RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 8

 Definicja

Niech (a

) będzie ciągiem liczbowym, zaś (S

) ciągiem, którego k-tym wyrazem jest suma k początkowych wyrazów ciągu (a

), tzn.:



























k

n n k

k

a a a a a

S

a a a S

a a S

a S

1 3

2 1

3 2 1 3

2 1 2

1 1

...

...

Ciąg ( S

) nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy

...

...

lub

,

1













 n

n

n

a a a a

a

S_k

– nazywamy k–tą sumą częściową,

– n-tym wyrazem szeregu.

Szeregi liczbowe

Przykład

Szereg

1 ...

3 ...

1 2 1 1 1

1

















n n

n

,

Sumy częściowe szeregu

1 , 2 ...

1 1 ...

3 , 1 2 1 1 2 ,

1 1 ,

1

1

S S S n

S      

   

a

 n 1  n-ty wyraz szeregu.

Szeregi liczbowe

 Definicja

Szereg 

n1

a

nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych (S

) jest zbieżny do skończonej granicy S

W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Granicę S

S

k





lim

nazywamy sumą szeregu.

Piszemy wówczas a S

n

n





1

.

Uwaga

Ostatnia równość ma charakter umowny, bo szereg i suma szeregu to różne pojęcia

oznaczane tym samym symbolem 

1 n

a

Szeregi liczbowe

Przykład Szereg

...

1 ...

1 1 1 1

1















 n

















 

 ⁿ

S

razy n n

k

n

1 1   1 ...  1

1

Szereg jest rozbieżny.

Przykład Szereg

...

) 1 ( ...

1 1 1 )

1 (

1























n n

n

Ciąg sum częściowych (Sn) ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic ponieważ

 













 

N k k

n dla

N k k n

S

dla

, 1 2 1

, 2 0

Szereg jest rozbieżny.

Szeregi liczbowe

Przykład Szereg



₁

(  1 ) 1

n

n n

...

1 ) 1 ( 1

....

4 ) 1 3 ( 1 3 ) 1 2 ( 1 2 ) 1 1 ( 1 1 ) 1 ( 1

) 1 (

1

1 1

 

















 



  









n n

n n n n

n

1 1 1 1

1 ) 1 ( 1

....

4 ) 1 3 ( 1 3 ) 1 2 ( 1 2 ) 1 1 ( 1 1 ) 1 ( 1

) 1 (

1

1 1

 



 

















 



 

  





k k k k n n n

S

n

k n

k n

Czyli szereg jest zbieżny i jego suma jest równa 1

Zazwyczaj wyznaczenie sumy szeregu nie jest możliwe, natomiast w wielu przypadkach możliwe jest rozstrzygnięcie kwestii zbieżności szeregu.

Szeregi liczbowe

 Twierdzenie (warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych) Jeżeli szereg liczbowy



1 n

an jest zbieżny, to

0 lim 



 n

n

a

.

Uwaga

Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony to szereg jest rozbieżny.

Nie jest on warunkiem wystarczającym zbieżności, tzn. może być spełniony przez szereg rozbieżny.

Przykład Szereg



1 1

n n

n

jest rozbieżny ponieważ 1

lim 1

lim 

 







 n

a n

n n

n (warunek konieczny nie jest spełniony).

Szereg



1

1

n n jest rozbieżny mimo że warunek konieczny 1 0

lim 



 n

n jest spełniony.

Rozpatrzmy n-tą sumę częściową szeregu





























 n

n n n n

n n

S_n n 1 1

1 ...

1 1 .... 1

3 1 2 1 1 1

Szeregi liczbowe

 Definicja

Szereg harmoniczny to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami liczb naturalnych

1 ...

3 ...

1 2 1 1 1

1

















n n

n

 Definicja

Szereg harmoniczny rzędu r (Dirichleta), rR to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami r-tych potęg liczb naturalnych

1 ...

3 ...

1 2

1 1 1

1















 r r r

n

r

n

n

Szeregi liczbowe

 Twierdzenie

Szereg Dirichleta jest zbieżny dla r >1, natomiast rozbieżny dla r  1.

Przykład Szereg



1

1

n

n



1

1

n

n



1 2

1

n

n

 

  



1

2

2

6

1

n

n



Szeregi liczbowe

 Definicja

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci

1 1

 



q a

utworzony z ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie

a

q

 Twierdzenie

Jeżeli

a = 0

0 a  0

|q|  1

|q| < 1

q S a

  1

 

 

 



 





















q

a q

a q aq

aq aq a S

n n

n n n

n

) 1

1 ( 1 lim )

...

( lim

lim

Szeregi liczbowe

Przykład

2 2 1 1 ... 1 2

... 1 4 1 2 1 1 2

1

1 1

1





















 



n

n szereg zbieżny

(q = ½)

3 2 2 1 1 ... 1 2

) 1 1 ( 4 ...

1 2 1 1 2

) 1 1

(

1

1

1



 



















 



n n

n n

szereg zbieżny

(q = - ½)

x x x

x x

n n

 















1 ... 1

1

1 1

szereg zbieżny dla

|x| < 1

...

9 3 1 3

1

1

   





 n

n

szereg rozbieżny

(q = 3 > 1)

Szeregi liczbowe

 Twierdzenie Jeżeli szeregi



1 n

a

i



1 n

b

są zbieżne, to:























1 1

1

) (

n n n

n n

n

n

b a b

a

R c a c ca

n n n

n

  









,

1 1

Twierdzenia podające warunki wystarczające zbieżności są nazywane kryteriami zbieżności szeregów.

Szeregi liczbowe



Twierdzenie

0  a

 b

n

n

Jeżeli szereg



1 n

b



1 n

a

,

Jeżeli szereg



1 n

a



1 n

b

Szeregi liczbowe

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu



^{1 3 3}

(  1 ) 1

n

n n

Zachodzi oszacowanie

3 3 4 4

3 4 3

3 3

1 1

1 )

1 (

1

n n n

n n

n



 

 

zatem badany szereg jest zbieżny, ponieważ szereg Dirichleta



1 3 4

1

n

n

Szeregi liczbowe

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

) . 1 (

1







n

n n

Zachodzi oszacowanie

n n n

n n

n n n

n

1 2 1 2

1 2

1 1

1 )

1 (

1

2 2

2 2

2

  

 

 



więc szereg jest rozbieżny, ponieważ szereg













1 1

1 2 1 1 2 1

n

n

n n

jako szereg harmoniczny pomnożony przez

2 1

jest rozbieżny.

Szeregi liczbowe

 Twierdzenie (kryterium ilorazowe)

Niech an ,b_n > 0 (an ,b_n < 0) dla n > n0 oraz













k k

b a

n n

n

, 0

lim

Wówczas szeregi



n1

a

i



n1

b

Szeregi liczbowe

 Twierdzenie (kryterium d’Alemberta) Niech

a g a

n n

n ^







lim

Wówczas szereg



1 n

a

jest zbieżny gdy g < 1 i rozbieżny gdy g > 1

Dla g = 1 kryterium nie rozstrzyga problemu zbieżności.

Jean le Rond d'Alembert (1717 – 1783)

Szeregi liczbowe

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu



1

! 2

n

n n

n n

Mamy

1 1

1 ( 1)

)!

1 ( 2





 

 ⁿ _n

n n

a n , ⁿ

n

n

n

a  2 n !

Stąd

 

 



 



 





   



















 n

n

n n n

n n n

n n

n n

n n n

n n n

n n

n n

n

n n n

n

n n

n n n

n a

a

) 1 ( lim 2 )

1 ( ) 1 (

) 1 ( lim 2

! 2 ) 1 (

)!

1 ( lim 2

! 2

) 1 (

)!

1 ( 2 lim

lim

1 1

1

1

. 2 1 1 2

1 2 1 lim

2 1 lim

2

lim

1





 











 



 

 

 



 



  



 





  ^















 e e

n n

n n

n ⁿ

n n n

n n

Na mocy kryterium d’Alemberta szereg jest zbieżny.

Szeregi liczbowe

 Twierdzenie (kryterium Cauchy’ego) Niech

g a

n n

n







| |

lim

Wówczas szereg



1 n

a

Dla g = 1 kryterium nie rozstrzyga problemu zbieżności.

Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857)

Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta.

Szeregi liczbowe

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu









 

  



1

2

1 2 9 7

n n

n n

n

Mamy

9 1 1 2

9 lim 7

1 2 9 lim 7

1 2 9

lim 7

2 2

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

  















e

n n n

n

n n n

n n

n

n n n

n n n

n n n

Na mocy kryteriumCauchy’ego szereg jest rozbieżny.

Szeregi liczbowe

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ