Cienkościenna zamknięta powłoka walcowa obciążona momentem

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: MECHANIKA z. 44

______ 1971 Nr kol. 304

ERNEST CZOGALA, KRYSTIAN RESPONDEK Katedra Dynamiki Układów Mechanicznych

CIENKOŚCIENNA ZAMKNIĘTA POWŁOKA WALCOWA OBCIĄŻONA MOMENTEM

Streszczenie: W pracy przeanalizowano problem przemieszczeń przy zginaniu cienkościennej powło­

ki walcowej obciążonej ruchomym momentem. Roz­

patrzono zagadnienie quasistatyki i dynamiki układów lepkosprężystych, wykorzystując analogię sprężysto-lepkoeprężystą. Uzyskano wyrażenie na pole przemieszczeń rozpatrywanej powłoki. Dla przykładu szczegółowego dokonano obliczeń nume­

rycznych na maszynie cyfrowej. Wyniki te zilu­

strowano dołączonymi wykresami.

Indeks ważniejszych oznaczeń

E - moduł Younga materiału powłoki V - liczba Poissona

ę - gęstość materiału powłoki

$ - grubość powłoki

R - promień krzywizny walcowej 1

m

u, v, w - składowe pola przemieszczeń (styczne, wzdłużne, promieniowo) k - stała sprężysta podłoża powłoki.

1. Zagadnienie cruasistatyki zamkniete.1 powłoki walcowej obciążonej mo­

mentem

Podstawa naszych rozważań będą równania różniczkowe cylindrycznej powłoki cienkościennej [l]

4 Ernest Czogała, Krystian Rennnndek

■

2

f ć 2

. 1-V v , 1+V ćfw ,, dw 2 I W

(al2 + ~ 5?2 ■)u + ~ ©la? + v 3F + R " W qi

i+v a2

2 dS

d<P + { 2V d<P2 + °2 [2^1_,V^ 2 + d-P?]}V + ^ *1 ^

+ { ^ - ° 2[(2-v^ ł ^ łR2J^

v$ +{&-°a[<2-v^ +£a]}Tł

+ (1 + c2 v 2 v2 )w - r2 ^ - o,

gdzie:

o§ 2 ' ó<>2*

Równania te, przy założeniu, że całkowite obciążenie sprowadza się tyi- ko do obciążenia promieniowego można przekształcić do postaci [Yj

(

.

)

G . u

w U

G • v n *9*

w u

: G R2 1 - ^ W E<5

przy czym: G , $ , $ v oraz ffi są operatorami różniczkowymi podanymi w pracach [i], [2]*

Cienkościenna zamknięta powłoka walcowa obciążona momentem 5

Wielkość q^(§j^.t) oznacza obciążenie promieniowe działające na powłokę. Przyjęto je w postaci momentu skupionego (rys. 1 )

(,'3>

gdzieś

ć)’(§"e) - oznacza pochcdną dystrybucji Diraca w miejscu § = e.

Rozpatrując problem z uwzględnieniem podłoża sprężystego obciążenie promieniowe można zapisać:

qn (^t,Pft) = ąCo.f.t) - kw(§,«p,t). (1.4)

Podstawiając wyrażenie (1.4) do ostatniego równania układu (1 .2) wyko- nując transformacje Laplace’a oraz wykorzystując analogię sprężysto-

lepkosprężystą otrzymuje się

, . q ( s )^(g t^ >3 ) „ G (s ) q(§ ftf,s ) - k(s)G_(s )w(fe ). (1.5)

h Li- » (s )J

6 Ernest Czcgała, Krystian Respondek

Dla przegubowego zamocowania brzegów powłoki przemieszczenie promie­

niowe poszukujemy w postaci

o o 00

w(S,<P,t) = ^ w j t ) s i n “ COsn<P, (1.6) n=o m=1

gdzieś

X mn

— dla n = 0 m ^ 1

Wykonując na (1.6) transformację Laplace’a i wstawiając do (1.5) po po­

równaniu współczynników odpowiednich szeregów otrzymuje się

q _ ( s )

W (s) --- -3E---- = r - T • 111:1

r.(a )

(1.7)

Ostatecznie pole przemieszczeń u, v, w powłoki można zapisać w po­

staci macierzowej

R S ,4, s)

|w(S,<>,s)

II

|W lł

W 8)

Ln(»)

n * o is*1 E ( s ) +

R2[l-V2(s)] ^ ( 0)

» (i.<0

(i.e)

Cienkościenna zamknięta powłoka walcowa obciążona momentem 7

gdziei

P (§,< ?) = c o s ^ E i cosn<P

m m ’ 1

F (§ ,<?) = sin

vmn 1

P (Ś ,'P) = sin cos n1?.

wmn' ’ ' 1

W dalszej części pracy posłużono się funkcjami Greena [_2], które można zapisać w formie

u1(x,V>,4,<i\s)

oo oo _{s i n} ^{m li}

* I i ! ż L -1 /— i 11111 , E ( s ) 6 2 m n '

m=1 k(s) +

— rf

b

UT

»2 [1-i2(sl !J s)

« L » "

$mnr/S ^

a Ca)

woni

gdzie:

mJt§

P ’ (§ »»P— V) = cos — r— cos n(<p-V)

m i m ' ’ ' 1 /

p’ (§ ,-P-V) = sin ^ sin n(<p-V)

vmn X

P5 (i> ,tP-V) = sin rcr^ cos n(<P -V)

wmn' x

8 Ernest Czogała, Krystian Respondek

Dla dowolnego obciążenia przyjmując q(x,V,t) S q(x,V.s) przemieszcze­

nia można określić formami całkowymi

u(§ ,-f>,t)

i i i

mRn

v1 (x,v^ ,f,t-ir) w(§ ,<f,t)

Jjj

S o

q(x,V,T)dxdVdT ,

( 1 . 10 )

gdzie:

u ( x #V , § , < P sT ) u1 (x,V,§,<P,s)

v 1 (x,V,§,<P,T)

- r 1

w 1 ( x , V , S , H \ T ) W1(x;V,fe,f,3)

2. Przypadek podłoża lepkosprężystego

W dalszych rozważaniach ograniczono się do przypadku podłoża lepko- sprężystego, przyjmując związek

k(?) = cCE(s ). (2 .1 )

Uwzględniając warunek nieściśliwości V (s) = V = -g- oraz przyjmując mo­

del reologiczny Voigta E(s) = E0 (1t-Xs) [3j funkcje Greena przyjmą po-

Cionkośclonra zamknięta powłoka walcowa obciążona momontem 9

Podstawiając (2.2) dc (l.10) przemieszczenia dla dowolnego obciążenia można zapisać

u ( S , t )

.IV)

»(£ ,<V)

2R

1L 1

' ^mn r

.

n=o E k « +

L R^íl-V^) rann

t

■vnm

T52

uran

_ t - T

q ( x ,V ,T ) e ^ s i n dxdV dT .

(2.3)

3. Obciążenia rusnonrym momentem

Dla momentu ruchomego obciążenie przyjęto w postaci M

q(x,V,t) = - S ’íx-x. )<3 (V-cOT)

R"

.

co odpowiada wirowaniu momentu Mq ze stałą prędkością kątową co . Po ścałkowaniu z (2.3) otrzymano następujące wyrażenia na pole prze­

mieszczeń

u(§ ,<p,t)

v(& ,*?,t)

w(&

t )

__o2M

L 2 R

mco: rnXx, /Vti

n=o m=1

<3 fimnimnl l2(l -V2 ) G'.vmnJ

3>umn m5C§

— 003 T * wmn

$vum . mj[§

— Siu “ wmn

sin m.Tl

10 Ernest Czogała, Krystian Respondek

A no?

‘ «2 2 2 , _{A n 05 +1}

Anco

A2n2cr2+1

A nCO

A2n 2o£i-1

4. Drgania powłoki lepkospreżyste.i

W ogólnych rozważaniach opisujących stan równowagi powłoki uwzględ­

niono siły bezwładności, przez co obciążenie promieniowe wyrazi się w postaci

q^(§,i,t) = q(§,<P,t) - kw(§ ,<P,t ) . (4.1) dt

Po podstawieniu (4.1) do (1.2) przy jednoczesnym wykonaniu transforma­

cji Laplace'a oraz skorzystaniu z analogii sprężysto-lepkosprężystej otrzymano

. ICsJjS ^ ^ ^ ^ )g (s t f fS )+G (s )S2w(§ ,<p, s ) = R2 [l-V2(s)]

= Gw(s)q(§,cp,s) (4.2)

t

[

cosnC'P-cot)

cos n(<P-cot

sin

cos

Anco

t

i—

cosn(<p-<nt) - sin n(<P-cofc

cosn<P-sin n<P)l

[Ancn Anco J

(3.2)

[Anco Anco

przy czym założono zerowe warunki początkowe.

Cienkościenna zamknięta powłoka walcowa obciążona momentem 11

Dla omawianego przypadku funkcje Greena wyrażają się następująco

u¹( x , V , ? , f , s )

' y ¹ . m f r

2 > > T

1

* u n m i S ! r ’ f i * j f v ¹ S G j ] a i m ' ^{* '} j

T ^{~ X1H f 'ma} _ ^{- ( )}

» ^{“ "1} , - a^„2 . r r c „ i ⁵( s ) t d ⁵n m Hm i n« p^ C S / ’ - V )

" 1 U . ' i . S , s )

Pole przemieszczeń dla dowolnego obciążenia wyraża się identycznymi formami całkowymi jak (1.10).

5. Przypadek obciążenia powłoki ruchomym momentem przy uwzględnieniu modelu reologicznego Voigta

Przyjmując dla podłoża lepkosprężystego analogiczny związek jak (2.2), z (4.3) otrzymuje się w zależności od częstości drgań własnych powłoki oraz czasu relaksacji

u(£ ,<P,t)

viS.'P.t)

2M

L'Ttod 4_i

“ m,n

s i n ■ U I---

co _{mn 4}# > 1

\%n(aimn 4" ' 1 }

chram mJCfe

G■wmn

COS —J “ •

$vm n

s i m ^ .

Gwmn 1

. mX§

f 1

1 * 1 2 . J l*2mn + n

2mn

2 2

co

a2«2

1 * 1 2 2 2 a2mn + n 05

[

a 2nm S ^J1 ) + n o c o s n(<P -a)t) - e ( a ^ s i n n<P+ n u c o s n<P )

f / _a2mn*t 1

* i a 2nm 00S n vP- a ; i 't ) " “ ^ s i n n ^ - c a t ) - e ( a ,, c o s n <P - n co e in n <P )J

12 Bme3t Czogała, Krystian Respondek

2Mo y L^Kdó ^-- '

* m,n

mXx„

e in ■

f < 1

cm 4

n I —

r ^ ^ m n 4~5

'frumr. raT£ I b1mn

G c o s 1 | 2 2

ram I o ■ o V. mu + bf+ b„1nm

’i’vTim . m3ti

— s i n — wmn

slnJSft

r

Ii ¿nm

14 ♦ v

Imn cmn + b1mn

rc “C t c

\ _ . on <• nm

1nm Nim “1mn “1mr>)]

• I ^ s i n n f t - u t) - cos n(*P-<it) - e 0111 B in d^ - coe d ) |

F t™ 1 sos n(<>-<i*) + s i n n(^>-<i*) - e 8111 ^{( , r ~ -} cos d + s i n d )1

L 2nm 2nn ann ^ J

• F ^ - 8 in n ( i f - u t ) - cos n f a - u t ) - e (^ 5E2- s i n d . , ^ - cos d1jm )l

L 1mn ?nm J

^2mn Pi 4 + bLn Lb2nn_mn cm n

® - s i n n (-^ + u * ) - cos n fa-ęo t) - « e i n a . - cos d___

O,._¿mn ¿3D1 rHm

- g - 1— ■g— ^ o os n C ^ -o t) + s i n n(<>-<i* ) - • (-g52- cos d ^ + s i n d _ )

snn + b1nn •- 1nn lBn

i)|

])

+ --2— U s i n n(-<V j* ) - coe n(<?-<at) - n m i s i n 4 ^ ^ - cos

a + _{mn /'’III I}*- 2mn 2mn

s 4

2

“imn

■ ■ ■„ [“.inn 008 nii-**) + nuein n(<>-«*) - s 1lnD 008 “ nc^in^

I

♦ n oj L -I

. ^ ■ ■■- ib., s i n n(<>-03t) ♦ accos n(<>-<ijt) - e ”*1“ 11 ( a . s i n n<> + accoo n 1? '1

a? + n V L •mn J

^ la n

1 ■ ■ ■ ■ F 'in n 00tl - n a s in n(<p-<a) - g”*1“® coe nV - n-ieJm n4> )1

<*n co *•

Ł « "

Cienkościenna zamknięta powłoka walcowa obciążona momentem 13

gdzie:

1m n 2m n

= 7<J3mT,2

mn

-^L>wr.(pO | | ¡nn mn 4

1m n 2mn

- \ co ( i - c o — ) + no)

u urn mn 4

c O ~Q5 A

mn d mn

i. A o (1 -CO A . t ± n ę .

Imn mn ran 4

2mn

6 . Przykład liczbowy

Do obliczeń szczegółowych przyjęto następujące parametry powłoki:

c2 = = 0,00025, V = v , 1 - 1 : »3,14.

12R 2 R

Uzyskano zredukowane pole przemieszczeń zagadnienia ęuasistatycznago dla wirującego mementu (rys. 1 ).

Wielkości:

u(& ,<p,t ) u(§ ,<f>, t) vfê.tf.t) Ł2RB6

” ” 2M v(§ ,<P,t)

w(5

O

w(è ,<i,t)

przedstawiono na rys. 2-4.

Ernest Czogała, Krystian Respondek

CienkoścleimŁ zamknięta powłoka walcowa obciążona momentem 15

Rys. i

16 Ernest Czogała, Krystian Respondek

Na podstawie uzyskanych v,/yników można określić położenie ekstremów ww. pola przemieszczeń. Obserwuje się również efekty . lepkosprężyste, tzn. opóźnianie się ekstremum przemieszczenia w stosunku do przebiegu obciążenia. Z upływem czasu zauważa się również zbliżanie ekstremów przemieszczeń stycznych i wzdłużnych do punktu przyłożenia momentu.

L I T E R A T U R A

[1] SKALMIERSKI B. - Problemy statyki i dynamiki powłok walcowych uże- browsnych. Zeszyty Naukowe Pol. Śl. Nr 73 Mechanika, Gliwice 1963.

[2] SKALMIERSKI B., CZOGAŁA E. - Zagadnienia dynamiki pewnego lepko- sprężystego układu mechanicznego. Zeszyty Nautowe Pol. Śl. nr 179, Mechanika, Gliwice 1967.

[3] NOWACKI W. - Teoria Pełzania, Arkady, Warszawa 1963.

C o A e p a c a H H e

3 p a f l o T e n p TZ 3 o a n T c a o c w a H n e n e p e u e m e H n 0 n p a H 3 m ó e t o h e o c te H H o ñ a p M k e C ' K o í í O i O - I O ’- i K M , H a r p y i t e H H O H i l O j l B H Z H h l M m o m c h t c m.

Ha c C K c a e iiciiOJii>3 0 BaKHH y n e y r o - J i e i i K o y n p y r o i i a H a jio n t n p a c c a a T p u B a e T C B n poC Jtesaa K a a a u c T a T H v e c x a t i u a n * - a M n « e c K a a . I lo ; iy y e i :o n o jie n e p e u e in e K u S p a c - CuaT p K B aeM C Ü OCOJIO^KH. Ha BU'iHGJIKTe.m.Hoií MaUiitHe C je jia H b l BblHUCJieHHfl X.1S «H -

n p n a e p a K J iJijo cT p u p yeM o ro n;:naexeH H U L4v anarpa¡»iM aM H .

Cienkoscienna zamknlgta powloka walcowa obciqiona momentem 17

S u m m a r y

In this paper a problem of the displacements of the thin cylindri­

cal shells loaded with a moving moment is analysed. The quasistatic ard dynamik phenomena by the application of the elastic-viscoelastic- anal ogy is discussed.

The terms for displacement field of the shell axe otitaind. In the particular .case the numerical calculations on the digital computer are made. The results are plotted on the figures enclosed.