ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Seria: ENERGETYKA z. 65 Nr kol. 561
________ 1978
Oózef W O O N A R O W S K I , Oerzy ŚWIDER Instytut Podstaw Konstrukcji Maszyn
MODELOWANIE NI EL IN IO WY CH UKŁADÓW ME CH ANICZNYCH ZA PO MO CĄ GR AF ÓW PRZEPŁYWU SYGNAŁÓW
S t r e s z c z e n i e . W pracy sformułowano zagadnienie modelowania drgań nieliniowych układów mechanicznych za pomocą grafów przepływu syg
nałów. Wykazano, że dokonując transformacji grafu biegunowego nie
liniowego układu mechanicznego w graf przepływu sygnałów można za
wsze doprowadzić go do postaci macierzowej, w której tylko jedna z gałęzi pętli obciążona jest nieliniową transmitancją T. Opracowaną metodę najwygodniej stosować w programowaniu elektronicznych maszyn analogowych i badaniu parametrycznej wr aż liwości nieliniowych ukła
dów mechanicznych.
1. W stęp
Grafy przepływu sygnałów, używane powszechnie w dyskretyzacji nume
rycznej układów elektrycznych i automatycznej regulacji [l, 2, 3, 4, 5], uzyskują coraz większe zainteresowanie specjalistów z dziedziny mechaniki
|j5, 7, 8, 9, 10, 11, 12], Oest to konsekwencją formułowania problemów współ
czesnej techniki, których rozwiązanie coraz bardziej uzależnione jest od modelowania złożonych układów fizycznych. Spośród metod modelowania nie
liniowych, dyskretnych układów mechanicznych godną zainteresowania jest metoda grafów przepływu sygnałów, po nieważ może być stosowana z bezpośre
dnim wykorzystaniem maszyn analogowych i cyfrowych. Efektywność metody grafów przepływu sygnałów polega między innymi na tym, że omijając etap układania równań różniczkowych ruchu, umożliwia wprost z grafu przejść do programu maszyny analogowej [5, 13] lub algorytmu obliczeń maszyny cyfro
wej [6].
W przypadku stosowania gr afów przepływu sygnałów do sporządzenia pro
gramu dla elektrycznej maszyny analogowej ( E M A ) , zwiększanie liczby ele
me nt ów nieliniowych układu mechanicznego praktycznie nieznacznie tylko komplikuje procedurę modelowania: ma jednak decydujący wpływ na złożoność grafu przepływu sygnałów. Liczba nieliniowych gałęzi grafu determinuje liczbę węzłów głównych fl4] . a w konsekwencji określa minimalny zbiór transmitancji zredukowanego, nieliniowego grafu przepływu sygnałów. Decy
duje to istotnie o złożoności analizy wrażliwości parametrycznej.
130 0. Wojnarowski. 0. Świder
2. Istota metody g r afów p rzepływu sygn a łów w modelowaniu nieliniowych ukła
dów mechanicznych
W konstruowaniu grafu przepływu sygnałów nieliniowego układu mech a
nicznego można posłużyć się: /-
1) metodę czwórnikowych grafów przepływu sygnałów,
2) metodę transformacji grafu biegunowego z nieliniowymi wagami krawę
dzi w nieliniowy graf przepływu sygnałów.
Sposób konstruowania czwórnikowych grafów przepływu sygnałów liniowych eIł isntów układu mechanicznego przedstawiono w pracy W - Metodę tę można rozs erzyć o klasę elementów nieliniowych, jeśli w miejsce sztywności lub podatności dynamicznych elementów liniowych wstawić odpowiednie funkcje nieliniowe. Metoda czwórnikowych grafów przepływu sygnałów, w przypadku modelowania złożonych układów mechanicznych o mieszanej strukturze [sTj sta
je się uciężliwa, z uwagi na złożoność koniecznych połęczeń między zacis
kami czwórników. Należy zwrócić jednak uwagę, że w modelowaniu układów mechanicznych ze sprzężeniami dynamicznymi, tj. takich, dla których nie istnieję grafy biegunowe pierwszej kategorii. Metoda ta jest praktycznie jedynym możliwym sposobem uzyskania grafu przepływu sygnałów układu.
W przypadku, gdy modelowany nieliniowy układ mechaniczny można przed
stawić w postaci grafu biegunowego pierwszej kategorii [6] najwygodniej jest posłużyć się metodę transformacji grafu biegunowego.
2,1. Metoda transformacji grafu biegunowego z nieliniowymi wagami krawę
dzi w nieliniowy graf przepływu sygnałów
Metoda transformacji grafu biegunowego z nieliniowymi wagami krawędzi w nieliniowy graf przepływu sygnałów nie różni się zasadniczo od trans
formacji dla grafów liniowych, prezentowanej w pracach jjL, 7, 9j , Należy jedynie zwrócić uwagę, że gałęziom drzewa grafu biegunowego przyporzędko- wane muszę być łuki o transmitancjach typu podatności dynamicznych, a cię
ciwom - łuki o transmitancjach typu sztywności dynamicznych*^ . Z tego po
wodu, jeśli konstruowany graf ma być podstawę sporzędzenia modelu analo
gowego układu mechanicznego, należy tak wybrać drzewo tworzęce. aby skła
dało się z gałęzi reprezentujęcych masy uogólnione i nie zawierało krawę
dzi o nieliniowych wagach.
Dla przedstawienie tej metody rozważmy nieliniowy układ mechaniczny o mieszanej strukturze, posiadajęcy n stopni swobody. Graf biegunowy pier
wszej kategorii przedstawiono na rys. 1. W celu uzyskania grafu prze- pływu sygnałów modelowanego układu w grafie Xo wybieramy drzewc two
rzęce Lagrange'a X o gałęziach reprezentujęcych masy uogólnione układu (pogrubione krawędzie na rys. l).
)( jWynika to z praw rozpł
biegunowego (por. np. iennych w wierzchołkach i konturach grafu
Modelowanie nieliniowych układów mechanicznych. 131
Rys. 1
Oznaczając przez:
11 - zmienną biegunową układu mechanicznego (typu uogólnionej prędko
ści) ,
l s - zmienną biegunową układu mechanicznego (typu uogólnionego przemie
szczenia),
2 S - zmienną przepływową układu mechanicznego (typu uogólnionej s i ł y ) , w - Indeks zmiennej wzbudzenia układu,
m , o - od po wiednio uogólnioną masę i sztywność elementów układu, p - argument przekształcenia Lapiace'a
ustawiamy w kolejności występowania krawędzi w grafie biegunowym
TC
łukikonstruowanego grafu przepływu sygnałów, tworząc jego szkielet Ql2] (rys.
2 ).
Dokonując domknięcia szkieletu grafu przepływu sygnałów łukami o w a gach 1 lub -1, zgodnie z zasadami rozpływu zmiennych w wierzchołkach i kon-
^©4 44 ^4 ttbtf. <4*43 H & t n 44^2. 44'^>5 44 *rv
> > 1 < i • 0
, 4 \ 4 1
T '' p ' P P
> < » A - <» « i jL
m4p ' i 47.
A p >mnP
■\ ,C &(A) ,
■> i < < i < * i
2, ^Ot 1'^>4* 4.^4% £-0«.
Rys. 2
132 O , W o j n a r o w s k i , 3, Świder
turach grafu biegunowego Xo (rys, l) , uzyskano ostateczną postać grafu przepływu sygnałów ^ modelowanego, nieliniowego układu mechanicznego o mieszanej strukturze (rys. 3),
3, Nieliniowy graf przepływu sygnałów układu mechanicznego ,1ako podstawa sporządzenia programu do uniwersalnej EMA
Nieliniowy graf przepływu sygnałów modelowanego układu mechanicznego można bez trudu przetransformować w program do EMA.
Oznaczajęc przez:
- współczynnik skali zmiennej ,,s, , 11 i
- współczynnik skali zmiennej „ s .,
2 j 2 3
a - współczynnik skali funkcji n i e l i n i o w e j , 13
'13 nieliniowy człon operacyjny maszyny analogowej.
JCj, oi2 i ofj, °Cą - nastawy po te nc j o m e t r ó w ,
a a
*i = ~ "13
2 S13
<X. = ---- —4 a . a-- , 100 ls 13 13
Modelowanie nieliniowych układów mechanicznych. 133
przedstawiono na rys. 4 jednę nieliniową gałąź uzyskanego grafu i od po
wiadający jej ciąg elementów operacyjnych maszyny analogowej.
Zastępując wszystkie łuki grafu przepływu sygnałów cięgami właściwych członków operacyjnych maszyny a n a l o g o w e j , uzyskać można program bez ko
nieczności konstruowania i skalowania modelu matematycznego.
4. Redukcja nieliniowego grafu przepływu sygnałów
W przypadku występowania nieliniowych transmitancj i w łukach grafu przepływu sygnałów nie można stosować ogólnej reguły redukcji Masona. Po
sługując się jednak metodę węzłów głównych Ql4] nieliniowy graf przepływu sygnałów zredukować można do grafu zawierajęcego źródło, upust oraz dwa razy tyle w ę zł ów pośrednich (tzw. w ę zł ów głównych), ile graf posiada łu
ków o nieliniowych w a g a c h * ^ .
Dla ilustracji metody przedstawimy sposób redukcji nieliniowego grafu przepływu sygnałów na przykładzie grafu pokazanego na rys. 3. W tym celu, w redukowanym grafie ponumerowano: węzeł źródło (l), węzeł upust (2k + 2) oraz węzł y główne od (2) do (2k + l) , gdzie k jest liczbę elementów nie
liniowych układu mechanicznego. Następnie odłęczono w węzłach głównych nieliniowe łuki i dokonano redukcji uzyskanego w ten sposób podgrafu li
niowego (rys. 5).
[A»' ]
Rys. 4
'Liczoa ta zmniejsza się, gdy któraś z gałęzi nieliniowych połączona jest ze źródłem lub upustem.
x V
134 O. Woj narów ski, 0. śwld er
Rys. 5
Konieczne do wyznaczenia, liniowe transmitacje zredukowanego grafu przepływu sygnałów ujmuje macierz transmitancji
0 ri ,2 0 T 1.4 0 T 1 ,6 0 T 1.2k 0 T 1 ,2k+2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 T 3 ,2 0 T3 ,4 0 T3 ,6 0 P3,2k 0 T3 ,2k+2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 T5 ,2 0 T 5 ,4 0 T5 ,6 0 T 5,2k 0 T5 ,2k+2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 T7,2 0 T7 ,4 0 T7 ,6 0 T 7 , 2k 0 T7,2ki-2
• • • • • • - • • •
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 T2 k+ 1,2 0 T2 k+ 1,4 0
T2 k + 1 ,6 0 T2k+1 ,2k 0 T2 k + 1 ,2k+2
0 0 0 0 0 0 0 0 n 0
-Zredukowany graf przepływu sygnałów X pokazano na rys. 6, a w posta
ci macierzowej J X 11 na rys. 7,' g d z i e :
2Sw - zmienna przepływowa wzbudzenia układu, l .s1 - zmienna biegunowa odpowiedzi układu,
0^ - macierz wierszowa zmiennych, odpowiadających p ó ł w ę z ł o m , upustom w ę z
łów głównych podgrafu liniowego
°1 = [l801- 1S 12' ls 1 3 ... Ism 3 '
Modelowanie nieliniowych układów mechanicznych. 135
Rys. 7
Gp - macierz wierszowa zmiennych, od powiadających półwęzłom źródłom w ę z
łów głównych podgrafu liniowego,
®p " [2*0 1- 2 S 32 ' 2 S 1 3 ... 2 s lnj '
- macierz wierszowa transmitancji między węzłem wzbudzenia a półwęzła- mi upustami wę zł ów głównych podgrafu liniowego,
T 1 = [7l,2' T 1 ,4 ' T 1 , 6 ...T 1,2kJ '
T r, - diagonalna macierz nieliniowych transmitancji gałęzi grafu przepływu sygnałów X,
136 3. W o j n a r o w s k i , 3. Świder
Tg - DI AG 3' F 4 ,5 ’ T 6 ,7 ' T2k, 2 k + 1 '
Tj - macierz kwadratowa o wy miarze k x k , transmitancj i pomiędzy węzł a
mi głównymi grafu przepływu sygnałów
f3,2 ' T3 ,4' T36 ’ * T3 ,2k T5 ,2 ' 1 5 ,4 ' T56 ’ • T5,2k T7 ,2 ' T7 ,4 ' T76 ’ ' T7,2k
r2k+l,2 T2k+ 1 ,4 T2 k + 1,6 • T2 k + 1, 2k _ (k X k)
Tj 2k+2 " l ini°wa transmitancja między źródłem, a upustem analizowanego grafu przepływu sygnałów X.
Złożoność ostatecznie zredukowanego, nieliniowego grafu przepływu syg
nałów X uzależniona jest, jak wcześniej wspomniano, od liczby nielinio-
41
wych elementów układu mechanicznego.
Przy niewielkiej liczbie nieliniowości uzyskany graf przepływu sygna
łów może być podstawę przeprowadzenia analizy wrażliwości układu mecha
nicznego (np. na zmiany parametrów elementów nieliniowych [l4, 15 j ),
5. Uwagi końcowe
Znajomość przedstawionych w pracy metod modelowania rozszerza zakres, możliwości wykorzystania grafów przepływu sygnałów na klasę układów nie
liniowych. Nabiera to szczególnego znaczenia w systemowej analizie złożo
nych układów mechanicznych.
LITERATURA
[l] O. Wing: Ladder Netvork Analysis by Signal-Fow Graph - Application to Analog Computer Programming, Tran®. IRE, 1956, vol. CT--3, 289-294.
jj2j 3 . S. Mason, H.3. Zimmermann: Elektronie Circuits, Signal and System«, 3ohn Wilo y S. S o n s , INC 1960, New York - London.
1,3] L. Robichaud, M. Boisvert, 3. Robert: Grafy przepływu sygnałów, P W N , Wa rszawa 1968, s. 229 (tłum. księżki: L. Robichaud, M. Boisvert, 0.
Robert: Graphes de fluence. Applications a 1 'electrotachnique at ś 1 'électronique. Calculateurs analogiques et digitaux) , 1961 Eyrollee Paris, - Presses de 1 ’U n i v e r s i t é 'Laval Québec),
¡4j T.M. Rajcyn: Synteza układów sterowania automatycznego metodę grafów, WNT, Warszawa, 1973, s. 103 (tłum. księżki T.M. fattoHHt CKHT63 c h o t a m aBTOMaTHsecKoro ynpaBjieHHs m o t o r o m nanpaBJieHHHx rpa$0B, "SHeprzs", JI-; . HHHrpaA.OKoe Oiflejieasie, 1970 .
Modelowanie nieliniowych układów mechanicznych. 137
O J Y. Takah ashi , M.3. Rabins, D.M. Ausländer: Sterowanie i systemy dy
namiczne, W N T , Wa rs za wa 1976, s. 691 (tłum. książki: Y. Takahashi, M.3. Rabins, D.M. Ausländer: Control and Dynamic Systems, Copyright Í970 by Addiso n- We sl ey Publishing Company, Inc.).
O J B . H . ® e^ o p o B K q s M .K . O p a o s a , A .A . MsaHGBt P a c k e t .¡¡.HHaMKMecKHX MO^exei!
c "pH qaiaM ü c b m h" M ex a H K q ecM x u 3 jie kt p o v e x a :tn q e c khx. KOJieSaTejiLHHx CHCieM möto^om rpacJiOB, B o n p o c a pa,nno3jieKTpoHHKK, c e p . M C , 1 8 7 1 , B tin.
A .H . F epjiH X , J I.II. Kjikjxhhs IIpHMeHeHHC le o p u H rpa$O B p a a H a jin 3 a 3 $ e jc - THBKOCTB MHOrOKaCKäAHbDC K ÖJIOqHbDC 0HCT6M BnSpOH30JIHpy30HeM aM0pTH3apHK MexaHH3M0B, T p . JleHHHFp. KOpOÓJI. HHOIHTyTa 1 9 7 4 , BHn. 9 1 .
[8] D. Woj n a r o w s k i ; Grafy i liczby strukturalne jako modele układów m e chanicznych, Pol. Śl. PTMTS, Oddział Gliwice, z. 38, Gliwice 1977.
j 9l O, Świder, 3. Wojnarowski: Grafy przepływu sygnałów w modelowaniu kaskadowej struktury układu w y c i ą g o w e g o , Mech. Teoret. i Stos. z (1978), (w d r u k u ) ,
[10] O. Wojnarowski, O. świder: Wyzn ac za ni e funkcji podatności dy namicz
nej górniczej maszyny wyciągowej metodą grafów. Konferencja nt. M o delowania Górniczych M a sz yn Wyciągowych, 3 - 1 0 . X X X . 1977, Zeszyty Nau
kowe Politechniki śląskiej, Górnictwo, z, 81, Gliwice, 1977, ss.155- 164.
[11] O, Świder, 3, Wojnarowski: Me to da fikcyjnych źródeł zmiennej biegu
nowej jako sposób wyznaczania podatności dynamicznej złożonych ukła
dów mechanicznych Mech,, Teoret. i Stos. z (1978), (w druku).
[12] 3. Wojnarowski, 3. świder: M e to da niezależnych konturów bezpośred
niej f a n s formacji układu mechanicznego w graf przepływu sygnałów Mech. Teoret. i Stos. (przyjęto do druku),
[1 3] 8, Abrahams: Signal flow graph metods, Control, 1966, N° 1, 2, 3.
[14] D.A. L i n k e n s : Signal-flow graphs for linear, non-linear and sampled - data systems. Control, March 1969, 183-186.
[l5j R. T o m o v i c . M. V a k o b r a t o v i c : General Sens iv it y Theory.Copyright 1972 by Amer ic an Elsevier Publishing Company, Inc. (tłum. książki R. T o movic, M, Vukobrstovic : Opsta Teorija Oset lj ivosti , by Institu “Ki- rilo Savic", Belgrad 1970).
MOAEJIHPOBAHKE HEJIHHEaHHX EEXAHHHECKHX CHCTEM iip h notóOĘH rPA ® O B c h t h a j i o b
P e 3 K M e
B p a ß o i e ( J o p M H p y e iO H s o n p o c M o j ,e j i n p o B a H u s K O J ie ö a H ü ü H e im ite S iH b ix v e x a H z - q e c K H x c u c T e M n p a n o M o m u r p a ć b o B c n r H a ^ o B . y x a s u B a e T C H , q i o n p o H 3 B O ^ s tp a H C —
$ o p M a m tK > n o j i w o H o r o r p a $ a H e ji K H e ä H o f i M e x a K H q e c K o 8 c u c i e M H b r p a $ c i t r H a j i O B ,
M03KH0 B o e r ^ a e r o n p n B e c i n k M a T p a i ; e , a i t O T o p o ä l o j i b K O o ^ H a u3 B e T B e M n e T jiK K a r p y x e H a H e J iH H e iiH o ii T p a H C M n i a n n H e i ł 3 ),
Pa3pa8oTaHHufi neTo# jiyqne B c e ro npKMeHHT& npx nporpaMMHpoBaHHH ajieKTpoH-
hkx anaJioroBHx ua.axn u npn HocaeflOBaHHH napaM eipHqecK oit q yb c t b h tejiBHOcTu He- JiHHeäHbtx MexaiüiqecKHX CHCieH,
138 3. Wojnarowski, 3, świder
MODELLING OF NON-LINEAR MECHANICAL, SYSTEMS BY MEANS OF SIGNAL-FLOW GRAPHS
S u m m a r y
The paper deals with the problem of modelling of vibrations in non
linear mechanical systems by means of signal-flow graphs.
It has been shown that due to the transformation of a polar graph of a non-linear mechanical system into a signal-flow graph it always becomes possible to reduce it to its matrix shape in which only one branch of the loop is charged (loaded) with a non-linear transmitance T.
The developed method may be applied most conveniently while pr ogramm
ing electronic analog computers and for investigating the parametric sen
sitivity of non-linear mechanical systems.
