Navigatie en Geodetische Puntsbepaling met het Global Positioning System

NAVIGATIE EN

GEODETISCHE

PUNTSBEPALING

MET HET GLOBAL

POSITIONING SYSTEM

GPS

Lf30(69

'i1-6

c.,

fZ

rqqç

3/2..

- - - --- -- - -

-Navigatie en

Geodetische

Puntsbepaling

met het Global

Positioning System

F.J.J. Brouwer

J. van Buren

B.H. W. van Ge/der

G.J. Husti

C.D.

de Jong

G.

de Jong

J.C.

de Munck

H.J. W. van der Vegt

Uitgegeven en gedistribueerd door:

Delftse Universitaire Pers

Stevinweg 1

2628 eN Delft

Tel. (015) 7832 54

In opdracht van

:

Stichting Nederlandse Genootschap

voor Landmeetkunde

Adres auteurs:

Faculteit der Geodesie

Technische Universiteit Delft

Thijsseviteg 11

2629 JA Delft

Tel. (015) 784545

CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG ISBN 90-6275-540-2

Copyright

©

by the authors.

No part ofthis book may be reproduced in anyform by print, photo-print, microfilm or any other means, without written permission from Delft University Press.

I N HOU D

Hoofdstuk 1 - INLEIDING ... ...... 1.01 dr.ir.B.H.W.van Gelder, prof.ir.J.C.de Munck

Hoofdstuk 2 - SATELLIETGEODESIE: HET MODEL (GPS georienteerdl dr.ir.B.H.W.van Gelder

2.1 KOORDINAATSTELSELS EN HUN ONDERLINGE RELATIES ... 2.01 2.1.1

2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5

Koordinaatstelsels: Cartesiaanse, bol- en

ellipsoïdische koordinaten ... ... 02

Relaties tussen koordinaatstelsels ... 03

Orthogonale transformaties: rotatie en translatie ... 05

Gelijkvormigheidstransformaties: rotatie, translatie en schaal. . ... .. . . 07 Speciale Koordinaatstelsels . . . 07 2.1.5.1 2.1.5.2 2.1.5.3 2.1.5.4 2.1.5.5 Geocentrisch ... 07 Topocentrisch ... .... 08 Inert iaal. ... ... 09 Quasi-inertiaal. ... 10 Barycentrisch ... 10 2. 2 SA TELLI ETBANEN. . . 11 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 Bewegingsvergelijkingen van een puntmassa in een inertiale ruimte ... . . . 11

Oplossing van de bewegingsvergelijkingen ... 16

Quasi-inertiaal referentiestelsel . . . ... 17

Orientering van de baanellips ... 18

Baanvlak referentiestelsel ... . . . 19

Transformatie van Keplerse ~ Cartesiaanse baanelementen.21 Transformatie van Cartesiaanse ~ Keplerse baanelementen.23 Bewegingsvergelijkingen in een niet-centraal krachtenveld ... . . . ... 28

2.3 SATELLIETGEODETISCH MODEL ... ... . . 34

2.3.1 Aards referentiestelsel ... 34

2.3.2 Buitenaards referentiestelsal ... 35

2.3.3 Bewegingen van de aarde tOY zon, maan en sterren ... 35

2.3.3.1 2.3.3.2 Precessie ... ... 35

Nutatie . . . ... 36

2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.3.4 2.3.3.5 Pool beweging ... . . ... 37

Tijd en Greenwich Aktuele Sterretijd ... ... 37

Geometrische satellietgeodesie . . . ... ... 38

Dynamische satellietgeodesie ... .... . . 38

Stochastische en Niet-Stochastische Parameters. (GPS) .... 38

2. 4 REFERENT! E SYSTEMEN ... ... 40 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 Geodetische Referentie Systemen ... 40

Geodetic Reference System 1967 .. . . ... ... 40

Geodetic Reference System 1980 ... ... 41

1983 Best Values ... . . . .. 41

1987 Best Values and Secular Changes ... . 42

World Geodetic System 1984 ... ... 44

2.4.6.1 2.4.6.2 2.4.6.3 2.4.6.4 WGS 84 Koordinaatstelsel ... 44 WGS 84 Ellipsoïde ... 44 WGS 84 Ellipsoïdische Zwaartekrachtsformule. " .46 WGS 84 Aards Zwaartekracht Model (EGM) ... 46

2.4.6.5 WGS 84 Geoïde . . . ... . 46 2.5 LITTERATUUR ... 47 2.6 APPENDICES ... ... 48 2.6.A 2.6.B 2.6.C 2.6.D 2.6.E Differentiaalvergelijkingen ... ... 48

Methoden der waarnemingsvergelijkingen met parameters ... 50

Vraagstukken ... ... 51

Notatie ... . . ... 52

Trefwoordenl ijst ... ... 54

Hoofdstuk 3 - BESCHRIJVING VAN GPS ir.G.J.Husti 3.1 Inleiding ... ... ... ... 3.1 3.2 Algemene kenmerken ... ... 2

3.3 Tijdsystemen . . . ... ... 5

3.4 GPS satelliet signalen. De uitgezonden datablokken ... 7

3.5 Decodering van de data ... ... .. ... 10

3. 6 Broadcas t ephemer is ... ... ... 11

3.7 Klokcorrectie ... ... ... 13

3.8 Berekening van de satelliet coordinaten .... ... .. 14

3.9 Meetbare grootheden ... ... 17

3.10 Foutenbronnen ... 20

3.11 Literatuur ... . . . 21 3. 12 Appendix

Hoofdstuk 4 - GPS ONTVANGERS dr.ir.G.de Jong

4.1. Signaalstructuur ... ... . 4.1 4.1.1. Frequenties waarop t.b.v. de navigatie wordt

uitge-zonden ... ... 1

4.1.2. Navigatiesignalen ... ... 2

4.1.2.1. Pseudo afstandmeting met behulp van PRN-codes ... 3

4.1.2.2. Het genereren van PRN-codes ... .... 3

4.1.2.3. PRN-codes gebruikt in GPS ... ... 6

4.1.3. De navigatieboodschap ... 9

4.1.4. Onderlinge samenhang in tijd tussen de satelliet-signalen ... 10

4.1.5. Transmissie van de signalen ... 11

4.1.5.1 Bi-fase modulatie en de gevolgen voor het uit-gezonden signaal ... ... 13

4.2. Ontvangtechnieken ... ... 15

4.2.1. Het ontvangen GPS signaal. ... 15

4.2.2. Bandbreedtereductie van het ontvangen signaal ... 17

4.2.2.1. Bandbreedtereductie door middel van correlatie met een PRN-code ... ... . 17

4.2.2.1.1. Vereenvoudigd blokschema van het correlatie kanaal ... ... ... . 18

4.2.2.2. Bandbreedtereductie zonder gebruik te maken van de PRN-code ... ... . 19

4.2.2.2.1. "Kwadrateer" kanaal ... ... . 20

4.2.2.2.2. "Vertraag + vermenigvuldig" kanaaL ... 21

4. 2. 3. Code ontvangers ... ... ... 22

4.2. 3. 1. CA-code ont vanger ... ... 23

4.2.3.1.1. Realisatie van de code tracking loop ... 26

4.2.3.1.2. Realisatie van de carrier tracking loop ... 29

4.2.3.1.3. Het lezen van de data informatie ... ... 32

4.2.3.1.3.1. Terugwinning van het data kloksignaal ... 32

4.2.3.1. 3. 2. Data synchronisatie ... 33

4.2.3.1.4. Looptijdmeting (pseudo afstandmeting) ... . 35

4.2.3.1.5. Fasemeting en dopplertelling ... ... 35 4.2.3.1.6. Acquisitie ... 37 4.2.3.2. P-code ontvangst ... ... ... 38 4.2.3.3. Twee-frequentie ontvangers ... 40 4.2.3.4. Ontvanger architecturen ... ... .. 41 4.2.3.4.1. Sequentiële ontvanger ... ... 42 4.2.3.4.2. Multiplex ontvanger ... ... 43 4.2.4. Code-vrije ontvangers ... ... ... 45

4.2.4.1. Code-vrije ontvanger uitgerust met een "kwadrateerkanaal " ... ... 48

4.2.4.2. Code-vrije ontvanger uitgerust met een "vertraag + vermenigvuldig kanaal" .. ... . 48

4.3. Overzicht geodetische ontvangers ... 51

4.4. Antennes ... ... 52

4.4.1. Polarisatietoestand van radiogolven ... ... 53

4.4.2. Stralingsdiagram van de antenne ... 55

4.4.3. Fasecentrum van de antenne ... ... ... 57

4.4.4. Typen antennes in gebruik voor de ontvangst van

GPS-signalen . . . ... ... . . . . ... . . . 58

4.5 MuIt ipath ... . . . ... . . . . ... . . . ... .. . . 59

4.5.1. Invloed van multipath op het regelproces in de delay-Iock loop .... . . ... . . . ... . . . 61

4.5.2. Invloed van multipath op de fasemeting van de draaggolf .... . . ... . . . ... . . . 62

4.6. Literatuur ... . . . ... . . . ... . . ... 63

Hoofdstuk 5 - INVLOED VAN DE ATMOSFEER Prof.ir.J.C.de Munck 5.1 Inleiding . . . ... . . .... . . ... .. . . 5.1 5.2 Geometrische optika . . . 1

5.3 De troposfeer . . . 2

5.3.1 De brekingsindex in de troposfeer . . . 2

5.3.2. De troposferische korrektie naar het zenit ... .. 4

5.3.3. De troposferische korrektie in schuine richting ... . . 5

5.4 De ionosfeer . . . ... ... . . . .. . . 7

5.4.1 Inleiding . . . 7

5.4.2 De brekingsindex in de ionosfeer ... . . 7

5.4.3 De ionosferische korrektie . . . 8

5.4.3.1 Konsekwenties van dispersie . . . 9

5.4.3.1.1 Het gebruik van twee frekwenties . . . 9

5.4.3.1.2 Groepslooptijd . . . ... . . . ... 11

5.5. Meting van korte bases ... . . . ... . . .... . . ... . . . 12

5.5. 1 Schaal effekt ... . . . ... 12

5.5.2 Hellingseffekt ... . . . ... . . . .. . . .... 13

5.6 Literatuur . . . 13

5.7 Appendix . . . ... . . ... ... 15

Hoofdstuk 6 - PLAATSBEPALING HET PSEUDOAFSTANDEN ir.G.J.Husti 6.1 Mathematisch model . . . .. . . ... . . . ... . . . . .. . . 1

6.2 Invloed van de selectie van satellieten . . . 8

6.3 Kinematische toepassingen . . . 10

6.4 Relatieve plaatsbepaling: differentiele GPS ... ... . . . 10

6.5 Literatuur ... . . . . ... . . . ... 13

- - -

-Hoofdstuk 7 - HET GEBRUIK VAN FASEWAARNEHINGEN ir.C.D.de Jong 7.1 Inleiding . . . .. . . ... . . . . ... 7. 1 7.2 De fasewaarneming . . . 1 7.3 Verwerkingsmethoden . . . .... 7 7.3.1 Inleiding ... .. . . ... . . .... 7 7.3.2 Single differences . . . 7

7.3.2.1 Single differences tussen stations . . . ... 9

7.3.2.2 Single differences tussen satellieten ... . 12

7.3.2.3 Single differences tussen epochs ... . . 13

7.3.3 Double differences ... . . .. . . . ... . . . . .. . . 13

7.3.4 Triple differences . . . .. 14

7.3.5 Het base station - base satellite principe . . . 15

7.4 Lineaire kombinaties van L1 en L2 waarnemingen ... . . . 18

7.4.1 Inleiding . . . .... . . . .. . . ... . . . 18

7.4.2 Eliminatie van eerste orde ionosferische effekten ... 18

7.4.3 Wide laning . . . ... ... . . 19

7.4.4 Eliminatie van klok- en geometrietermen . . . ... . 20

7.5 Verwerking . . . ... . . . .... . . 21

7.5.1 Linearisering . . . . ... . . . .... . . .. ... . . . 21

7.5.2 Korrelatie tussen waarnemingen ... . . ... 22

7.5.2.1 Inleiding ... . . . ... . . ... . . .. . . 22

7.5.2.2 Single differences . . . ... 23

7.5.2.3 Double differences . . . 26

7.5.2.4 Triple differences . . . 29

7.5.3 Vereffening ... . . . 32

7.5.3.1 Single differences en het base station - base satellite principe . . . 32

7.5.3.2 Double differences ... . . . ... . . 35

7.5.3.3 Triple differences . . . ... . . 35

7.6 Bepaling van de integer waarden van de meerduidigheden . . . .... 36

7.7 7.6.1 Inleiding . . . 36 7. 6. 2 Afronden . . . ... . . . ... . . .. . . 36 7.6.3 Sigma . . . ... . . . ... . . . 36 7.6.4 Zoeken . . . 37 Cycle 7.7.1 7.7.2 7.7.3 7.7.4 slips ... . . . .. . . . ... . . . ... . . . . 38 Inleiding . . . 38

Afronden van triple difference residuals . . . 38

Toepassen van polynomen ... . . . ... . . . 40

Kombineren van L1 en L2 waarnemingen . . . 41

7.8 Verwerkingsstrategieën . . . ... . . . .... . . ... 41

7.8.1 Inleiding . . . ... .... 41

7.8.2 L1 waarnemingen .... . . .... .. . . ... . . . 42

7. 8. 3 L1 en L2 waarnemi ngen . . . 42

7.9 Vergelijking van de verwerkingsmethoden ... . . . 43

7.9.1 Korrelatie tussen de waarnemingen . . . 43

7.9.2 Schatten of elimineren van tijdsafhankelijke biases . . . 43

7.9.4 7.9.5 7.9.6 7.9.7

Bepaling van de integer waarden van de meerduidigheden .. 44

Het aantal gebruikte waarnemingen ... 44

Het aantal te bepalen onbekenden ... 45

De aan te bevelen verwerkingsmethode ... 45

7. 10 Meetopzet ten ... .. 46

7.10.1 Inleiding ... ... 46

7.10.2 Statische relatieve plaatsbepaling ... ... 46

7.10.3 Kinematische relatieve plaatsbepaling ... 48

7.10.3.1 Met terugkeer op het beginpunt ... ... .. 48

7.10.3.2 Uitgaande van twee bekenden punten ... 50

7.10.3.3 Met verwisseling van antennes ... .. 51

7.10.3.4 De haalbaarheid van kinematische relatieve plaatsbepaling met GPS ... 56

7.11 Literatuur ... ... ... .. 57

Appendix 7.1 Berekening van het tijdstip van vertrek van het signaal. ... ... 60

Appendix 7.2 Berekening van absolute posities en ontvanger-klokfouten uit pseudo .range waarnemingen ... 61

Notatie Hoofdstuk 7 ... " ... ... ... 64

Hoofdstuk 8 - GPS EN LANDMEETKUNDIGE PUNTSBEPALING dr.ir.F.J.J.Brouwer 8.1 INLEIDING ... ... 8.1 8.2 IN NEDERLAND GEBRUIKTE COORDI NATENSTELSELS ... ... 2

8.2.1 Het Stelsel van de Rijksdriehoeksmeting ... ... 2

8.2.2 Het Normaal Amsterdams Peil (NAP) ... ... ... . 4

8.2.3 Het European Datum ... ... ... ... .... 5

8. 2. 4 Het UTM systeem ... ... ... 8

8.2.5 Een geoidemodel voor Nederland ... 9

8.3 COMBINATIE TERRESTRISCHE GEGEVENS EN GPS .. ... 10

8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5 Overzicht van mogelijkheden ... ... 10

GPS-netwerk als vrij net. ... ... 12

GPS-netwerk met aansluitpunten; gel ijkvormigheidstransformat ie ... 13

Integrale vereffening GPS-vectoren en terrestrische metingen ... ... 15

Tenslotte ... ... 18

8.4 DIRECTE TRANSFORMATIEFORMULES ... .... ... ... 19

8.4.1 Van RD naar WGS84 ... 19

8.4.2 Van ED87 naar WGS84 ... 20

8.5 LITERATUUR ... .... ... 20

~ - - - --- - --

-Hoofdstuk 9 - GPS BIJ DE MEETKUNDIGE DIENST VAN DE RIJKSWATERSTAAT ir. J.W.van der Vegt

9.1 Inleiding . . . ... . . ... 9.1

9.2 Landmeetkundig stationair GPS gebruik ... . . . . ... .. . . 2

9.2.1 Testprojekt "Macrometer" . . . ... . . . . ... 2

9.2.2 Testprojekt "rivierkaart Maas" .... . . ... . . . 4

9.2.3 Kostenanalyse GPS versus konventioneel . . . ... 8

9.2.4 Procesgang '88 . . . ... .. . . 10

9.3 Kinematische fotogrammetrische GPS toepassingen . . . .. . . 13

9.4 Mariene geodetisch GPS toepassingen . . . ... 19

9.4.1 Projekt "Antillen" . . . ... 20

9.5 Li teratulir .... . . ... . . . ... . . .. . . .. . . ... 28

Hoofdstuk 10 - GPS BIJ DE AFDELING RIJKSDRIEHOEKSMETING VAN HET KADASTER ir.J.van Buren 10. 1 Inleiding ... . . . ... . . ... 10. 1 10.2 GPS proefproject en . . . ... . . ... . . 2 10.2.1 Pilot project. ... . . . ... . . ... 2 10.2.2 Project Landgraaf ... . . . .... . . .... . . 4 10.2.3 Project Doesburg ... ... . . . ... ... 6

10.3 Uitvoering van GPS metingen . . . ... . . ... 7

10.3.1 Planning . . . ... . . . ... 7

10.3.2 Verkenning . . . ... . . . ... . . . 7

10.3.3 Meting ... . . . 7

10.4 Verwerking van GPS metingen . . . .... 10

10.4.1 Procedure ... . . . ... . . . 10

10.4.2 Berekeningsresultaten ... . . . ... ... . . 13

10.5 Data management . . . ... . . ... . . . 14

10.5.1 Data management algemeen ... . . . 14

10 5.2 GPS meetgegevens . . . 14

10.5.3 Naamgeving ... . . . .. . . ... . . ... 15

10 5.4 Opslag ... . . . ... . . ... 16

10.6 Literatuur . . . ... . . . ... . . . ... 17

Hoofdstuk 1. INLEIDING

De tijd lijkt stil te staan als men bedenkt dat het bijna zes (!)

jaar geleden is, toen John Bossler in het week krantje van de Amerikaanse Geofysische Unie (EOS, Vol 64, No 39, September 27, 1983, pp 569-570) schreef dat het Global Positioning System (GPS) als één van de nieuwe techno log i eën het a 1 oude i deaa 1 van elke geodeet in vervulling zou doen gaan: een wereldwijd uniform geodetisch controle netwerk van punten dat ook nog eens een goede verbinding zal hebben met een inertiaal referentiesysteem. Hij zei vervolgens dat GPS de nieuwe ruimtegeodetische meettechniek bij uitstek is waarmee absolute en re 1 at i eve p 1 aatsbepa 1 i ng moge 1 i jk i s met hogere nauwkeur i ghe i d, tegen lagere kosten en in minder tijd dan met welke andere meettechniek dan ook.

Bossler ging destijds zelfs zo ver om te beweren dat deze nieuwe meettechniek een herbezinning van de rol van de geodeten cq. landmeters vereiste. Inmiddels heeft menige GPS-testsatelliet in al dan niet uitgebluste toestand heel wat baantjes om de aarde getrokken, totdat in recente tijd, het experimentele tijdperk achter ons latend, in meer en meer landen de eerste handreikingen tussen de academische ru i mtegeodes i e en de prakt i sch toepasbaar geb 1 eken ru i mtegeodet i sche techniek via "GPS-CURSUSSEN" plaatsvonden. Ziehier!

Op het eerste gezicht lijkt het onlogisch om netwerken op aarde van bijvoorbeeld enkele tientallen kilometers op te meten via

satellieten die op twintigduizend kilometer hoogte in hun banen om de aarde draa i en. Het grote voordee 1 i s echter dat die sate 11 i eten gel ijktijdig zichtbaar zijn vanaf verschi llende aardse punten. Bij gewone terrestrische metingen, waarbij men dicht bij het aard-opper v 1 ak b 1 i jft, worden de met i ngen sterker verstoord door all er 1 ei inhomogeniteiten in de atmosfeer, en door reflekties op de bodem, maar wat erger is, men mist al gauw het onderlinge zicht.

Het lijkt bij satellieten hinderlijk dat zij bewegende hulppunten

zijn. Echter in de eerste plaats zijn die bewegingen uitermate regelmatig doordat de satellieten op die grote hoogte enerzijds weinig last hebben van de grilligheden van het aardse zwaartekrachtveld, en anderzijds een verwaarloosbare wrijving van de dampkring ondervinden. In de tweede plaats leveren de opeenvolgende satell ietposities vele, in alle richtingen verspreide, min of meer onafhankel ijke metingen

op, hetgeen de kwal iteit van de plaatsbepal ingsgeometrie ten goede

komt.

Dit alles moge wat academisch, dat wil zeggen weInIg overtuigend,

klinken, toch worden met behulp van het Global Positioning System nu reeds vele metingen in de praktijk verricht, waarbij een korte meet tijd, we i ni g log i st i ek en zo nod i g een zeer hoge nauwkeur i ghe i d

samengaan met handelbare, niet al te kostbare, apparatuur.

Bovendien is het in principe mogelijk om wereldwijd met één

uniform systeem te werken. Er is wel een "maar": over een groot deel

van het systeem (de satellieten en de volgstations) heeft de gebruiker geen enkele zeggenschap, hetgeen vooral voor algemene navigatie een

besch i kbaar zijn: het is 1 evensgevaar 1 i jk als i emand het systeem opeens zou uitschakelen.

Het ziet er naar uit dat voor meer geodetische en landmeetkundige toepassingen dit bezwaar redelijk kan worden ondervangen door gebruik

van handige meet- en verwerkingsmethoden en soms door het gebruik van

eigen volgstations.

Gebleken is reeds dat metingen met behulp van GPS geschikt zijn

voor allerlei vormen van puntsbepaling, voor navigatie van

bijvoorbeeld opnemingsvaartuigen en voor de bepaling van paspunten en

van het opnamecentrum van de meetkamera in een vliegtuig bij

fotogrammetrische opnamen.

De Vakgroep Mathematische en Fysische Geodesie van de Faculteit

der Geodesie (FdG) van de Technische Universiteit Delft (TUD) heeft

aan een aanta 1 e i gen medewerkers en aan deskund i gen, die werkzaam

zijn i n de prakt ijk. gevraagd om een cursus samen te ste 11 en. Deze

GPS-cursus werd van 11 tot en met 13 januari 1989 bij de Faculteit der Geodesie in Delft gehouden.

De bedoe 1 i ng van deze cursus was om aan be 1 angste 11 enden u i t de prakt ijk du i de 1 i jk te maken wat de moge 1 i jkheden en begrenz i ngen van

plaatsbepaling met behulp van het G1oba1 Positioning System zijn. We

gaven daartoe in de cursus een idee van de beschikbare apparatuur, de

meetmethoden, de verwerkingsmethoden en de fysische begrenzingen. Dit

boek is een verbeterde versie van de losbladige cursushandleiding. We hopen dat de lezers van dit boek zullen ontdekken wat voor hen

de toepassingsmogelijkheden van GPS zijn, welke methode en apparatuur

het meest geschikt is en we hopen zelfs dat zij desgewenst binnenkort zelf deze nieuwe ruimtegeodetische plaatsbepalingsmethode kunnen gaan gebruiken.

REOI~TRE~ENDE

Ti\CHYt<ETER.

~GPS

Opzet van de cursus en het boek

In hoofdstuk 2 wordt een overzicht gegeven van de beginselen van

de ru i mtegeodet i sche p 1 aatsbepa 1 i ng met behu 1 p van sate 11 i eten. De

beschrijving van de baan van een satelliet speelt hierbij de

voornaamste ro 1 . Geodet i sche referent i esystemen i n het a 1 gemeen en

het door GPS gebruikte WGS-84 referentiesysteem in het bijzonder

worden behandeld.

Vervo 1 gens worden. i n hoofdstuk 3 de achtergronden en de opzet van

het onderhavige Global Positioning System beschreven wat betreft de

satell ietconfiguratie alsmede de signalen die zij uitzenden, en de

structuur van de gedecodeerde signalen. Tijdsystemen in het algemeen

en het door GPS gebru i k te tijdsysteem i n het bijzonder komen aan de orde.

In hoofdstuk 4 wordt dieper op de GPS-signalen ingegaan en de

consequenties voor de verschillende typen van GPS-ontvangers en

antennes. De (elektronische) principes van signaal, ontvanger en

antenne worden uitgebreid belicht.

Hoofdstuk 5 behande 1 t de (fys i sche) begrenz i ngen die de

troposfeer en de ionosfeer aan de GPS-signalen opleggen. De invloed

van de atmosfeer i s van crue i aa 1 be 1 ang voor de gekozen si gnaa 1

-verwerkingstechnieken.

De hoofdstukken 6 en 7 behande 1 en achtereenvo 1 gens twee

GPS-waarneemtypen: pseudoafstandmeting respectievelijk faserneting. In

be i de hoofdstukken wordt aandacht geschonken aan de ge 1 i near i seerde waarnemingsvergelijkingen.

In hoofdstuk 6 worden vooral de toepassingsmogelijkheden van GPS

ten behoeve van navigatie te land, ter zee en in de lucht behandeld,

waarb i j ook ru i me aandacht wordt geschonken aan de nauwkeur i ghe i ds-aspecten voort v 1 oe i end u i t de geometr i sc he sterk te van de op 1 oss i ng

(Geometrie Dilution of Precision/GDOP).

In hoofdstuk 7 komen de faseverwerkingstechnieken uitgebreid aan de orde aangezien niet altijd de oorspronkelijke fasewaarnemingen maar

(één-, twee-, drievoudige) verschilfuncties van die waarnemingen

worden gebruikt. De detectie van optredende interrupties (cycleslips)

in het meetsignaal krijgt speciale aandacht. Verder worden

meet-opzetten voor statische en semi-kinematische (relatieve)

plaats-bepaling besproken.

I n hoofdstuk 8 komen de 1 andmeetkund i ge toepass i ngen aan bod. Het gebruik van GPS voor het beheer van het Nederlandse horizontale

(en verticale) referentienetwerk, de relatie met het Europese

referentienetwerk en de integratie van de driedimensionele

GPS-informatie in bestaande terrestrisch verkregen GPS-informatie komen aan de orde.

In de hoofdstukken 9 en 10 worden enige toepassingen en

ervaringen belicht.

Allereerst worden in hoofdstuk 9 de ervaringen van de Meetkundige Dienst van de Rijkswaterstaat met het gebruik van GPS voor statische

en kinematische plaatsbepaling behandeld. Toepassingen voor

fotogrammetrische kamera's en mariene geodetisch gebruik van GPS worden uitvoerig belicht.

Tenslotte worden in hoofdstuk 10 de ervaringen van de afdel ing Ri jksdr i ehoeksmet i ng van de Di en st van het Kadaster en de Openbare Regi sters met GPS-p 1 aatsbepa 1 i ng be 1 i cht aan de hand van en i ge door hen gemeten projekten. Verder wordt st i 1 gestaan bi j de methodi sche planning, uitvoering, verwerking van de meetprojekten en de opslag van resultaten.

Docenten en auteurs

De medewerkers uit de Faculteit der Geodesie van de Technische Universiteit Delft zijn:

dr. ir. F.J.J. Brouwer (hfd 8), dr. ir. B.H.W. van Gelder (hfd 1 en 2), ir. G.J. Husti (hfd 3 en 6), ir. C. de Jong (hfd 7), dr. ir. G. de Jong (hfd 4) en prof. ir. J.C. de Munck (hfd 1 en 5).

Dr. Brouwer was ten tijde van de cursus mede werkzaam bij de afdeling Rijksdriehoeksmeting van de Dienst van het Kadaster en Openbare Registers te Apeldoorn.

Ir. C. de Jong is naast promovendus aan de FdG/TUD tevens werkzaam bij Osiris Seaway bv.

Medewerkers van buiten de TUDelft zijn:

ir. J. van Buren (hfd 10) van de afdeling Rijksdriehoeksmeting van de Dienst van het Kadaster en Openbare Registers te Apeldoorn, en

ir. H.J.W. van der Vegt (hfd 9) van de Meetkundige Dienst van de Rijkswaterstaat.

Dankbetuiging

De auteurs bedanken de Stichting Nederlands Genootschap voor Landmeetkunde (NGL), die het mede mogelijk maakte dit boek te publiceren.

De tekeningen werden Boode en M.G.G.J. Jutte. boek.

op een uitstekende manier verzorgd door E.P.

Eerstgenoemde ontwierp ook de omslag van het

Delft, maart 1989

Hoofdstuk 2 SATELLIETGEODESIE: HET MODEL <GPS georlenteerd)

2.1 KOORDINAATSTELSELS EN HUN ONDERLINGE RELATIES

2.1.1 Koordinaatstelsels:

koordinaten

Cartesiaanse, bol- en ellipsoidische

Er zijn vele manieren om punten in een driedimensionele ruimte

vast te leggen. Eén van de bekendste is natuurlijk wel de zogenaamde

Cartesiaanse koordinaten x,y,z: we leggen een punt A vast door middel

van drie afstanden xA,yA,zA (koordinaten/kentallenl tot drie

loodrechte vlakken, resp. het YZ-, xz- en xy-vlak. De snijlijnen van deze drie vlakken vormen drie loodrechte koordinaatassen. De positie

van punt A kunnen we vastge 1 egd denken door mi dde 1 van de

positievector x met kentallen {x ,y ,z }t, zie ook Fig. 2.1:

A A A A x Fi guur 2.1 X A z

--(2.1-1 l

--

A

YA

O~~ ______ - ' __ ~ _________ Y /

--

; '

----

---=-~/

Cartesiaanse koordinaten: x, y en z

Ook kunnen we deze punten vastleggen ten opzichte van een bol met

straal R.

bolkoordi-- bolkoordi-- bolkoordi-- ~---- - ~

natensysteem. Voor onze aarde is de gemiddelde aardstraal R ~ 6371.0

e

km.

De bol wordt doorsneden door twee loodrechte vlakken die beide

ook door het middelpunt 0 van de bol gaan: een referentie equatorvlak

(loodrecht op de rotatieas) en een referentie meridiaanvlak (door de

rotat i eas) . De hoek die de positievector met het referentie

equatorvl ak maakt noemen we breedte ~. De hoek die het (lokale)

meridiaanvlak in A met het referentie meridiaanvlak maakt, noemen we

lengte A. De afstand tot de bol noemen we hoogte H. Dus nu is de t

positie van een punt A weergegeven met {AA'~A,HA} , zie ook Fig. 2.2:

z

A

x

Figuur 2.2 (Geografische) bolkoord'n: lengte A, breedte ~, en hoogte H

Als we nu bedenken dat de aarde afgeplat is aan de polen en dat het gem i dde 1 de zeeopperv 1 ak ongeveer de vorm van een omwente 1 i ngs-ell ipso·ide heeft, dan is het niet verwonderl ijk dat in de geodesie de

toepassing van ellipsoidische koordinaten gebruikelijker is dan van

bolkoordinaten. We beschrijven onze punten ten opzichte van een

ell ipsoïde x2/a2+y2/a2+z2/b2=1, waarbi j

e e e

voorstelt (tevens equatoriale straal) en b

e

polaire afstand).

a de halve 1 ange as

e

de halve korte as (tevens

Voor onze aarde is a - 6378.137 km en b - 6356.752 km (verschil >

e e

21.4 km ).

Hulpgrootheden die we definieren zijn de afplatting van de aarde f en de (eerste) eccentriciteit e2:

f 2 e a e 2 a e b / a - 1 / 298.257 (2.1-2) e e - 0.00669438 (2.1-3)

Op identieke wlJze als bij de bol doorsnijden we de e11 ipsoïde met twee loodrechte vlakken die ook beide door het middelpunt van de ellipsoïde gaan: een referentie meridiaanvlak en een refer~ntie equatorvlak. Ook hier hebben we drie grootheden nodig om de positie van een punt A in de drie dimensionele ruimte vast te leggen. De hoek van het lokale meridlaanv1a~ met het referentie meridiaanvlak noemen we geodetische lengte À. De hoek van de normaal op het e1lipsoidisch oppervlak met het referentie equatorvlak noemen we de geodetische breedte rp. De afstand tot het e1l ipsoïdisch oppervlak (langs de normaal) noemen we de geodetische hoogte h. Dus nu is de positie van een punt A met {À ,rp ,h }t vastgelegd, zie ook Fig. 2.3:

A A A x Figuur 2.3 z A ~--7---Y

(Geodetische) e11ipsoïdische koordinaten: lengte À, breedte rp en hoogte h

2.1.2 Relaties tussen koordinaatstelsels

Aangez i en we vr ij wi 11 en b 1 i jven i n de keuze van een

koordinaatste1se1, is het handig transformatieformules af te leiden die het ene koordinaatstelsel omrekent naar een ander koordinaat-stel se1.

Hierbij moeten we twee soorten transformaties onderscheiden:

transformat i es tussen ongelijksoortige koordi naatste 1 se 1 s. Een voorbeeld is de transformatie tussen Cartesiaanse koordinaten en e11ipsoïdisch koordinaten, en

transformaties tussen gelijksoortige koordinaatste1sels. Een voorbeeld hiervan is de relatie tussen geocentrische Cartesiaanse koordinaten en topocentrische Cartesiaanse koordinaten.

Oe laatstgenoemde groep wordt in de sectie 2.1.3 en verder

behande 1 d. In deze sect i e beperken we ons tot transformat i es tussen ongelijksoortige koordinaatstelsels.

Als men het xy-vlak laat samenvallen met het equatorvlak en het

xz-vlak met het referentie meridiaanvlak, dan is in te zien dat

geldt:

van bol naar Cartesiaans

r"

<1> cos A

}

A A x (R +H ) cos <1> sin A (2.1-4) A e A A A sin <1> A van Cartesiaans naar bol

A _A arctan _YA I x A <1> _A arctan z I x 2 _{+ YA} 2 ) 1/2 1 (2.1-5) A A H 2 2 2 ) 1/2 _ R x + _YA + ZA A A e

van el 1 ipsoïdisch naar Cartesiaans

{

[N A +h A 1 cos !/JA cos À A

}

x [N +h 1 cos _!/JA sin À

A A A A

[N (1-e2)+h 1 _{sin !/JA}

A A (2.1-6) met a N e A _{(1-e2sin2!/J )1/2} A (2.1-7)

In bovenstaanae formu 1 es treedt een hu 1 pgroothe i d N op die een

e i gen geometr i sche beteken i s heeft; het i s de kromtestraa 1 van de snijkromme die ontstaat wanneer men de ell ipso·ide snijdt met een vlak

door de normaal in A' waarbij dit vlak loodrecht staat op het

meridiaanvlak (door het projektiepunt A' van A op de ellipsoïde).

Deze kromtestraal is gelijk aan de afstand langs de normaal tussen A'

en het snijpunt A" van de normaal met de Z-as, zie ook Fig. 2.4.

N.B. de kromtestraal M van de (ellipsoidische) meridiaan wordt gegeven door

a

*

(1-e2)

(2.1-8)

z

A

CoM I---""c.---L.:---'---~­ xy-vlak

AI

Figuur 2.4 Meridiaanvlak door punt A

van Cartesiaans naar el 1 ipsoTdlsch

Er zijn zeer ingewikkelde gesloten formules ontwikkeld om de transformatie van x,y,z naar À,~,h te bewerkstelligen.

À kan in gesloten vorm worden opgelost (zie vgl 2.1-5a). Met een

zeer eenvoudig iteratief schema is ~ op te lossen uit x,y,z, waarna h

berekend kan worden uit deze ~ en x,y,Z.

2.1.3 Orthogonale transformaties: translatie en rotatie

Wanneer groepen van punten i nonder 1 i nge 1 i gg i ng bekend worden veronderste 1 d, i s het du i de 1 i jk dat het gebru i k van (Cartes i aanse)

koordinaten overbodige informatie bevat: er zijn zes vrijheidsgraden

omdat de ligging van de oorsprong van een assenstelsel en de

orientering van die assen immers willekeurig is. Twee

koordinaatsystemen X en X' zijn gerelateerd aan elkaar via een

orthogonale transformatie, zoals

x'

'R

*

x

+ 'J' (2.1-9)

of

X' ='R*(X-'J) (2.1-10)

De vector 'J beschrijft een translatie. In vgl 2.1-9 is 'J' het de koordinaten van de oorsprong van het X-stelsel uitgedrukt in het X'-stelsel, in vgl 2.1-10 stelt 'J de koordinaten van de oorsprong van het X'-stelsel uitgedrukt in het X-stelsel voor.

De rotatiematrix 'R vormt een in principe willekeurige kombinatie

van rotat i ematr i ces, zoa 1 s h i erna beschreven. In 2. 1-9 beschr i jft 'R

rotaties om assen door de oorsprong van het X-stelsel, in 2.1-10

rotaties om assen door de oorsprong van het X'-stelsel.

In zijn algemeenheid bestaan deze rotatiematrices uit de volgende

[

0 0

1

:R (a) 0 cos a sin a

1 0 - sin a cos a (2.1-11)

[

cos {3 0 - sin (3

1

:R 2({3) 0 0 sin {3 0 cos (3 (2.1-12)

[

-cos

r

sin

r

0

1

:R 3 (r) sin

r

cos

r

0 0 0 (2.1-13)

Deze rotaties moeten gezien worden als positief wanneer men zittend op het pos i t i eve u i te i nde van de rotat i eas en kijkend naar de oorsprong men een rotatie uitvoert tegen de wijzers van de klok in.

Oe algemene matrix :R kan bestaan uit:

(2.1-14) of

(2.1-15) waarin

r'

een (ander~ dan

r)

rotatie om de z-as voorstelt, vgl 2.1-13.

vraag 2.1:

vraag 2.2:

vraag 2.3:

vraag 2.4:

Bewijs dat de commutatieve eigenschap voor niet geldt.

Bijvoorbeeld :R (a)

*

:R ({3) ~ :R ((3)

*

:R (a)

1 2 2 1

Bewijs dat voor de rotaties :R

xx en :R Xx gel dt: waarbij Bewijs dat voor Bewijs dat :R = :R-1 xX Xx x=:R *X xX :R (-a) :RT (a) 1 1 i = 1, 2, 3 :RT Xx en

x

:R-1(a) I :R

*

x Xx rotaties (2.1-16) (2.1-17) (2.1-18) { :R(a)

*

:R({3)

*

:R(r) }-1 :R-1 (r)

*

:R-1 ((3)

*

:R-1 (a) :R(-r)

*

:R(-{3)

*

:R(-a) (2.1-19) 2.6

2.1.4 Gelijkvormigheidstransformaties: translatie, rotatie, schaal

I n de vor i ge paragraaf zagen we dat n

driedimensionele ruimte met minder dan 3 * n

punten i neen koord i nat en in 6 ) grootheden konfiguraties overeen met de 3 transl at ie

onderlinge ligging kunnen worden beschreven: (3 * n

-zijn in de meeste gevallen (zogenaamde kritieke

daargelaten, zie sectie 2.3.4) voldoende. De "6" komt

6 parameters van de orthogonale transformatie:

parameters en 3 rotatie parameters.

Een eenvoudige geometrische redenering leidt tot eenzelfde

resultaat: ga uit van een basisfiguur in een driedimensionele ruimte:

het viervlak. De zes zijden die de vier hoekpunten van het viervlak

verbinden zijn precies die zes grootheden (eigenlijk de lengten van

die zijden) die de onderlinge ligging van de vier punten vastleggen.

Met deze zes zijdelengten is het viervlak in vorm EN GROOTTE bepaald. Een vijfde punt ligt ten opzichte van dit viervlak in positie vast met drie afstanden naar drie van de vier vorige punten (van het viervlak),

etc. Dus een veld bestaande uit n punten wordt (in R3) door 3*n-6

grootheden (bijv. zijdelengten) in onderlinge ligging vastgelegd.

Deze redenering hebben we straks ook nodig in de geometrische

satellietgeodesie.

Als we nu slechts de VORM van een n-hoek beschouwen (we laten dus

een u i tspraak over de groot te achterwege) dan z'a 1 één groothe i d minder

dan 3n-6 nodig zijn om de n-hoek in vorm te beschrijven: we laten ons

n i et u i t over de schaa 1 van de f i guur. Dit komt overeen met de

toevoeging van een zevende parameter aan de orthogonale transformatie

van de vorige paragraaf:

X' À

*

'R

*

X + 'j' (2.1-20)

of X' À

*

'R

* (

X - 'j ) (2.1-21 )

2.1.5 Speciale koordinaatstelsels

Verschi llende koordinaatstelsels vaak gebruikt in de (ruimte)-geodesie behoeven een nadere behandeling.

2.1.5.1 Geocentrisch koordinaatstelsel

Zodra men metingen naar aardse satellieten verwerkt ter bepaling

van bijvoorbeeld een terrestrisch netwerk, heeft men direct te maken

met de ana 1 yse van de beweg i ng van een puntmassa (een sate 1 1 i et) om

een eind i g 1 i chaam (de aarde). Voor de f ormu 1 er i ng van beweg i

ngs-verge 1 i jk i ngen van di e puntmassa i s het gebruik van het massacentrum

van het centrale lichaam (zie verder sectie 2.2) onontbeerlijk. Het

1 i gt daarom voor de hand de oorsprong van een aardvast geocentr i sch

koordinaatstelsel in dat massacentrum (CoM Center of Mass) te

leggen. Voor de orientering van de x- en z-as zij men verwezen naar

2.1.5.2 Topocentrisch koordinaatsysteem

Een ander veel gebruikt koordinaatstelsel is een lokaal aardvast

topocentrisch koordinaatstelsel. De oorsprong bevindt zich ter plekke

van de waarnemer, het waarneeminstrument, of iets dergelijks.

Alhoewel in principe wi llekeurig kiest men vaak de x-as richting

noord, de y-as richt i ng oost en de z-as i n de richt i ng van het

massacentrum van de aarde (indien men rechtsdraaiende

koordinaatstelsels wenst). Met betrekking tot de richting van de z-as

zijn vele andere keuzen mogelijk: men kan de z-as richting

massacentrum 1 aten wi jzen, maar ook met de richt i ng van de 1 oka 1 e

zwaartekracht laten samenvallen (dat is de eerste as van een

gehorizonteerde theodoliet), of met de richting van de normaal op bol

of ellipsoïde laten samenvallen.

De transformatieformules tussen een geocentrisch en een

topocen-trisch el 1 ipsoïdisch koordinaatstelsel luiden dan, zie ook Fig. 2.5:

[N +h 1 A A [N +h 1 A A [N (1 -e 2) +h 1 A A cos</> cosi\ } _{A A} cos</> A si ni\ A sin</>A (2.1-22) z y x

Figuur 2.5 Een geocentrisch en een lokaal koordinaatstelsel

vraag 2.5: Controleer geometrisch de afleiding van formule (2.1-22)

vraag 2.6:

vraag 2.7:

Vermenigvuldig het matrixprèdukt ~3(· ·· )

*

~2( ... ) in

vgl. (2.1-22) uit en vereenvoudig zoveel mogelijk.

Leid een dergel ijke formule als (2.1-22) af, maar nu

voor een topocentrisch koordinaatstelsel waarbij de

x-as naar het oosten wi jst, de y-as naar het noorden

vraag 2.8:

noorden en de z-as naar het zenit.

Herschrijf (2.1-22) zodat xn, ye en zd als functies

van de geocentrische koordinaten x, y, z 'worden

uitgedrukt.

2.1.5.3 Inertiaal koordinaatstelsel

Zodra de bewegingsvergelijkingen van puntmassa's (satellieten) in

de vrlJe ruimte moeten worden afgeleid, hebben we zogenaamde

inertiale stelsels nodig, oftewel stelsels waarin de wetten van

Newton gelden (zie verder sectie 2.2.1). Dit zijn niet roterende

koord i naatste 1 se 1 s waar i n puntmassa' s zich éénpar i g recht 1 i jn i g

bewegen danwel in rust zlJn. Populair gezegd is een inertiaal stelsel

zo'n koordinaatstelsel waarin de sterren zich niet van hun plaats

bewegen. Aangezien de sterren zich op zo'n grote afstand van de aarde

bevinden is het voldoende in de (geodetische) astronomie om alleen de

( i nert i ale) richt i ngen van het ste 1 se 1 te beschouwen. Een

bo 1 koord i naatste 1 se 1 1 eent zich u itstekend voor dit doe 1 : i . p. v.

inertiale X-, Y- en Z-koordinaten van sterren te spreken, worden de

sterren met behu 1 p van twee hoeken in richt i ng vastge 1 egd, zie ook

Fig. 2.6:

x

Figuur 2.6

z

a rechte klimming (5 deklinatie , ,

*

I~--~---y

Richtingen naar een hemellichaam: rechte klimming a,

declinatie (5

Satellieten die zich op eindige (meetbare) afstanden van ons door

de ru i mte bewegen, maken vaak toch weer een i nert i aa 1 Cartes i aans

{:}

1 • { cos (5 _{cos a}

}

cos (5 _{sin a} (2.2-23) sin (5 2.1.5.4 Quasi-inertiaal koordinaatstelsel

Over de 1 i gg i ng van de oorsprong hebben we ons i n de vor i ge sectie nog niet uitgelaten: de oorsprong zou niet in het massacentrum van de aarde mogen liggen vanwege de roterende beweging die het aardse massacentrum met de aarde mee t.o. v de zon maakt. Zo ook i s het massacentrum van de zon of het massacentrum van de zon inclusief al zijn planeten en manen ook niet geschikt vanwege de beweging van ons zonnestelsel in ons melkwegstelsel, etc. etc.

Aangezien door dit soort redenering de definitie van een

inertiaal stelsel zuiverder en zuiverder wordt, is daarmee elke praktische toepassing voor de beschrijving van de beweging van aardse sate 1 1 i eten om onze aarde om zeep geho 1 pen. Insect i e 2.2 wordt dan voor een praktische oplossing gekozen: in richting is het stelsel zo inertiaal mogelijk, maar de oorsprong van het stelsel laten we meebewegen met het massacentrum van de aarde. Zo' n ste 1 se 1 wordt daarom wel een quasi-inertiaal stelsel genoemd. Voor de schijnkrachten die dit oproept, moet natuurlijk naderhand gekorrigeerd worden.

2.1.5.5 Barycentrisch koordinaatstelsel

Voor de vo 1 1 ed i ghe i d worden i n deze sect i e de bar ycentr i sche koordinaatstelsels genoemd. Zoals in sectie 2.2 duidelijk zal worden, wordt de beweging van een satel liet niet al leen door de aantrekkingskracht van de aarde bepaald, maar ook door die van de maan en de zon.

Voor een prec i eze beschr i jv i ng van de beweg i ng van een aardse satelliet moeten we ook weten hoe de baan van de aarde om de zon is,

of nog beter hoe het zwaartepunt (barycentrum) van de aarde en maan zich om de zon beweegt.

De aarde en de maan samen worden aangetrokken door de zon. Die aantrekk i ngskracht kan men aangegrepen denken i n het barycentrum van het aarde-maan ste 1 se 1 . H i eru i t mag b 1 i jken dat een zwaartepunt een rol gaat spelen zodra externe krachten in beschouwing worden genomen. Bij alle hiervoor genoemde koordinaatstelsels en ook die In sectie 2.4 vallen de oorsprongen van de koordinaatstelsels samen met het HASSACENTRUM van de aarde en niet met het zwaartepunt van de aarde. In de litteratuur worden massacentrum en zwaartepunt vaak verward.

2.2 SATELLIETBANEN

2.2.1 Bewegingsvergelijkingen van een puntmassa in een inertiale

ruimte

Om de beweging van een satelliet om de aarde te kunnen begrijpen, gaan we terug naar enke 1 e el ementa i re natuurkundige begr i ppen, te weten twee wetten van Newton': de Traagheidswet en de Gravitatiewet. TWEEDE \lET ( TRAAGHEIDS\lET) V,in NEWTON:

F

=

m

*

a (2.2-1)

De massa van een puntmassa mis de constante verhoud i ng di e er experimenteel blijkt te bestaan tussen de kracht F, die op de puntmassa werkt en de versnelling a, die de puntmassa daardoor krijgt. De versnel 1 ing a, de snelheid v en de afgelegde weg s zijn als volgt aan elkaar gerelateerd,

a

=

(2.2-2)

dt

We kunnen vergelijking (2.2-1) ook in vectorvorm opschrijven (zie Fig. 2.7); we hebben: F m > a of { : ; }

=

m > { : ; }

=

m > {

~

} m

*

X

(2.2-3) waarin etc.

z

o?-________________ __

_y

x

- - -

-Tot nu toe hebben we ons niet uitgelaten over de oorzaak van de

kracht F di e op m werkt. Als deze kracht wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van een tweede puntmassa m

2, dan zegt de GRAVITATIEWET VAN NEWTON:

F _G

_*

m

*

m 1 2

(2.2-4)

Twee puntmassa's mi en m

2 trekken elkaar aan met een kracht die

recht evenredig is met de massa van elk der puntmassa's en omgekeerd

evenredig met het kwadraat van hun onderlinge afstand IX121.

In vergelijking (2.2-4) is

G 6.67259 ± 0.00085

*

10-11 m 3 kg s -1-2 (2.2-5)

gravitatiekonstante, bijv. [Cohen en Taylor, 1988]

=

(X -X )2 + (y _y )2 + (z -z )2

2 1 2 1 2 1 (2.2-6)

We brengen ook vergelijking (2.2-4) in vectorvorm (zie Fig. 2.8); we

hebben: F 12 waarin { : 12X } 12Y F 122

.

{

X 12 X2 - \ , etc.

z

r - - - y

X (2.2-7)

Figuur 2.8 De aantrekkingskracht tussen twee puntmassa's m

1 en m2

Substitutie van (2.2-4) in (2.2-7) levert F 12 Gm m 1 2

{

\/1\21 }

*

y ₁₂

/

IX I

₁₂ Z ₁₂

/IX I

₁₂ Gm m 1 2 - - - *

I

X 12

1

3 Gm m 1 2 - - - * IX₁₂1 3 X 12 (2.2-8) (2.2-9)

Nu leveren vergelijkingen (2.2-4) en (2.2-7) voor de puntmassa's m en

1 m 2 op: Gm m 1 2 m: F m

_*

_X

F

*

X

1 1 1 1 12

IX

121 3 12 Gm 2 of

X

₁

• X

IX

12 1 3 12 -Gm m 1 2 m: F m

_{• X}

F -F

_{• X}

2 2 2 2 21 12

IX

13 12 12 -Gm 1 of

X

- - - *

X

2

IX

12 1 3 12

Door (2.2-13) van (2.2-11) af te trekken, krijgen we

X

X - X

12 2 1 -G(m +m ) 1 2 • X 12 (2.2-10) (2.2-11 ) (2.2-12) (2.2-13) (2.2-14) Indien bijvoorbeeld m

1 zich in de oorsprong van het inertiaal stelsel bevindt, dan kunnen de subindices weggelaten worden:

-G(m +m ) 1 2

- - - - X _(2.2-15)

Vergelijking (2.2-15) stelt dan de bewegingsvergelijking(en) van m₂ voor in een inertiale ruimte gecentreerd in m

x

Figuur 2.9

z

o

== m1~---'---;;r--

y

"-

I

./

"- . /

"-

I

./

"

. /

---~

.

De inertiale ruimte X gecentreerd in puntmassa mi.

Het is duidel ijk dat het alleen mogelijk is om in mi een

(quasi-)inertiale ruimte te definieren als mi »m2 Voor de beweging

van een planeet om de zon of, in ons geval, een kunstmatige satelliet

om de aarde gaat (2.2.15) over in ( M

=

mi » m

2 ):

- GM

*

X (2.2-16)

Vergel ijkingen (2.2-16) zijn drie 2de orde

differentiaal-vergelijkingen (zie appendix 2.6.A):

-GM

*

{~.

}

(2.2-17)

of

-~ --- - - - -~~~~~~~~ -~~----~~~~-

-x

y

z

c •

C • C • X / Y / Z / X2+y2+Z2 )3/2 X2+y2+Z2 )3/2 X2+y2+Z2 )3/2 (2.2-18)

Voordat vi a numer i eke i ntegrat i e de dr i e 2de orde DV-en worden opgelost, vindt vaak eerst een transformatie naar zes 1ste orde DV-en plaats. Introduceer drie nieuwe variabelen U, V en W:

dX dY dZ

U x

v

y W

z

(2.2-19)

dt dt dt

De vergelijkingen (2.2-18) en (2.2-19) leveren dan de zes gevraagde 1ste orde DV-en:

U X V Y W Z (2.2-20) U C • X / (X 2 + y2+ Z2)3/2 V C • X / (X 2 + y2+ Z2)3/2 W _{C •} { Z / (X2+ y2+ Z2)3/2

Integratie van vgn. (2.2-20) levert zes integratieconstanten op. Men is dus vrij om op een zeker tijdstip to zes variabelen { Xo' Yo' Is eenmaal zo' n keuze gedaan dan 1 evert dat één spec i f i eke curve op waar 1 angs puntmassa m

2 zich beweegt.

Met andere woorden, kennen wi j van een sate 11 i et (m

2) zijn

t . . . t

positie {\'Yo,Zo} en zijn snelheid {\'Yo,Zo} op een tijdstip to' dan zijn W1J door middel van integratie van de differentiaalvergelijkingen (2.2-20) in staat op elk ander tijdstip t de positie en snelheid van deze satelliet te berekenen.

In de vergelijkingen (2.2-16 e.v.) verschijnt alleen het product van de gravitatieconstante G en de centrale massa M. Bestuderen we de banen van aardse satellieten dan zullen deze meer inzicht verschaffen

in het product

GM (2.2-21)

dan in Gen Mafzonderlijk.

vraag 2.9: Waarom speelt bij de bestudering van de planeten-bewegingen om de zon de heliocentrische gravitatie-constante en de verhoud i ng massa planeet 1 massa zon een grote rol?

vraag 2.10: Herschrijf de zes 1ste orde DV-en in bolkoordinaten.

2.2.2 Oplossing van de bewegingsvergelijkingen

In sectie 2.2.1 hebben we allereerst de bewegingsvergelijkingen opgesteld en nu staan we op het punt deze differentiaalvergelijkingen op te lossen. Als we ge 1 uk hebben, kunnen we een ana 1 yt i sche oplossing vinden (zoals in het voorbeeld in Appendix 2.6.A), anders zullen we onze toevlucht moeten nemen tot numerieke oplossingsmethoden.

In de geschiedenis (middeleeuwen) is de "oplossing" vóór de "verklaring" gevonden:

KEPLER ontdekte door analyse van eigen waarnemingen en van waarnemi ngen van TYCHO BRAHE bepaa 1 de wetmat i gheden i n de bewegi ngen van planeten om de zon, en leidde een soort analytische oplossing af. Veel later leidde dit pas tot het opstellen van de algemener geldende natuurwetten door NEWTON.

KEPLER formuleerde drie wetten: Eerste wet (1609):

De baan van elke planeet is een ellips. De zon staat in één van de brandpunten.

Tweede wet (1609):

De verbindingslijn zon-planeet doorloopt in gelijke tijds-intervallen gelijke oppervlakken (de perkenwet).

Derde wet (1619):

De verhouding tussen het kwadraat van de omlooptijd V3n een planeet en de derde macht van zijn gemiddelde afstand tot de zon is constant.

In 1665/66 formuleerde NEWTON zijn bekende wetten (die pas vanaf 1687 gepubliceerd werden).

De derde wet van KEPLER leidt tot

2 3

n a GM

waar i n n de gem i dde 1 de hoei(sne 1 he i d van de planeet i s en halve lange as van de baanelllps.

(2.2-22)

a de

vraag 2.11: Bewi js dat de constante i n de derde wet van KEPLER gelijk is aan 4rr2/GM.

-

- - -

-vraag 2.12:

vraag 2.13:

Hoe hoog staat een GPS-sate11 iet,

éénmaa 1 zijn baane 11 i ps door loopt, oppervlak? die boven in het 12 uur

aard-Hoe hoog staat een commun i cat i e- of TV-sate 11 i et (i n

een geostationaire baan) boven het aardoppervlak?

Het blijkt echter wel dat de zes DV-en (2.2-20) analytisch

oplosbaar zIJn. In het kader van deze cursus zal niet getracht worden

deze ana 1 yt i sche op 1 oss i ng van de zes DV-en af te 1 e i den. I n de

komende paragrafen zal de analytische oplossing behandeld worden.

Daarbij aanvaarden we de KEPLERse oplossing. We zullen wel zien dat

de vereiste

geometrisch oplossing.

zes integratie constanten {Xo'Yo,Zo'

interpreteerbare tegenhangers hebben bij

2.2.3 Quasi-inertiaal referentiestelsel

de

Allereerst dienen we een inertiaa1 referentiestelsel te

def i ni ëren waar i n de wet ten van Newton ge 1 den. We maken enerz i jds

gebruik van de richting van de rotatieas van de aarde. Loodrecht op

deze as definiëren wij een vlak, het equatorvlak, het XY-v1ak. Anderz i jds maken we gebru i k van de beweg i ng van de aarde om de zon.

Het baanvlak waarin de aarde om de zon heen draait, het

ec 1 i pt i cav 1 ak, sn i jdt het equatorv 1 ak vo 1 gens een sn ijl i jn. Deze

sn ijl i jn i s de X-as van ons referent i este 1 se 1 . De pos i ti eve X-as

wijst naar het zogenaamde lentepunt y. Het lentepunt (verna1 equinox)

is dat punt tussen de sterren waarin wij de zon (beter: het

massamiddelpunt van) zien vanaf de aarde (beter: het massamiddelpunt

van) op het moment dat het lente wordt (zie Fig. 2.10):

Richting naar het lentepunt

T x Eerste dag van de herfst Z Eerste dag van de winter

(Seizoenen voor het noordelijk halfrond)

Figuur 2.10 Het (quasi-)inertia1e referentiestelsel X ten opzichte van zon en aarde

Als oorsprong van het inertiale referentiestelsel kiezen we het

massamiddelpunt van de aarde.

vraag 2.14:

vraag 2.15:

vraag 2.16:

Welke (geometrische). gebeurtenis vindt er plaats op het

moment dat het lente wordt (op het noordelijk halfrond)? Leg precies uit waarom men zo'n geocentrisch inertiaal referentiestelsel QUASI-inertiaal noemt?

Kunnen we de X-as van het inertiaal stelsel ook naar de meridiaan van Greenwich laten wijzen?

2.2.4 Orientering van de baanellips

In het gekozen (quasi-)inertiale referentiestelsel moeten we nu

de baane II i ps (1 ste wet van KEPLER) pos i t ioneren. Het brandpunt van

de elI i ps va I t samen met het massam i dde I punt van de aarde (1 ste wet

van KEPLER).

In plaats van een dr i ed i mens i onaa I' p I aatje te tekenen van een

baanellips rond de aarde beginnen we met een (hemel)bol op oneindig te

tekenen. Het middelpunt van de bol valt samen met het

massa-middelpunt van de aarde. Op de bol projecteren we achtereenvolgens de

equator en de baanellips, zie Fig. 2.11.

Voor de oriëntering van de baanellips ten opzichte van het

inertiale XYZ-stelsel zijn drie hoeken nodig: twee voor de

orientering van het baanvlak: Q en i, en één voor de orientering

van de baanellips in het baanvlak, de richting naar het punt wanneer

de satell iet zich het dichtst bij het massacentrum van de aarde

bevindt: het perigeum: w.

z x Figuur 2.11

x

T

z

·Hemelbol ,. Op hemelbol geprojecteerde y())~

i

baanellips --,~~-'" X w Perigeum ~~~~----+---~-y Stijgende knoop

Hemelbol met geprojecteerde equator en baanellips

teerde

- - -

-0: duidt de rechte klimming (a) aan van de stijgende knoop aan; de stijgende knoop is het punt waar de satelliet boven het equatorvlak uit komt,

i: duidt de inclinatie van het baanvlak ten opzichte van het equatorvlak aan,

w: duidt het argument van het perigeum aan gerekend vanaf de stijgende knoop; zoals gezegd, het perigeum is het punt waar de satelliet de aarde (beter: het massamiddelpunt van) het dichtst genaderd is.

We definiëren nu een ander referentiestelsel X waarvan het X Y

-w w w

vlak samenvalt met het baanvlak. De Xw-as wijst richting het perigeum

en de oorsprong va 1 t samen met het massam i dde 1 punt van de aarde ( ;;;

brandpunt van baanellips, ;;; oorsprong van X-stelsel), zie ook Fig.

2.11.

De relatie tussen het inertia1e X -stelsel en het X -stelsel is

waarin en vraag 2.17: vraag 2.18: (I) w X 'R

_*

X I IW W (2.2-23) 'R 'R (-0)

*

'R (-i)

*

'R (-w) IW 3 1 3 (2.2-24) X

U:

}

w 0 (2.2-25)

Reconstrueer geometrisch de afleiding van bovenstaande drie formules.

Verklaar waarom Z

=

0 ?

w

2.2.5 Baanvlak re~erentiestelsel

Na de or i enter i ng van de baane 11 i ps vastge 1 egd te hebben d i enen

we nog uitspraken te doen met betrekking tot de vorm en grootte van de baane1l ips en de positie van de sate11 iet in die baane11 ips op een

zeker tijdstip to'

Net zoa 1 s bij de aardse omwente 1 i ngse 11 i pso ï de 1 eggen we de

grootte en vormvan de baanellips vast met de halve lange as a en de

excentriciteit e, zie paragraaf 2.1.1. In de satellietgeodesie is het

niet gebruikelijk om van de afplatting f van de baanellips te spreken.

De positie van de satelliet in het X_wY_w-v1ak kan als volgt

Apogeum Perigeum

----~---~~-.~~----~---Xw

Stijgende knoop

Figuur 2.12 De positie van de satelliet S in het baanvlak

In Fig. 2.12 is een omhullende hulpcirkel om de baanellips

getekend. Hieruit volgt:

X r

•

cos v _{a •} ( _{cos E - e (2.2-26)} w w y

•

_{sin v}

_•

_/1 2

•

sin E (2.2-27) r a - e w w waarin r a

•

w ( 1 - e • cos E ) (2.2-28)

In Fig. 2.12 en bovenstaande formules zijn:

a: de halve lange as van de baanellips

b: de halve korte as van de baanellips

e: de excentriciteit van de baanellips met

2 _{_ b}2 a 2 e 2 (2.2-29) a

v: de ware anomaliteit (voerhoek), ook wel aangeduid met de letter f

E: de excentrische anomaliteit

De relatie tussen de ware en de excentrische anomaliteit is

tan (E/2)

[

~

]1

/2.

tan (vI2)

1 + e

(2.2-30)

Substitutie van (2.2-24), (2.2-26) en (2.2-27) in (2.2-23) geeft

de volgende relatie:

-

-

- -

-In vg 1 (2. 2-31) staan de Cartes i aanse coord i nat en u i tgedruk t i n

de zes zogenaamde KEPLERse baanelementen: a, e, i,

n,

w, en E.

Als we het gestelde op pagina 2.15 parafraseren:

"Kennen wij van een satell iet op een tijdstip t~: a, e, i, Q, w en

"EO' dan kunnen wij zijn positie met behulp van vgl (2.2-31) op elk

"gewenst tijdstip t uitrekenen, als ...

we de re 1 at i e i n de tijd kennen tussen E en Eo. I n andere woorden,

hoe neemt de excentrische anomaliteit in de tijd toe?

Hiertoe definiëren we een hulpgrootheid (hoek) M die 1 ineair in de tijd toeneemt als functie van de gemiddelde hoeksnelheid n

3e wet van KEPLER ). De hoek M noemt men dan ook de

gemiddelde anomaliteit:

M + n * ( t - t

o 0 (2.2-32)

Via de zogenaamde

VERGELIJKING VAN KEPLER

(2.2-33)

1 i gt het verband tussen M en E vast. De verge 1 i jk i ng van Kep 1 er is

niets anders dan een uitvloeisel van de Perkenwet (2e wet) van Kepler,

die zegt dat de voerstraa 1 naar een sate 1 1 i et i n ge 1 i jke

tijdsintervallen gelijke oppervlakken doorloopt.

Combinatie van (2.2-32) met (2.2-33) levert een vergelijking op

die gegeven een excentrische anomaliteit Eo (of een Mo' of een V

o via

vgl (2.2-30) op een tijdstip to de excentrische anomal iteit E op een

ander willekeurig tijdstip tuitrekent:

E - E

o e * ( sin E - sin Eo + n

* (

t - t o (2.2-34)

2.2.6 Trans~ormatie van Keplerse naar Cartesiaanse baanelementen

Tot nu toe hebben we slechts de positie {X,y,Z}t van de satelliet

in Keplerse baanelementen uitgedrukt. Om de transformatie van

ook aan te geven hoe de snelheid

. . . t

{X,Y,Z} van de zes baanelementen afhangt.

Daartoe differentiëren we vgl (2.2-23) naar de tijd, makend van de kettingregel:

X

I 'R IW * X W +'R IW * X W

Keplerse

gebruik-(2.2-35)

Aangezien we werken met twee puntmassa's (m

1» m2), betekent dit

dat de oriëntering van het baanvlak in de inertiale ruimte ongewijzigd bl ijft. Dat betekent weer dat de hoeken

tijdsonafhankelijk zijn, waardoor

'R

IW

o

Vgl (2.2-35) gaat dus over in

X

I 'R IW

*

X W

Differentiatie van (2.2-26), (2.2-27) en (2.2-28) geeft

x

-

a

_*

E

_*

sin E W Y a

_*

E

_*

/1

e 2'

_*

cos E W r a

_*

E

_*

e

_*

sin E W

Tenslotte levert differentiatie van vgn (2.2-34)

n E 1 - e

*

cos E i,

n

en W (2.2-36) (2.2-37) (2.2-38) (2.2-39) (2.2-40) (2.2-41)

Nu zijn alle elementen bekend voor de volledige transformatie van de Keplerse baanelementen naar de Cartesiaanse baanelementen ("statevector" ): of X I [X I X

1=

YI Y

=

[

XI X]

I I I . Z Z vraag 2.19: X I 'R IW

*

X W [ a(cosE-e) 'R (-n)'R (-i)'R (-w)

a~sinE

3 1 3

o

X W -aEsinE ] aË/ 1

~e

2'cosE (2.2-42) (2.2-43)

Bereken de gemiddelde hoeksnelheid in graden per seconde en in radialen per seconde van een

vraag 2.20:

vraag 2.21: vraag 2.22:

vraag 2.23:

Leid de formule (2.2-41) voor E

=

dE/dt af. Ontwikkel een formule voor de ware hoeksnelheid duldt.

u

=

Bereken de ware hoeksnelheid en de baansnelheid van een

GPS-satelliet in het perigeum en het apogeum als

gegeven is dat e

=

0.01. Geef uw antwoord in graden en in kilometers per seconde.

U verricht

satelliet.

(pseudo)afstandmeting naar een

GPS-We 1 ke waarden kunnen deze afstanden aannemen? Omdat

het slechts een afschatting betreft, mag U aannemen dat - U zich aan de evenaar bevindt,

de GPS-satell ietbaan een inclinatie van 0 graden heeft,

- U beneden een elevatiehoek van 0 graden geen

waarne-mingen verricht, met andere woorden U verricht geen

metingen als de satelliet zich onder de lokale

horizon bevindt.

Bereken Uwextremata in kilometers.

2.2.7 Transformatie van Cartesiaanse naar Keplerse baanelementen

Om de inertiale positie van een satelliet in een centraal krachtenveld te berekenen is het eenvoudiger om de positie in tijd te

"updaten" als deze gegeven i s als funct i e van Kep 1 er se baane 1 ementen

dan als functie van Cartesiaanse baanelementen. De tijd wordt dan via de vergelijking van Kepler (2.2-32), (2.2-33) en (2.2-34) in rekening

gebracht.

Schematisch moet de volgende procedure doorlopen worden:

t : {X, Y, Z, X, Y, Z }t

o

1

(sectie 2.2.7)

t : a, e, i,

n,

w, M }t

0 0

1

vergelijking van Kepler t : a, e, i,

n,

w, M }t 1 1

1

(sectie 2.2.6) t : { X, Y, Z, X, Y, Z }t 1 (vgl

}

2.2-34)

}

I I

Transformatie 11 is in sectie 2.2.6 behandeld. In deze sectie wordt de iets ingewikkeldere transformatie I beschreven.

We verkrijgen de vergel ijkingen van transformatie I als we vgl (2.2.43) inverteren; dat wil zeggen dat we de zes Keplerse baanelementen oplossen uit de zes "statevector" vergelijkingen .

We pakken het echter i ets anders aan. eerste plaats een derde referentiestelsel X : u We i ntroduceren i n de

x y

Z I I I

x y

Z w w w

x y

Z u u u

inertiaal stelsel XI (XI-as ~ lentepunt) baanvlak stelsel X_w (Xw-as ~ perigeum) baanvlak stelsel X (X -as ~ satelliet)

u u

Het laatst geintroduceerde stelsel X is op overeenkomstige wijze u

als het X_w- stelsel gedefinieerd behalve dan dat de Xu-as continu de satelliet volgt, zie Fig. 2.13:

Dus z x Figuur 2.13

x

cr

z

·Hemelbol Op hemelbol geprojecteerde baanellips XuX w Perigeum ~~--T---7---~-Y Stijgende knoop

Het baanvlak/satelliet stelsel X

X u

_{

~:

=

0 } Z = 0 u u (2.2-44)

De hoek in het baanvlak die door de X'-as en de richting naar de u

stijgende knoop wordt ingesloten, heet u: "argument of latitude" met

u w + v (2.2-45)

Evenals in paragraaf 2.2.4 kunnen de volgende relaties opgesteld worden: X 1{

_*

_{X (2.2-46)} W WI I X 1{

_*

_X (2.2-47) u uI I X 1{

_*

_X 1{

*

1{

*

X (2.2-48) u uW W uW WI I

Fig. 2.13 laat dan zien dat

1{ 1{ (w)

*

1{ (i)

_*

1{3(Q) (2.2-49)

WI 3 1

1{ 1{ (u)

*

1{ (i)

*

1{ (Q) (2.2-50a)

uI 3 1 3 1{ (V+W)

*

1{ (i)

*

1{ (Q) (2.2-50b) 3 1 3 1{ (v) 3

*

1{ 3 (W)

*

1{ 1 (i)

*

1{ 3 (Q) (2.2-50c) 1{ (v)

_*

1{ 1{

*

1{ (2.2-50d) 3 WI uW WI

We definiëren nu een vector h loodrecht op het baanvlak volgens

h - X x X

_Ihl

*

{

-

:::

~

:

::~

}

cos

(2.2-51)

de waarbij w de eenheidsvector loodrecht op het baanvlak voorstelt. Dus

h

{

hl}

h

=

{

y~

ZX - XZ

- z: }

2 . . h XY - YX 3 (2.2-52)

h is de impulsmomentvector (uitproduct van plaats en snelheid).

De Keplerse baanelementen volgen direct uit (2.2-51) en (2.2-52):

h 1 tan Q (2.2-53) -h 2 Jh2+h2' 1 2 tan (2.2-54) h 3

Uit 1{ (-u)

*

X = 1{ (i)

*

1{ (Q)

*

X

3 u 1 3 1 volgt dat

x

*

cos u

x

*

cosQ + Y sinQ (2.2-55)

u

x

*

sin u

=

-X

*

cosi

*

sinQ + Y

*

cosi

*

cosQ + Z

*

sini (2.2-56)