' '
T ak o trzy m an e uszeregow anie nazyw am y sem ioptym alnym , czyli uszeregow aniem , w którym dla d an eg o ciągu dopuszczalnego znaleziono optym alny rozdział zasobu ciągłego. P ro ces zn ajd o w an ia u szereg o w an ia m ożna w ięc podzielić na dw a etapy. Pierw szy z nich m a ch arak ter k om binatoryczny i po leg a na zbudow aniu ciągu dopuszczalnego. D rugi po leg a na znalezieniu o ptym alnego rozdziału zasobu ciągłego w danym ciągu dopuszczalnym p rzez rozw iązanie problem u P. W ogólności jed n ak , aby znaleźć rozw iązanie optym alne teg o problem u, m usim y znaleźć u szereg o w an ia sem ioptym alne dla w szystkich ciągów dopuszczalnych i sp o śró d nich w y b rać to , k tó re optym alizuje rozw ażane kryterium . P odejście takie je s t jed n a k nieefektyw ne obliczeniow o, z e w zględu na to, że liczba ciągów dopuszczalnych rośnie w ykładniczo w ra z ze w zro stem liczby zadań. W zw iązku z tym proponujem y podejścia, w których analizujem y tylko je d e n ciąg dopuszczalny.
M inim alizacją m aksym alnego opóźnienia 225.
4. A n a liza szczególn ych przypadków
Przeanalizujm y dw a przypadki szczególne rozw ażanego problem u. Pierw szy, w którym m am y do czynienia z tzw . „luźnym i” liniami krytycznymi, został przedstaw iony w pracy [3], gdzie ró w n ież pod an o dla niego algorytm optym alny o złożoności w ielom ianow ej.
Z problem em takim mamy do czynienia zaw sze w tedy, gdy spełniona je s t nierów ność (dj - d M )- fj (l) > x ; , i = 2, 3 ,..., n. W ów czas rozw iązanie optym alne otrzym am y w ykonując w szystkie zadania na jednej maszynie, w kolejności niem alejących linii krytycznych, przy użyciu m aksym alnej dostępnej ilości zasobu ciągłego.
D ru g i p rzypadek zachodzi, gdy mamy do czynienia z tzw . „ciasnym i” liniami krytycznym i. W szczególności w szystkie linie krytyczne m o g ą być identyczne, tj. di = d2 = ... = d„. W ó w czas, ja k łatw o zauw ażyć, uszeregow anie, któ re stanow i rozw iązanie problem u m inim alizacji długości uszeregow ania C„„x> je st rów nież rozw iązaniem problem u minimalizacji m aksym alnego opóźnienia Lmax.
5. P o d ejścia h eu rystyczn e
W pracy [2] przedstaw iono propozycję algorytm u, który polegał na u p orządkow aniu zadań w ed łu g niem alejących linii krytycznych i następnie przydzieleniu pierw szych m zadań z ta k otrzym anej listy do w olnych maszyn i w ykonaniu ich przy użyciu optym alnej ilości zasobu ciągłego. P o w ykonaniu ostatniego z tych m zadań, następne m zadań z listy je st w yko n y w an e w taki sam sposób. Całość je st pow tarzana, aż do w ykonania o statniego zadania z listy. Jak ła tw o zauw ażyć, zasadniczą w adą tego algorytm u je s t fakt, że nie w szystkie m aszyny są w ykorzystyw ane przez cały czas trw ania procesu.
U le p sz o n ą w ersję teg o algorytm u przedstaw iono w [1] p od n azw ą algorytm u dynam icznego. M o żn a g o przedstaw ić następująco:
1. P o so rtu j zadania w edług niemalejących di;
2. z := 0;
3. U szereguj pierw szych m zadań z listy na m m aszynach (każde zadanie na innej m aszynie);
4. z := z + 1;
5. W ykonyw anym zadaniom przydziel zasób ciągły w sposób optym alny;
226 J. Józefow ska. M. M ika. R. Różycki. G. W aligóra. J. W ęglarz.
6. W ykonuj zadania na przydzielonych maszynach z przydzielonym i zasobam i do m om entu zak o ń czen ia pierw szego z nich (tj. zadania z);
7. O blicz, ja k a część pozostałych zadań (z + 1 , z + m - 1 ) nie została jesz c z e w ykonana w m om encie zakończenia zadania z. Przydziel te fragm enty zadań do m aszyn, na których te zadania były d o tąd w ykonyw ane;
8. S praw dź, czy na liście istnieje jakieś nie w ykonyw ane jeszcze zadanie, tj. czy z + m < n.
Jeśli nie, to przejdź do punktu 10;
9. U szereguj zadanie o indeksie z + m na w olnej maszynie, tj. na m aszynie o indeksie z m od m. P rzejd ź do punktu 4;
10. S praw dź, czy z = n. Jeśli tak, to ST O P (w szystkie zadania zostały w ykonane) w przeciw nym przypadku przejdź do punktu 4.
Jak w idać, u szeregow anie otrzym ane przy zastosow aniu teg o algorytm u nie zaw iera p rzesto jó w m aszyn w czasie realizacji procesu. N ie jest to jed n ak algorytm optym alny. Przy dokładniejszej analizie m ożna zauw ażyć, że zaw sze prow adzi on do ciągu d opuszczalnego postaci:
{1, 2, 3, ..., m },{2, 3, ...,m , m + 1}, ...,{n - m+1, n - m + 2 ,..., n - 1, n} (n — 1, n} {n}
Z auw ażm y, że znajdując rozw iązanie optym alne Problem u P dla po w y ższeg o ciągu d o puszczalnego, zaw sze znajdziemy rozw iązanie nie gorsze pod w zględem rozw ażanego kryterium od rozw iązania otrzym anego przy użyciu om aw ianego algorytm u. D latego też pierw szy z p roponow anych przez nas algorytm ów w ykorzystuje pow yższą obserw ację.
A L G O R Y T M E D F 4D C
A Jgorytm E D F 4D C je s t ad ap tacją dobrze znanego algorytm u E D F (E arliest-D eadline-F irst) dla dyskretno-ciągłych problem ów szeregow ania. W tej w ersji algorytm u przy budow aniu ciągu dop u szczaln eg o rozm iary zadań nie zostały uw zględnione, dlatego ciąg ten zaw sze b ędzie miał identyczną postać. AJgorytm m ożna przedstaw ić następująco:
1. U po rząd k u j zadania w edług niem alejących linii krytycznych;
2. Z buduj ciąg dopuszczalny w g następujących zasad:
a) przydziel m pierw szych zadań do kombinacji Zi;
b) kom binację Z| (i = 2, 3 ,..., n) stw órz kopiując kom binację Z\.\, usuw ając z niej zadanie o najmniejszej linii krytycznej i um ieszczając na je g o m iejscu zadanie
M inim alizacja m aksym alnego opóźnienia .222.
o najm niejszej linii krytycznej spośród zadań jeszcze nie przydzielonych, o ile ta k o w e istnieje.
3. D la ta k zb u d o w an eg o ciągu dopuszczalnego rozw iąż optym alnie Problem P.
A L G O R Y T M Y E D F 4 D C (p )
Jest to g ru p a algorytm ów , rów nież opartych na algorytm ie E D F, w których przy budow aniu ciągu d o p u szczaln eg o w ykorzystano informację o rozm iarze zadania x, o raz o postaci funkcji f i . P rzeb ieg algorytm u z tej grupy je s t następujący:
1. U po rząd k u j zadania w g niem alejących linii krytycznych;
2. K ażdem u zadaniu przydziel pew ną ilość zasobu ciągłego ui = p, i = 1 n, której w a rto ś ć dla poszczególnych algorytm ów zostanie podana poniżej;
3. D la k ażd e g o zadania oblicz w stępne czasy przetw arzania ze w zoru p i =
4. K o rzy stając z algorytm u E D F zbuduj uszeregow anie pom ocnicze w oparciu o w stępne czasy p rzetw arzania;
5. N a p o d staw ie otrzym anego uszeregow ania pom ocniczego zbuduj ciąg dopuszczalny, w którym kolejne kom binacje będą określone przez czasy zakończeń poszczególnych zadań w uszeregow aniu pom ocniczym .
6. D la ta k zbu d o w an eg o ciągu dopuszczalnego rozw iąż optym alnie Problem P.
W a rto ść p dla poszczególnych w ersji algorytm u przedstaw iono w tablicy 1
Tablica 1 W arto ść p dla różnych wersji algorytm u E D F 4 D C (p ) __________________
A lgorytm E D F 4 D C (l/2 ) E D F 4 D C (l/m ) E D F 4 D C (l/n ) E D F 4 D C (l/a )
_____ _P . . _____ 1/2 l/m l/n l/Ol;
A L G O R Y T M Y L P T 4D C i SPT4D C
A lgorytm y te są ad ap tacją dobrze znanych algorytm ów L P T (L o n g est P ro cessin g Tim e) o raz S P T (S h o rte st Processing Tim e) dla dyskretno-ciągłych problem ów szeregow ania.
P o n iew aż czasy przetw arzania poszczególnych zadań nie są znane a priori, przy stosow aniu algorytm u L P T (S P T ) w ykorzystano zam iast nich rozm iary zadań X;. A lgorytm L PT 4D C (S P T 4 D C ) m o żn a p rzedstaw ić następująco:
1. U p o rząd k u j zadania w g nierosnących (niem alejących) rozm iarów zadań x - ; X,
W ) '
228 J. Józefow ska. M. Mika. R. Różycki. G. W aligóra. J. W ęglarz.
2. K o rzy stając z algorytm u LPT (S P T ) zbuduj uszeregow anie p om ocnicze w oparciu o rozm iary zadań x t ;
3. N a p o d staw ie otrzym anego uszeregow ania pom ocniczego zbuduj ciąg dopuszczalny, w którym kolejne kom binacje b ędą określone przez czasy zakończeń poszczególnych zad ań w u szeregow aniu pom ocniczym.
4. D la ta k zbud o w an eg o ciągu dopuszczalnego rozw iąż optym alnie Problem P.
6. E k sp ery m en t ob liczen iow y
Jak o ść przedstaw ionych algorytm ów spraw dzono na p odstaw ie eksperym entu obliczeniow ego na zbiorze losow o w ygenerow anych instancji. W szystkie algorytm y zostały zaim plem entow ane w języku C ++ i następnie w ykonane na kom puterze SG I P ow erC hallenge X L w P oznańskim C entrum S uperkom puterow o-Sieciow ym . D o rozw iązyw ania P roblem u P użyto p rz y sto so w an eg o do rozw ażanego problem u kodu solvera C F S Q P (A C C o d e for Solving (L arg e Scale) C onstrained N onlinear (M inimax) O ptim ization P roblem s, G enerating Iterates Satisfying All Inequality C onstraints) 2.3 [6],
E k sp ery m en t został przeprow adzony dla funkcji prędkości przetw arzania zadań określonej w zorem f = uj/a*. W artości x i oraz d, zostały w ygenerow ane lo so w o z przedziału [1,100] zg o d n ie z rozkładem rów nom iernym , natom iast w artości p aram etru a : zostały w y g en ero w an e rów nież losow o ze zbioru { 1, 2} z rów nym praw dopodobieństw em . T esty p rzep ro w ad zo n o dla liczby zadań n = 10 o raz liczby maszyn m = 2, 3 o raz 4. D la każdej pary (n, m) w y g en ero w an o po 50 instancji. Wyniki eksperym entu p rzedstaw iono w tablicy 2. D la k ażd eg o algorytm u heurystycznego podano, ile razy dany algorytm znalazł rozw iązanie nie g o rsze od ro zw iązań znalezionych przez pozostałe algorytm y heurystyczne (A ), m aksym alne odchylenie od najlepszego rozw iązania (B ), o raz odpow iadającą mu (najlepszą znalezioną przez w szy stk ie algorytm y heurystyczne) w arto ść L„Ux (C). W tablicy 3 przed staw io n o p o ró w n an ie w yników otrzym anych przy użyciu proponow anych algorytm ów z w ynikam i otrzym anym i p rzez m etaheurystyki [3], W porów naniu tym w przypadku algorytm ów heurystycznych uw zględniono tylko najlepsze rozw iązania znalezione przez k tó ry k o lw iek z nich.
M inim alizacja m aksym alnego opóźnienia 229
Tablica 2 W yniki eksperym entu obliczeniow ego - porów nanie heurystyk
m EDF4DC SPT4DC LPT4DC EDF4DC(l/2) EDF4DC(l/m ) ED F 4D C(l/n) E D F 4D C (l/a)
2
A 1 17 5 2 3 2 24
B 4 9 .734 17.107 64.591 29.869 29.869 74.319 20.993
C 302.625 261.932 396.108 261.932 261.932 377.359 290.028
3
A 1 8 5 3 3 0 31
B 64.295 45.730 78.478 33.047 45.498 92.492 30.836
C 211.971 344.125 353.142 381.208 381.208 317.913 266.467
4
A 0 4 8 6 4 1 31
B 4 9.792 45.892 46.884 25.134 34.844 67.495 27.761
C 137,548 274.801 321.381 350.026 343.316 317.163 196.171
Tablica 3 W yniki eksperym entu obliczeniow ego - porów nanie z m etaheurystykam i__________
m TS S.A. GA H en rystyki
2
A 16 2 1 0
B 7.317 0.910 0.870 20.909
C 301.539 310.112 314.492 308.773
3
A 9 0 5 0
B 5.974 7.323 2.365 25.208
C 257.193 216.801 268.847 351.674
4
A 7 0 0 0
B 0 3.249 2.360 14.704
C - 348.622 243.037 298.278
P o d o b n ie ja k w tablicy 2 podano, ile razy dany algorytm znalazł rozw iązanie nie g o rsz e od rozw iązań znalezionych przez pozostałe rozw ażane algorytm y (A ), m aksym alne odchylenie od najlepszego rozw iązania (B ), oraz odpow iadającą mu (najlepszą znalezioną p rzez w szystkie algorytm y) w a rto ść (C). K ażda z m etaheurystyk odw iedziła 2000 rozw iązań. Z e w zględu na d u ż ą czasochłonność obliczeń w przypadku algorytm ów m etaheurystycznych, liczba rozw ażan y ch instancji dla poszczególnych rozm iarów problem ów była m niejsza niż 50 i w ynosiła odpow iednio: 21 dla m = 2, 14 dla m = 3 oraz 7 dla m = 4.
7. P o d su m o w a n ie
W pracy zap ro p o n o w an o algorytm y heurystyczne dla dyskretno-ciągłych problem ów szereg o w an ia zadań z kryterium minimalizacji maksym alnego opóźnienia.
N a p o d staw ie analizy teoretycznej stw ierdzono, że algorytm dynam iczny p rz ed staw io n y w pracy [1] m oże być w wielu sytuacjach z pow odzeniem zastąpiony przez
230 J. Józefow ska. M. M ika. R. Różycki. G. W aligóra. J. W ęglarz.
algorytm E D F 4 D C o raz je g o m utacje. Jednakże są dw a przypadki, w których zalety algorytm u dynam icznego są w yraźne. Pierw szy w ystępuje, gdy liczba zadań je s t dużo w iększa od liczby m aszyn i tu głów nie zyskam y na czasie obliczeń. D rugi przypadek dotyczy sytuacji, gdy liczba zadań zgłaszających się do system u nie je s t znana a priori, zadania te m ają ró żn e czasy g o to w o ści, a inform acja o nich nie je st dostępna wcześniej niż w chwili pojaw ienia się zadania w system ie.
P ro p o n o w a n e algorytm y te porów nano między so b ą oraz z proponow anym i w cześniej algorytm am i m etaheurystycznym i na podstaw ie eksperym entu obliczeniow ego.
Z p o ró w n an ia teg o wynika, że heurystyka E D F 4 D C (l/a ) znajduje najw iększą liczbę rozw iązań najlepszych spośród heurystyk. R ów nież jej maksym alne odchylenie od najlepszego znalezionego rozw iązania przyjm uje stosunkow o małe w artości niezależnie od rozm iaru problem u. O czyw iście rozw iązania znajdow ane naw et przez najlepszą heurystykę nie s ą rów nie dobre, ja k rozw iązania znajdow ane przez m etaheurystyki, ale należy pam iętać, że m etaheurystyki w ym agają kilkaset razy w iększych nakładów obliczeniow ych.
L IT E R A T U R A
1. Janiak A., P rzysada J.: Parallel M achine Scheduling w ith R eso u rce A llocation- M inim ization o f M axim um L ateness, maszynopis, 1997.
2. Janiak A ., P rzysada J.: M inim alizacja nieterm inow ości w ykonania zadań na rów noległych m aszynach. Z eszyty N au k o w e Politechniki Śląskiej, seria: A utom atyka, z. 117, G liw ice
1996, s. 85-97.
3. Jó zefo w sk a J., M ika M ., R óżycki R ., W aligóra G ., W ęglarz J.: D iscrete-C ontinuous S cheduling to M inim ize M axim um Lateness. Proc. o f 4 th International Sym posium on M eth o d s and M odels in A utom ation and R obotics, M iędzyzdroje, 1997, pp. 947-952.
4. Jó zefo w sk a J., W ęglarz J.: O n a M ethodology for D iscrete-C ontinuous Scheduling.
E u ro p e a n Journal o f O perational R esearch, Vol. 107/2, 1998.
5. Jó zefo w sk a J.: D yskretno-ciągłe problem y szeregow ania zadań. W ydaw nictw o Politechniki Poznańskiej, seria: R ozpraw y, nr 318, Poznań 1998.
6. L aw ren ce C., Z hou J.L ., T its A.L.: U sers guide for C FSQ P V ersion 2.3 (R eleased A ugust 1995), available by e-mail: andre@ eng.um d.edu.
R ecenzent: P ro f.d r hab.inż.R yszard G essing
M inim alizacja m aksym alnego opóźnienia 231
A b stract
In this p ap er w e consider discrete-continuous scheduling problem s w ith th e objective to minim ize th e m axim um lateness. W e assum e that jo b s are independent and nonpreem ptable and th ere a re tw o types o f resources. T he discrete resource is represented by a set o f identical and parallel m achines, th e continuous one is renew able and the processing rate o f a jo b at tim e t depends o f the am o u n t o f the continuous resource allotted to this jo b at tim e t. Sim ple heuristic algorithm s are pro p o sed and com pared on a basis o f a com putational experim ent. T he algorithm s are also com pared w ith o th er heuristics proposed in th e literature. T h eir main ad v an tag e is sh o rt com putational time. They are outperform ed by m etaheuristic algorithm s (T abu Search, Sim ulated A nnealing and G enetic A lgorithm s), how ever at a cost o f m uch larger co m putational effort.
