S e r ia j MECHANIKA z . 36 Nr k o l . 233
ANERZEJ TYLIKOWSKI, ERNEST CZOGAŁA K a te d ra Dynamiki Układów M echanicznych
PŁYTA PIERŚCIENIOWA OBCIĄŻONA NA BRZEGU MOMENTEM
S t r e s z c z e n i e . W p ra c y z a j ę t o s i ę wyznaczeniem p rzem iesz
czeń s p r ę ż y s t e j iz o tro p o w e j c i e n k i e j p ł y ty p ie r ś c ie n io w e j.
P r z y j ę t o n a s tę p u ją c e w aru n k i brzegow e. Na b rze g u wewnętrz
nym p ł y t a j e s t sztyw no u tw ie rd z o n a , na zewnętrznym zamo
cowana przegubow o. Zew nętrzny b rz e g p ł y ty obciążono momen
tem . Rozwiązano z a g a d n ie n ie prow adzące do w yznaczenia fun k c j i wpływu. Na p o d sta w ie z a le ż n o ś c i wyprowadzonych w czę
ś c i te o r e ty c z n e j p ra c y u ło żo no program o b lic z e ń n a e le k t r o n i c z n ą maszynę cyfrow ą GIER w jęz y k u GIER-ALGOL. Pro
gram t e n z r a c j i sw ej o g ó ln o ś c i s łu ż y ć może do o b lic z e ń w ytrzym ałościow ych p ł y t p ie rś c ie n io w y c h o różnorodnych wym iarach i wykonanych z dowolnego m a t e r i a łu . W p rz y k ła d z ie ro z p a trz o n o p rzy p a d e k o b c ią ż e n ia k o n tu ru p ł y ty mo
mentem sk upio n y-..
1 , Z a g a d n ie n ie u g i ę c i a p ł y ty pod wpływem momentu o b c ią ż a ją c e g o b rz e g
Podstaw ą rozw ażań j e s t t e o r i a c ie n k ic h p ł y t izo tropow ych [ i ] . Zew
n ę tr z n y b r z e g p ł y t y p i e r ś c ie n io w e j, p o d p a rty przegubowo, o b ciążo ny j e s t momentem zg in ający m , k tó re g o w e k to r j e s t s ty c z n y do kon
t u r u . B rzeg w ew nętrzny j e s t sztyw no zamocowany. Ze w zględu na geo
m e tr ię z a g a d n ie n ia wprowadzono u k ła d w spółrzędnych biegunowych r,«p.
Równanie równowagi p ł y ty p r z y j ę to w p o s t a c i [ i ]
24 A ndrzej T y lik o w sk i, E rn e st Czogała
Zamocowanie p ł y t y wymaga s p e ł n i e n i a k i lk u warunków brzegowych.
Na b rz e g u wewnętrznym (sztyw ne u tw ie r d z e n ie )
y „ b - o, ( 2 .)
r W 0' (2 b >
n a b rz e g u zewnętrznym (zamocowanie przegubow e)
y r - a " °*
< 2 a )
r=a
Warunek (2 d ) r e p r e z e n t u je równowagę s i ł w ew nętrznych i zew nętrz
nego o b c ią ż e n ia na zewnętrznym k o n tu rz e p ł y t y . W rów naniach powyż
szy ch p r z y j ę t o n a s tę p u ją c e ozn aczenia»
y - p rz e m ie s z c z e n ie p o p rzeczn e p ł y t y , M - zew nętrzn y moment z g in a ją c y , M - moment z g in a ją c y w p ł y c i e ,
1 Eh3
D ■ szty w n o ść p ł y t y n a z g in a n ie , 1 2 ( 1 - ^ )
E - moduł Younga,
V - ułam ek P o is s o n a ,
a , b , h , - wymiary geom etryczne p ł y t y ( r y s . 1 ).
Ogólne ro z w ią z a n ie ró w nan ia (1 ) ma p o s ta ć | j ]
oo oo
y - R0 ( r ) + Rn ^r ) 008 n f + Rn^r ^s i n n ^‘ ^
n*1 n*1
W stęp n ie z a ło ż o n o , że moment zew n ę trz n y j e s t f u n k c ją p a r z y s t ą względem k ą ta <f . W d a l s z e j c z ę ś c i p ra c y uw olniono s i ę od te g o
z a ło ż e n ia o b l i c z a j ą c fu n k c ję wpływu. Ze w zględu n a p a r z y s t o ś ć ob
c ią ż e n ia można j e ro zw in ąć w s z e r e g kosinusów OO
Mq cos n«p, n»0
( 4 )
26 A ndrzej T y lik ow uki, E r n e s t C zogała
g d z ie »
K mi
o ra z
■l/
o1 n > 1
%
“ n “ 5f / M(«f)cos n«f>d<p. ( 5 )
R ozw iązan ie b ę d z ie ró w n ież f u n k c ją p a r z y s t ą względem k ą ta , c z y l i
OO
y » j RQ( r ) + )cos n *P» ( 3 a )
n*»1 g d z ie ś
R0( r ) - A0 + 3 or 2 + Col n r Dor 2 l n r
^ 1 /
R1 ( r ) ■ A1r + B.)r r + C1 r " + ^ r I n r ( 7 )
R n ( r ) - A„ r n + Bn r ' " + 0n r “ 2 + Dn r ' " 2, ( 8 ) n > 1
S t a ł e An , B , Cn , (n=0, 1 , 2 , 3 , . * . n ) określam y n a p o d s ta w ie warunków brzegow ych (2 ) . Każdy z warunków 2a t 2d ro zp a d a s i ę n a n ie s k o ń c z e n ie w ie le równań, p r z e z porów nanie w spółczynników od
p o w ied n ich wyrazów szereg ó w . Otrzymujemy w t e n sposób 3 u k ła d y równań (n=0, n» 1 , n > 1 ) o c z te r e c h niew iadom ych k ażdy . P o n iż e j p rzy taczam y je d y n ie o s ta te c z n e ro z w ią z a n ia .
g d z ie :
WQ - j l n ~ [(1 + V ) l n § + 2 ] - (a 2-b 2 ) ( ~ + ^ P ) |»
R1 <r > ■ S 7 { f [ ( i r < * 2 - 3 b 2 ) ł S b t a W ) ) ^ ! ♦ ^ < t2 ( 8 U . f - 5 ) - a ^ ]
♦ f b [a 2- b 2(5 -2 U> f )] - ( f )[b2 t f - ( 2 On f - 1J ji- J , ( 7 . )
g d z ie :
W1 - 4 b jln | [ 4 < 3 + v ) + £ 1 - * ] + 2(1+V) - V ^ " ^ 2+V)}*
‘ v { r n L( n f 1 ) b ’ n f 1 ( a ’ 2Df2‘ b" 2 w 2 ) ‘ ( a 2 “ i , 2 ) b ‘ 3 n f 1 -
- n ( a ” 2n - b“ 211^ 3] - r*"n JbDf1 (a"*2nł’2 - b ^ 2 ) +
a“21* 2 - b_2lVf2) + + (a-1 )b-Df1 ( a 2“b2 )J - r ” "2 [nb“ **1 (
+ ( a “ 2n - b” 2 n ) ( l - n ) b ” nf1J + ^ [ n b “1^ 1 (a 2- b2 ) +
vih-1 / - 2 n . - 2 n f iI
+ b (a - b ) k (8 a )
g d z ie :
-2 n -?.n a -b
.IH-1 2 v2 a -b
( l - n ) b- n + 1 -2 » f2 v-2 » f2
a -d
n ( 1 - V)a_n" 2 (2nt1 + v)s - n
28 A ndrzej T y lik o w sk i, E rn e s t C zcgała
W prowadzając f u n k c je K0 ( r ) , K , ( r ) t Kn ( r ) p rz y pomocy zw iąz
ków
Ro ( r ) - MoKo ( r ) , (6 b )
R1 ( r ) = M, K, ( r ) f (? b )
Rn ( r ) ■ 11 > 1 » ( 8 b )
rów n an ie ( 3 a ) p rz y jm ie p o s ta ć OO
y(r,«p) » XnKn(r)M n cos n f . (9)
n=o
Rozw ażania przeprow adzone powyżej s ą ważne d l a p a rz y s te g o mo
m entu o b c ią ż a ją c e g o . D la w yzn aczen ia p rz e m ie sz c z e ń p rz y dowolnej p o s t a c i momentu M(<p) n a le ż y wyznaczyć f u n k c ję wpływu. W tym ce
l u obciążam y p ł y t ę momentem skupionym w p u n k c ie = % , c z y l i
\ < f )
- ( 1° )( 6 - d y s tr y b u c ja D ir a c a ) . K o rz y s ta ją c z równ. ( 5 ) wyznaczany w s p ó łc z y n n ik i r o z w in ię c ia w s z e r e g
^ • a C O S n X st ( 1 1 )
3Ta X a
W sta w ia ją c (11 ) do ( 9 ) otrzym ujem y p rz e m ie s z c z e n ie p ł y t y pod wpływem momentu jednostkow ego
OO
} “ ¿ T Z * n ( - 1 } \ ( r ) 0 0 3 n ^ - ( 1 2 )
r= o
P rzen ieśm y moment M « 1 z p o ło ż e n ia «p * Jt do p o ło ż e n ia o k re ślo n e g o w sp ó łrz ę d n ą tp . Zauważmy p r z y tym, że
cos n(5T + « p -ip ) ■ (-1 )n cos n(ip-JT). (1 3 )
U w zg lęd n iając (1 3 ) i (1 2 ) wyznaczamy fu n k c ję wpływu OO
y ^ 1 ^(r,Tp»<fO KjjCr) cos n(<p-ip). ( u ) n=o
P rz e m ie s z c z e n ie p ł y ty pod wpływem dowolnego momentu Ii(ip) p r z y ło żonego n a b rz e g u p ł y ty obliczam y za pomocą z a le ż n o ś c i
y(r»<p) a BJ y^1 *Gp)*Pł (15)
lu b TPr0
y ( r ,« f ) - JF X N . K» ( r )
J
cos n(«p-Tp) M(ip)dip. ( l 5 a )n»o o
Ze w zględu n a f a k t , że M(tp) j e s t zadana a n a l i t y c z n i e lu b t a b e la r y c z n i e , o b l ic z e n i e c a ł k i w ( l 5 a ) j e s t możliwe p r z e z kwadra
t u r y lu b n u m ery c zn ie . K o rz y s ta ją c z o z n a c z e n ia V
FQ(*p) -
J
cos n (f-ip ) M(ip)dip, ( l 6 ) ow y ra ż e n ie ( l 5 a ) p rz y jm ie p o s ta ć OO
( n >
n=o
30 Andrzej TyIlkowski, Ernest Czogała
2 . Program o b lic z e n io w y
Wzór (1 7 ) sta n o w i punkt w y jś c ia d l a u ło ż e n ia algorytm u i programu o b lic z en io w e g o n a maszynę cyfrow ą GIER w ję z y k u GIER A lg o l H I [3 ] ro z w ią z u ją c e g o num erycznie p o sta w io n e z a g a d n ie n ie .
Dane w ejściow e n a le ż y w prow adzić do maszyny w n a s tę p u ją c e j ko
le jn o ś c i» a , b f h , Vt , E, f o , S ( l i c z b a punktów o b lic z e n io w y c h na obwodzie p ł y t y ) , T ( l i c z b a punktów o b lic z en io w y c h n a p ro m ie n iu ),
V ( l i c z b a w sk a z u ją c a wg j a k i e j m etody o b l ic z a s i ę Fn («p)* j e ż e l i v m 0 t o u ży tkow nik program u w in ie n na p o d sta w ie znanego mu w zoru u ło ż y ć odpow iedni frag m en t progi*amu, j e ż e l i v ■ 1 t o c ałk o w an ie odbywa s i ę 10 punktową m etodą Gaussa [ 2 j , a w a r to ś c i momentu M p ] w od pow iednich p u n k tac h x obwodu p ł y t y ró w nież n a le ż y u m ie ś c ić n a ta ś m ie danych w ejścio w y c h ).
b e g in comment Programme f o r c o m p u ta tio n o f th e d is p la c e m e n ts o f th e e l a s t i c i s o t r o p i c t h i n r in g - s h a p e d p l a t e xoaded on th e o u t l i n e w ith a moment. On t h e d a ta t a p e m ust be n e x t numbers i n t h e s u b se q u e n t su c ce sio n »
a « e x te r n a l r a d i u s o f t h e p l a t e , b i n t e r n a l r a d i u s o f t h e p l a t e , h th ic k n e s s o f th e p l a t e , n i P o ls s o n s r a t i o ,
E Youngs m odulus,
p s i a n g le o f lo a d in g w ith a n e x t e r n a l moment,
S number o f c a l c u l a t i o n p o i n t s on t h e edge o f th e p l a t e , T number o f c a l c u l a t i o n p o i n t s on t h e r a d i u s .
U pper l i m i t SxT f o llo w in g fro m th e e x e c u tio n s p e e d i s e q u a l 200|
v number c h o o sin g m ethod o f c a l c u l a t i o n F n [ j J ,
i f vmO th e n s p e c i a l b lo c k o f th e program e v a lu a te Fn [ j] on t h e b a s ic o f known t h e o r e t i c a l fo rm u la , i f v-1 n e c e s s a r y i n t e g r a t i o n i s done by a 1 0 - p o in ts G a u ssia n
q u a d ra tu re i n th e i n t e r v a l O - p s i. I n t h i s c a s e e x t e r n a l moment m ust be known i n 1 0 - p o in ts o f th e e x t e r n a l edge, M[1] V alues o f th e moment i n t h e p o i n ts x * f i ( p s i - 0.01304673»
0 .06746831, 0.16029521, 0.28330230, 0.42556283, 0.57443716, 0.71669769, 0.83970478, 0.93253168, 0.98695326,
r e a l a , b , h , n i , E, R, kO, k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7, k8, k9, k10, k11, k12, r , p s i , e p s , wO, w1, w2,
w3,
w4,i n t e g e r i , j , 1 , m, n , p , S , T, v , w|
Ps in p u t ( a , b , h , n i , E. p s i , S , T, v ) j b e g in
a r r a y y f l i S . 1xT ], F n [ l : S ] , m[ 1 |1 0 J , x,a[1j5 ] , i n t e g e r a r r a y E r [ l j S , 1 1 |
i f v»1 th e n
b e g in in p u t (m ), x [ i j : o 0.01304673 x p s i , x [ 2 ] t - 0.06746831 x x p s i , x [ 3 ] t - 0.16029521 x p s i} x [ 4 j : - 0.28330230 x p s i , x[5 ]x - 0.42556283 x p s i , A [ l] j » 0.03333567, A [2 ]t - 0.07472567, A[3] t * 0.10954318, A[4] : « 0.13463335, A[5] : = 0.14776211
end 1
f o r i=1 s te p 1 u n t i l S do f o r j»1 s te p 1 u n t i l T do
b e g in y [ i , ¿ Jt « 0 , E r [ i , j ] t . 1 end,
klO - l n ( a / b ) , kS « e x a , k11 - bx b , k12 = k9 - k11, k4 ■ k 9 /k 1 1 , k7 = 3 + n i , k6 - 1 + n i, k5 - 1 .-n i, h - Exh 3 /(l2 x k 6 x k 5 ),
E - 6 .2 3 3 ie 5 4 /S , P. = (a-b)/(T + 'i ),
wO = (k1Q x(k6xk10+2)-k12x(k5/k9+kr//k11 ))x2xh,
w1 » 4xbx(k10x(k4xk7+ k5/k4)+ 2xk6-ni/k4-k4x(k6+ 1 ))x h , kO . 2 x k 9 x(k9-3xk11)/b+ 3xbx(k9+ ki1 ) ,
k1 * k 9 x (k 1 1 x (8 x k 1 0 -5 )-k 9 )/b , k2 - b x (k 9 -k 1 1 x (5 -2 x k 1 0 )), k3 = (k11+k9x(2xk10-1 )/4 )x k 9 /b , n i= k 5 ,
32 A ndrzej T y lik o * 3 k i, E rn e s t C zogała
f o r n » 0 , 1 do b e g in
i f tbO th e n b e g in comment B lock com puting F n [ j] composed by th e u s e r j . . .
end e ls e
b e g in
f o r j»1 s t e p 1 un t i l S do be g in r b 0 | k5 . E x j|
f o r 1 »1 s te p 1 u n t i l 5 do
r = r + ( c o s ( n x ( k 5 - x 0 ] ))xM [l]+ c o s (n x ( k 5 -p s i+ x [l] )) x M [l1 -l] ) x A [ l] | P n [ j] => r
end
f o r i => 1 s t e p 1 u n t i l T do
b e g in r=b+R xij k 5 = r/b j k7*»ln(k5 ) | k 8 = rx rj k 5 -( 2xkl 0xk7x( k9-kS )+ k 1 2 x ln (r/a )x (k 5 x k 5 -1 ) )M>*
k 6 = r/a j
i f rb=1 t hen k5=(W3x(kGxk?+k1 )+-k2/k8-k8f3xk3 )/w1j f o r j-1 s t e p 1 u n t i l S do
y [ j , i ] = y [ j f i ] + k 5 x P n [j]
end en d;
k4=b{ k6=af
Ent n»n+1 j w=Cj k4-«k4xb| ko=k6xaj k5=*b/k4| k 7« a/k£ j ntonj-1 j p « i-n y wO a-nxk5/k111 w1sd,xk4| w2*pxk5) w3=1- (k6xk6 )-1 /(k 4 x k 4 )j w4*;K7xk7-l£xk5»
k1 =w1xw4-k12xw2| k3=wQxk12-w3xw11 k2nw0xv.'4-w3xw2|
kO-mxk5xw4-k12xk5t3/k11 -nxw3xk7xk11 j
wO*(nxnixk1 / ( k6xkS) - ( 2xm -ni )xk6xk2+pxnixk3/k6 )xh;
i f vmO t h e n be g in comment B lock com puting F n [ j] composed by t h e u ser}
end e l s e
f o r j-1 s t e p 1 u n t i l S do b e g in r=0} k5=Exj}
f o r 1*1 s te p 1 u n t i l 5 do
r = r + ( c o s ( n x ( k 5 - x [ l] ) )xM[l] + c d s(n x (k 5 -p s i+ x [ l] ))
x m[h -i! )x a[i ] | P n ( j ] - r
f o r i*1 s t e p 1 u n t i l T do
b e g in r* b + R x i| k8*rxr} k7=rxnj
k5=(k7xkO -k1/k7+k2xkBxk7+k3/(k8xk7) )/wOj f o r j=1 s t e p 1 un t i l S dc
b e g in
i f E r [ j j , i ] - 1 th e n
b e g in e p s= k 5 x P n [jJ| y [ j , i ] =y Q), i ] + e p s}
i f ep3 < C .00 1 th e n E r |j j , i ] = 0 e l s e w*1 end
end end }
i f w*1 t h e n go t o Bn}
f o r j*1 s t e p 1 u n t i l S do
b e g in r= e x j} o u t t e x t ( o u t c r , ^ < (fi =)> , o u tp u t(<£ n . dddJ>,r), o u te r ) } 1*0}
f o r 1*1 s t e p 1 u n t i l T do
b e g in 1-1+1} i f 1*7 th e n b e g in 1=0} o u te r en d } o u tp u t( • ^ - d .d d d 10+d)J> * y [ j » i 3 / 3 . 1415927, o u t s p ( 3 ) ) end
end end a rra y }
34 A ndrzej T y lik o w sk i, E rn e s t C zogała
i f kbon t h e n go t o P end p ro g ra m ie |
3 . P rz y k ła d
Rozpatrzm y p rzy p a d e k momentu skup ion ego na obwodzie p ł y t y . P r z y j
m ując p o c z ą te k u k ła d u w sp ó łrzęd n y ch w p u n k c ie d z i a ł a n i a momentu, o b c ią ż e n ie z a p isu jem y w p o s t a c i
m(v ) - i M0W *
K o rz y s ta ją c z ró w n an ia ( l 5 a ) i w ykonując c a łk o w an ie , uzyskujem y w ynik d l a t e j s z c z e g ó ln e j p o s t a c i o b c ią ż e n ia
= X ^ K n ( r ) 0 0 3
n=o
Porów nując powyższe w y ra ż en ie z (1 7 ) stw ierd zam y , że ^ n («p) =
= cos n<p, a zatem v»0 i c z ę śó program u o b l ic z a j ą c a Fn (<f>) ma n a
s tę p u j ą c ą p o s ta ć
b e g in f o r jo l s t e p 1 u n t i l S dc Fn [ j j =cos ( nx jx E )
end t
Do o b lic z e ń p r z y j ę t o n a s tę p u ją c e w a r to ś c i liczbow e a*»1, b = 0 .3 . V = 0 .3 , S=16, T=6, h o ra z E t a k dobrano aby IW1. P r z e b ie g od
k s z ta łc e ń p o p rze c z n y ch p ła s z c z y z n y środkow ej p ł y t y p o k a z u je r y s u nek 2 .
Z p u n k tu w id z e n ia zastosow ań in ż y n i e r s k i c h b a r d z i e j i n t e r e s u ją c e s ą r o z k ła d y s i ł i momentów w ew nętrznych. U zyskanie p rz e b ie g u ty c h 'w ie lk o ś c i n a d ro d ze c z y s to a n a l i t y c z n e j j e s t b ard zo tr u d n e , n p . momentu gnącego ze wzoru
R y s. 2 . W ykres o d k s z t a ł c e ń p o p rz e c z n y c h p ła s z c z y z n y śro d k o w e j p ły ty y ( r t*P)
36 Andrzej T y lik o w sk l, Ernest Czoga>a
gdy ró ż n ic z k o w a n ie o s ł a b i a i t a k ju ż w olną z b ie ż n o ś ć szereg ó w . W c e lu o m in ię c ia ty c h t r u d n o ś c i p o słu ż o n o s i ę g ra fic z n y m r ó ż n ic z
kowanie w ykresu f u n k c j i y ■ y (r,^ > ). Wynik omówionego postępow a
n i a p r z e d s ta w ia r y s . 3 .
LITERATURA
[1 ] Timoshenko S . , W oinow sky-K rieger: T e o ria p ł y t i pow łok, Arka
dy, W arszawa 1966.
("2"] KpoHpcr, A .C .: y3Jibi h Beca KBaapaTypHbix $op u y jj, Hayica Koc-
*- ^ Ksa 1 S64 .
[3 ] R aur P .( e d i t o r ) » R evised r a p o r t on th e a lg o ry th m io language ALGOL 60 and a m anual o f GIER ALGOL H I , R e g n e c e n tra le n , Co
p en h ag en , 1964.
KOJIREOBPA3HAH IUIaCTMHKA HAXOfliOAHCH nofl flEftCTBHEM MOMEHTOB PA3nPEJOtEJIEHHHX IJO KOHTypy
P e 3 ro m e
B p a Ö O T e o ó c y K j r e H O n p o O j i e n i y n e p e M e m e H H i ł y n p y r o f t H 3 0 T p o n H O f l t o h-
KOtt K O X b u e o 6 p a 3 H o W n j i a c T H H K K . Ha bH y T p e H H em xpae n j i ac t h h k s 3 a - m e M J t e H H a a H e n o a B H X H O , Ha b Hem H e m cboÖoäho o n e p i a . Ha BHem HHft
K O H T y p l e f l C T B . y n r p a c n p e s e a e H H L i e momchtu. 5 > o p M y j i u n o j i y i e H H u e b T e o p e T K H e c K o W w scth p a Ó O T U a a n p o r p a M M u p o B a m i b H 3 b u c e GIER
ALGOL H a 3 J i e K T p o H > m e c i r y n u n $ > p O B y i ) B Ł M H C j iH T e J i b H y n ManJHHy GIER.
H p c r p a M u a o T a H a o c H O B e C B O e f l oÓiuhocth n o j i e 3 H a j;ih p a c n e T a n p o » i H O C T H K o j i b u e o ö p a 3 H H x n j i a c T H H O K c n p o H 3 B O J i b H H M H p a 3 M e p a i i n , C j e J i a H H X H 3 p a 3 X M H H M X M a T e p H a J I O B .
38 Andrzej Tylikowskl. Ernest Czogaia
RING - SHAPED PLATE LOADED ON THE OUTLINE WITH A MOMENT
S u m m a r y
The p a p e r B e ts a b o u t d o in g c a l c u l a t i o n s o f t h e d isp la c e m e n ts o f t h e e l a s t i c i s o t r o p i c t h i n , r i n g sh ap ed p l a t e . On th e i n t e r n a l edge t h e p l a t e i s r i g i d l y f i x e d . On th e e x t e r n a l edge th e p l a t e i s f i x e d j o i n t l y . The e x t e r n a l edge i s le a d e d w ith th e d i s t r i b u t e d moment. On t h e b a s ic o f t h e o r e t i c a l r e l a t i o n s a program f o r e l e c t r o n i c n u m e ric a l com puter (HER i n (HER ALGOL i s composed. This program can be u se d f o r s t r e n g t h c a l c u l a t i o n s o f d i f f e r e n t r i n g shaped p l a t e s . I n th e p a r t i c u l a r c a s e a s o l u t i o n f o r an o u t li n e lo a d in g o f p l a t e w ith a moment i s o b ta in e d .
