OF THE DELFT
MOLECULAR - DYNAMICS
PROCESSOR
O O M vJ» O 00 00 t\> UI UI D e s i g n a n d i m p l e m e n t a t i o n o f t h e D e l f t M o l e c u l a r - D y n a m i c s P r o c e s s o r BIBLIOTHEEK TU Delft P 1752 4118 C 838600
P R O E F S C H R I F T t e r v e r k r i j g i n g v a n de g r a a d v a n d o c t o r i n d e t e c h n i s c h e w e t e n s c h a p p e n a a n d e T e c h n i s c h e H o g e s c h o o l D e l f t , o p g e z a g v a n de r e c t o r m a g n i f i c u s p r o f . i r . B . P . T h . V e l t m a n , v o o r e e n c o m m i s s i e a a n g e w e z e n d o o r h e t c o l l e g e v a n d e k a n e n t e v e r d e d i g e n o p d o n d e r d a g 29 s e p t e m b e r 1 9 8 3 t e 1 6 . 0 0 u u r d o o r A L O Y S I U S F R A N C I S C U S BAKKER n a t u u r k u n d i g i n g e n i e u r g e b o r e n t e 1s - G r a v e n h a g e
CONTENTS p a g e SUMMARY 5 I . I N T R O D U C T I O N 7 1.1. M o l e c u l a r - d y n a m i c s s i m u l a t i o n s 7 1.2. S i m u l a t i o n o f s y s t e m s u n d e r g o i n g a p h a s e t r a n s i t i o n 8 1.3. C o m p u t a t i o n a l t o o l s f o r m o l e c u l a r d y n a m i c s 8
I I . COMPUTATIONAL A S P E C T S OF MOLECULAR DYNAMICS 11 1 1 . 1 . M o l e c u l a r d y n a m i c s o f a s y s t e m w i t h p a i r i n t e r a c t i o n s 11 1 1 . 2 . D i s c r e t e N e w t o n ' s e q u a t i o n s : t h e l e a p f r o g t i m e - i n t e g r a t i o n s c h e m e 12 1 1 . 3 . S t r a t e g i e s i n p a r t i c l e i n t e r a c t i o n c o m p u t a t i o n s 14 1 1 . 4 . T h e c u t o f f r a d i u s o f t h e p o t e n t i a l a n d l i n k e d - l i s t m e t h o d 14 1 1 . 5 . P P a l g o r i t h m p r o c e d u r e 18 1 1 . 6 . R e d u c e d q u a n t i t i e s f o r a L e n n a r d - J o n e s s y s t e m 19 I I I . D E S I G N C O N S I D E R A T I O N S FOR A S P E C I A L - P U R P O S E MOLECULAR-DYNAMICS PROCESSOR 2 1 1 1 1 . 1 . I n t r o d u c t i o n 2 1 1 1 1 . 2 . S y s t e m p a r t i t i o n i n g 2 1 1 1 1 . 3 . T a s k s o f t h e MD p r o c e s s o r 2 2 1 1 1 . 4 . U s e r r e q u i r e m e n t s 2 2 1 1 1 . 4 . 1 . C a p a c i t y 2 3 1 1 1 . 4 . 2 . O p e r a t i o n a l s p e e d 2 3 1 1 1 . 4 . 3 . W o r d l e n g t h a n d a c c u r a c y 2 3 1 1 1 . 4 . 4 . U s e r i n t e r f a c e t o t h e p r o c e s s o r 24 1 1 1 . 5 . D e s i g n r e q u i r e m e n t s 2 5 I I I . 5 . 1 . C o n t r o l r e q u i r e m e n t s 2 5 1 1 1 . 6 . S c a l i n g t h e p h y s i c a l q u a n t i t i e s f o r t h e MD p r o c e s s o r 26 I V . D E S I N G OF THE MD PROCESSOR 2 9 I V . 1 . O v e r a l l h a r d w a r e d e s c r i p t i o n 29 I V . 2 . D e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e s i m u l a t i o n d a t a p a r t 31 I V . 2 . 1 . M o m e n t u m - u p d a t e s e c t i o n 31 I V . 2 . 1 . 1 . P a r a l l e l o p e r a t i o n s 3 1 I V . 2 . 1 . 2 . P i p e l i n e d o p e r a t i o n s 3 3 I V . 2 . 1 . 3 . C o n t r o l r e q u i r e m e n t s 3 6 I V . 2 . 2 . P a r t i c l e - m e m o r y s i z e 3 6 I V . 2 . 2 . 1 . M e m o r y - c o n t r o l r e q u i r e m e n t s 36 I V . 2 . 3 . P o s i t i o n - u p d a t e s e c t i o n 37 I V . 2 . 3 . 1 . C o n t r o l r e q u i r e m e n t s 38 I V . 2 . 4 . I n p u t / O u t p u t s e c t i o n 3 8 I V . 3 . P r o c e s s o r C o n t r o l 4 1 I V . 3 . 1 . I n t e r f a c e p r o c e s s o r P I 4 3 I V . 3 . 2 . A r b i t e r p r o c e s s o r PA 44 I V . 3 . 3 . M e m o r y p r o c e s s o r PM 4 5 I V . 3 . 4 . H e a d o f c h a i n p r o c e s s o r P H 4 6 I V . 4 . M e a s u r e m e n t s e c t i o n s 47 I V . 4 . 1 . P o t e n t i a l e n e r g y 4 1 I V . 4 . 2 . K i n e t i c e n e r g y 4 8 I V . 4 . 3 . R a d i a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n 4 8 I V . 5 . D e t a i l e d s i m u l a t i o n - s t e p p r o c e d u r e d e s c r i p t i o n 4 9
V. I M P L E M E N T A T I O N 5 5 V . l . A s s e m b l y m e t h o d 5 5 V . 2 . C o m p o n e n t c h o i c e 5 5 V . 3 . M e m o r i e s 56 V . 3 . 1 . T h e p a r t i c l e memory 56 V . 3 . 2 . T h e m i c r o p r o g r a m a n d t a b l e l o o k - u p m e m o r y 5 6 V . 3 . 3 . R e g i s t e r f i l e s 56 V . 4 . M i c r o p r o c e s s o r c o n t r o l 57 V . 5 . M u l t i p l i e r s 57 V . 6 . F u n c t i o n a l d i v i s i o n 5 8 V . 7 . M i c r o p r o g r a m a n d h a r d w a r e t e s t e q u i p m e n t 5 8 V . 8 . C o s t a n d p e r f o r m a n c e 59 V. 9. T e s t a n d m a i n t e n a n c e 6 0 V I . SOFTWARE 6 3 V I . 1 . I n t r o d u c t i o n 6 3 V I . 2 . U s e r r e q u i r e m e n t s 6 3 V I . 3 . MD p r o c e s s o r h o s t s o f t w a r e 64 V I . 3 . 1 . The s i m u l a t i o n p r o g r a m 64 V I . 3 . 2 . D a t a b a s e 65 V I . 4 . U s e r i n s t r u c t i o n s e t 6 6 V I . 5 . B u i l t - i n m a n u a l 67 V I . 6. M i c r o p r o g r a m s o f t w a r e 67
V I I . R E S U L T S FROM THE MD PROCESSOR 69
V I I . 1 . I n t r o d u c t i o n 69 V I I . 2 . T e s t r e s u l t s 69 V I I . 3. P h y s i c a l r e s u l t s 7 0 V I I I . CONCLUSIONS 83 R E F E R E N C E S 8 5 A P P E N D I X A: summary u s e r - i n s t r u c t i o n s e t 87 A P P E N D I X B: c o m m a n d - f i l e e x a m p l e 8 9 A P P E N D I X C: m i c r o p r o g r a m e x a m p l e 91 SAMENVATTING 9 3
SUMMARY T h e p r o h i b i t i v e c o m p u t a t i o n a l c o s t o f m o l e c u l a r - d y n a m i c s s i m u l a t i o n s h a s m o t i v a t e d t h e d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n o f a p o w e r f u l a n d c o s t - e f f e c t i v e m o l e c u l a r - d y n a m i c s p r o c e s s o r . I t i s a n a l g o r i t h m - o r i e n t a t e d p r o c e s s o r w h i c h u s e s t h e s i m p l e , b u t a c c u r a t e , l e a p f r o g s c h e m e , a n d p r o v i d e s b o t h t r a j e c t o r y a n d t h e r m o d y n a m i c d i a g n o s t i c o u t p u t . A m i n i c o m p u t e r ( H P 1 0 0 0 ) , l i n k e d t o t h e p r o c e s s o r , a t t e n d s t o t h e u s e r - i n t e r f a c e a n d t h e b o o k k e e p i n g o f t h e r e s u l t s . The m o l e c u l a r - d y n a m i c s p r o c e s s o r i s c o n s t r u c t e d f r o m c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e M S I a n d L S I h a r d w a r e c o m p o n e n t s , h a s a 4 MHz c l o c k , a n d i s c o n t r o l l e d by f o u r b i t - s l i c e d m i c r o p r o g r a m m a b l e m i c r o p r o c e s s o r s . A l l o p e r a t o r s a r e f i x e d p o i n t . C o m p u t a t i o n a l s p e e d c o m p a r a b l e t o t h a t o f t h e CRAY-1 i s a t t a i n e d by u s i n g a p a r a l l e l a n d p i p e l i n e d a r c h i t e c t u r e . T h i s r e s u l t s i n 0.2 s p e r 1000 p a r t i c l e s p e r t i m e s t e p , i n d e p e n d e n t o f d i m e n s i o n a l i t y . T h e d e s i g n a l l o w s f o r a maximum o f 6 5 5 3 5 p a r t i c l e s i n t h r e e d i m e n s i o n s , f o u r s p e c i e s o f p a r t i c l e s , a r b i t r a r y t h o u g h s h o r t - r a n g e f o r c e l a w , a n d a s w e l l g e o m e t r y a s b o u n d a r y - c o n d i t i o n v a r i a t i o n s . I n i t s p r e s e n t i m p l e m e n t a t i o n , w h i c h c a n e a s i l y be e x t e n d e d , t h e p r o c e s s o r h a s b e e n u s e d f o r s i m u l a t i o n s o f t w o - d i m e n s i o n a l m o n a t o m i c s y s t e m s o f up t o 1 6 3 8 3 p a r t i c l e s . The h a r d w a r e c o s t s a m o u n t t o a p p r o x i m a t e l y 1 0 0 , 0 0 0 D f l . I t t o o k t h r e e man y e a r s t o c o n s t r u c t a n d t e s t t h e p r o c e s s o r . T h i s i n c l u d e s a l l s o f t w a r e a n d d a t a b a s e d e v e l o p m e n t . S y s t e m r e l i a b i l i t y h a s b e e n f o u n d t o be a l m o s t w h o l l y d e t e r -m i n e d by t h e r e l i a b i l i t y o f t h e -m i n i c o -m p u t e r ; r u n s o f s e v e r a l w e e k s p r o c e e d u n i n t e r r u p t e d . The o u t c o m e i s a e a s y - t o - u s e s y s t e m , w h i c h h a s b e e n f o u n d r a p i d l y a c c e s s i b l e t o r e l a t i v e o u t s i d e r s due t o i t s s i m p l e i n t e r p r e t e r l a n g u a g e . I n t h e i n i t i a l o p e r a t i n g p h a s e , t h e p r o c e s s o r h a s p r o d u c e d new r e s u l t s i n s t u d i e s o f s y s t e m s i z e e f f e c t s . M e l t i n g p o i n t c h a n g e s a n d u n e x p e c t e d l o n g -r a n g e b e h a v i o u -r o f t h e o -r i e n t a t i o n - c o -r -r e l a t i o n f u n c t i o n h a v e b e e n f o u n d . One o f t h e r e s u l t s i s t h e n o n e x i s t e n c e o f t h e h e x a t i c p h a s e f o r L e n n a r d - J o n e s s y s t e m s f o r r e d u c e d d e n s i t i e s b e t w e e n 0.88 a n d 0.94.
I . I N T R O D U C T I O N 1 . 1 . M o l e c u l a r - d y n a m i c s s i m u l a t i o n s T h e s u b j e c t o f t h i s t h e s i s i s m o l e c u l a r - d y n a m i c s s i m u l a t i o n b y m e a n s o f a s p e c i a l p u r p o s e c o m p u t i n g d e v i c e . The u s e o f s u c h a d e v i c e i s a new d e v e l o p -m e n t i n c o -m p u t a t i o n a l p h y s i c s . T h e g e n e r a l b a c k g r o u n d f o r t h e s u b j e c t i s s k e t c h e d i n t h i s i n t r o d u c t i o n . T h e i n c r e a s i n g a v a i l a b i l i t y o f c o m p u t a t i o n a l p o w e r f o r s c i e n t i f i c i n v e s t i -g a t i o n h a s w i d e n e d t h e r o l e o f c o m p u t a t i o n a l p h y s i c s . T h i s i s p a r t i c u l a r l y t r u e f o r c o m p u t e r s i m u l a t i o n s i n t h e w i d e f i e l d o f m a n y - b o d y s y s t e m s . I n s u c h s y s t e m s a d e s c r i p t i o n o f t h e m a c r o s c o p i c b e h a v i o u r o f a s y s t e m i s o b t a i n e d i n t e r m s o f t h e m i c r o s c o p i c i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e c o n s t i t u e n t p a r t i c l e s . A c o m p u t e r s i m u l a t i o n a c t s a s a b r i d g e b e t w e e n e x p e r i m e n t a n d t h e o r y . A s i m u l a t i o n c a n b e c o n s i d e r e d a s a n i d e a l e x p e r i m e n t , p e r f o r m e d o n a p r e c i s e l y d e f i n e d m o d e l s y s t e m . By s i m u l a t i n g a m o d e l , q u a s i - e x p e r i m e n t a l e s t i m a t e s c a n b e o b t a i n e d f o r c e r t a i n p r o p e r t i e s o f t h e m o d e l . T h e s e c a n b e c o m p a r e d t o e x -p e r i m e n t a l d a t a on t h e o n e h a n d a n d t o t h e r e s u l t s o f ( a -p -p r o x i m a t e ) a n a l y t i c s o l u t i o n s o n t h e o t h e r h a n d . M o r e o v e r , i n a s i m u l a t i o n s y s t e m s c a n b e s t u d i e d u n d e r c i r c u m s t a n c e s w h i c h w o u l d n o t , o r o n l y w i t h g r e a t d i f f i c u l t y , b e a c c e s s i b l e i n a r e a l e x p e r i m e n t . T h e d i s a d v a n t a g e s o f a s i m u l a t i o n a r e t h e r e s t r i c -t i o n s o n s y s -t e m s i z e a n d s y s -t e m o b s e r v a -t i o n -t i m e ; d u e -t o o b v i o u s l i m i -t a -t i o n s t h e s e d i f f e r by o r d e r s o f m a g n i t u d e f r o m p h y s i c a l e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n s . T h i s t h e s i s w i l l b e c o n c e r n e d o n l y w i t h c l a s s i c a l m o d e l s y s t e m s c o n s i s t i n g o f a l a r g e n u m b e r o f p a r t i c l e s a s s t u d i e d i n s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s . M o s t o f t e n , t h e b a s i c e q u a t i o n s d e s c r i b i n g s u c h s y s t e m s a r e f o r c o n t i n u o u s s p a c e a n d t i m e , a n d t h e y h a v e t o be made d i s c r e t e b e f o r e n u m e r i c a l s o l u t i o n i s p o s -s i b l e . Two d i f f e r e n t -s i m u l a t i o n m e t h o d -s c a n b e d i -s t i n g u i -s h e d i n -s t a t i -s t i c a l m e c h a n i c s ( s e e e . g . S a n g s t e r a n d D i x o n , 1 9 7 6 , a n d H a n s e n a n d M c D o n a l d , 1 9 7 5 ) : t h e M o n t e - C a r l o (MC) m e t h o d ( s e e e . g . B i n d e r , 1 9 7 9 ) a n d t h e m o l e c u l a r - d y n a m i c s (MD) m e t h o d ( s e e e . g . H o c k n e y a n d E a s t w o o d 1 9 8 1 ) . I n a M o n t e - C a r l o s i m u l a t i o n a s t o c h a s t i c s e q u e n c e o f p a r t i c l e c o n f i g u r a t i o n s i s g e n e r a t e d , w i t h t h e a i d o f r a n d o m n u m b e r s , i n s u c h a way t h a t e a c h c o n f i g u r a t i o n o c c u r s w i t h a p r o b a b i l i t y p r e s c r i b e d b y t h e l a w s o f s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s . T h i s m e t h o d c a n b e a p p l i e d w h e t h e r o r n o t t h e r e e x i s t e x p l i c i t e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e s y s t e m . I n a m o l e c u l a r d y n a m i c s s i m u l a t i o n , b o t h t h e p o s i t i o n s o f t h e p a r t i
c l e s a n d t h e i r m o m e n t a a r e t a k e n i n t o a c c o u n t , a n d t h e i r t r a j e c t o r i e s a r e c a l -c u l a t e d i n s p a -c e , d i s -c r e t e i n t i m e , o n t h e b a s i s o f t h e i r e q u a t i o n s o f m o t i o n . T h e t i m e - a v e r a g e d q u a n t i t i e s o f MD a r e e q u a l t o t h e e n s e m b l e a v e r a g e s o f MC c a l c u l a t i o n s , b y t h e e r g o d i c t h e o r e m ( s e e e . g . I s i h a r a , 1 9 7 1 ) . 1.2. S i m u l a t i o n o f s y s t e m s u n d e r g o i n g a p h a s e t r a n s i t i o n I n t h e 1 9 6 0 ' s t h e i n t e r e s t i n t h e d i f f i c u l t p r o b l e m o f p h a s e t r a n s i t i o n s s t r o n g l y i n c r e a s e d . The i n v e s t i g a t i o n o f p h a s e t r a n s i t i o n s i s o f p a r a m o u n t i m p o r t a n c e f o r u n d e r s t a n d i n g a n d d e s c r i b i n g c o o p e r a t i v e e f f e c t s i n m a n y - b o d y s y s t e m s . A f t e r t h e a d v e n t o f t h e new a n d p o w e r f u l m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e s o f r e n o r m a l i z a t i o n m e t h o d s ( s e e e . g . Domb a n d G r e e n 1 9 7 6 ) i n t h e e a r l y 1 9 7 0 ' s , s i m u l a t i o n o f m a n y - b o d y s y s t e m s i n s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s h a s c o n c e n t r a t e d f o r a l a r g e p a r t o n s y s t e m s n e a r , o r a t , a p h a s e t r a n s i t i o n . E x a m p l e s a r e t h e f e r -r o m a g n e t i c t -r a n s i t i o n i n t h e c a s e o f a m a g n e t i c - s p i n m o d e l , a n d t h e g a s - l i q u i d o r l i q u i d - s o l i d t r a n s i t i o n i n t h e c a s e o f a p a r t i c l e s y s t e m . T h e p h y s i c a l p h e n o m e n a o c c u r r i n g i n s u c h s y s t e m s ( v i z . l a r g e f l u c t u a t i o n s , l o n g r e l a x a t i o n t i m e s a n d m e t a s t a b i l i t y ) , m a n i f e s t t h e m s e l v e s c o m p u t a t i o n a l l y a s a p r o b l e m o f o b t a i n i n g s u f f i c i e n t a n d r e l i a b l e s t a t i s t i c a l d a t a , a n d h e n c e d e m a n d m o r e c a l -c u l a t i n g p o w e r . I m p o r t a n t p r o g r e s s i n -c o m p u t e r t e -c h n o l o g y h a s m e t t h e i n i t i a l d e m a n d s a n d a l l o w e d f o r t h e s u c c e s s f u l s i m u l a t i o n o f p h a s e t r a n s i t i o n s i n s i m p l e s y s t e m s , i n p a r t i c u l a r i n I s i n g m o d e l s . H o w e v e r , b o t h t h e o r y a n d e x p e r i -m e n t h a v e g o n e o n t o s t u d y s y s t e -m s i n w h i c h p h a s e t r a n s i t i o n s o f a -m o r e s u b t l e c h a r a c t e r t a k e p l a c e ( K o s t e r l i t z - T h o u l e s s t r a n s i t i o n s ( s e e e . g . K o s t e r l i t z a n d T h o u l e s s , 1 9 7 3 ) , ANNNI m o d e l s ( s e e e . g . F i s h e r a n d S e l k e , 1 9 8 0 ) , p h a s e t r a n s i t i o n s i n a d s o r b e d m o n o l a y e r s ( s e e e . g . N e l s o n a n d H a l p e r i n , 1 9 7 9 ) ) . S u c c e s s -f u l s i m u l a t i o n o -f s u c h s y s t e m s r e q u i r e s i n many c a s e s m o r e c o m p u t e r p o w e r t h a n i s a t p r e s e n t a v a i l a b l e i n m o s t r e s e a r c h c e n t r e s . T h i s s t a t e o f a f f a i r s h a s m o t i v a t e d t h e w o r k d e s c r i b e d i n t h i s t h e s i s , a n d h a s l e d t o t h e d e s i g n a n d i m p l e m e n t a t i o n o f v e r y p o w e r f u l d e d i c a t e d m a c h i n e s o f a s t r a i g h t f o r w a r d a n d e c o n o m i c a r c h i t e c t u r e . 1.3. C o m p u t a t i o n a l t o o l s f o r m o l e c u l a r d y n a m i c s I f t h e s i m u l a t i o n o n a n o r d i n a r y g e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r w i t h t h e a i d o f a h i g h - l e v e l l a n g u a g e i s n o t f a s t e n o u g h f o r t h e u s e r , a t t e m p t s c a n b e made t o
s p e e d up t h e s i m u l a t i o n b y u s i n g a m a c h i n e - o r i e n t a t e d l a n g u a g e , m a i n l y t o a c c e l e r a t e t h e t i m e - c o n s u m i n g i n n e r l o o p o f a p r o g r a m . I n g e n e r a l , t h e s p e e d i n c r e a s e g a i n e d b y u s i n g a m a c h i n e - o r i e n t a t e d l a n g u a g e i s r a t h e r m o d e s t . The e f f i c i e n c y o f t h e u s e d a l g o r i t h m i s t h e m a j o r f a c t o r i n t h e c o m p u t a t i o n a l s p e e d . E v e n t h o u g h t h e c h a n c e t o f i n d a new a n d b e t t e r a l g o r i t h m i s r a t h e r s m a l l , s p e e d - u p f a c t o r s o f up t o s e v e r a l o r d e r s o f m a g n i t u d e a r e s o m e t i m e s f e a s i b l e ( e . g . , b y m a k i n g u s e o f f a s t f o u r i e r t r a n s f o r m s , o r o f s p e c i a l c o d i n g t e c h n i q u e s ) . U l t i m a t e l y , t h e p e r f o r m a n c e o f a c o m p u t e r i s r e s t r i c t e d b y i t s h a r d w a r e l i m i t a t i o n s . T h r e e t y p e s o f c o m p u t e r s a r e i d e n t i f i e d : G e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r s a r e d e s i g n e d t o h a v e a n a v e r a g e e f f i c i e n c y f o r a l l t y p e s o f p r o b l e m s . T h e y a r e n o t t a i l o r e d t o a f a s t c o m p u t a t i o n o f m o l e c u l a r d y n a m i c s o r o t h e r a l g o r i t h m s . I n o r d e r t o c o m p e n s a t e f o r t h e l a c k o f s p e c i a l i z a t i o n , m o r e p o w e r f u l o p e r a t i o n -o r i e n t a t e d p r -o c e s s -o r s , t h a t a r e c -o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e , c a n be a t t a c h e d t -o t h e c o m p u t e r ( e . g . AP 1 2 0 B , STAR 1 0 0 ) . The a l g o r i t h m u s e d i n t h e g e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r h a s t o be a d a p t e d t o t h e a v a i l a b l e v e c t o r o p e r a t i o n s i n t h e a t t a c h e d p r o c e s s o r . T h i s c a n s p e e d up s i g n i f i c a n t l y t h e e x e c u t i o n o f p r o g r a m s w h i c h c a n b e f u l l y v e c t o r i z e d . When o n l y p a r t o f a n a l g o r i t h m c a n b e v e c t o r i z e d , t h e t o t a l r e s u l t may be d i s a p p o i n t i n g . W h e n e v e r f r e q u e n t l y o c c u r r i n g s i m p l e o p e r a t i o n s a r e t h e m a j o r p a r t o f t h e a l g o r i t h m e x e c u t i o n , i t may be f a r m o r e e f f i -c i e n t t o a d a p t t h e p r o -c e s s o r a r -c h i t e -c t u r e t o t h e p a r t i -c u l a r a l g o r i t h m i n v o l v e d . T h i s m e a n s d e s i g n i n g a n a l g o r i t h m o r i e n t a t e d p r o c e s s o r . T h i s p r o c e s -s o r i -s t h e n e x c l u -s i v e l y a t t h e d i -s p o -s a l o f t h e u -s e r f o r -s o l v i n g t h e p r o b l e m t o w h i c h i t i s d e d i c a t e d . I t i s c l e a r t h a t t h e d e s i g n o f s u c h a s p e c i a l - p u r p o s e m a c h i n e o n l y p a y s o f f i f t h e c l a s s o f p r o b l e m s i n t h e p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n i s w i d e e n o u g h t o r u n t h e m a c h i n e f o r a l o n g t i m e . The a d v a n t a g e s o f t h i s a l g o r i t h m - o r i e n t a t e d p r o c e s s o r a p p r o a c h a r e t h a t ( o p e r a t i o n ) w o r d l e n g t h s , t h e memory o r g a n i z a t i o n a n d t h e i n s t r u c t i o n s e t c a n be a d a p t e d t o t h e p r o b l e m i n v o l v e d . M o r e o v e r , p a r a l l e l a n d p i p e l i n e d o p e r a -t i o n s c a n be a p p l i e d w h e r e v e r -t h i s i s a l l o w e d i n -t h e a l g o r i -t h m . I n a d d i -t i o n , " m e a s u r e m e n t s " c a n be c a r r i e d o u t i n p a r a l l e l w i t h t h e s i m u l a t i o n c a l c u l a -t i o n s . T h e r e s u l -t w i l l be a l o w - c o s -t h i g h - s p e e d p r o c e s s o r . F o r t h e r e m a i n i n g p a r t o f t h i s t h e s i s t h e t e r m " a l g o r i t h m o r i e n t a t e d " w i l l b e u s e d f o r t h e s p e c i a l - p u r p o s e d e v i c e s . T h e y a r e a l s o c a l l e d " d e d i c a t e d c o m p u t e r s " , b u t t h i s may c a u s e c o n f u s i o n w i t h t h e d e d i c a t e d u s e o f a l l v a r i e t i e s o f c o m p u t e r s . F o r e x a m p l e , a c o m p u t e r c a l c u l a t i o n w h i c h c a n o b v i o u s l y b e n e f i t f r o m a n a l g o r i t h m - o r i e n t a t e d p r o c e s s o r i s t h e M o n t e - C a r l o s i m u l a t i o n o f I s i n g s y s t e m s
( s e e e . g . B i n d e r , 1 9 7 9 ) . S i n c e I s i n g s y s t e m s a r e e n t i r e l y d e s c r i b e d b y b i n a r y v a r i a b l e s , m u l t i p l e o n e - b i t o p e r a t i o n s a r e s u f f i c i e n t . I t i s n o t a s e f f i c i e n t t o c a r r y t h i s o u t i n a 1 6 b i t g e n e r a l p u r p o s e c o m p u t e r , e v e n u s i n g " s p i n " c o d -i n g t e c h n -i q u e s ( s e e e . g . K a l l e a n d W -i n k e l m a n n , 1 9 8 2 ) , a s -i t -i s t o u s e a com-p u t e r w i t h a o n e - b i t m e m o r y , d e s i g n e d t o a c c e s s a l l t h e r e q u i r e d b i t s ( e . g . n e a r e s t n e i g h b o u r s ) s i m u l t a n e o u s l y . The I C L D A P m a c h i n e h a s s u c h a n a r c h i t e c -t u r e , b u -t m o r e c o s -t - e f f e c -t i v e p r o c e s s o r s a r e -t h e M o n -t e - C a r l o I s i n g p r o c e s s o r s b u i l t b y H o o g l a n d ( 1 9 8 3 ) a n d b y P e a r s o n e t a l . ( 1 9 8 3 ) . F o r MD s i m u l a t i o n s , w h e r e p a r t i c l e p o s i t i o n s a n d v e l o c i t i e s a r e k e p t a s 3 2 - b i t f i x e d - o r f l o a t i n g - p o i n t n u m b e r s , t h e a d v a n t a g e o f a l g o r i t h m - o r i e n t a t e d p r o c e s s o r s i s n o t o b v i o u s . The c o m m e r c i a l a v a i l a b i l i t y o f f l o a t i n g p o i n t v e c -t o r a n d s c a l a r p r o c e s s o r s a p p e a r s -t o b e a n e f f e c -t i v e s o l u -t i o n f o r s p e e d i n g up MD c a l c u l a t i o n s . A s p e c i a l p u r p o s e a p p r o a c h w o u l d s e e m t o m i m i c s u c h a p r o c e s -s o r . H o w e v e r , a c l o -s e r -s t u d y o f -s u c h a p r o c e -s -s o r a -s d e -s c r i b e d i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s , s h o w s o t h e r w i s e ; a l o w c o s t s p e c i a l p u r p o s e m o l e c u l a r d y n a m i c s p r o -c e s s o r h a s b e e n d e s i g n e d a n d -c o n s t r u -c t e d , w i t h a n u n i q u e a r -c h i t e -c t u r e a d a p t e d t o t h e MD a l g o r i t h m w h i c h o p e r a t e s a t a s p e e d c o m p a r a b l e t o s u p e r c o m p u t e r s . f i g . 1. T h e L e n n a r d - J o n e s p o t e n t i a l V ( r ) .
l i . COMPUTATIONAL A S P E C T S OF MOLECULAR DYNAMICS I I . 1 . M o l e c u l a r d y n a m i c s o f a s y s t e m w i t h p a i r i n t e r a c t i o n s I n t h i s t h e s i s s o l i d - f l u i d t r a n s i t i o n s a r e u s e d a s a n e x a m p l e o f a p r o b l e m t h a t c a n b e s t u d i e d b y s i m u l a t i o n s o n t h e MD p r o c e s s o r c o n s t r u c t e d . N p a r t i -c l e s ( a t o m s ) n u m b e r e d i = 1, 2 , . . . , N a r e -c o n s i d e r e d o -c -c u p y i n g p o s i t i o n s r^ >r2 r ^ i n s p a c e . W i t h e a c h c o n f i g u r a t i o n a p o t e n t i a l e n e r g y E p i s a s s o -c i a t e d w h i -c h i s t h e sum o f p a i r e n e r g i e s : >• •» N - l N W — V - j S i
i
=I
+i
v ( r^
(1) r ^ - r_. |, i . e . a s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c p o t e n t i a l V i s a s s u m e d . T h e m o l e c u l a r - d y n a m i c s m e t h o d f o r t h i s s y s t e m a m o u n t s t o s o l v i n g N e w t o n ' s e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a l l N p a r t i c l e s , d r . d t BE 3 r . i ( 2 ) w h e r e m i s t h e p a r t i c l e m a s s a n d t d e n o t e s t i m e . D i f f e r e n t c h o i c e s o f t h e p o t e n t i a l V e n a b l e t h e s i m u l a t i o n o f a v a r i e t y o f p h y s i c a l s y s t e m s . A s h o r t -r a n g e d p o t e n t i a l o f t h e f o -r m s k e t c h e d i n f i g . 1 -r e p -r e s e n t s v e -r y a c c u -r a t e l y t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n two n o b l e - g a s a t o m s ( X e , N e , A r , K r ) ; t h e r e i s , a t l a r g e d i s t a n c e s , a w e a k a t t r a c t i o n ( t h e v a n d e r W a a l s f o r c e ) , a n d a t s h o r t d i s t a n c e s a h a r d - c o r e - l i k e r e p u l s i o n . I n a c t u a l c a l c u l a t i o n s o r s i m u l a t i o n s o f t e n a V ( r ) i s u s e d o f t h e f o r m V ( D = 4 eK f )
1 2- (f)
6}
( 3 ) w h i c h i s c a l l e d t h e L e n n a r d - J o n e s p o t e n t i a l ( f i g . 1 ) . E x p e r i m e n t a l l y , n o b l e g a s s e s h a v e b e e n , a n d a r e s t i l l , t h e o b j e c t o f t h o r o u g h i n v e s t i g a t i o n . T h e r e i s i n t e r e s t , f o r e x a m p l e , i n t h e p r o p e r t i e s o f t h r e e - d i m e n s i o n a l b u l k s y s t e m s a s w e l l a s i n t h o s e o f t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m s ( a d s o r b e d m o n a t o m i c l a y e r s ) . T r a d i t i o n a l l y , t h e f i r s t q u a n t i t y t h a t i s o b t a i n -e d by s i m u l a t i o n i s t h -e -e q u a t i o n o f s t a t -e , i . -e . t h -e p r -e s s u r -e o f t h -e s y s t -e m a sa f u n c t i o n o f i t s d e n s i t y p a n d t e m p e r a t u r e T, f o l l o w e d b y t h e o t h e r t h e r m o d y -n a m i c f u -n c t i o -n s . I -n a d d i t i o -n , q u a -n t i t i e s s u c h a s t h e p a i r - c o r r e l a t i o -n f u -n c t i o -n a n d t h e t i m e - c o r r e l a t i o n f u n c t i o n f o r t h e v e l o c i t y o f a n i n d i v i d u a l p a r t i c l e c a n b e c a l c u l a t e d . T h e s e t i m e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s y i e l d t h e t r a n s p o r t c o e f -f i c i e n t s , s u c h a s t h e d i -f -f u s i o n c o n s t a n t . S o m e t i m e s t h e s i m u l a t i o n l e a d s t o new f u n d a m e n t a l u n d e r s t a n d i n g , a s was t h e c a s e i n t h e p r e d i c t i o n o f t h e f a m o u s l o n g t i m e t a i l s i n t h e v e l o c i t y - a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n ( s e e e . g . A l d e r a n d W a i n w r i g h t , 1 9 7 0 ) . I I . 2 . D i s c r e t e N e w t o n ' s e q u a t i o n s : t h e l e a p f r o g t i m e - i n t e g r a t i o n s c h e m e T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e p a r t i c l e s i n t h e s i m u l a t i o n c a n b e r e w r i t -t e n i n -t h e f o r m d r . l d t Pi ( 4 ) d p , d t F. 1 ( 5 ) -» - > - - > • w h e r e p. i s t h e momentum o f t h e i - t h p a r t i c l e a n d F. = - 3E / 3 r . i s t h e f o r c e * i i p l a c t i n g o n i t . T h e r e a r e many w a y s i n w h i c h t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s e q s . ( 4 ) a n d ( 5 ) c a n b e made d i s c r e t e . A s i m p l e a n d c o m p u t a t i o n a l l y e f f i c i e n t t i m e -i n t e g r a t -i o n s c h e m e -i s t h e l e a p f r o g s c h e m e ( B u n e m a n , 1 9 6 7 ) . The l e a p f r o g s c h e m e i s c h a r a c t e r i z e d b y d e f i n i n g t h e p o s i t i o n s a t i n t e g r a l t i m e l e v e l s a n d t h e m o m e n t a a t h a l f - i n t e g r a l t i m e l e v e l s : r±( n ) r . ( n - l ) A t = P . ( n - I ) ( 6 ) P1( n + i ) P1( n - i ) A t F . ( n ) ( 7 )
w h e r e n i n d i c a t e s t h e t i m e l e v e l a n d A t t h e t i m e - i n c r e m e n t . T h i s s c h e m e m e e t s t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t r e q u i r e m e n t s : - C o n s i s t e n c y . T h e d i f f e r e n c e s c h e m e s o f e q s . ( 6 ) a n d ( 7 ) a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s e q s . ( 4 ) a n d ( 5 ) , s i n c e f o r i n f i n i t e l y s m a l l t i m e s t e p s e q s . ( 6 ) a n d ( 7 ) g i v e e q s . ( 4 ) a n d ( 5 ) . T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s e q s . ( 4 ) a n d ( 5 ) a r e t i m e r e v e r s i b l e , w h i c h i s a l s o t r u e f o r t h e d i f f e r e n c e s c h e m e b e c a u s e o f t h e t i m e - - c e n t r e d d e r i v a t i v e s . T h e d i f f e r e n c e r ( n ) - r ( n - l ) i s c e n t r e d a r o u n d t h e h a l f i n t e g r a l t i m e s ( n i ) A t a n d t h e d i f f e r e n c e ( p ( n + i ) -p ( n - | ) i s c e n t r e d a r o u n d t h e i n t e g r a l t i m e s n A t . - A c c u r a c y . A p a r t f r o m b l u n d e r s , t h e a c c u r a c y d e p e n d s o n r o u n d o f f e r r o r s a n d t r u n c a t i o n e r r o r s ( R a l s t o n , 1 9 6 5 ) . T r u n c a t i o n e r r o r s a r i s e f r o m t h e r e p r e s e n t a t i o n o f c o n t i n u o u s q u a n t i t i e s b y d i s c r e t e s e t s o f v a l u e s a n d a r e p r o p o r t i o n a l t o A tp i n a p - t h o r d e r d i f f e r e n c e s c h e m e . T h e l e a p f r o g s c h e m e i s a s e c o n d - o r d e r m e t h o d . R o u n d o f f e r r o r s r e s u l t f r o m t h e f i n i t e w o r d l e n g t h o f n u m b e r r e p r e s e n t a t i o n s i n t h e c o m p u t e r . P r o v i d e d t h e s c h e m e i s s t a b l e , r o u n d -o f f e r r -o r s c a n b e k e p t s m a l l e r t h a n t r u n c a t i -o n e r r -o r s i f c -o m p u t e r s w i t h a n a p p r o p r i a t e w o r d l e n g t h s a r e s e l e c t e d . - S t a b i l i t y . S t a b i l i t y i s c o n c e r n e d w i t h t h e p r o p a g a t i o n o f e r r o r s . T h e l e a p f r o g s c h e m e i s s t a b l e w h e n t h e c o n d i t i o n 1 1 max ( A t ) i s met ( H o c k n e y a n d E a s t w o o d , 1 9 8 1 ) . T h i s c a n b e o b t a i n e d b y a s u i t a b l e c h o i c e f o r A t , f o r a g i v e n F. - E f f i c i e n c y . T h e l e a p f r o g s c h e m e i s a n e f f i c i e n t t i m e - i n t e g r a t i o n s c h e m e . T h e c o s t i n s t o r a g e i s m i n i m a l a s o n l y o n e t i m e l e v e l o f t h e p a r t i c l e p o s i t i o n s a n d m o m e n t a i s t o b e k e p t i n memory d u r i n g t h e s i m u l a t i o n . H i g h e r - o r d e r s c h e m e s n e e d t h o s e v a l u e s a t s e v e r a l t i m e l e v e l s . T h e c o m p u t a t i o n a l c o s t s a r e m i n i m a l a s t h e n u m b e r o f o p e r a t i o n s p e r p a r t i c l e a n d p e r t i m e s t e p i s m i n i m a l . S o - c a l l e d " h i g h e r - o r d e r " s c h e m e s ( s e e e . g . Beeman 1 9 7 6 ) r e q u i r e m o r e s t o r a g e a n d m o r e o p e r a t i o n s f o r a t i m e - i n t e g r a t i o n w h i c h , i n a b s e n c e o f r o u n d o f f , g i v e i d e n t i c a l t r a j e c t o r i e s . F i n a l l y , i t i s n o t e d t h a t w i t h t h i s s c h e m e some c a u t i o n i s r e q u i r e d w h e n c a l c u l a t i n g m i x e d v e l o c i t y - p o s i t i o n c o r r e l a t i o n s , b e c a u s e o f t h e o u t - o f - p h a s e t r e a t m e n t o f t h e s e q u a n t i t i e s . T h i s p r o b l e m i s u s u a l l y r e s o l v e d b y a n i n t e r p o -l a t i o n o f o n e o f t h e q u a n t i t i e s .
I I . 3 . S t r a t e g i e s I n p a r t i c l e i n t e r a c t i o n c o m p u t a t i o n s T h r e e s i m u l a t i o n m e t h o d s f o r p a r t i c l e s y s t e m s c a n b e d i s t i n g u i s h e d . T h e y d i f f e r i n how t h e f o r c e i n e q . ( 7 ) i s c a l c u l a t e d . - P a r t i c l e - p a r t i c l e ( P P ) m e t h o d . T h e t o t a l f o r c e o n a p a r t i c l e d u e t o t h e i n t e r a c t i o n s w i t h o t h e r p a r t i c l e s i s c a l c u l a t e d d i r e c t l y by s u m m i n g a l l f o r c e c o n t r i b u t i o n s . T h i s i s a n a c c u r a t e b u t c o m p u t a t i o n a l l y I n t e n s i v e m e t h o d . I t i s s u i t e d f o r s y s t e m s w i t h s h o r t - r a n g e i n t e r a c t i o n s o n l y . - P a r t i c l e - m e s h ( P M ) m e t h o d . T h e f o r c e s o n t h e p a r t i c l e s a r e c o m p u t e d v i a a n a u x i l i a r y f i e l d o b t a i n e d by s o l v i n g t h e P o i s s o n e q u a t i o n u s i n g a m e s h . T h i s m e t h o d i s f a s t c o m p a r e d t o t h e P P m e t h o d , b u t i s a c c u r a t e o n l y f o r f o r c e f i e l d s w h i c h h a v e n e g l i g i b l e h a r m o n i c c o n t e n t b e y o n d w a v e l e n g t h s s h o r t e r t h a n t w o m e s h s p a c l n g s . When l o n g - r a n g e i n t e r a c t i o n s a r e d o m i n a t i n g ( c o l l i s i o n l e s s p h a s e f l u i d l i m i t ) , t h e PM m e t h o d i s v e r y e f f i c i e n t , e . g . i n p l a s m a c a l c u l a -t i o n s a n d g a l a x y s i m u l a -t i o n s ( s e e e . g . H o c k n e y , 1 9 7 0 , a n d L a n g d o n , 1 9 7 6 ) . - P a r t i c l e - p a r t i c l e - p a r t i c l e - m e s h ( P P P M o r P3M) m e t h o d . T h i s m e t h o d i s a c o m p r o m i s e b e t w e e n s p e e d a n d a c c u r a c y , a n d u s e s b o t h PP a n d PM s c h e m e s ( H o c k -n e y a -n d E a s t w o o d , 1 9 8 1 ) . S i m u l a t i o -n s w i t h b o t h l o -n g - a -n d s h o r t - r a -n g e i n t e r a c t i o n s ( e . g . f o r m o l t e n s a l t s ) a r e m o s t e f f i c i e n t l y c a r r i e d o u t by t h e P P P M m e t h o d . T h i s t h e s i s i s r e s t r i c t e d t o s h o r t - r a n g e i n t e r a c t i o n s a n d h e n c e t o t h e PP m e t h o d .
I I .4 . The c u t o f f r a d i u s o f t h e p o t e n t i a l and l i n k e d - l i s t method i n t h e PP m e t h o d T h e t o t a l f o r c e o n a p a r t i c l e i a t p o s i t i o n r ^ i s g i v e n by t h e sum o f t h e I n t e r p a r t i c l e f o r c e s ( j * i ) w h e r e f ^ j i s t h e f o r c e e x e r t e d b y p a r t i c l e j o n p a r t i c l e i , a n d g i v e n b y f ( r ) = - i ^ ( 1 0 )
A l l p a r t i c l e s a r e l o c a t e d i n a " c o m p u t a t i o n a l " b o x . P e r i o d i c b o u n d a r y c o n -d i t i o n s a r e u s e -d ; w h e n a p a r t i c l e l e a v e s t h e b o x i t s i m a g e w i l l e n t e r f r o m t h e o p p o s i t e s i d e w i t h t h e same v e l o c i t y . H e n c e t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s i s c o n s e r v e d . T h e m i n i m u m i m a g e c o n v e n t i o n i s u s e d , a c c o r d i n g t o w h i c h a g i v e n p a r -t i c l e i n -t e r a c -t s a -t m o s -t o n c e w i -t h e a c h o -t h e r p a r -t i c l e ; f o r s h o r -t - r a n g e f o r c e s t h i s c o n v e n t i o n i s s c a r c e l y n e e d e d , b e c a u s e t h e c o m p u t a t i o n a l b o x i s u s u a l l y m u c h l a r g e r t h a n t h e r a n g e o f t h e f o r c e . W h i l e i t i s t r u e t h a t f o r p o t e n t i a l s s i m i l a r t o t h a t i n f i g . l , t h e i n t e r p a r t i c l e f o r c e f ^ j d o e s n o t c o m p l e t e l y v a n -i s h w -i t h -i n c r e a s -i n g d -i s t a n c e r ^ , V ( r ) -i s s a f e l y a p p r o x -i m a t e d b y z e r o f o r r l a r g e r t h a n a c u t o f f r a d i u s r , w i t h o u t d i s t o r t i n g t h e r e s u l t s a n d w i t h a c o n -s i d e r a b l e i n c r e a -s e i n c a l c u l a t i o n a l e f f i c i e n c y . A -s t r a i g h t f o r w a r d m e t h o d o f e v a l u a t i n g F f o r a p a r t i c l e i i s t h e n t o c o n s i d e r a l l o t h e r p a r t i c l e s j = i + l , . . . , N a n d c o m p u t e f ^ ^ o n l y i fr^ j = | ri_ rj | is ^ -e s s t h a n rc> M o r e o v e r , t h e c o n t r i b u t i o n o f e a c h f . . t o F, i s t a k e n i n t o a c c o u n t . N e v e r t h e l e s s , t h e J J 2 c o m p u t a t i o n a l c o s t o f a l l r ^ ^ c a l c u l a t i o n s i s p r o p o r t i o n a l t o N a n d m a k e s t h i s m e t h o d i m p r a c t i c a l f o r l a r g e N. A n e f f i c i e n t a p p r o a c h i s t o o r d e r t h e p a r t i c l e c o o r d i n a t e s s u c h t h a t m o s t o f t h e n o n - i n t e r a c t i n g p a r t i c l e p a i r s a r e e x c l u d e d f r o m t h e r ^ j c a l c u l a t i o n s i n a d v a n c e . T h i s i s d o n e b y t h e l i n k e d - l i s t m e t h o d . T h e c o m p u t a t i o n a l b o x i s d i v i d e d i n t o a n u m b e r o f s u b b o x e s ( H o c k n e y a n d E a s t w o o d , 1 9 8 1 ) , v i z . a r e g u l a r a r r a y o f l i n k e d - l i s t c e l l s ( s e e f i g . 2 ) . The f i g . 2. The c o m p u t a t i o n a l b o x d i v i d e d i n s u b b o x e s ( 2 - d i m . ) .
s i d e s o f t h e c e l l s a r e c h o s e n t o b e n o t s m a l l e r t h a n r c s o t h a t a p a r t i c l e l o c a t e d i n a g i v e n l i n k e d - l i s t c e l l c a n o n l y i n t e r a c t w i t h t h e p a r t i c l e s l o c a t e d i n t h a t same c e l l a n d w i t h t h e p a r t i c l e s l o c a t e d i n t h e d i r e c t l y n e i g h b o u r i n g c e l l s ( 2 6 c e l l s i n t h r e e d i m e n s i o n s a n d 8 c e l l s i n t w o d i m e n -s i o n -s ) . T h e p u r p o s e o f t h e l i n k e d - l i s t m e t h o d i s t o o b t a i n t h e p a r t i c l e a t t r i b u t e s d i r e c t l y w i t h o u t s e a r c h i n g . To t h i s e n d , a p r e s o r t i n g m e c h a n i s m , c h a i n i n g t h e a d d r e s s e s o f t h e p a r t i c l e s i n a c e l l , i s a p p l i e d . T h i s m e c h a n i s m m a k e s u s e o f a l i n k e d - l i s t a r r a y L L { i } , i = l N, a n d a H e a d - O f - C h a i n a r r a y H O C J j } , j = 0 , . . . Nc- l . H e r e N i s t h e t o t a l n u m b e r o f p a r t i c l e s a n d Nc i s t h e t o t a l n u m b e r o f l i n k e d - l i s t c e l l s ( s u b b o x e s ) . A l l p a r t i c l e s l o c a t e d i n a g i v e n s u b b o x , f o r e x a m p l e l i n k e d - l i s t c e l l n u m b e r q , a r e c h a i n e d t o g e t h e r b y p o i n t e r s ( s e e f i g . 3 ) . HOC{q} p o i n t s t o t h e f i r s t p a r t i c l e , n u m b e r m, i n t h e c h a i n ( h e a d o f c h a i n ) a n d , h e n c e , HOC{q}=m. T h e n e x t p a r t i c l e i n t h e c h a i n , n u m b e r 1, i s l i n k e d t o m t h r o u g h L L ; L L { m } = l . T h e e n d o f t h e c h a i n i s i n d i c a t e d b y z e r o ; e . g . L L { j } = 0 . The p o i n t e r s o f t h i s l i n k e d - l i s t a r e a l s o u s e d t o a d d r e s s p a r t i c l e a t t r i b u t e s s u c h a s t h e p o s i t i o n s a n d t h e m o m e n t a . T h e s e d a t a s t r u c t u r e s e n a b l e t o o b t a i n t h e a t t r i b u t e s o f p a r -t i c l e s i n a s p e c i f i e d s u b b o x v e r y e f f i c i e n -t l y .
L L c e l l
-n u m b e r
H O C
L L
X . P
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
m
C
1
2
3
j
X k - Pk
I
_«. m
k
i
D -+.
Xl , Pi
p
( a d d r e s s )
( d a t a out)
f i g . 3. A l i n k e d - l i s t e x a m p l e i n s u b b o x q .T h e s t a r t i n g p o i n t i n u s i n g t h i s l i n k e d - l i s t t e c h n i q u e i s t o s e t a l l HOC e l e m e n t s t o z e r o . T h e n t h e c o o r d i n a t e s o f a l l p a r t i c l e s a r e s e q u e n t i a l l y e x a m -i n e d . T h e p o s -i t -i o n v a l u e o f e a c h p a r t -i c l e -i s u s e d t o d e t e r m -i n e t h e l -i n k e d - l -i s t c e l l n u m b e r i n w h i c h i t i s l o c a t e d . T h e i n s e r t i o n o f a n a d d i t i o n a l p a r t i c l e , n u m b e r n , t o t h e c h a i n p r e v i o u s l y d e m o n s t r a t e d i n f i g . 3 i s i l l u s t r a t e d i n f i g . 4. P a r t i c l e n u m b e r n b e c o m e s t h e new h e a d - o f - c h a i n , H O C J q } = n , a n d t h e p r e v i o u s h e a d - o f - c h a i n , m, i s s t o r e d i n L L , s u c h t h a t LL,{n}=m. ( I f t h e r e a r e n o p a r t i c l e s i n a s u b b o x , r , H O C { r } = 0 ) . T h e l i n k e d - l i s t m e t h o d r e d u c e s t h e n u m b e r o f r ^ j c a l c u l a t i o n s d r a s t i c a l l y ; t h e n u m b e r o f o p e r a t i o n s i s now p r o p o r t i o n a l t o N. T h e o v e r h e a d i n m a i n t a i n i n g t h e l i s t s i s v e r y s m a l l .
d a t a In
m — * n
(m)
C
c
p a r t i c l e number
C
m
L Ld a t a in
D
D
{x — • )m
D
m
X . P
X j . p i* l , P i
X m ' Pft X n ,pnJ
q = f ( X J X
n f i g . 4. T h e l i n k e d - l i s t s e t u p ; p a r t i c l e n i s l o c a t e d i n s u b b o x q .I I . 5 . P P a l g o r i t h m p r o c e d u r e I n g e n e r a l , a s i n g l e t i m e s t e p i n a s i m u l a t i o n u s i n g t h e P P m e t h o d i n c l u d e s t h e f o l l o w i n g t h r e e a c t i o n s : - l i n k e d - l i s t s e t - u p s e t HOC{q}:=0 f o r a l l q d o f o r a l l p a r t i c l e s i q : = f ( r . ) L L { i } :=HOC{q} HOC{q} : = i e n d d o - u p d a t e t h e m o m e n t a do f o r a l l s u b b o x e s , I d o f o r a l l ( n e i g h b o u r i n g ) s u b b o x e s , J > I do f o r a l l c o m b i n a t i o n s , i a n d j ; { i - I , { j } = J u p d a t e m o m e n t a o f p a r t i c l e s i a n d j [ e q s . ( 7 ) a n d ( 9 ) ] e n d d o e n d d o e n d d o - u p d a t e t h e p o s i t i o n s do f o r a l l p a r t i c l e s i u p d a t e p o s i t i o n s o f p a r t i c l e i [ e q . ( 6 ) ] e n d d o
I I .6 . R e d u c e d q u a n t i t i e s f o r a L e n n a r d - J o n e s s y s t e m T h e N e w t o n i a n e q u a t i o n s o f m o t i o n , e q s . ( 4 ) a n d ( 5 ) , a r e u s u a l l y f o r m u l a t e d i n t e r m s o f r e d u c e d p h y s i c a l q u a n t i t i e s . I n t h e c a s e o f a L e n n a r d - J o n e s 1 2 - 6 i n t e r a c t i o n ( e q . ( 3 ) ) t h e n a t u r a l u n i t s o f l e n g t h , e n e r g y a n d mass a r e t h e h a r d - c o r e d i a m e t e r , a , t h e p o t e n t i a l w e l l d e p t h , e , a n d t h e p a r t i c l e m a s s , m, r e s p e c t i v e l y . T h e r e f o r e t h e r e d u c e d q u a n t i t i e s a r e d e f i n e d b y • *r i r . ( 1 1 ) + * < i P • = — ( 1 2 ) 1 /Fm" t * = - ^ z ( 1 3 ) a/m/e F o r t h e L e n n a r d - J o n e s p o t e n t i a l t h e q u a n t i t y f ( r ) , d e f i n e d b y e q s . ( 3 ) a n d ( 1 0 ) , t a k e s t h e f o r m f ( r ) = ^ { 2 ( f ) 1 2 - ( f )6} ( 1 4 ) r A f u n c t i o n f i n t e r m s o f t h e r e d u c e d v a r i a b l e r i s d e f i n e d b y f * ( r * ) - % - 4^} ( 1 5 ) r r r H e n c e t h e l e a p f r o g s c h e m e ( e q s . ( 6 ) a n d ( 7 ) ) c a n b e e x p r e s s e d i n r e d u c e d q u a n t i t i e s a s r * ( n ) = r , * ( n - l ) + p , * ( n - | ) A t * ( 1 6 ) p, ( n + i ) = p , ( n - i ) + A t t r . . ( n ) f ( r . . ( n ) ) ( 1 7 ) 1 1 J ^ i 1 1 i j
F o r c o m p l e t e n e s s a f e w o t h e r q u a n t i t i e s t h a t w i l l b e u s e d l a t e r a r e d e f i n e d , n a m e l y t h e r e d u c e d t e m p e r a t u r e T* = i - i ; *2 d a ) dN 1=1 l w h e r e d i s t h e d i m e n s i o n , t h e r e d u c e d d e n s i t y P* = N ( ^ )d ( 1 9 ) w h e r e L i s t h e b o x l e n g t h , t h e r e d u c e d b o x l e n g t h L * =
J
( 2 0 ) a n d t h e r e d u c e d p o t e n t i a l e n e r g y p e r p a r t i c l e E*P = S i <2 i* > T h e r e d u c e d p r e s s u r e i s d e f i n e d a s * 2 * * * p N - l N * * * P = P T + — < S I r f ( r ) > ( 2 1 b ) dN j = l i = j + l i j i jI I I . D E S I G N C O N S I D E R A T I O N S FOR A S P E C I A L PURPOSE MOLECULAR DYNAMICS PROCESSOR 1 1 1 . 1 . I n t r o d u c t i o n A s y n c h r o n o u s d i g i t a l p r o c e s s o r i s d r i v e n by t h e s y s t e m c l o c k . E v e r y r i s i n g e d g e o f t h a t c l o c k d e t e r m i n e s a new s t a t e o f t h e p r o c e s s o r , e . g . t h e r e s u l t o f some o p e r a t i o n i s s e t t l e d . As l o n g a s a l l o p e r a t o r s i n t h e p r o c e s s o r p r o d u c e r e l i a b l e r e s u l t s w i t h i n one c l o c k p e r i o d , t h e c o m p u t a t i o n a l t h r o u g h p u t i s d e t e r m i n e d b y t h e c l o c k f r e q u e n c y a n d t h e n u m b e r o f s i m u l t a n e o u s l y a c t i v e o p e r a t o r s i n t h e p r o c e s s o r . The a r t o f d e s i g n i n g a n a l g o r i t h m o r i e n t a t e d p r o -c e s s o r i s t o i n -c o r p o r a t e s o many h a r d w a r e o p e r a t o r s , s i m u l t a n e o u s l y a -c t i v e i n p a r a l l e l o r i n p i p e l i n e s , t h a t t h e c o s t / p e r f o r m a n c e r a t i o f o r t h e t o t a l a l g o r i t h m p r o c e d u r e i s a s s m a l l a s p o s s i b l e . The f r e e d o m i n t h e d e s i g n i s f u r t h e r -m o r e r e s t r i c t e d by i n i t i a l c o n d i t i o n s s u c h a s t h e -m i n i -m u -m s p e e d r e q u i r e d a n d t h e maximum a v a i l a b l e b u d g e t . The d e s i g n o f t h e m o l e c u l a r - d y n a m i c s p r o c e s s o r s t a r t e d w i t h a f e a s i b i l i t y s t u d y ( B a k k e r , 1 9 7 8 ) i n w h i c h a r o u g h s k e t c h o f t h e d a t a f l o w a n d c o n t r o l f l o w o f t h e l e a p f r o g a l g o r i t h m was d e s c r i b e d i n t e r m s o f p a r a l l e l a n d p i p e l i n e d o p e r a t i o n s . The a i m was t o e s t i m a t e t h e c o s t a n d p e r f o r m a n c e o f s u c h a p r o c e s s o r . I n c o m p a r i s o n w i t h c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e s o l u t i o n s , t h e a l g o r i t h m o r i e n t a t e d p r o c e s s o r a p p r o a c h s e e m e d t o be v e r y a t t r a c -t i v e i n -t h i s c a s e : a h i g h c o m p u -t e r s p e e d a -t l o w c o m p u -t e r c o s -t s . 1 1 1 . 2 . S y s t e m p a r t i t i o n i n g T h e m a i n g o a l o f u s i n g a n a l g o r i t h m - o r i e n t a t e d p r o c e s s o r i s t o s p e e d up t i m e - c o n s u m i n g o p e r a t i o n s r a t h e r t h a n t o r e p l a c e a t o t a l p r o g r a m , o r t o r e p l a c e a g e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r . F r e q u e n t l y o c c u r r i n g s i m p l e o p e r a t i o n s i n v o l v i n g m u l t i p l i c a t i o n , a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , a n d f u n c t i o n l o o k - u p t a b l e s a r e v e r y w e l l s u i t e d f o r d e d i c a t e d - h a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n . H o w e v e r , t h e man-m a c h i n e i n t e r f a c e , i n c i d e n t a l a n d c o man-m p l e x o p e r a t i o n s , p a r t o f t h e d a t a a n a l y s i s , a n d t h e p r e s e n t a t i o n o f r e s u l t s c a n be d o n e m o r e e f f i c i e n t l y b y , a g e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r . H e n c e , t h e p r e s e n t c o m p u t i n g a p p a r a t u s c o n s i s t s o f a d e d i c a t e d p r o c e s s o r , i n w h i c h t h e m a i n a l g o r i t h m l o o p i s e x e c u t e d , a n d a g e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r ( e . g . a m i n i c o m p u t e r ) , w h i c h p e r f o r m s t h e r e s t o f t h e t o t a l s i m u l a t i o n p r o g r a m a n d t h r o u g h w h i c h t h e u s e r c o n t r o l s t h e a t t a c h e d d e d i c a t e d p r o c e s s o r . The c o m b i n a t i o n h a s t o b e p r e s e n t e d t o t h e u s e r a s a
u s e r - f r i e n d l y h i g h - s p e e d c o m p u t e r , c a r r y i n g o u t t h e p a r t i c u l a r a l g o r i t h m f o r w h i c h i t was d e s i g n e d . I n t h i s c a s e a n HP 1000 m i n i c o m p u t e r i s u s e d f o r t h e g e n e r a l p u r p o s e p a r t o f t h e a p p a r a t u s . T h e d e d i c a t e d p a r t , c a l l e d t h e MD p r o c e s s o r , i s l i n k e d t o t h e HP c o m p u t e r b y means o f a 1 6 b i t p a r a l l e l i n p u t -o u t p u t ( I / O ) c h a n n e l , t h r -o u g h w h i c h t h e f l -o w -o f a l l d a t a , i n s t r u c t i -o n s , e t c . , t a k e s p l a c e . I I I . 3 . T a s k s o f t h e MD p r o c e s s o r The b a s i c f u n c t i o n s r e q u i r e d f r o m t h e p r o c e s s o r a r e : - To c a l c u l a t e t h e f o r c e s a n d t o u p d a t e t h e m o m e n t a . T h e s e c a l c u l a t i o n s a r e t h e c o r e o f t h e l e a p f r o g a l g o r i t h m a n d o c c u p y a c e n t r a l p l a c e i n t h e d e s i g n o f t h e t o t a l p r o c e s s o r . - To k e e p t h e p a r t i c l e m o m e n t a a n d p o s i t i o n s i n l o c a l me o r y . I n o r d e r t o a v o i d m a s s i v e I/O o v e r h e a d i n t h e s i m u l a t i o n e x e c u t i o n , a l l p a r t i c l e a t t r i -b u t e s h a v e t o -b e k e p t l o c a l l y i n t h e MD p r o c e s s o r -b y a l a r g e p a r t i c l e memory. - To u p d a t e t h e p o s i t i o n s . T h e p a r t i c l e a t t r i b u t e s a r e l o c a t e d i n t h e MD p r o c e s s o r , a n d t h i s i n f o r m a t i o n i s r e q u i r e d f o r c a l c u l a t i n g t h e new p o s i t i o n s e v e r y t i m e s t e p . O b v i o u s l y , a g a i n t o a v o i d I/O o v e r h e a d , t h i s r e l a t i v e l y s i m -p l e o -p e r a t i o n i s b u i l t i n t o t h e MD -p r o c e s s o r . - To p e r f o r m l i n k e d - l i s t p r o c e d u r e s . T h e l i n k e d - l i s t m e t h o d i s u s e d d u r i n g t h e m o m e n t u m - u p d a t e p h a s e a n d i s i n s e p a r a b l e f r o m t h i s s e c t i o n . H e n c e t h i s b o o k k e e p i n g f u n c t i o n w i l l b e a p a r t o f t h e MD p r o c e s s o r . - To p e r f o r m p a r a l l e l m e a s u r e m e n t s . W i t h t h e a i d o f a l i t t l e e x t r a h a r d w a r e a l l d a t a r e q u i r e d f o r a m e a s u r e m e n t ( f o r e x a m p l e , c o n c e r n i n g t h e p o -t e n -t i a l a n d k i n e -t i c e n e r g y , a n d -t h e p a i r - c o r r e l a -t i o n f u n c -t i o n ) i s -t a p p e d f r o m t h e h a r d w a r e d u r i n g e a c h t i m e s t e p . T h e s e a r e f e d t o s i m p l e m e a s u r e m e n t h a r d -w a r e s e c t i o n s . S i n c e t h e s e c a l c u l a t i o n s a r e c a r r i e d o u t i n p a r a l l e l -w i t h t h e s i m u l a t i o n , no e x t r a c o m p u t i n g t i m e i s u s e d . I I I . A . U s e r r e q u i r e m e n t s I m p o r t a n t u s e r r e q u i r e m e n t s f o r t h e MD p r o c e s s o r a r e t h a t t h e r e s u l t s b e s u f f i c i e n t l y a c c u r a t e , t h a t t h e y b e p r o d u c e d i n a r e a s o n a b l e t i m e a n d t h a t t h e p r o c e s s o r b e e a s y t o o p e r a t e .
1 1 1 . 4 . 1 . C a p a c i t y An i m p o r t a n t p a r a m e t e r t o be s e t i n a d v a n c e i s t h e maximum n u m b e r o f p a r t i -c l e s w h o s e s i m u l t a n e o u s m o t i o n s a r e t o b e s i m u l a t e d w i t h t h e MD p r o -c e s s o r . A t y p i c a l m o l e c u l a r - d y n a m i c s s i m u l a t i o n o n g e n e r a l p u r p o s e - c o m p u t e r s may i n v o l v e a s y s t e m o f a b o u t 1000 p a r t i c l e s . An a l g o r i t h m - o r i e n t a t e d p r o c e s s o r s h o u l d be a b l e t o s t u d y s y s t e m s o f a t l e a s t a n o r d e r o f m a g n i t u d e l a r g e r , i f t h e c o n -s t r u c t i o n o f -s u c h a p r o c e -s -s o r i -s t o be w o r t h w h i l e . The maximum -s y -s t e m -s i z e f o r t h e MD p r o c e s s o r was c h o s e n t o be 2 ^ - 1 = 6 5 5 3 5 p a r t i c l e s . S u c h a n e x t e n s i o n o f t h e maximum n u m b e r o f p a r t i c l e s i s v e r y u s e f u l i n s t u d y i n g s y s t e m - s i z e e f f e c t s . 1 1 1 . 4 . 2 . O p e r a t i o n a l s p e e d The u s e r i s i n t e r e s t e d i n r e s u l t s a n d t h e i r s t a t i s t i c a l a c c u r a c y . T h e m o r e p a r t i c l e s a n d t i m e s t e p s i n v o l v e d i n a s i m u l a t i o n t h e b e t t e r t h e s t a t i s t i c a l a c c u r a c y t h a t w i l l b e o b t a i n e d . The n u m b e r o f t i m e s t e p s i n a t y p i c a l s i m u l a t i o n r u n i s o f t h e o r d e r o f 1 0 ^ f o r a f i x e d t e m p e r a t u r e a n d d e n s i t y . The e x e -c u t i o n t i m e o f b o t h a t i m e s t e p a n d a m e a s u r e m e n t w i l l h a v e t o b e s h o r t e r , o r a t l e a s t n o t much l o n g e r , t h a n i t w o u l d t a k e o n a l a r g e c o m p u t e r . G i v e n t h e s p e e d l i m i t s o f c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e h a r d w a r e o p e r a t o r s ( t y p i c a l l y 5 MHz t h r o u g h p u t ) , t h i s r e q u i r e m e n t c a n be met b y a r r a n g i n g f o r a n a p p r o p r i a t e n u m b e r o f s i m u l t a n e o u s o p e r a t i o n s i n t h e p r o c e s s o r . 1 1 1 . 4 . 3 . W o r d l e n g t h a n d a c c u r a c y G i v e n t h e l e a p f r o g a l g o r i t h m , t h e a c c u r a c y o f t h e r e s u l t s d e p e n d s o n t h e w o r d l e n g t h o f t h e p a r t i c l e p o s i t i o n s a n d m o m e n t a a n d o n t h e s i z e o f t h e t i m e s t e p u s e d . I t i s d i f f i c u l t t o a p r i o r i e s t i m a t e w o r d l e n g t h e f f e c t s due t o t h e n o n l i n e a r i t y o f t h e a l g o r i t h m . T h e r e f o r e t h e e x p e r i e n c e g a i n e d f r o m s i m u -l a t i o n s o n g e n e r a -l - p u r p o s e c o m p u t e r s was u s e d t o d e t e r m i n e t h e a p p r o p r i a t e w o r d l e n g t h o f t h e p o s i t i o n s a n d m o m e n t a . I n m o s t MD s i m u l a t i o n s o n g e n e r a l -p u r -p o s e c o m -p u t e r s t h e -p a r t i c l e -p o s i t i o n s a n d m o m e n t a a r e r e -p r e s e n t e d a s f l o a t i n g - p o i n t n u m b e r s . H o w e v e r , t h e r e a r e two i m p o r t a n t a r g u m e n t s f o r u s i n g a f i x e d - p o i n t f o r m a t i n o u r c a s e . I n t h e f i r s t p l a c e h a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n o f f l o a t i n g - p o i n t o p e r a t o r s i s r e l a t i v e l y c o m p l i c a t e d a n d e x p e n s i v e , c o m p a r e d t o
t h e i m p l e m e n t a t i o n o f f i x e d - p o i n t o p e r a t o r s . S e c o n d l y , f l o a t i n g - p o i n t n o t a t i o n o f t h e p a r t i c l e p o s i t i o n s i m p l i e s p o s i t i o n - d e p e n d e n t a c c u r a c y , a n d t h e o v e r a l l a c c u r a c y g i v e s h a r d l y a n y i m p r o v e m e n t i n c o m p a r i s o n w i t h u s i n g f i x e d - p o i n t n u m b e r s . F r o m s i m u l a t i o n s o n g e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r s i t was c o n c l u d e d t h a t w o r d l e n g t h s o f 24 b i t s f o r t h e p o s i t i o n s a n d 32 b i t s f o r t h e m o m e n t a a r e s u f -f i c i e n t -f o r m o s t a p p l i c a t i o n s . T h e e x t r a 8 b i t s a r e i n c o r p o r a t e d i n t h e m o m e n t a i n o r d e r t o r e d u c e r o u n d o f f e f f e c t s c a u s e d b y t h e a c c u m u l a t i o n o f t h e m o m e n t a c h a n g e s d u e t o t h e i n t e r a c t i o n s . As i n m o s t s o f t w a r e MD s i m u l a t i o n s , t h e f o r c e s a r e r e t r i e v e d f r o m a p r e d e -f i n e d -f o r c e l o o k - u p t a b l e , r a t h e r t h a n c a l c u l a t e d b y m e a n s o -f a n a n a l y t i c e x p r e s s i o n . The l a t t e r m e t h o d c o u l d s l o w down t h e t h e s i m u l a t i o n d r a m a t i c a l l y w h e n c o m p l e x f o r c e e x p r e s s i o n s a r e i n v o l v e d . T h e n u m b e r o f e n t r i e s i n t h e t a b l e a n d a l i n e a r i n t e r p o l a t i o n s c h e m e b e t w e e n t h e e n t r y v a l u e s d e t e r m i n e how c l o s e t h e l o o k e d u p v a l u e s a r e t o t h e f o r c e t h a t i s t o b e a p p l i e d i n t h e s i m u -l a t i o n . A g a i n e x p e r i e n c e f r o m s i m u -l a t i o n s o n g e n e r a -l p u r p o s e c o m p u t e r s was u s e d t o d e c i d e u p o n t h e n u m b e r o f e n t r i e s . T h e l o o k - u p t a b l e w a s c h o s e n t o h a v e 1 0 2 4 e n t r i e s , e a c h o f w h i c h c o n t a i n s a 3 2 b i t f i x e d p o i n t v a l u e . M o r e -o v e r , a l i n e a r i n t e r p -o l a t i -o n b e t w e e n t h e e n t r y v a l u e s i s a p p l i e d . I n t h e t a b l e , t h e f o r c e i s s t o r e d a s a f u n c t i o n o f t h e s q u a r e o f t h e p a r t i c l e s e p a r a -t i o n i n o r d e r -t o a v o i d a s q u a r e r o o -t o p e r a -t i o n . S o f t w a r e s i m u l a t i o n s w i t h w o r d l e n g t h s a s m e n t i o n e d a b o v e h a v e b e e n made a n d w e r e f o u n d t o a c h i e v e a s a t i s f a c t o r y a c c u r a c y i n c o m p a r i s o n w i t h t h e u s u a l s i m u l a t i o n s o n m a i n f r a m e c o m p u t e r s . I I I . 4 . 4 . U s e r i n t e r f a c e t o t h e p r o c e s s o r The u s e r s h o u l d n o t be d i s t r a c t e d f r o m t h e p r o b l e m h e w a n t s t o s o l v e b y t h e a r c h i t e c t u r e o f t h e MD p r o c e s s o r . He w a n t s t o r u n h i s s i m u l a t i o n p r o g r a m a s o n a g e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r a n d t o c o m m u n i c a t e w i t h t h e MD p r o c e s s o r i n t e r m s o f s u b r o u t i n e c a l l s . T h i s r e q u i r e m e n t i s met w h e n t h e u s e r i s s u p p l i e d w i t h a s u b r o u t i n e p a c k a g e w h i c h m a k e s f u l l u s e o f t h e o p e r a t i o n a l s p e e d o f t h e MD p r o c e s s o r . F o r t r a n 4 X , a s u b s e t o f F o r t r a n 7 7 , i s t h e s u p p o r t e d h i g h - l e v e l l a n g u a g e o n t h e HP 1 0 0 0 a n d i s u s e d i n t h i s p a c k a g e . A d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f s o f t w a r e s u p p o r t i s i n c l u d e d i n c h a p t e r V I .
I I I . 5 . D e s i g n r e q u i r e m e n t s The d e s i g n o f a d e d i c a t e d p r o c e s s o r i s r e l a t i v e l y s t r a i g h t f o r w a r d w h e n h a r d w a r e c o m p o n e n t s a r e u s e d w i t h a n o p e r a t i o n a l s p e e d b e l o w 10 MHz. A b o v e t h i s f r e q u e n c y p o w e r d i s s i p a t i o n a n d w i r e - l e n g t h e f f e c t s b e c o m e a n i m p o r t a n t p r o b l e m . T h e m o s t c o m p l e t e c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e l o g i c f a m i l y i s t h e T T L s e r i e s , w h i c h m e e t s t h e f r e q u e n c y r e q u i r e m e n t o f 10 MHz. B e i n g a v a i l a b l e i n S S I , M S I , L S I a n d V L S I t e c h n i q u e s t h i s f a m i l y i s m o s t s u i t a b l e f o r a p p l i c a t i o n i n t h e MD p r o c e s s o r . O p e r a t o r s l i k e m u l t i p l i e r s a n d a d d e r s c a n b e c o n s t r u c t e d s u c h t h a t a 4 MHz o p e r a t i o n a l s p e e d i s f e a s i b l e f o r t h e MD p r o c e s s o r . I I I . 5 . 1 . C o n t r o l r e q u i r e m e n t s T h e r e a r e t h r e e w a y s t o c o n t r o l h a r d w a r e o p e r a t o r s a n d d a t a f l o w s : - T h e p r e d e f i n e d h a r d w i r e d c o n t r o l , w h i c h i s f i x e d d u r i n g t h e d e t a i l e d d e s i g n . L o g i c - s t a t e d i a g r a m s a r e i m p l e m e n t e d w i t h r a n d o m l o g i c . C h a n g e s o r a d d i t i o n s i n t h i s t y p e o f c o n t r o l a r e o n l y p o s s i b l e b y h a r d w a r e i n t e r v e n t i o n a n d r e s t r i c t s t h e f l e x i b i l i t y o f t h e t o t a l s y s t e m . - The m i c r o p r o g r a m m e d c o n t r o l , w h e r e t h e c o n t r o l s e q u e n c e i s g e n e r a t e d b y s o f t w a r e r a t h e r t h a n b y h a r d w a r e . A f i x e d m i c r o p r o g r a m ( f i r m w a r e ) i n p r o g r a m m -a b l e r e -a d - o n l y memory (PROM) t o g e t h e r w i t h -a n -a p p r o p r i -a t e c o n t r o l l e r ( e . g . m i c r o p r o c e s s o r ) m a k e s t h e c o n t r o l t r a n s p a r e n t a n d e a s y t o d e s i g n . C o n t r o l m o d i f i c a t i o n s a r e made b y r e p l a c i n g t h e PROMs. - T h e m i c r o p r o g r a m m a b l e c o n t r o l , w h i c h i s i d e n t i c a l t o t h e m i c r o p r o g r a m m e d c o n t r o l w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t t h e PROM i s r e p l a c e d b y r e a d - w r i t e m e m o r y ( r a n d o m a c c e s s memory o r R A M ) . T h i s c o n t r o l memory h a s t o b e l o a d e d b y t h e g e n e r a l - p u r p o s e h o s t c o m p u t e r , a n d c a n b e m o d i f i e d v e r y e a s i l y b y c o m p i l i n g a n d l o a d i n g t h e m o d i f i e d m i c r o p r o g r a m . F o r t h e MD p r o c e s s o r t h e m i c r o p r o g r a m m -a b l e c o n t r o l -a p p r o -a c h i s p r e f e r -a b l e t o t h e f i r s t two p o s s i b i l i t i e s . I n t h e d e s i g n s t a g e o n l y t h e c o n t r o l l i n e s n e e d t o b e d e f i n e d a n d i m m e d i a t e h a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n i s p o s s i b l e . The d e t a i l e d i m p l e m e n t a t i o n o f t h e c o n t r o l f u n c t i o n s c a n b e d e v e l o p e d s i m u l t a n e o u s l y i n m i c r o p r o g r a m s . F o r m a i n t e n a n c e p u r -p o s e s , a u t o m a t i c t e s t -p r o c e d u r e s c a n b e i n c o r -p o r a t e d a t a n y l e v e l b y m e a n s o f a d d i t i o n a l m i c r o p r o g r a m s , a f e a t u r e t h a t d e t e c t s f a i l u r e s e f f i c i e n t l y .
I I I . 6 . S c a l i n g t h e p h y s i c a l q u a n t i t i e s f o r t h e MD p r o c e s s o r T h e MD p r o c e s s o r i s d e s i g n e d t o o p e r a t e o n f i x e d - p o i n t t w o ' s c o m p l e m e n t n u m b e r s r a n g i n g f r o m -1 t o 1, b u t e x c l u d i n g 1. C o n s e q u e n t l y a l l n u m b e r s u s e d b y t h e p r o c e s s o r m u s t f a l l i n t h i s r a n g e . H e n c e , i t i s n e c e s s a r y t o i n t r o d u c e s o - c a l l e d n o r m a l i z e d q u a n t i t i e s w h i c h a r e s u i t e d f o r t h e MD p r o c e s s o r . I n g e n e r a l , a n o r m a l i z e d q u a n t i t y i s f o u n d b y d i v i d i n g t h e r e d u c e d q u a n t i t y by i t s maximum v a l u e . The maximum a b s o l u t e v a l u e o f t h e p a r t i c l e p o s i t i o n s i s e x a c t l y k n o w n b e c a u s e p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e u s e d ; t h e n o r m a l i z e d p a r t i c l e p o s i t i o n s a r e t h e n 2 r -V = - 4 - ( 2 2 ) L N o t e t h a t t h e o r i g i n o f t h e p o s i t i o n c o o r d i n a t e s y s t e m i s l o c a t e d i n t h e c e n t r e o f t h e c o m p u t a t i o n a l b o x .
*
When t h e m o m e n t a v a l u e s h a v e a G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n p h a s t o be c h o s e n max l a r g e e n o u g h s o t h a t t h e r e i s o n l y a n e g l i g i b l e p r o b a b i l i t y o f f i n d i n g a p a r -t i c l e w i -t h a l a r g e r r e d u c e d momen-tum v a l u e . H e n c e* *
p = f p = f V T ( 2 3 ) max a v e r a g e w h e r e f i s a f a c t o r , t y p i c a l l y t a k e n t o be b e t w e e n A a n d 8. T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e a p p r o a c h t a k e n o n g e n e r a l - p u r p o s e m a c h i n e s w h e r e t y p i c a l l y c u t o f f s o f t h r e e t i m e s t h e t h e r m a l v e l o c i t y a r e u s e d . F o r e x a m p l e , w h e n f = 8 , * * -12 t h e p r o b a b i l i t y o f f i n d i n g a p a r t i c l e w i t h p > Pmax is l e s s t h a n 10 . An a d d i t i o n a l s c a l i n g f a c t o r , c , i s i n t r o d u c e d t o a l l o w t h e m o m e n t a v a l u e s t o be s c a l e d down f u r t h e r t o c o m p e n s a t e f o r t h e s c a l i n g o f t h e f o r c e v a l u e s . U s e c = l f o r t h e moment. H e n c e • + c + * 1 i f f 1 F o r a n i n t e r a c t i o n p o t e n t i a l l i k e t h e L e n n a r d - J o n e s p o t e n t i a l , w h i c h i n c r e a s e s r a p i d l y w i t h d e c r e a s i n g d i s t a n c e s b e l o w o , t h e maximum v a l u e o f t h e p o t e n t i a l a n d t h e f o r c e a r e d e t e r m i n e d by t h e m i n i m u m i n t e r p a r t i c l e d i s t a n c e , rm i n > Possi b le f °r a c e r t a i n d e n s i t y a n d t e m p e r a t u r e . I n a d d i t i o n , t h e v a l u e s i n t h e f o r c e a n d e n e r g y t a b l e s f o r p a r t i c l e s e p a r a t i o n s l e s s t h a n r . a r e s e t O J r r m i nto t h e v a l u e a t rmln t o p r e v e n t t h e t i m e s t e p c r i t e r i o n ( e q . ( 8 ) ) b e i n g e x c e e d e d b y t h e i m p r o b a b l e c l o s e e n c o u n t e r o f h i g h e n e r g e t i c p a r t i c l e s . I t i s a s s u m -e d t h a t t h -e p o t -e n t i a l -e n -e r g y o f two p a r t i c l -e s w i l l n -e v -e r b -e l a r g -e r t h a n t h -e maximum k i n e t i c e n e r g y d e t e r m i n e d b y p . F o r a t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m t h a t * V = f2T * = 4 \ ± max 1 * 1 2 *6 ' * 1 2 r . r . r . m m m i n m m
