Vraagstukken thermodynamica; 4e dr.

Vraagstukk

Vraagstukken Thermodynamica

Bibliotheek TU Delft

///111/11111111/11/1/1/1111/11/111 C 3053494

Vraagstukken Thermodynamica

w.

Buijze

H.C. Meijer

E. Stammers

W.H. Wisman

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag Buijze, w.

Vraagstukken thermodynamica / w

.

Buijze, H.C. Meijer, E. Stammers, W.H. Wisman - Delft: Delft University Press - 111.

Uitg. in opdracht v.i!n: Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft.-Ie dr. Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij, 1989.

Met lit. opg., reg. ISBN 90-407-1295-6 SISO 534 UDC 536.7 Trefw.: thermodynamica. © VSSD Eerste druk 1989 Vierde druk 1998 Uitgegeven door: Delft University Press Mekelweg 4, 2628 CD Delft

tel. 015 - 2783254, telefax 015 - 2781661 e-mail dup@dup.tudelft.nl

In opdracht van:

Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft Poortlandplein 6, 2628 BM Delft

tel. 015 - 2782124, telefax 015 - 2787585, e-mail: vssd@tudelft.nl internet: www.oli.tudelft.nl/vssd/hlf/handleidingen/html

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opge -slagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch', mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced. stored in a retrieval system, or transmitted. in any form or by any means. electronic. mechanical. photo-copying. recording. or otherwise. without the prior written permission of the publisher.

5

Voorwoord

De vraagstukken uit deze bundel worden gebruikt bij de werkcolleges Thermodyna-mica, die aan de TU-Delft worden gegeven voor studenten van verscheidene faculteiten. Sommige vraagstukken werden eens bedacht voor examens in dit vak. Andere vraagstukken zijn opgezet als een illustratie van de in de theorie aangesneden problemen en als oefenmateriaal. Veel van zulke vraagstukken werden vaak al jaren gebruikt en stammen nog uit de tijd dat prof.dipl.ing. J.B. Westerdijk zijn inspire-rende lessen Thermodynamica gaf.

Wij hebben een verdeling in hoofdstukken aangebracht die ons, gelet op de structuur van het vak, zinvol lijkt. Omdat de inhoud van diverse colleges niet dezelfde is, kan men zo ook de voor een bepaalde faculteit gewenste hoofdstukken kiezen.

Delft, juni 1989

Voorwoord bij tweede druk

w.

Buijze E. Stammers W.H. Wisman

Ten opzichte van de eerste druk is de belangrijkste verandering dat de indeling van de hoofdstukken is aangepast aan die van het leerboek 'Inleiding Thermodynamica' van W.H. Wisman (2e druk, Delft, 1991). Elke hoofdstuk uit deze bundel sluit qua nummer en naam aan bij een hoofdstuk uit dat boek. Het gevolg daarvan is dat geen vraagstukken voorkomen waarvan de nummers beginnen met 1, 5, 9, 11 en 12; die hoofdstukken lenen zich niet goed voor vraagstukken. Voor het overige zijn een aantal fouten hersteld en een paar vraagstukken toegevoegd.

Delft, oktober 1991

Voorwoord bij derde druk

W. Buijze E. Stammers W.H. Wisman

Ten opzichte van de tweede druk is weer een aantal fouten verbeterd. Verder is een enkel vraagstuk vervangen en zijn enkele vraagstukken toegevoegd. Van enkele vraagstukken (in de antwoordenlijst te herkennen aan de grijze achtergrond) is de uitwerking toegevoegd.

Delft, juli 1994

•

W. Buijze

H.C. Meijer W.H. Wisman

6

Voorwoord bij vierde druk

Deze druk verschilt niet sterk van de vorige. Toch is er een aanzienlijk aantal foutjes en onnauwkeurigheden verbeterd en heeft in een enkel geval een vraagstuk een andere plaays gekregen, of is weggelaten. Tevens is (bijna) overal de eenheid kmol door de SI-eenheid mol vervangen. Wij zijn dr.ir. G.c.J. Bart erkentelijk voor zijn zeer ter

zake doende op- en aanmerkingen.

7

Inhoud

Voorwoord

5

Algemene gegevens

8

2

.

Warrnteleer

9

3.

De Eerste Hoofdwet

12

4.

De Tweede Hoofdwet

20

6.

T,S- en H,S-diagrammen

27

7.

Standaard vermogens-en koelcycli

34

8

.

De thermodynamische potentiaalfuncties

39

10

.

Fase-overgangen

41

13. Mengsels, legeringen en oplossingen

44

14

.

Vloeistofmengsels in evenwicht met hun dampen

46

15.

Vormingsenthalpie en reactiewarrnten; chemisch evenwicht

48

16.

Andere thermodynamische systemen

55

17.

Elektromagnetische straling

57

Uitwerkingen

58

8

Algemene gegevens

1 bar;::: 105 Pa. R = 8,3'1 J/molK. cp Cv

=

y.

Toestandsvergelijking 1 mol ideaal gas: pv = RT. Toestandsvergelijking 1 mol vanderwaalsgas:

(P+

va2 )(v-b)=RT.

Standaarddruk: Po = 101.,325 kPa = standaard atmosfeer. Standaardtemperatuur: T 0 = 298,15 K.

9

2

Warmteleer

2.1. Bereken R uit de toestandsvergelijking van een ideaal gas als gegeven is dat 1 mol van zo'n gas bij 1,014 bar en

°

°C een volume heeft van 22,4.10-3 _m3_.

In welke eenheid is Ruitgedrukt?

2.2. Uit stoomtabellen halen wij de gegevens dat bij 50 bar en 264°C het specifieke volume van stoom is vg = 0,03937 m3/kg. Voor stoom is M = 18 g/mol.

Beschouw de stoom als een ideaal gas en bereken Reff hiervoor, in J/molK.

Hoeveel % is de afwijking t.o. v. de juiste waarde R = 8,31 J/molK voor een ideaal gas en trek uw conclusie.

2.3. Een ketel is voor

t.

gevuld met water en voor

~

met stoom, de druk is 7 bar. Bij die druk vinden wij in een stoomtabel voor de specifieke volumina:

Vl= 1,108.10-3 m3/kg en vg = 0,272 m3/kg. Bereken de dampfractie x.

2.4. Vochtige lucht met een totale druk van 0,5 bar en 60°C heeft een relatieve vochtigheid van 60 %. De maximale dampspanning van water bij 60°C is 0,2 bar. Men comprimeert de vochtige lucht isotherm tot de helft van het oorspronkelijke volume. Lucht en waterdamp beschouwen wij als een ideaal gas.

a. Bereken de druk van de vochtige lucht in de eindtoestand.

b. Schets in één p,Y-diagram apart het verloop van de druk van de lucht en de druk van de waterdamp bij deze compressie.

c. Bereken hoeveel procent van de oorspronkelijke massa waterdamp condenseert. 2.5. Toon aan dat de formule van Clausius-Clapeyron soms bij benadering kan worden geschreven als:

Bepaal pCT). Welke vereenvoudigingenIbenaderingen heeft u dan gebruikt?

2.6. Van een stof mag men aannemen dat de dampfase zich gedraagt als een idea~1 gas. Verder geldt: V/« vg .

a. Bewijs dat de vergelijking van Clapeyron geschreven kan worden als:

B

In(p) = A-

_1'

10 'Vraagstukken Thermodynamica

Bij het tripelpunt van ammoniak geldt voor de overgang s ~ g: 3756

InCp) = 16,41

--y-Voor de oyergang l ~ g geldt daar:'

InCp) = 16,19 _

3~3

In beide uitdrukkingen is p in bar en T in kelvin. b. Bepaal de tripelpuntstemperatuur To van ammoniak.

c. Bepaal de verdampingswarmte (l ~ g) van ammoniak bij het tripelpunt.

2.7. Het smeltpunt van ijs onder een druk van 1 atm C= 1,01 bar) is 0

oe.

De smelt-warmte is daar 336 kj/kg, De massadichtheden van ijs en water zijn Ps = 900 kg/m3

en PI = 1000 kg/m3. '

Bij welke temperatuur smelt het ijs onder een druk van 10 atmosfeer?

2.8. Voor 1 mol van een gas dat aan de toestandsvergelijking van Van der Waals voldoet geldt:

a. , Bepaal de eenheden waarin de constanten a en b moeten worden uitgedrukt. Voor I kg van hetzelfde gas kan men schrijven:

I

CP

+ a

2) Cv - b') = R'T, De molaire massa is M kg/kmo!. , v

b. Druk a', b' en R' uit in a, b en Ren M.

'2.9. Bepaal de uitzettingscoëfficiënt Uv = 1.

(éN)

voor:

a. een ideaal gas pv = RT; , V aT p

b. een vanderwaalsgas CP +.1L) Cv - b) = RT. v2

Beide uitgedrukt i n v en T.

2 .. 10. Van een stof is gegeven dat Uv =

~ (~~)

=

~

en KT= -V

(~~)

=

~

.

Iiierin zijn A en B constanten. p T

Warmteleer 11

2.11. Een blok metaal heeft een temperatuur TI = 290 K. De druk PI = 1 bar. Men verhit het metaal bij constant volume tot een temperatuur T2 = 320 K.

Q. Hoe groot wordt de druk die men uiteindelijk op het metaal moet uitoefenen om het volume constant te houden?

b. Indien men de druk constant houdt tijdens dezelfde temperatuurstijging, uitgaande van dezelfde beginsituatie, met hoeveel procent zou het volume van het metaal dan toenemen?

.

1 (av)

-5 -I.

(a

p ) 12 a..v=V

aT

12

3

D'e Eerste Hoofdwet

3.1. Tijdens een quasistatische isotherme toestandsverandering van een gas geldt: pV

=

A + Bp +

e

p2, A, B en

e

zijn constant en positief, Merk op dat dit geen toestandsvergelijking is,

Bereken de arbeid die moet worden verricht om dit gas van een druk PI te comprimeren tot een druk P2.

3.2. Een kg lucht - te beschouwen als ideaal gas - wordt verwarmd van 0

o

e

tot 90

oe

zo, dat het volume constant blijft. De verwanning geschiedt quasistatisch. Hoeveel warmte wordt gebruikt voor het verrichten van arbeid en hoeveel voor het vergroten van de inwendige energie van het gas? Hoeveel warmte is toegevoerd?

, kj

Cv

=

0,713 kgK

3.3. Men laat 2 mol van een ideaal gas bij constante temperatuur van 300 K quasistatisch expanderen tot het volume driemaal zo groot is geworden.

Bereken de door het gas verrichte arbeid, alsook de door het gas opgenomen warmte.

3.4. Een kg lucht - te beschouwen als ideaal gas - wordt onder constante druk quasistatisch verwarmd van 20 oe tot 70

oe.

Hoeveel warmte wordt toegevoerd voor het verrichten van arbeid en hoeveel wordt gebruikt voor het vergroten van de inwendige energie van het gas? Bepaal Mlucht.

kj kj

cp = 1,006 kgK ; Cv = 0,713 kgK

3.5. Een hoeveelheid lucht (ideaal gas) is opgesloten in een horizontaal opgestelde cilinder achter een zuiger die zonder wrijving kan bewegen. De buitenzijde van de zuiger is in kontakt met de buitenlucht (druk = I bar); bovendien is aan de buitenzijde van de zuiger een schroefveer bevestigd die een terugdrukkende kracht uitoefent evenredig met de verplaatsing van de zuiger. Aanvankelijk is het volume van de lucht 1 0-3 m3, de temperatuur 200 K, de druk 1 bar; de veer is da~ juist ontspannen. De temperatuur wordt langzaam verhoogd tot 400

k

waarbij het volume toeneemt tot 1,5·10-3m3.

a. De veerconstante K is gelijk aan aS2, waar S het oppervlak van de zuiger is. Bereken

a.

b. Hoeveel arbeid is er tijdens de uitzetting door het gas velTicht?

c. Gegeven is dat de molaire sooltelijke warmte Cv = .iR. Laat zien dat nR = 0,5 KJ als

De Eerste Hoofdwet 13

n het aantal molen is. Hoeveel warmte is er dan tijdens het proces toegevoerd? 3.6. Men heeft 1 mol ideaal gas met temperatuur 25

oe

en druk 100 bar.

a. Men verlaagt de uitwendige druk quasi statisch en adiabatisch tot 10 bar; de begin-temperatuur en de eindbegin-temperatuur maakt men daarna gelijk. Schets het proces. Bereken de door het gas verrichte arbeid.

b. Men laat het gas ook isotherm en quasi statisch expanderen tot de druk -10 bar bedraagt. Schets ook dit proces en bereken de door het gas verrichte arbeid.

3.7. Een kg water van 100

oe

en 1 bar heeft een verdampingswarmte

r

=

2260 kJ/kg. Dit water wordt isotherm, isobaar verdampt. Wij ~eschouwen de gevormde verzadigde damp als een ideaal gas.

a. Hoeveel arbeid verricht de gevormde damp?

.b. Wat is de toename van de inwendige energie?

3.8. Zie figuur 3.1. Een ruimte van 2 m3 is geheel geïsoleerd van de omgeving. De ruimte is in twee gelijke delen verdeeld, die gescheiden worden door een losse zuiger, die zich wrijvingsloos kan verplaatsen. Door de zuiger is geen warmtetranspolt mogelijk.

In beide helften zit 1 kg van een zelfde ideaal gas, met constante cv, de druk is 1 bar en de temperatuur is 300 K. Y = cp/cv

=~.

In de linkerruimte (1) bevindt zich een gloeispiraal waarmee het gas in die ruimte wordt verhit. Daardoor verplaatst zich de zuiger totdat het volume van de rechter ruimte (2) verkleind is tot

~

m3.

Figuur 3.1.

a. Hoe groot is dan de druk in de ruimten?

b. Wat is de temperatuur TI in de ruimte (I) en wat is _T2 in de ruimte (2)? c. Bereken Cv van het gas.

d. Hoeveel elektrische energie heeft men aan de verwarmingsspiraal moeten toe-voeren?

e.

Bereken M.

3.9. Een open adiabatisch systeem bestaat uit een gasturbine. De drukken aan ingang en uitgang zijn PI en P2, de ingangstemperatuur en de uitgangstemperatuur zijn TI

14 Vraagstukken Thermodynamica

respectievelijk T 2'.

De turbine is zo gedimensioneerd, dat de kinetische energietermen verwaarloosd mogen worden. Hoe groot is de geleverde technische arbeid per 1 kg doorgestroomd gas, aannemende dat het gas ideaal is met constante cp?

3.10. Een straalvliegtuig vliegt men een snelheid van 900 kmlh op 5000 m hoogte. De

luchtdruk op die hoogte is 55 kPa, de temperatuur t = -18

o

e.

De lucht gedraagt zich als een ideaal gas met een constante cp = 1 kJ/kgK en met y = 1,4. We beschouwen slechts de luchtinlaat; aan het einde van het open systeem is de snelheid van de lucht verwaarloosbaar. Veronderstel het proces adiabatisch.

a. Bereken de temperatuur die de lucht heeft aan het eind van de inlaat (vóór de com-pressor), door gebruik te maken van een energiebeschouwing. Geef aan waarom sommige energietermen nul zijn.

b. Bereken de druk waarmee de lucht de compressor van de straalmotor binnenkomt.

3.11. Ammoniakgas (ideaal gas) wordt isotherm, T

=

300 K, van 3 tot 9 bar quasi

-statisch samengeperst. Per slag van de. pomp wordt 40 liter gas aangezogen. De compressor maakt 200 slagen per minuut. '

a. Bereken het compressie-vermogen.

b. Schets het indicateurdiagram.

3.12. Het kringproces van een compressor zonder schadelijke ruimte wordt in het

indicateurdiagram voorgesteld door een isobaar (druk PI), een polytroop met exponent n, een isobaar van hogere druk (druk P2) en een stuk van de p-as tussen PI en P2. Teken het diagram en toon aan dat de compressie-arbeid per mol bedraagt:

n-I

W = nRT I

{(Ql)-n _

1 }

comp n - 1 PI

Teken ook het p,V-diagram voor dit proces. Het medium is een ideaal gas met Cv constant.

3.13. In een tweetrapscompressor wordt lucht, te beschouwen als ideaal gas, met een

temperatuur Ta aangezogen. De eerste trap comprimeert van PI tot Pm , de tweede van Pm tot P2· Tussen de trappen wordt de lucht isobaar gekoeld tot een temperatuur Ta. Bereken de compressiearbeid per kg lucht. Bepaal voor welke tussendruk Pm deze arbeid minimaal is.

De compressie gebeurt polytroop met exponent n (n 1: 1).

3.14. Voor een polytropisch proces van een ideaal gas met constante Cv geldt:

c-c

p Vn

=

constant, met n

=

- -p .

c -cv

De Eerste Hoofdwet 15

b. Bewijs dit. Welke grootheid wordt met het symbool c aangeduid? c. Als geldt 1 < n < 'Y is de grootheid c negatief.

Toon dit aan.

Verklaar dat c negatief kan zijn.

3.15. Men perst 2 m> lucht, waarvan de temperatuur 20°C en de druk 2 bar is; quasi statisch adiabatisch samen tot de druk 5 bar is. Bereken:

a. het eindvolume, b. de temperatuurstijging,

c. de op de lucht te verrichten arbeid.

'Y

=

~~

=

1,4; Cv is constant. Beschouw de lucht als ideaal gas.

3.16. Toon aan dat arbeid die men moet verrichten om een mol van een ideaal gas, waarvan Cv = constant is, quasistatisch adiabatisch samen te persen van toestand 1 tot toestand 2, gélijk is aan ieder van de volgende uitdrukkingen:

a. _{CV (T2 - TI), (cv is de molaire warmtecapaciteit bij constant volume)} R(T2 - TI)

b. 'Y-I P2v2 - Pivi c.

'Y-1

3.17. Een m3 ideaal gas bevindt zich onder een zuiger bij Tl

=

273 Ken PI

=

10 bar. 'Y = 1,67. Het ideaal gas heeft een constante cv·

a. Hoeveel mol gas is er?

b. Bereken V2 als het gas expandeert tot P2

=

1 bar in de volgende gevallen: I. quasistatische isotherme expansie.

2. quasi statische adiabatische expansie.

Bereken in die gevallen de door het gas verrichte arbeid.

3.18. Met een fietspomp brengt men lucht van 20°C van I op 3 bar. Lucht is te beschouwen als een ideaal gas met constante cv. De verhouding 'Y

=

cplcv

=

7/5.

a.

Hoe groot is de tempertuurstijging als dit proces adiabatisch is?

b. Hoe groot is de temperatuurstijging als het proces polytropisch is met n = 1,2?

3.19. Een kg lucht (te beschouwen als ideaal gas) wordt bij een temperatuur van 27°C, quasistatisch isothermisch samengeperst van de druk van I bar tot de druk van 10 bar.

Hoeveel warmte moet daarbij worden afgevoerd?

Indien de lucht eerst quasistatisch adiabatisch tot 10 bar samengeperst was en vervolgens onder deze druk omkeerbaar tot 27°C afgekoeld was, zou dezelfde eindtoestand bereikt zijn. Hoeveel warmte zou in dat geval afgevoerd moeten worden? Teken van beide toestandsveranderingen het p,v-diagram en leid daaruit af dat de hoeveelheden afgevoerde warmte bij de twee processen verschillend moeten zijn.

16 Vraagstukken Thermodynamica

-

~

-

~

-

~

cp - 1,006 kgK' Cv - 0,713 kgK en M - 28,3 kmo)"

3.20. Een ideaal gas, waarvan Cv = cT (c = konstant) wordt gesteld, doorloopt in

positiéve zin een omkeerbare kringloop bestaande uit twee isothermen en twee adiabaten.

De temperaturen langs de isothermen zijn TI en T2 (TI> T2). a. Geldt voor deze adiabaat pvY

=

constant?

b. Bereken de verhouding van de absolute waarden van de hoeveelheden warmte QI en Q2 die bij de temperaturen T I en T 2 aan het gas worden toegevoerd of onttrokken.

c. Geldt de onder b. gevonden betrekking ook voor een vanderwaalsgas?

3.21. Tussen dezelfde temperaturen verlopen twee kringprocessen: eerste een carnotproces (T 2 > TI) en tweede een isobarisch-isothermisch proces (P2 > P I en T 2 > TI).

Het medium is een ideaal gas met constante cp.

Bepaal het rendement van het tweede proces, uitgedrukt in de gegeven grootheden. Laat zien dat dit rendement kleiner is dan dat van het camotproces.

3.22. Men beschikt over 3 kg water van 70°C in een omgeving van 10

o

e.

Hoeveel arbeid kan men daar uit winnen met een camotmotor die zeer smalle kring-procesjes doorloopt?

Specifieke warmtecapaciteit van water = 4,19 kJ/kgK.

3.23. Men vei-warmt een kamer (TI

=

300 K) in een omgeving met een temperatuur

T2

=

270 K rechtstreeks met een warmtebron (T

=

1400 K). Zie figuur 3.2

Voor een ander vertrek - onder dezelfde omstandigheden - schakelt men tussen de wanntebron en het vertrek een "carnotmachine" in.

Q Q

kachel kamer omgeving

1400 K 300 K 270 K

Figuur 3.2.

De arbeid die deze machine levert wordt gebruikt om een camotwarmtepomp aan te drijven, die tussen de omgeving en het vertrek geschakeld is. Zie figuur3.3.

De Eerste Hoofdwet 17 Q'

I

kachel

~

kamer

~

omgeving

w

,

.

w

1400 K 300 K 270 K

Figuur 3.3.

De machines werken zonder wrijvingsverliezen en alle warmten, die bij deze machines vrijkomen komen ten goede aan het vertrek.

De warmtepomp is zo gedimensioneerd dat hij juist alle door de machine geleverde arbeid nodig heeft.

a. Druk QI, W, Q2 en Q3 uit in Q ..

b. In welke verhouding is de beschikbare warmte voor het vertrek in vergelijking met die' voor de kamer toegenomen, indien men in beide gevallen dezelfde hoeveelheid warmte Q uit de warmtebron opneemt?

3.24. In een gesloten gasturbine circuleert quasistatisch 50 kg lucht per seconde. Bij het begin van de compressie is PI

=

I bar en TI

=

300 K. De lucht (ideaal gas) wordt adiabatisch gecomprimeerd tot P2

=

10 bar.

y

=

cr/cv = 1,40; cp = 1,006 kJ/kgK (constant). a. Bereken T 2.

Daarna wordt de lucht isobaar verwarmd tot T 3 waarna adiabatische expansie plaats vindt tot P4

=

1 bar en T

=

T4 . Dan wordt de lucht weer in toestand I gebracht op isobare wijze.

b. Bereken T 3/T 4.

c. Bereken de per seconde geleverde arbeid uitgedrukt in T_3.

d. Bereken de per seconde toe te voeren walmte voor de toestandsverandering 2 -7 3, uitgedrukt in T3.

e. Bepaal het rendement 11 en toon aan dat dit niet afhangt van T_3.

f.

Als T₃ = 900 K, wat is dan het door de turbine geleverde vermogen?

3.25. In een warmtemotor met een ideaal gas als werk stof doorloopt het gas een kringloop, die in een p,v-diagram als een driehoek ABC wordt afgebeeld.

In A zijn druk en volume PI en VI. In B: P2

=

2PI, V 2 = VI. In C: P3

=

PI, V3 = 2V I·

18 Vraagstukken Thermodvnamica

b. Geef in het diagram door pijlen aan langs welke delen van de kringloop warmte aan de werkstof wordt toegevoerd, resp. er van afgevoerd.

c. Nu wordt gegeven: ~~

=

~

.

Bereken het nuttig effect (rendement) 'Tl.

3.26. Teken voor een mol van een ideaal gas met konstante Cv = ~ R, in het p,

v-diagram een positieve omkeerbare kringloop, die begrensd is door twee isobaren (PI en P2) en twee isochoren (VI en V2)· Stel P2 > PI en V2 > VI.

a. Hoeveel arbeid levert het gas in één kringloop?

b. Hoeveel bedraagt de toegevoerde hoèveelheid warmte langs elke zijde van de rechthoek in het diagram?

c. Hoeveel bedraagt de algebraïsche som van deze hoeveelheden? d. Hoe groot is het nuttig effect van deze kringloop?

e. Hoe groot zou dit zijn voor een carnotkringloop die tussen de hoogste en de laagste temperatuur van bovengenoemd proces zou lopen?

f.

Bereken de numerieke uitkomsten van d. en e. voor dit gas als P2 = 2PI en V2 =

2vl··

3.27. Een mol van een ideaal gas met konstante Cv =

~

R doorloopt een positieve

kringloop, die uit twee isothermen (TI en _{T2) en twee isochoren} (VI en V2) bestaat (TI > T2; VI > V2). De processen worden omkeerbaar ondersteld.

a. Geef in het p, v-diagram door pijlen aan waar warmte aan het gas wordt toegevoerd en waar aan het gas onttrokken.

b. Druk het nuttig effect in de gegeven temperaturen en volumina uit.

c. Toon aan dat het nuttig effect kleiner is dan dat van een carnotproces tussen twee warmtereservoirs met temperaturen TI en T2.

3.28. Een koelhuis bevindt zich in een omgeving waarvan de temperatuur Ta is. De temperatuur Tk in het koelhuis wordt gehandhaafd met behulp van een koelmachine waarin een als ideaal beschouwd gas een kringloop uitvoert die uit de volgende vier processen bestaat:

ab: adiabatische compressie van druk PI en temperatuur T k tot een druk P2 en een temperatuur Tb hoger dan Ta;

bc: isobarische afkoeling tot de omgevingstemperatuur Ta;

cd: adiabatische expansie tot de druk PI en een temperatuur T d lager dan T k;

da: isobarische warmteopneming in het koelhuis, tot het gas weer de temperatuur T k bereikt heeft.

Onderstel dat alle p;'ocessen omkeerbaar verlopen en dat cp en Cv constant zijn. y

=

S?.

Cv

a. Teken het p, V -diagram van de kringloop; teken er ook de isothermen in die door de punten a, b, c en d gaan.

1_ _ _ _ __ _ _

De Eerste Hoofdwet . 19

b. Bereken het rendement van de koelmachine (= verhouding van de uit het koelhuis opgenomen warmte tot de op de machine venichte arbeid), uitgedrukt in To, Tb Tb en Td.

c. Druk het rendement uit in PI en P2.

3.29. Een kringproces met een ideaal gas als medium bestaat uit de volgende deel-processen:

1 ~ 2 isobare expansie bij een druk van 1 bar en een begintemperatuur van 300 K. 2 ~ 3 polytrope compressie met exponent n = 1,2 tot een druk van 10 bar. 3 ~ 4 isobare comPressie

4 ~ 1 polytrope expansie met exponent n

=

1,2 tot begindruk en begintemperatuur. Gegevens: cp

=

1,006 kJ/kgK , Cv

=

0,713 kJ/kgK.

a. Schets dit kringproces in het p,V-diagram. b. Bereken T4 .

c. Druk T3 uit in T2·

d. Toon aan dat de soortelijke warmte c langs de polytropen negatief is. e. Bepaal Q12, Q23, Q34 en Q41 uitgedrukt in T2·

f.

Druk het rendement Tl van dit koelmachineproces uit in T2. g. Toon aan dat Tl onafhankelijk is van T 2·

20

4

De Tweede Hoofdwet

4.1. In een cilinder bevindt zich onder een zuiger waarop een gewicht is geplaatst 1 kmol ideaal gas. Er is geen wrijving, de massa van de zuiger wordt verwaarloosd. De druk van de buitenlucht is Po, de druk onder de zuiger is 2po, het volume onder de zuiger is voo

Het geheel bevindt zich en blijft ook voortdurend in een thermostaat met temperatuur T; de cilinderwand is diathermaan.

Men brengt de druk van het gas omkeerbaar op de waarde Po door telkens een zeer klein deel van het gewicht weg te nemen. Door middel van een extern remproces waarmee geen arbeid gepaard gaat, wordt ervoor gezorgd dat het systeem niet gaat oscilleren.

Bepaal:

a.

het nieuwe volume; b. de toename van u; c. de toename van s;

d. de door het gas verrichte arbeid;

e.

de aan het g&S toegevoerde warmte.

4.2. Men mengt 1 kg water van 10

oe

adiabatisch en isobaar met 1 kg water van 50

o

e.

a. Hoeveel verandert de gezamenlijke entropie van het water door deze menging? b. Teken in één T,s-diagram de toestandsverandering van elk van de

mengcompo-nenten.

c.

Laat daarmee zien dat de entropie bij een dergelijke menging altijd toeneemt. Cwater

=

4,19 kJ/kgK

4.3. Men brengt 200 g kwik van 100

o

e

bij constante druk in thermisch contact met 100 g water van .20 oe. Het proces is adiabatisch. Cwater

=

4,19 kJ/kgK; Ckwik

=

0,138 kJ/kgK. Bereken de entropieverandering van het water, van het kwik en van water en kwik samen.

4.4. Men mengt 10 gram ijs van 0

o

e

met 50 g water van 40

o

e

onder een constante druk van 1,01 bar.Het proces is adiabatisch. Volume-arbeid kan buiten beschouwing blijven.

Bereken de totale entropieverandering t.g.v. het mengen.

De smeltwarmte r van ijs bij 0

oe

en 1,01 bar is 335 kJ/kg, Cwater is 4,19 kJ/kgK 4.5. Bereken de entropieverandering van 1 kg water van 0

o

e

en bij 1,0 I bar als deze in damp van 100

oe

en 1,01 bar omgezet wordt. c

=

4,19 kJ/kgK.

- -

-~---De Tweede Hoofdwet 21

r

=

2257 kj/kg bij 100

o

e

en 1,01 bar.

4.6. Een adiabatisch afgesloten ruimte is door een wand in twee evengrote delen verdeeld. In de ene helft bevindt zich een kmol ideaal gas, waarvan de temperatuur T is; de andere helft is leeg. Als de wand wordt weggenomen, expandeert het gas. Bereken de verandering van de entropie die bij dit proces optreedt.

4.7. Een mol vloeibaar water van 0

o

e

en 1,01 bar gaat over in oververhitte damp van 200

o

e

en 3,03 bar.

Bereken de toename van s, u en h. Verwaarloos hierbij de volumeverandering van . water en beschouw de oververhitte damp als een ideaal gas.

Voor de damp geldt: cp

=

36,87 -7,95 x 10-3 T

+

9,21 x 10-6 T2 J/molK.

Cwater

=

75,3 J/molK. De verdampingswarmte van water bij 100

o

e

en 1,01 bar is I' ,,;,

40620 J/mol.

4.8. Twee vaste lichamen met gelijke warmtecapaciteiten

e

hebben de temperaturen Ta en Tb (Ta> Tb)'

a. De lichamen worden in direct warmtecontact met elkaar gebracht. Het proces is

adiabatisch. Wat wordt de gemeenschappelijke eindtemperatuur?

b. Wat is de eindtemperatuur als de warmteuitwisseling omkeerbaar geschiedt door tussenschakeling van een carnotmachientje, dat het proces uitvoert met zeer vele zeer "smalle" carnotkringlopen? Er is geen warmteuitwisseling met de omgeving. c. Hoeveel bedraagt de entropieverandering van beide lichamen tezamen bij elk der

processen a en b?

d. Hoeveel arbeid wordt bij tussenschakeling van de carnotmachine gewonnen?

e. Hoe groot is het nuttig effect van dit proces?

4.9. Zie figuur 4.1. In een warmtewisselaar wordt een vloeistof verhit van 20 tot 80

o

e

door een tweede vloeistofstroom die bij het binnenstromen van de warmt~wisselaar

een temperatuur heeft van 150

o

e.

De vloeistofmassa die pel' seconde de wisselaar instroomt is voor beide stromen even groot. De stromen lopen tegen elkaar in (zie figuur). Dit noemt men: "tegenstroom". De druk in de warmtewisselaar is overal dezelfde.

a. Bereken de entropieverandering per kg van beide stromen en de totale

entropiestijging. Stel cp = 3,00 kJ/kgK voor beide vloeistoffen.

b. Waarom is deze warmteuitwisseling niet omkeerbaar?

c. Bereken deze entropieverandelingen ook indien onder overigens gelijke omstandig-heden, de koude vloeistof tot 120

o

e

verwarmd wordt.

d. Is het ook mogelijk de koude vloeistof tot 120

o

e

te verwarmen wanneer de vloeistofstromen in de warmtewisselaar in dezelfde richting stromen? (dit noemt men "meestroom").

22 Vraagstukken Thermodynamica

/'---1 _ _ _

-.,

~ ~ ~ 293 K -~---+---'---Î-'--353 K L - - - -_ _

---,I

r

t423 K Figuur 4.1.

4.10. Een systeem doorloopt een positieve kringloop op irreversibele wijze. Het proces bestaat uit twee adiabatische toestandsveranderingen, die niet quasi statisch verlopen en twee toestandsveranderingen die evenmin quasistatisch zijn en waarbij het systeem warmte uitwisselt met twee zeer grote warmtereservoirs met temperatuur To resp. 300 K. Bij To wordt per kringloop aan het systeem 2 kj warmte toegevoerd. Bij 300 K wordt 1,2 kj warmte per kringloop afgevoerd.

a. Hoeveel arbeid wordt bij één kringloop geleverd?

b. Geef de ongelijkheid van Clausius (Tweede Hoofdwet in integraalvorm) voor een irreversibel kringproces.

c. Ga met het antwoord op b. na aan welke eis de waarde van To moet voldoen. 4.11. Tussen twee warmtereservoirs met constante temperaturen T I en T 2 (T I > T 2) werkt een machine.

Bewijs met behulp van

t

d~ ~

0 dat:

a. De arbeid die maximaal geleverd wordt door de machine gelijk is aan:

W max

=

Q

(I -i~)

,

waarin Q de warmte is die aan het reservoir TI wordt onttrokken;

b Het rendement van deze machine niet groter kan zijn dan dat van een carnot-machine.

4.12. Een lichaam wordt met een koelmachine afgekoeld van TI tot T2. De koelmachine onttrekt hierbij aan het lichaam een hoeveelheid warmte

Q.

In diezelfde tijd wordt op de koelmachine een hoeveelheid arbeid W verricht. S I en S2 stellen de entropieën voor van het lichaam resp. bij Tl en bij T2. De koelmachine geeft warmte af aan de omgeving die een constante temperatuur To heeft.

Oe Tweede Hoofdwet 23

4.13. Zie figuur 4.2.

2.00 bar 1.00 ba"r p bar 300 K

0.1 m3 _xm3

300 K .0.1 m3 _{300 K . 300 K}

A 8 A 8

toestand 1. omgeving 300 K toestand 2. omgeving 300 K Figuur 4.2.

In A en B bevindt zich ideaal gas. Wanden en zuiger zijn gemaakt van goed warmte-geleidend materiaal.Toestand 1 blijft gehandhaafd omdat de zuiger wordt tegen-gehouden. Men laat de zuiger langzaam vieren tot geen uitwendige krachten meer nodig zijn om de zuiger op zijn plaats te houden (toestand 2).

a. Bereken x en p.

b. Bereken hoeveel molen gas ei respectievelijk in A en B zitten. c. Bereken ilSA en ilSB·

d. Hoeveel warmte is door de omgeving aan A en B samen geleverd of onttrokken?

4.14. Een mengsel van water en waterdamp heeft een temperatuur van 400 K en een dampfractie x, == 0,8. Men verhoogt nu isentropisch de druk, tot de temperatuur van het mengsel 406 K is geworden; de dampfractie is dan X2. Voorts wordt gegeven: I .de verdampingswarmte r, bij 400 K is 2230 kj/kg.

2. de verdampingswarmte r2 bij 406 K is 2210 kj/kg.

3. De warmtecapaciteit (soortelijke watmte) van water tussen de temperaturen 400 en 406 K is constant en bedraagt 4,35 kJ/kgK.

a. Schets een p,V-diagram met een coëxistentie-gebied en geef ongeveer de ligging van de punten 1 en 2 aan, op de bijbehorende isothermen.

Wij willen de dampfractie X2 in toestand 2 weten.

b. Kies gelet op.de gegevens een "geschikte" weg, waarlangs men op omkeerbare wijze van de begintoestand 1 in de eindtoestand 2 kan komen. Bereken langs deze weg de dampfractie X2.

4.15. Een systeem bestaat uit een afgesloten hoeveelheid homogene enkelvoudige stof, waarvQor geldt:

pv =~ u (J/mol)

Hierin is u de molaire inwendige energie (J/mol).

a. Bewijs, dat bij een isentropische toestandsverandering van het systeem geschreven kan worden:

24 Vraagstukken Thermodynamica

b ..

L~id

uit het gegeven af een vorm voor Cv, waarin het diffentiaalquotiënt

(~)v

voorkomt.

c. Ga ervan uit dat

(~)v

*-

0 en bepaal met een "dS-formule" de betrekking die bestaat tussen T en v bij isentropische toestandsverandering.

4;16. Zie figuur 4.3.

v

I ____ L _______ ! ______ _ I I Figuur 4.3.

Een deel van een leiding heeft de vorm van een trompet. Daarin bestaat een stationaire stroming van een damp-vloei~tof-mengsel. In die pijp beschouwen wij het open systeem, gevormd door het volume V, zoals dat met een stippellijn is aangegeven. Er is geen warmteuitwisseling met de omgeving en er wordt door dit systeem ook geen technische arbeid geleverd of opgenomen. Het mengsel kan stromen van 1 ~ 2 of van 2 ---7 1. De thennodynamische gegevens zijn opgenomen in de volgende tabel.

toestand p T damp- SI Sg VI vg UI ug

fractie ·

bar K x kJ/kgK kJ/kgK m3/kg m3/kg kj/kg kj/kg 4 350 0,90 2,00 8,10 0,001 4,00 310 2500

2 3 330 1,00 7,40 5,00 2300

De doorsnede bij I is O,ül m2 en bij 2 is deze 1 m2.

a. Wat kunt U op grond van de Tweede Hoofdwet zeggen over Suil - Sin? Hierin is Suil de entropie van het per seconde uit V stromende mengsel en Sin die van het V binnenstromende mengsel.

b. Bepaal de richting waarin het mengsel stroomt.

c. Bereken de gemiddelde snelheid van het mengsel in doorsnede 1, resp. in door-snede 2.

4.17. Men comprimeert een vloeistof isentropisch van TI, P I tot T2 ,P2·

De Tweede Hoofdwet 25

4.18. Druk de inwendige energie voor een mol van een vanderwaals gas uit in V en T, indien gegeven is dat Cv constant is.

4.19. Leid de vergelijking af, in p en vals variabelen, van een isentroop en van een omkeerbare polytroop (molaire warmtecapaciteit c) van een mol van een vanderwaals-gas waarvan Cv

=

konstant ondersteld wordt.

, "

4.20. Leid af, dat Cv van een ideaal gas niet van het volume afhangt. Bewijs hetzelfde voor een vanderwaalsgas.

4.21'. Bereken voor een mol van een vanderwaalsgas, waarvan Cv

=

constant:

a. de arbeid door het gas verricht als het volume omkeerbaar isothermisch toeneemt van VI tot V2 als de températuur van het gas T is;

b. de hoeveelheid warmte die bij dit proces aan het gas moet worden toegevoerd; "

c. de arbeid door het gas verricht bij een omkeerbare adiabatische verandering van VI. TI tot V2, T2.

4.22. De toestandsvergelijking van een stof luidt

p

= T·f(V).

Bewijs dat de inwendige energie uitsluitend afhangt van de temperatuur.

4.23. De toestandsvergelijking van een gas luidt pV = f(T) en de inwendige energie hangt uitsluitend af van de temperatuur. Bepaal f(T).

4.24. Een mol gas voldoet aan de toestandsvergelijking pv

=

RT

+

Ri(100v). Bij een omkeerbare isothermische expansie bij temperatuur To, uitgaande van een volume VI, wordt een hoeveelheid warmte toegevoerd gelijk aan RTo.

a. Bereken het eindvolume.

b. Hoeveel arbeid v~rricht het gas bij deze eXpansie? 4.25. Bewijs dat voor elke stof geldt: "

_ (dV)

(~)

_

(dV)2(~)

-

c:l;,

a. Cp - Cv - T

dT

p aT v - -T aT p av T - TV v KT, waarin CJ._v de uitzettingscoëfficiënt van de stof is.

b. Ga na, dat hieruit volgt, dat voor aJle stoffen Cp ~ Cv is.

c." Hoe wordt deze uitdrukking voor 1 kmol van een vanderwaalsgas?

4.26. a. Bepaal de isotherme compressiemodulus KT voor een ideaal gas met constante Cv Bepaal vervolgens de isentrope compressiemodulus Ks daarvan. Bedenk dat p

vY

= const.

b. Bepaal Ks/KT voor een ideaal gas.

c. Bepaal KT en Ks voor een vanderwaalsgas met"constante cv.

4.27. Voor een mol van een gas luidt de toestandsvergelijking pv = RT

+

AplT, mèt A een positieve constante.

Leid een uitdrukking af voor cp - cv. Waartoe nadert deze uitdrukking bij hoge temperaturen?

26 Vraagstukken Thermodynamica

4.28. Men beschouwt een mol van een willekeurige stof.

a. Bewijs Tds

=

cvdT

+

T

(~)

v dv.

b. Bewijs Tds = cpdT - T

(~i)p

dp; bedenk daartoe dat cp =

(~~)

p'

c. Beschouw de vergelijkingen onder a en b voor constante s en bepaal cp/cv.

d. Laat zien dat voor iedere stof geldt: cp/cv = KslKT .

4.29. Van een mol van een gas is de toestandsvergelijking p(v - b)

=

RT waarbij ben R constant zijn.

a. Bewijs dat cp - Cv

=

R.

b. Toon aan dat

(aV)

= _

Cv

V -

b .

27

6

T,S -en H,S-diagrammen

6.1. a. Schets het T,s-diagram van een mol van een stof voor de vloeistof toestand en de gastoestand, met coëxistentiegebied en enige isobaren.

In het vloeistofgebied liggen de isobaren veel dichter naast elkaar dan in het damp-gebied.

b. Toon dat aan met behulp van

(g~\.

c. Hoe luidt de vergelijking van de vloeistoflijn ver van het kritieke punt?

6.2~

Druk de 'entropie van een mol ideaal gas waarvan Cv

=

constant uit in T en' v, in p en T en in ven p. Ga uit van de toestand (Po, va,Ta).

Schets in een p,v- en in een T,s-diagram langs welke wegen men elk van deze drie uitdrukkingen zou kunnen berekenen.

6.3. Bepaal de vergelijking van een isobaar en van een isochoor in een T,s-diagram voor een mol ideaal gas waarvan Cv constant is.

Welke van de twee lijnen door één punt in het diagram loopt het steilst?

Hoe is de onderlinge ligging van een drietal isobaren, als gegeven is, dat

El.

=

21.

b" ? P2 P3 waar IJ PI> P2 > P3·

6.4. In het T,s-diagram is een reversibele kringloop 1,2,3 gegeven met rechtlijnige begrenzingen. Het punt 1 behoort bij een temperatuur T I en een molaire entropie SI; het punt 2 bij een temperatuur TI en een molaire entropie S2 (S2 > SI); terwijl het punt

3 loodrecht onder het punt I ligt op de rechte die door de oorsprong (T

=

0, s

=

0) en punt 2 gaat.

De temperatuur in punt 3 is T3.

a. Bereken het nuttig' effect voor deze kringloop, uitgedrukt in T I en T3.

b. Bepaal de vergelijking van het proces 2, 3 in p en vals variabelen, als dit door een kmol van een ideaal gas met constante Cv uitgevoerd wordt.

6.5. Zie figuur 6.1.

In een stalen cilinder, die gedeeltelijk gevuld is met vloeibaar, en voor de rest met gasvormig koolzuur; heerst een druk van 50 bar, met een dampfractie van 25%.

a. Lees in het diagram de bijbehorende temperatuur af.

b. Aan de onderkant van de cilinder zet men een kraan open, zodat de vloeistof naar buiten stroomt, waar de druk I bar is. Hoe vindt men in het diagram het eindpunt van dit proces? Welk percentage van de massa van de uitstromende vloeistof wordt vast en welk gasvormig? Hoe hoog is de temperatuur van het vaste koolzuur

28 Vraagstukken Thermodvnamica CO2 +150

ttem

p p in bar +120 ('C) _{h in kJ/kg} +90 +60 +30 +22,5 0 -30 -56,6 -90 -120 2 3 4 ---+ 5 (kJlkgK)

Figuur 6.1. Het T.s-diagram voor COz·

onmiddellijk na het uitstromen? .

c. De temperatuur in de cilinder stijgt tot 30

oe

en de druk in de cilinder blijft 50 bar. Men opent opnieuw de kraan. Hoe groot is de opbrengst aan koolzuursneeuw nu? d. Waar in het diagram zijn de drie fasen met elkaar in evenwicht? Bij welke

temperatuur en druk is dat?

6.6. Schets in een h,s-diagram (mollier-diagram) de grens van het coëxistentiegebied van een stof die in de vloeibare en gasvormige fase kan optreden.

a. Laat zien dat in het coëxistentiegebied isobaren en isothermen rechten zijn. Waardoor wordt de helling daarvan bepaald?

b. Welke fysische betekenis heeft het enthalpie-verschil tussen de snijpunten van een isobaar met de damp- resp. de vloeistofgrens van het coëxistentiegebied?

c. Ga na hoe men in het coëxistentiegebied lijnen van constant dampgehalte kan construeren.

d. Laat zien dat isobaren buiten het coëxistentiegebied (als. cp constant is) exponentieel verlopende krommen zijn. Ga na of isobaren een knik vertonen bij het passeren van de coëxistentiegrens.

e. Toon aan dat isotheJmen in het gas-gebied horizontale rechten zijn, als het gas mag worden opgevat als ideaal gas. Laat daartoe zien dat:

(a

Oh)

=

T - _1-..

s T Uv

f.

Geef aan hoe een isotherm in het vloeistofgebied loopt.

g. Hoe verloopt een isochoor van een ideaal gas (met constante cv) in het gasgebied? Ga hierbij uit van de differentiaal dh; gebruik de maxwellrelatie:

T,S- en H,S-diagrammen 29

.

(~)

= -

(~T)

en pas de "-1" formule toe.

oS v ov s

h·. Toon aan dat

(~S) h

= -

;r.

Leid uit deze betrekking af dat de isobaren in het

. op

vloeistofgebied veel dichter bij elkaar liggen dan in het gasgebied.

6.7. a. Teken een kompleet h,s-diagram van een reële stof. Laat met een berekening zien, waarom de isothermen de gedaante hebben zoals u ze heeft getekend.

b. Schets in een h,s-diagram de kringloop van een compressiekoelmachine met smoorventiel die in het coëxistentiegebied werkt. Hoe leest men de compressorarbeid af en hoe vindt men opgenomen en afgestane warmte?

6.8. Een kringproces bestaat uit de volgende onderdelen: 1-2 verdamping van water in een stoomketel bij constante druk. 2-3 oververhitting bij constante druk van de stoom.

3-4 omkeerbaar adiabatische expansie in een stoomturbine tot een punt waarbij juist condensatie gaat optreden.

4-5 volledige condensatie in een condensor weer bij constante druk.

5-6 omkeerbaar adiabatische compressit! tot keteldruk. 6-1 voorverwarming van het voedingswater.

a. De arbeid op de vloeistofpomp is vergeleken met die van de turbine zeer klein. Toon dit aan.

b. Teken het proces in het p,v-diagram, het T,s-diagram en het h,s-diagram. Laat zien hoe men in deze diagrammen de in het spel zijnde hoeveelheden arbeid en warmte kan aflezen.

6.9. Uitgaande van één kg water met temperatuur Ta = 453 K en druk Pa = 10 bar wordt het volgende omkeerbare kringproces uitgevoerd:

a ~ b Verdamping tot juist verzadigde waterdamp bij constante temperatuur en druk. b ~ c Isobare oververhitting tot onverzadigde waterdamp met temperatuur Tc

=

573 K.

c ~ d Adiabatische expansie tot temperatuur T d = 323 K en druk Pd = 0,15 bar. Hierbij co~denseert een deel van de waterdamp. In toestand d is nog x kg waterdamp aanwezig.

d ~ e Isothelme, isobare condensatie tot alles weer water is.

e ~ a Verwarming en compressie van het water langs de vloeistof tak van het coëxistentiegebied tot de begintoestand weer bereikt is.

Soortelijkewarmte van waterdamp bij constante druk cp

=

2,3 kJ/kgK onafhankelijk van T. Verdampingswarmte van water bij 453 Kis r = 2015 kj/kg en bij 323 K: 2370 kj/kg. Soortelijke warmte van water onafhankelijk van temperatuur en druk: 4,2 kJ/kgK.

30 Vraagstukken Thermodynamica

b b c e

b. Bereken Jd

Q

T'

f

d

~

en

f

d

~

. Bereken

f

d

~

als functie van x, en bereken

a c d d

a

fd

Q

T' e

C. Bereken de waarde van x.

De adiabatische expansie c -? d vindt plaats in een turbine.

d. Hoe kan men in het h,s-diagram de door de turbine geleverde arbeid aflezen? Kort

toelichten.

6.10. (Zie figuur 6.2) Als natte stoom, dat is een verzadigd complex van damp en

vloeistof, gesmoord wordt, kan hij droger worden of natter. Ga dat na in het

h,s-diagram van water en waterdamp.

water en waterdamp

/

/

/

I~

j 1../ tf'

_/

kJ/kg

I):

~

r--.

V

./

r---KJ

K

I/V

_{. /}

V

x = 1,0 2400

I/j/

_V

~ kO.75 j 1/ . /

V-

l)/

V

V

\

... 1600 800

~

V

V x=0.5

~

L.V'

_{x = 0 25} ../

V

V

o o 4,0 8,0 Figuur 6.2. ~ 5, kJ/kgK

6.11. Een hoeveelheid ideaal gas in een omgeving met temperatuur TI wordt uit de

omgeving aangezogen met een druk PI. Dit gas wordt samengeperst tot het een

toestand met P2 en T2 heeft bereikt, en vervolgens verplaatst naar een reservoir met een

druk P2. Hiervoor is technische arbeid nodig. Men wil die arbeid zo klein mogelijk

houden. De enig mogelijke uitwisseling van warmte is met de omgeving.

a. Beredeneer dat men hiertoe een omkeerbaar proces moet kiezen dat eerst langs een

isotherm T I voert en dan een adiabaat volgt. Schets dit proces in een indicateur-diagram.

.

~--- -

-1,S- en H,S-diagrammen 31

6.12. a. Wat verstaat men onder het begrip "exergie"? Als antwoord wordt verlangd een formule en een toelichting.

b. Is de exergie een tOf;standsgrootheid?

c. Er bestaat een bepaalde constructie om de exergie direct af te lezen. Geef deze zeer algemene constructie en toon de juistheid van de constructie aan.

d. Wat kunt u over een smoorproces zeggen: waar wordt een smoorproces door gekenmerkt en welke gevolgen heeft een smoorproces voor de exergie?

e. Bereken de minimale arbeid nodig om langs isotherme weg I kg gecomprimeerde lucht van 100 bar te vervaardigen, uitgaande van lucht onder omgevingscondities. Men mag aannemen, dat men met een ideaal gas te doen heeft. Verdere gegevens: voor lucht geldt R/M = 0,287 kJ/kgK; omgevingstemperatuur To = 293

K,

omgevingsdruk

=

1 bar.

6.13. In een zuigermachine doorloopt een ideaal gas het volgende proces:

Het stroomt onder constante druk de cilinder binnen tot de inlaatklep wordt gesloten, expandeert vervolgens isotherm tot een einddruk en wordt tenslotte isobaar uitgestoten. Het schadelijke volume van de cilinder is gelijk aan nul. cp is constant.

a. Teken het indicateurdiagram en toon 2.an dat de uit de omgeving binnengestroomde warmte geheel in technische arbeid is omgezet. Is dit in strijd met de Tweede Hoofdwet, zoals geformuleerd door Kelvin?

b. Bereken van 1 kmol gas de verandering van de entropie, van de enthalpie en van de

exergie indien de ~xpansie adiabatisch omkeerbaar geschiedt.

6.14. Op een isobaar (druk Po) in het h,s-diagram liggen twee punten: punt A ligt in

. het gasgebied en punt B in het coëxistentiegebied. De temperatuur van B is T o. cp is constant.

a. Hoe groot is de technische arbeid bij isobare overgang Van A naar B voor 1 kmol

stof?

b. Hoe groot is de exergie van I kmo I stof in toestand A t.o.v. toestand B, uitgedrukt in TA, To en cp?

c. Laat ook in een schets zien, dat de exergie niet afhangt van de ligging van B op de isobaar in het coëxistentiegebied. Dit analoog aan Fig. 6.13 uit het boek van Wisman.

6.15. Als men:

I I kg water van de omgevingstemperatuur To

=

273 K bij constante druk verhit tot TI = 373 K heeft men dezelfde hoeveelheid warmte nodig als om

2 100 kg water van To

=

273 K te verhitten tot T2

=

274 K.

Bereken de exergietoename in de beide gevallen I en 2. Waarom zijn deze niet gelijk? cwuler = 4,19 kJ/kgK.

6.16. a. Bereken de exergie van I kg samengeperste lucht (te beschouwen als ideaal gas) waarvan de druk p = 200 bar.

32 Vraagstukken Thermodynamica

De samengeperste lucht heeft de omgevingstemperatuur To = 293 K. De bmgevings-druk is Po = 1 bar. Mlucht = 29 kg/kmo!. Veronderstel Cv constant.

b. Hoe zou u deze lucht laten expanderen om de maximale technische arbeid te winnen?

c. Hoeveel warmte neemt de lucht daarbij op?

6.17 . .1 kg kokend water, temperatuur T en ~ruk p, wordt omkeerbaar onder konstante temperatuur T verdampt tot verzadigde stoom. De verdampingswarmte is r,

de omgevingstemperatuur is To < T en de omgevingsdruk is Po. Bereken de toeneming van de exergie bij deze verda:mpi~g.

6.18. Een mol perslucht wordt adiabatisch gesmoord van 10 bar tot 1 bar. De begin-temperatuur is 20

oe.

Lucht is op te vatten als ideaal gas. De omgevingstemperatuur is 15 °C. De omgevingsdruk is 1 bar.

Bereken de verandering van de exergie tengevolge van dit smoorproces.

Geef een constructie in het h,s-diagram voor het bepalen van de verandering van de exergie.

6.19. Bereken de minimaal benodigde technische arbeid om uit 1 kg water van de omgevingstemperatuur To 1 kilogram ijs van een temperatuur TI te maken (bij omgevingsdruk). De constante soortelijke warmten van water en ijs zijn C_w en cy; de

smeltingswarmte is r. To > 273 K; TI

<

273 K.

6.20. Toon aan dat het differentiële joule-effect voor een ideaal gas nul is en dat het voor een vanderwaalsgas -

~

per kmol is.

cvv

6.21. Een mol gas gehoorzaamt aan de toestandsvergelijking (p +

~)

v = RT. CV is v

constant; de constante A is positief. .

a. Hoe verandert de temperatuur indien men het gas plotseling adiabatisch laat uitzetten zonder arbeidsverrichting tot een volume dat drie maal zo groot is als het oorspronkelijke volume VI?

b. Hoeveel bedraagt de verandering van de entropie bij deze expansie als de temperatuurdaling zeer klein is?

Gebr.uik in (I + E) = E, voor E« 1.

6.22. Een afgesloten mol vanderwaalsgas met constante soortelijke warmte expan-deert plotseling zonder arbeidslevering tot een veel groter volume. Bekend zijn het oorspronkelijke volume v I, de oorspronkelijke temperatuur T I en het volume V2 na de expansie.

a. Hoe verandelt de inwendige energie bij genoemde plotselinge expansie?

b. Hoe veranderen de temperatuur en de entropie?

6.23. De toestandsvergelijking van

~en

gas luidt: p =

~

+ A

~~B.

A, B en R zijn positief.

T,S- en H,S-diagrammen 33

Wanneer wordt dit gas bij smoren kouder en wanneer warmer?

6.24. a. Toon aan dat voor de inversietemperatuur Ti van het joule-kelvin-effect van een vanderwaalsgas geldt: 2a(v - b)2

=

_bRTiv2.

b. Welke waarde kIijgt deze temperatuur bij zeer lage druk?

c. Voor welke waarden van T daalt de temperatuur van het gas bij smoren?

6.25. Van een mol van een gas is de toestandsvergelijking: p

=

RJ +]i + ~ , v2 _v3

waarin R, B en C constanten zijn. De soortelijke warmte bij constant volume Cv van dit

gas is constant.

a. Leid een uitdrukking af voor de inwendige energie u(v,T) van dit gas. Voorts wordt gegeven, dat men met dit gas de proef van Joule doet.

b. Leid een uitdrukking af voor de grootte van het joule-effect:

(~T)

.

uV u c. Toon aan dat Cv niet van het volume afhangt.

6.26. Per mol van een niet-ideaal gas geldt de toestandsvergelijking: p(v - b)

=

RT.

, Voor de constante b geldt: b > O.

a. Hangt bij constante temperatuur de inwendige energie af van het volume?

b. Toon aan dat bij constante tempel:atuur Cv nfet afhangt van het volume.

c. Druk de entropie per kmol uit in de variabelen T en v. Voor Cv geldt Cv

=

aT.

(a

=

constant).

d. Toon aan dat bij constante temperatuur de enthalpie h afhankelijk is van de druk.

e. Toon aan dat bij smoren altijd

geldt:(~~)h

= cl

p

{T(~~\

- v}.

f.

Zal bij smoren van dit gas de temperatuur dalen, stijgen of gelijk blijven?

34

7

Standaard vermogens- en

koelcycli

7.1. Van een (Rankine) stoomcyclus is het volgende blokschema gegeven:

Figuur 7. 1. voorverwarmer ketelvoeding 3 voedingspomp oververhitter 3' 4 condensor

In de ketel vindt verdamping plaats bij 212

oe.

In de oververhitter wordt die damp vervolgens isobaar verhit tot 350

oe.

Uit de turbine komt natte stoom, die bij 80

oe

gecondenseerd wordt. Per uur wordt 1000 kg water verdampt. De voedingspomp (1-1') en de turbine (3'-4) werken adiabatisch.

Punt

CC

12 bar s[ kJ/kgK Sg kJ/kgK hl kj/kg hg kj/kg 1 80 0,474 .1,0753 334,9 4(l) . 80 0,474 1,0753 334,9 4'(g) 80 0,474 7,6114 2643,8 2(l) 212 20 2,4468 908,6 3(g) 212 20 6,3367 2797,3 3'(g) 350 20 6,9596 3138,6

a. Schets deze stoomcyclus in een T,s- en in een h,s-diagram. b. Bereken de verdampingswarmte per kg bij 80

oe

en bij 212

oe.

c. Bereken de dampfractie x van de natte stoom, die de turbine verlaat (4).

d. Bereken h4, aannemend dat x

=

0,9.

e. Bereken het vermogen dat de stoomturbine afgeeft.

7.2. Zie figuur 7.2. Een rechtsomlopend kringproces bestaat uit twee isobaren en

twee isentropen (Brayton-cyclus).

Het medium is een ideaal gas met constante sOOltelijke warmten.

a. Bereken het rendement van de cyclus en druk deze uit in de temperaturen TI, T2, T3 en T4·

p

"

p

n

g

Standaard vermogens- en koe/cycli; andere systemen 35

E = P2/P I voorkomt.

c. Geef een uitdrukking voor de arbeid verricht per cyclus en per kg circulerend gas, uitgedrukt in de temperaturen Th T2 en T3.

d. Men kiest nu TI en T3 vast. Bereken waaraan T4 moet voldoen opdat de onder c. gevonden arbeid maximaal is.

2 3

p,

4

Figuur 7.2.

7.3. In een gasturbine-installatie doorloopt per seconde 1 kg van een ideaal gas met constante cp een cyclus volgens Brayton. Zie de figuur 7.3.

Tussen I en 2 vindt adiabatische compressie plaats. (PI = 100 kPa, TI = 284 Ken P2

=

1200 kPa). Tussen 2 en 3 wordt het gas isobaar verhit, waarbij per seconde aan het gas 850 kj warmte wordt toegevoerd.

In de turbine (tussen 3 en 4) expandeert het gas adiabatisch tot een druk P4 = 100 kPa

(= PI). Tussen 4 en I koelt het gas in een warmtewisselaar isobaar af, totdat de situatie I weer is bereikt.

cp

=

I kJ/kgK en y

=

cp/cy

=

1,4.

a. Toon aan dat T 2 = 578 K.

b. _{Berekeri het vermogen Pcomp waarmee de compressor moet worden aangedreven.} c. Bereken T3.

d. _{Bereken T4 en bepaal de} arbeid Pturb die de turbine per seconde levert.

e. Bereken het totale vermogen P dat de gehele installatie afgeeft en bereken het rendement. compressor Figuur 7.3.

0

23 _{verbrandingskamer} 3 turbine 4 p ~

36 Vraagstukken Thermodvnamica

7.4. We beschouwen een rankine-stoomcyclus met 2 turbinetrappen en dubbele

oververhitting (zie figuur 7.4). De kringloop is in figuur 7.5 schematisch

weer-gegeven. Numerieke gegevens staan daaronder; ze zijn ontleend aan zogenaamde

'stoomtabellen' . 15 MPa 3 ketel 4 6 10 kPa 5 15 MPa condensor 10 kPa Figuur 7.4. s Figuur 7.5. Q (bar) t (0C) h (kj/kg) s (kJ/kgK) v (m3/kg) I 0,1 46 191,83 0,6493 0,001 2 150 3 150 600 3582,30 4 40 375 3154,30 5 40 600 3674,40 7,3688 6 0,1 46 7 0,1 46 2583,8 8,1482

Standaard vermogens- en koelcycli; andere systemen 37

De specifieke warmtecapaciteit van water c

=

4,2 kJ/kgK.

a. Bereken de t~mperatuurstijging van het voedingswater i1T = T2 - TJ• b. Bereken de arbeid van de voedingspomp en de enthalpie h2.

c. Bereken de tussen punt 2 en punt 3 toegevoegde warmte.

d. Bereken de turbine-arbeid bij de isentrope expansie van 3 naar 4.

e. Bereken de warmte die toegevoerd moet worden als men isobaar van toestand 4" naar toestand 5 gaat.

/. Bereken de dampfractie X6 na de isentrope expansie van 5 naar 6.

g. Bereken h6.

h. Bereken de arbeid die lage druk-turbine levert.

l. Bereken het nuttig effect van de totale stoomcyclus.

7.5. Een turbojet vliegt met een constante snelheid v

=

260 mis op een hoogte waar de druk p J = 0,35·1 OS Pa. De temperatuur is daar -43

0

c.

De compressor heeft een

com-pressieverhouding E = 10. De temperatuur van het gas bij de turbine-inlaat is T4 =

1127

0

c.

Lucht gedraagt zich als een ideaal gas met cp

=

I kJ/kgK en y

=

1,4. Zie figuur 7.6.

inlaat compressor verbrandingska turbo uitlaat

isentroop isobaar isentroop

Figuur 7.6.

De per seconde ingelaten massa die van (I) ~ (6) de afgebeelde machine passeert is m = 4"5 kg/s. De massa van de in de verbrandingskamer ingespoten brandstof verwaarlozen we. De doorlopen kringloop is weergegeven in een h,s-diagram (zie figuur 7.7).

a. Bereken de temperatuur T₂ en de druk P2 bij de compressorinlaat (2). Stel de luchtsnelheid V2 t.o.v. het vliegtuig ongeveer nul in (2).

b. Bereken de temperatuur T) en de druk

P3

in (3), aan het einde van de compressor-trap. Neem aan dat de compressor adiabatisch werkt.

c_{. Bereken de temperatuur Ts en de druk Ps bij de uitlaat (5). Verwaarloos alle termen}

met

t

mv2 en veronderstel dat alle ~urbinearbeid nodig is om de compressor aan te drijven.

38 Vraagstukken Thermodynamica 3 Figuur 7.7. 4 5 6 ~ 5

d. Bereken de temperatuur T6 waarmee het gas de uitlaat bij (6) verlaat.

e. Bereken met welke snelheid V6 t.o.V. het vliegtuig de gassen bij (6) de uitlaat verlaten. Stel Vs "" 0:

f.

Bereken het totale stuwvermogen.

g. Bereken de per tijdseenheid toege'voerde warmte Qtoe voor de gegeven massa-stroom en daarmee het rendement van deze motor.

h. Hoeveel procent gaat verloren in de kinetische energie van de uitlaatgassen, hoeveel procent gaat verloren in de hoge tempera.tuur van de uitlaatgassen?

7.6. In een gesloten stationair gasturbineproces doorloopt een ideaal gas met constante cp omkeerbaar een ericsson-kringJoop. Zo'n ericsson-kringloop bestaat uit twee isothermen bij TI en T2 (TI> T2) en twee isobaren. Een isotherme compressor werkt tussen de toestanden I en 2; een isotherme turbine tussen de toestanden 3 en 4. De machine levert een arbeid W.

a. Schets deze kringloopin een p,V- en in een T,S-diagram. Geef in deze diagram-men de punten 1 tot en met 4 aan en de omlooprichting.

b. Geef aan in welke delen van de kringloop wmmte wordt afgevoerd en waar wannte wordt toegevoerd.

Vervolgens wordt tussen de gasstromen 2 -? 3 en 4 -? 1 een warmtewisselaar R

geplaatst. Deze werkt in tegenstroom en wel zodanig dat alle warmte die bij de ene stroom vrijkomt geheel ten goede komt aan de andere. Er is hier dus sprake van een (volmaakte!) regenerator.

c. Waar wordt nu warmte naar het reservoir met T2 afgevoerd (Qaf), waar wordt warmte uit het reservoir met TI toegevoerd (Qtoe)?

d. Bereken het rendement van het proces in deze laatste vorm. Druk dit rendement uit in alleen temperaturen.

8

De thermodynamische

potentiaa Ifu ncties

39

8.1. Bereken voor een mol van een ideaal gas, dat door een smoorkraan stroomt, de verandering van de inwendige energie, van de entropie, van de vrije energie en van de vrije enthalpie.

8.2. Bereken ·voor een mol van een vanderwaalsgas, waarvan Cv = constant, de inwendige energie u(s,v) en de vrije energie f(v,T). Bereken daartoe eerst u(v,T) en s(v,T).

8.3. Van een mol gas is de vrije energie per kmol, f= - aT In (v - b) -

-&

+ eT2 _{+ fo,} waarin a, b, c, een fo constanten zijn.

a. Leid de toestandsvergelijking af. b. Bereken Cv van het gas.

8.4. Voor een mol van een stof is de inwendige energie u als functie van s en v gegeven:

E

S

-

A In

V)

..

A ..

u = cvexp waarbij Cv en constant zIJn. Cv

Leid hieruit af:

a. De toestandsvergelijking van deze stof p(v,T) en

b. De vrije energie van deze stof als functie van T en v.

8.5.

a.

Bewijs dat voor elke stof geldt: cp = - T

(~~)

p en Uv -_ é)2g/é)pé)T (é)g/é)ph . b. Wanneer voor 1 mol van een stof gegeven is:

g = -A(T+l) In(T+1) + BT In(p + E) + Dp + AT, bepaal dan de toestands-vergelijking. A,B,D en E zijn constant.

e. Hoe verloopt voor deze stof cp als functie van T?

d. Bereken Uv als functie van p en T. Wat is de limietwaarde van Uv als D ~ O? 8.6. Hoe veranderen de thermodynamische grootheden h, s, u, f en g van een mol van een stof bij de omkeerbare overgang van de vloeibare fase naar de daarmee in evenwicht zijnde dampvormige fase?

Druk het resultaat uit in de meetbare grootheden p, v, T en de verdampingswarmte r.

8.7. Voor de inwendige ener~ie van een mol van een gas geldt

I 2

40 Vraagstukken Thermodynamica

Hierin zijn A, sa, R, a, b en Uo constanten.

a. Bepaal de toestandsvergelijking van dit gas.

b. Geef s(v,T)

c. Hangt, bij const~nt volume, Cv van dit gas af van T? Uw antwoord toelichten.

d. Hangt, bij constante temperatuur, Cv van dit gas af van v? Uw antwoord toelichten.

8.8. Van de gasfase van 'een mol van een stof is de vrije energie: f(T,v) = av - RT In(v/vo) -

;2

+fo·

Hierin zijn' a, b, R, Vo en fa constanten.

a. Bepaal de toestandsvergelijking van dat gas.

b. Bepaal de vrije enthalpie g(T,p). c. Bepaal cp(T).

8.9. Van een mol van een gas is de toestandsvergelijking (p + a)(v - b) = RT. De grootheden a, b en R zijn constanten.

a. Leid uit de toestandsvergelij~ing af, dat Cv bij constante T onafhankelijk van het volume moet zijn.

De molaire warmtecapaciteit bij constant volume is Cv

=

A + BT. De grootheden A en

B zijn constanten.

b. Bereken cp.

c. Bereken u, s en f van het gas als functie van T en v.

d. Het gas bevindt zich aanvankelijk onder een druk PI en wordt omkeerbaar bij T

=

To isothermisch samengeperst tot P2·

Leid af hoeveel arbeid voor de compressie op het gas verricht moet worden, uitgedrukt in Ta, PI en P2·

e. Hoeveel warmte wordter tijdens de compressie (vraag d) aan het gas onttrokken?

f.

Bereken h en leid hieruit cp opnieuw af.

41

10

Fase-overgangen

10.1. Men bestudeert fenomenologisch een faseovergang tussen twee kristalstruc-turen (I en II) van een element (dus: in vaste stof). Men kan hierbij denken aan de overgang wit tin - grijs tin, die zo langzaam verloopt dat er tijd is voor de hier gedane metingen. Daartoe bepaalt men:

- De molaire warmtecapaciteiten cp,(T) en cp,,(T) in J/moIK, als functie van de temperatuur tussen 0 en 1500 K.

- De dichtheden p, en p". (in kg/m3). Deze blijken in goede benadering in het genoemde temperatuurgebied onafhankelijk van druk en temperatuur te zijn. - De beide reactîewarmten, Q, en Q" in J/mol, die bij volledige oxidatie van de

structuren bij een temperatuur van ] 500 K en een druk Po

= ]

01,325 kPa vrijkomen.

In de antwoorden op de nu volgende vragen mogen alleen de symbolen T, p, cp" cp'" p" Pil, Q, en Q", alsmede de molaire massa M, de standaarddruk Po

=

101,325 kPa en de standaardtemperatuur T 0

=

298 K voorkomen.

Bereken:

Q. Het enthalpieverschil per mol i1ho

=

i1ho" - hO, tussen de twee fasen bij

·standaardcondities (To en Po)·

b. De helling van de curve die het verband tussen pen T geeft bij evenwicht tussen de twee fasen I en Il, bij een temperatuur T.

c. Het verschil in vrije enthalpie per kmol, i1g0, tussen de twee fasen bij

standaard-condities.

d. De waarde van dit verschil in vrije enthalpie als de druk verhoogd wordt van Po tot p, bij gelijkblijvende temperatuur.

e. De druk p waarbij deze faseovergang _{plaats vindt bij de temperatuur To.}

10.2. Een enkelvoudige stof kan in de drie fasen voorkomen: gasvormig (g), vloeibaar (I) en vast (s). Er geldt per mol:

fg = -8,31 T In v/va

+

2,08T en

g$

=

-8,31T In TlTo

+

8,31T In p/po

+

7,07T

+

33,2·1O-3p.

De druk is uitgedrukt in pascal, het volume in m3, de temperatuur in kel~in. Voor de verdampingswarmte geldt:

r, ~g

=

2210

+

8,3 IT.

Het normale kookpunt bij 105 Pa is 380 K. Er geldt: povo

=

8,31 To.

Q. Bewijs dat de toestandsvergelijking van de stof in de gasfase is pVg

=

8,31 T.