WYKŁAD 9 Algebra

ALGEBRA 1

ALGEBRA

Algebra

WYKŁAD 9

ALGEBRA 2

ALGEBRA

Definicja

Prosta styczna do krzywej

K

^{w punkcie}

P

jest to prosta

,

^będąca

granicznym położeniem siecznych

s

_k przechodzących przez punkty

P

i

P

_k gdy punkt

P

_k ^dąży

(

^{zbliża się}

)

do punktu

P

po krzywej

K.

Do wyznaczania równań stycznych do krzywych wykorzystuje się narzędzia analizy matematycznej. (Więcej w przyszłym semestrze



.)

Krzywe stożkowe

styczna

ALGEBRA 3

Krzywe stożkowe

Równanie krzywej stożkowej Równanie stycznej

Okrąg

Elipsa

Hiperbola

Parabola

) 1 (

) (

2 2 0 2

2

0

  



b y y a

x x

2 2

0 2

0

) ( )

( x  x  y  y  r

) 1 (

) (

2 2 0 2

2

0

 

 

b y y a

x x

) (

2 )

( y  y

₀ ²

 p x  x

₀

2 0

0 1

0 0

1

)( ) ( )( )

( x  x x  x  y  y y  y  r

Równania stycznych do krzywych w punkcie

P(x

₁

,y

₁

)

należącym do krzywej

) 1 )(

( ) )(

(

2

0 0

1 2

0 0

1

     

b

y y

y y

a

x x x

x

) 1 )(

( ) )(

(

2

0 0

1 2

0 0

1

     

b

y y y

y a

x x x

x

) )(

( )

)(

( y

₁

 y

₀

y  y

₀

 p x

₁

 x

₀

x  x

₀

ALGEBRA 4

ALGEBRA

Uwagi

Równanie stycznej do okręgu można wyznaczyć wykorzystując warunki:

 odległość stycznej od środka okręgu jest równa długości promienia okręgu

 styczna jest prostopadła do promienia zawierającego punkt styczności

Styczna do elipsy (lub okręgu) jest prostą mającą z krzywą

dokładnie jeden punkt wspólny (czyli układ równań opisujących krzywą i prostą ma dokładnie jedno rozwiązanie).

Prosta (nierównoległa do osi paraboli) jest styczna do paraboli wtedy i tylko wtedy, gdy ma z nią tylko jeden punkt wspólny.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 5

ALGEBRA

Równania parametryczne krzywych stożkowych Definicja

Układ równań

x = f

₁

(t) y = f

₂

(t)

gdzie

tTR

^,

f

_1,

f

₂ są funkcjami ciągłymi na

T

definiuje krzywą na płaszczyźnie.

Równania te nazywamy równaniami parametrycznymi krzywej, zaś

t

parametrem.

Uwaga

Ta sama krzywa może być definiowana za pomocą różnych przedstawień parametrycznych.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 6

Krzywe stożkowe

Równanie krzywej w postaci kanonicznej

Równania parametryczne krzywej

Okrąg

Elipsa

Hiperbola

Parabola

) 1 (

) (

2 2 0 2

2

0

  



b y y a

x x

2 2

0 2

0

) ( )

( x  x  y  y  r

) 1 (

) (

2 2 0 2

2

0

  



b y y a

x x

) (

2 )

( y  y

₀ ²

 p x  x

₀

) 2 , 0 sin [

cos

0

0

^ 

 









 t

t r

y y

t r

x x

) 2 , 0 sin [

cos

0

0

 

 









 t

t b

y y

t a

x x

R t t

b y

y

t a

x

x 

 











sinh cosh

0 0

R t

t y y

p x t

x 

 

 











0

2

0

2

ALGEBRA 7

ALGEBRA

Definicja

Układ współrzędnych biegunowych (polarnych) – to układ

współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt

O

zwany biegunem oraz półprostą

O

So początku w punkcie

O

zwaną osią biegunową, w którym każdemu punktowi

P

płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe:

 promień wodzący punktu

P

- jego odległość

|OP|

od bieguna,

 amplituda punktu

P

- wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą

O

S a wektorem ^.

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna

O

są równe

(0,0).

O amplitudzie zakładamy, że

0   < 2π

^,

(

^lub

- π    π ).

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 8

ALGEBRA

Definicja

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie:

układ kartezjański

Oxy

oraz układ biegunowy z biegunem

O

i osią biegunową

Ox

^.

Dla danego wektora wodzącego

r  0

i amplitudy

 [0, 2π)

punktu

P

^,

przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego określają wzory:

 









 sin cos r

y r x

P

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 9

ALGEBRA

Równanie

0 ,

0 cos ,

1  

  p e

e r p



przedstawia

 okrąg dla

e = 0

^,

 elipsę dla

0 < e < 1

^,

 parabolę dla

e = 1

^,

 hiperbolę dla

e > 1.

Początek układu współrzędnych jest środkiem okręgu i wspólnym ogniskiem pozostałych stożkowych.

Na osi biegunowej leży oś wielka elipsy, oś rzeczywista hiperboli i oś symetrii paraboli.

Stała

p

jest promieniem okręgu i półparametrem pozostałych krzywych.

Stała

e

jest mimośrodem.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 10

Krzywe stożkowe

hiperbola

parabola

elipsa

okrąg p

F

x y

ALGEBRA 11

ALGEBRA

Zadanie 1

Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu

0 10

2

²

2

 x  y  y 

x

w punkcie

P(2 , 0).

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 12

ALGEBRA

Zadanie 2

Napisać równanie paraboli o wierzchołku w początku układu współrzędnych i ognisku w punkcie

F(4 , 0).

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 13

ALGEBRA

Zadanie 3

Dla jakich wartości parametru m ^prosta y = mx + 2 jest styczna do paraboli y

²

= 4x?

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 14

ALGEBRA

Zadanie 4

Z punktu

P(– 2 , 0)

poprowadzić styczne do paraboli

y

²

= 8x

^.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 15

ALGEBRA

Zadanie 5

Wyznaczyć półosie i środek symetrii hiperboli:

4x

²

– y

²

– 16x – 2y – 1 = 0.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 16

ALGEBRA

Zadanie 6

Napisać równanie hiperboli o ogniskach leżących w wierzchołkach osi wielkiej elipsy

16x

²

+ 25y

²

= 400

i kierownicach przechodzących przez ogniska danej elipsy.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 17

ALGEBRA

Zadanie 7

Elipsa jest styczna do osi

0y

^{w punkcie}

A(0, 3)

i przecina oś

0x

w punktach

B(3, 0)

ⁱ

C(7, 0).

Wyznaczyć równanie tej elipsy, jeżeli jej osie są równoległe do osi układu współrzędnych.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 18

ALGEBRA

Zadanie 8

Punkty

A(-6 , -4)

ⁱ

B(8 , -3)

należą do elipsy, której osiami symetrii są osie układu. Napisać równanie tej elipsy.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA 19