ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1080
Seria: MECHANIKA z. 09 Nr kol. 1057
SYMPOZJOM "MODELOWANIE W MECHANICE”
POLSKIE TOWARZYSTWO NECHANIKI TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ Beskid Śląski, 1990
Karol Grudziński, Konrad Konowalski
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn Politechnika Szczecińska
MODELOWANIE POŁĄCZENIA WCISKOWEGO Z UWZGLĘDNIENIEM PODATNOŚCI KONTAKTOWEJ
Streszczenie. W pracy przedstawiono fizyczny i matematyczny model połączenia wciskowego wałka z tulejką, obciążonego momentem skręcającym. Istotną nowością tego modelu jest uwzględnienie w nim sprężystej podatności kontaktowej stycznej łączonych powierzchni. Wyprowadzono równania opisujące rozkład momentów skręcających wałek i tulejkę oraz kontaktowych naprę
żeń stycznych na długości połączenia. Podano przykłady obli
czeń.
1. Wstęp
Poł ączenia wciskowe mają wiele praktycznych zastosowań w budo
wie ma szyn i urządzeń. Tradycyjny sposób obliczania tych połączeń charakteryzuje duży stopień uproszczenia i nie zaspokaja w należy
t y m stopniu współczesnych potrzeb w t y m zakresie. Doskonalenie m o deli i m e t o d obliczeń połączeń wciskowych podyktowane jest nie tyl
ko koniecznością zapewnienia im odpowiednio dużej niezawodności i trwałości, ale także coraz większą p o t r z e b ą wyznaczania ich sztyw
ności oraz analizy występujących w nich procesów tłumienia drgań.
Niniejsze opracowanie stanowi pewien wycinek większej pracy, poś
więconej tej problematyce, wykonywanej w ramach RPBP RP.I.06.
108
Karol G rudziński» Konrad Konowalski2. Model połączenia wciskowego
Przedmiotem rozważań Jest, połączenie wciskowe wałka o przekroju okrągł y m z cylindryczną tulejką (rys. la), obciążone m o m e n t e m skręcającym M. Zakłada się, że elementy łączone wykonane są z ma teru2-
łu sprężystego, a do wyznaczenia naprężeń i odkształceń, dla u- proszczenia, przyjmuje się założenia i wzory stosowane w nauce o wytrzymał ości materiał ó w dla czystego skręcania. V ten sposób sztywność na skręcanie wałka wynosi I G , a tulejki I G , gdzie I
w w t Ł w
i I oznaczają odpowiednio biegunowe m o m e n t y bezwł adności przekroju, a G i G - współczynniki sprężystości poprzecznej wałka i tulejki.
V t
M *Mt* 2lTrw jjpl p s const
M w (x)
Tw Tk=^
Rys. 1. a) Schem at połączenia wciskowego, b) i c) Rozkłady m o m e n t ów skręcających w ałek i tulejkę oraz kontaktowych naprężeń stycznych
Wa ł ek jest zaciśnięty w tulejce, przy czym zakłada się, że na
cisk na Jednostkę powierzchni wynosi p i jest jednakowy na cał ej powierzchni styku łączonych elementów, a współczynnik tarcia między powierzchniami wynosi /j. Aby nie spowodować pełnego poślizgu łączo
nych elementów, przyłożony m o m e n t M nie m o ż e przekroczyć m o m e n t u tarcia M CM < M , rys. 1).
T T *
Modelowanie połączenia wciskowego.
109
Do wyznaczania m o m e n t ó w 1 M^, skracających wałek i tulejkę, oraz kontaktowych naprężeń stycznych Tfc w dowolnym przekroju x na dł ugości 1 połączenia, stosuje się różne modele, w zależności od celu i dokładności obliczeń. W najprostszym przypadku, gdy elementy łączone traktuje się jako ciała sztywne, otrzymuje się rozkłady M Cx> i M (x) oraz t, Cx> jak na rys. Ib.
w Ł k
W doki adnie jszych obliczeniach oraz analizie sztywności i tłu
mienia drgań łączone elementy traktuje się jako ciała sprężyste.
Taki model połączenia wciskowego rozważony został w pracy C13. W t y m przypadku otrzymuje się rozkł ad m o m e n t ó w i naprężeń stycznych kontaktowych jak na rys. Ib.
Według tego modelu ^już przy dowolnie małej wartości m o m e n t u M, w końcowych częściach poł ączenia występuje tarcie rozwinięte i po
ślizg łączonych powierzchni. Nie jest to zgodne z doświadczeniem. 2 licznych badań połączeń wciskowych wynika C2J, że przy niewielkich wartościach m o m e n t u M < odkształcenia złącza maj ą charakter sprężysty. Poślizgi lokalne występują dopiero wtedy, gdy M > M ,
apr
przy c z y m m o m e n t sprężysty < M^. Gdy M * M ^ ; następuje poślizg na całej powierzchni kontaktu łączonych elementów.
Do należytego objaśnienia występujących procesów i uwzględnienia ich w metodzie obliczeń należy przyjąć doskonalszy model połącze
nia wciskowego, uwzględniający nie tylko sprężyste odkształcenia jego elementów, ale także podatność kontaktową ł ączonych powierz
chni.
Proponowany model połączenia wciskowego^ uwzględniający sprężystą podatność kontaktową^ przedstawiono na rys. 2. Wskutek występowania nierówności powierzchni po obróbce (chropowatość, falistość) nie przylegają one ściśle do siebie, lecz tylko na niewielkiej ich części. Rzeczywista powierzchnia styku stanowi zwykle niewielki procent nominalne j powierzchni styku i zależy od rodzaju materiał u i obróbki powierzchni oraz wartości nacisku powierzchniowego p.
W rozwiązywaniu wielu zagadnień mechaniki kontaktu poł ączenia stykowe dwóch obrobionych powierzchni mo żn a myślowo wyodrębnić z łączonych ciał i traktować w sposób u m o w n y jako "trzecie ciało" C33, o odmiennych wł asnościach mechanicznych, określonych w oparciu o wyniki badań doświadczalnych połączeń stykowych powierzchni rzeczy
wistych. Przyjęty model fizyczny połączenia stykowego oraz jego charakterystykę podatnościową w kierunku stycznym, wraz z jej m a t e matycznym opisem, pokazano na rys. 3.
Karol Grudziński, Konrad Konowalski
110 — ---
Rys. 3. Model połączenia stykowego oraz Jego charakterystyka po datnościowa
Modelowani© połączenia wciskowego. 111
Na podstawie rys. 2c,d otrzymuje się następujące równania równo
wagi oraz związki g e o m e t r y c z n e :
d M dM M (x) ♦ M Cx> M
dx “-- « O dx )
.
ci>,cio 2rrr r, <x)dx .v k ' <2>
<t>L<x> + Ł K “ <P <x>V
d ^ t
dx dx
d0w
dx ) <3>,<30 gdzie: r naprężenie styczne kontaktowe, <p , <p , <p - przemiesz
czenia kątowe, pokazane na rys. 2c.
Związki fizyczne, wynikające z przyjętych wyżej założeń, doty
czących elementów łączonych i połączenia stykowego Crys. 3>, można zapisać w postaci *
dc£V dx I G
W V
d * t dx~~
M Cx>
I G
t t
C4>,<5)
Ó (X) T. <X>
s k dM
k r 0 3 dx 2rrr kw s
<6>
gdzie k^ jest współ czynnikiem sztywności stykowej stycznej.
Na podstawie związków Cl) do C6), po dokonaniu odpowiednich pod
stawień i przekształceń, otrzymuje się równanie różniczkowe ;
gdzie:
d2M <x>
- k M Cx> * e M , dx
C7>
2nr3k
V S I G
W V I G
i. t
2irr3k W 8
<8>,C9>
Całkując równanie C 7> i wyznaczając stałe całkowania z warunków brzegowych: M^Cx=a>=0 i M (x*a+l>=M otrzymuje się funkcję M Cx)
^kreśloną na długości 1 połączenia wciskowego. Mając wyznaczony mo- mentM^(x) łatwo m o ż n a już wyznaczyć naprężenia styczne kontaktowe T^Ck) oraz przemieszczenia kątowe <£^Cx> i ^Cx>, a także wszystkie inne wielkości.
112 Karol Grudziński. Konrad Konowalski
3 Program 1 przykład obliczeń
Do wyznaczania m o m e n t ó w M^Cx> i M t<x>, naprężenia kontaktowego TkCx) oraz przemieszczeń kątowych i>^Cx> i ^Cx > opracowano specjal
ny p r o g r a m na mikrokomputer IBM PC/AT. W algorytmie obliczeń wyko
rzystuje się rozwiązanie równania <7> z warunkiem ograniczającym T**TSr“ >jp' Uwzględnia się również możliwość występowania poślizgów lokalnych w o b sz a r a c h , gdzie r = pp. Cały tok obUczeń jest z a u t o m a tyzowany, a wyniki m o ż n a uzyskać w postaci odpowiednich funkcji lub też w postaci wykresów obrazujących przebiegi M <x>, r <x>. d> Cx>
w k w
Rys. 4. Rozkłady m o m e n t u skręcającego M <x> oraz konta kt o wy ch na
prężeń s t y c z n y c h t dla różn yc hw wartośći p ar am e t r ó w G i k . v *
Modelowanie połączenia wciskowego.
113
1 ^t<x> na di ugości 1 poleczenia.
Przykładowe wyniki obliczeń w postaci wykresów przedstawiono na rys. 4 i 5. Obliczenia wykonano dla połączenia wciskowego Jak na rys. 2a , przy następujących wspólnych danych: ^ - 0,01m, 1 « o,lm, p - IMPa, M - 0,3, Iu - 0,5 r r Ą « J W O ^ - j.“ Pozostałe dane po- dano na rysunkach.
Rys. 5. W p ł y w wartości m o m e n t u M n a r o z k ł a d y m o m e n t u i k o n t a k t o w y c h n a p r ę ż e ń s t - y c z n y c h T ^
114 Karol Grudziński, Konrad Konowalsfci
Na rys. 4 przedstawiono rozkłady m o m e n t u M^(x> oraz kontaktowych naprężeń stycznych rfc(x>, na długości i połączenia dla trzech przy
padków: 1> gdy elementy łączone są traktowane Jako ciała sztywne o
(co osiągnięto praktycznie przyjmując = G ( » 8 10 MPa>; 2> gdy elementy łączone traktowane są Jako ciała sprężyste (stal o 0 ^ ®*
*> 8 10^MPa>, a styk wykazuje skrajnie dużą sztywność kontaktową (k#
- 1,0 108MPa/m>, co odpowiada w przybliżeniu modelowi połączenia wciskowego bez uwzględnienia podatności kontaktowej (rys. ic>;
3> gdy w modelu obliczeniowym uwzględnia się odkształcenia spręży
ste elementów łączonych oraz realne sprężyste odkształcenia kontak
towe i lokalne poślizgi łączonych powierzchni (krzywe 3 i 4). K r z y we 2,3 i 4 na rys. 4 obrazują w p ł y w współczynnika sztywności kon
taktowej k# na rozkł ad m o m e n t u skręcającego i kontaktowych naprę
żeń stycznych na di ugości 1 poł ączenia.
Rysunek 5 obrazuje w p ł y w wartości m o m e n t u M, obciążającego połą
czenie wciskowe,na rozkłady m o m e n t u skręcającego w a ł ek oraz kon
taktowych naprężeń stycznych r . Z rysunku tego wynika, że przy dostatecznie małej wartości m o m e n t u M połączenie odkształca się sprężyście. Poślizgi lokalne wystąpią dopiero wtedy, gdy M > « 2,85 10 ^MNm, a całkowity poślizg, gdy M « « 18,84 10 ^MNm.
Przedstawiony w pracy model połączenia wciskowego z uwzględnie
niem podatności stykowej daje wierniejszy obraz rzeczywistego połą
czenia niż modele szeroko dotychczas stosowane . Umożliwia on lepsze zrozumienie występujących w tych połączeniach procesów kontaktowych oraz należyte stawianie i rozwiązywanie wielu aktualnych zagadnień mechaniki, dotyczących sztywności, niezawodności i trwałości tych połączeń
LJ TERATURA
L { J
Osiński Z.: Tłumienie drgań mechanicznych. PWN, W a r s z a w a 1979.¡2j
Müller H.W.: Betriebsverhalten zylindrischer und kegeliger Pressverbindungen. VDI-Berichte Nr 299, 1977.C41 Niektóre zagadnienia mechaniki kontaktu w budowie maszyn. Prace Naukowe Politechniki Szczecińskiej Nr 339, KMiPKM, Szczecin 1987
Modelowanie połączenia wciskowego.
115
MOflEJMPOBAHHE nPECCOBOfO C0EHHHEHH8 C YHETOil KOHTAKTHOH SECTCOCTH
P r a w e
B p a d o T e n p e a c T a s j i e H C t e s a s e c K y » u M a r e i e n m e c K y » w o n e i i b n p e c c o e o r o c o e n K H e H M H a a i a m B T y jikm , H a r p y x e H H o r o K p y T S W H M m o m c h t o m . C y n s e c T B e H -
h o h H O i i o c T D O T O K w o n e s « asnaerca yner y n p y r o H K O H T S K T H O H a e C T K O C T H c o e n n H e H H h K n o B e p x H o c r e w . B f a » e n e H O y p a e H e H M s a , o n B C H B a » n i n e p a c n p e n e - jjeHMe K p y T S M i M X m o m c h t o b Bajta h B T y j s K H , a T a c * e K a c a T e a b H b i e k o k t 2 k t - H u e B a n p c » e H « 5 i n o B u i K H e c o e n n H e H n a . ZlaHO n p H w e p t i y n e r o B .
MODELLING OF CLAMPED JOINT WITH SHEAR STIFFNESS OF THE CONTACTING SURFACES
Summary
The authors presented a physical and matematlcal model of clamped sleeve and shaft join which was loaded with torsional moment. The novelty of this model is the elastic contact stiffness of conectied surfaces. The equations of distributions of torsional moment of sleeve and shaft and contact shear stress along connection were calculated and the examples were given.
