Analiza anemometru falowego ze skośnym ustawieniem układu nadajnik-detektor

Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 9, nr 1-4, (2007), s. 87-98

© Instytut Mechaniki Górotworu PAN

Analiza anemometru falowego ze skośnym ustawieniem układu nadajnik-detektor

ANDRZEJ RACHALSKI

Instytut Mechaniki Górotworu PAN, ul Reymonta 27; 30-059 Kraków

Streszczenie

W pracy przedstawiono analizę teoretyczną anemometru falowego w skośnym układzie detektor-nadajnik.

Otrzymano wyrażenia na przesunięcie fazy i amplitudy fali cieplnej przy skośnej orientacji liniowego źródła fali względem wektora prędkości. Z analizy otrzymanych zależności wynika, że w celu wyznaczenia modułu i kątów orientacji wektora prędkości w układzie współrzędnych należy zastosować układ z dwoma detektorami fali. War- tość i kąty nachylenia wektora prędkości wylicza się korzystając z przesunięcia fazowego fali oraz amplitudy fali zarejestrowanej na detektorach. Określono zakresy pomiarowe wartości i kątów nachylenia mierzonego wektora prędkości, oraz przedstawiono konfi gurację przestrzenną czujnika pomiarowego.

Słowa kluczowe: pomiar prędkości przepływu, termoanemometria, fale cieplne

Lista symboli a – współczynnik b – współczynnik

c – ciepło właściwe płynącego gazu i – jednostka urojona

l – współrzędna punktu na nadajniku liniowym q – intensywność źródła punktowego

r – odległość od początku układu odniesienia

t – czas

x,y,z – współrzędne układu współrzędnych x’, y’, z’ – współrzędne układu współrzędnych źródła x”, y”, z” – współrzędne układu współrzędnych sondy A – część rzeczywista wyrażenia √^—1+iP B – część urojona wyrażenia √^—1+ iP G – funkcja Greena

K – funkcja Bessela

P – bezwymiarowy parametr

Q – intensywność źródła fali cieplnej U – prędkość przepływu gazu

α – parametr w wyrażeniu na odległość od źródła punktowego ξ, η, ζ, τ – zmienne w funkcji Greena

φ – kąt pomiędzy rzutem nadajnika na płaszczyznę X0Ya osią 0X δ – funkcja δ Diraca

ϑ – kąt pomiędzy liniowym nadajnikiem a osią 0Z

∆φ – przesunięcie fazy fali cieplnej κ – dyfuzyjność cieplna gazu

λ – zmienna całkowania wzdłuż nadajnika λ^* – położenie maksimum funkcji podcałkowej ρ – gęstość gazu

ω – częstość fali cieplnej

θ – zredukowana temperatura gazu Θ – amplituda fali cieplnej

∆ – operator Laplace’a

1. Wstęp

Prezentowana praca przedstawia kontynuację badań anemometrów z falą cieplną prowadzonych w latach ubiegłych w Pracowni Metrologii Przepływów Instytutu Mechaniki Górotworu PAN [1]. Celem prac jest rozwinięcie metody fal cieplnych tak, aby umożliwić jej zastosowanie do przepływów o zmiennym kierunku. Idea pomiaru prędkości przepływu gazu metodą fal cieplnych polega na pomiarze różnicy fazy fali cieplnej o zadanej częstotliwości w dwóch punktach przestrzeni o znanej odległości. Pomiary prze- pływów o zmiennym kierunku wektora prędkości wymagają zastosowania czujników, w których nadajnik i detektor nie leżą w jednej płaszczyźnie. W latach ubiegłych przeprowadzono badania anemometru z falą cieplną w układzie detektora umieszczonego prostopadle względem nadajnika fali [2] oraz przedstawiono analizę teoretyczną nierównoległego układu nadajnik detektor wraz z dyskusją niedokładności wyznaczania prędkości przepływu gazu [3]. Istotnymi zaletami anemometru z falą cieplną są: duża dokładność, brak ko- nieczności wzorcowania, niewrażliwość na zmiany parametrów płynącego gazu. Ponieważ ze względu na zasadę pomiaru czujnik składa się z dwóch elementów: nadajnika i detektora fali, to warunkiem poprawności pomiaru jest dotarcie sygnału z nadajnika do detektora. W równoległej konfi guracji nadajnika i detektora muszą być one bardzo dokładnie ustawione w płaszczyźnie określonej przez wektor prędkości przepływu.

Umieszczenie detektora prostopadle względem nadajnika powiększa nieco zakres dopuszczalnych kątów napływu na nadajnik [2, 3], lecz nie eliminuje możliwych błędów pomiaru w sytuacji, gdy wektor prędkości odchyli się za bardzo od właściwego kierunku. Ogranicza to pomiary do przepływów o ze stałym kierunkiem wektora prędkości. Budowa układu umożliwiającego pomiar wektora prędkości przy różnych kierunkach napływu na czujnik pozwoli rozszerzyć zakres zastosowania metody fal cieplnych w pomiarach prędkości przepływu gazów.

2. Analiza teoretyczna

Rozchodzenie się fali cieplnej w gazie opływającym źródło z prędkością U opisać można następu- jącym równaniem:

c Q U x

t r

q q

q k ₊

¶ - ¶ D

¶ =

¶ (1)

gdzie zredukowana temperatura gazu θ jest stosunkiem temperatury T fali cieplnej do temperatury „zim- nego” gazu T_∞ :

= ¥

TT

q , c – ciepło właściwe gazu, κ – przewodnictwo temperaturowe gazu, ρ – gęstość gazu, Q – intensywność źródła fali cieplnej. Szczegółowe założenia, jakie poczyniono przy wyprowadzaniu powyższego równania oraz warunki, w jakich można stosować powyższe równanie zostały przedyskutowane we wcześniejszych pracach poświęconych pomiarom prędkości przepływu za pomocą metody fal cieplnych [4, 5, 6].

Rozwiązując równanie (1), Kiełbasa [4] otrzymał wyrażenie na rozkład temperatury wokół nieskończonego źródła liniowego o intensywności opisanej zależnością Q = Q₀ exp(–iωt)δ(x – 0)δ(y – 0), (ω oznacza czę- stość fali), umieszczonego prostopadle względem wektora prędkości przepływu:

( ) ç

è

æ- +

ç + è

æ -

= kw

kw k w pk

k r

k

q p 4

exp 2 2 4

2 exp ,

, ²

2

0 r U i

i U r t x i U c

t Q y

x ç

è

æ ç

èæ (2)

Amplituda tej fali wynosi:

( )

úú ú û ù êê

ê ë é

çç ç è æ

çç è

æ + +

ú - û ê ù

ë é +

= Q

-

4 2 2 18

4 2

0 2 1 1 16

2 1 exp 2

1 16 , 2

, .

, U x r U

U r

U c U Q

r

x k w

k w

k p

r k k p

w _ç^ç

è æ

çç

ç è æ

(3)

a przesunięcie fazy jest dane wzorem:

( ) _ç^ç

è

æ + -

= 1 16 1

2 1 , 2

,

, ²₄ ²

U r

U U

r k w

k k w

j _ç^ç

è

æ (4)

Ponieważ rozważamy źródło liniowe umieszczone w przepływie nieprostopadle do wektora prędkości, rozwiązania będą miały inną postać. Źródło liniowe przyjmiemy jako sumę źródeł punktowych, dlatego przedstawimy najpierw szkic rozwiązania równania (1) podanego przez Kiełbasę [4] dla źródła punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych jak przedstawiono na rys.1 i opisanego wzorem:

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

0exp(- - - -

=q i t x y z

q w d d d ⁽⁵⁾

Funkcja Greena w tym wypadku będzie miała postać:

( ) ( ) ( )

úú û ù êê

ë

é- - + - + -

ççèæ

= t

z y

x G t

k

z h

x

pk ^{exp 4}

1 2

1 ^{3 2 2 2}

ç ç è

æ (6)

Rozwiązanie równania (1) ze źródłem (5) jest następujące:

( )

( )

[ ]

) ( ) ( ) ( ) exp(

) ( exp 4

2 ) 1

, , , (

0

2 2

3 2

0

z d h d x d r w

t k

z h

t x

z pk h x t

q

- -

- -

´

úú û ù êê

ë é

-

- + - + - - - -

ççèæ

= ^+¥

¥ -

z y

x t c i

q

t

z y

t U x d t

d d d

t z y x

t

ç ç è æ

(7)

Po scałkowaniu po współrzędnych przestrzennych otrzymujemy:

4 ' ' ' ' 4 ' exp

exp 2 1

) 8 , , (

0

2 3 2

0 ²

3

k t t wt kt

k t pk w

q r r U d

Ux i t c i

t q r x

t

ççèæ

- ç -

è æ- + ççèæ

= ^-

ç ç è

ç æ

è

ç ç è æ

æ (8)

Rys. 1. Wektor prędkości i źródło punktowe w układzie współrzędnych Z

Y X

0 U

Ÿród³o punktowe Ÿród³o punktowe

q(x,y,z,t)

gdzie: r= x²+y²+z², t'= t-t. Całkę w wyrażeniu (8) porównujemy z całką [7]:

(

)

gb b g

n n

n

2 2

exp ²

0

1 xdx K

x x úûù = ççèæ êëé- -

¥ -

ç ç è

æ (9)

i dostajemy że

w k k g

b

n , 4

, 4 2

1 ² U²

r =i +

= -

= . Jak widać części rzeczywiste współczynników β i γ są dodatnie i wzór (9) można zastosować do obliczenia całki z wyrażenia (8), która będzie równa:

çè

æ +

= + ççèæ

-

- _-

- kw

k w

t k k

t wt kt

t 4

2 2 4

4 ' ' ' ' 4

' exp ^{4 2} ₂ ²

0

2 2

21 2

3

i r U

r K i d U

U i r

t

ç ç è

æ ç

èæ (10)

gdzie

21

K jest zmodyfi kowaną funkcją Bessela drugiego rodzaju. Korzystając z własności połówkowej funk--

cji Bessela

21

21 K

K_- = oraz z ( z)

pz _-

= exp

)

( 2

21

K , otrzymujemy rozwiązanie na temperaturę w punkcie odległym r od źródła punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych:

( ) _êë^é

(

)

= U x r iP

t r c i

t q r

x 1

exp 2 exp 1

) 4 , ,

( ⁰

w k k

q pr ⁽¹¹⁾

gdzie wprowadzono bezwymiarowy parametr P równy:

2

4

P₌ Ukw ₍₁₂₎

Po przekształceniach otrzymujemy wyrażenie na temperaturę zredukowaną gazu:

úú û ù êê

ë é

ççè

æ - çèæ + + ççè +

æ - çèæ + - -

= 1 1

2 1 1 2

2 1 1 exp 2

1 ) 4

, ,

( ^{0 2} U x r P²

Ur P t r i

c t q

r

x w k k

k

q pr çèæ

ç ç è

æ çèæ

ç ç è

æ (13)

z którego wyliczamy przesunięcie fazowe:

çè

æ + -

-

=

D 1 1

2 1 ) 2

, ,

( Ur P²

t r

x k

j ç

èæ (14)

oraz amplitudę fali:

úú û ù êê

ë é

ççè

æ - çèæ + +

=

Q 1 1

2 1 exp 2

1 ) 4

, ,

( ⁰ U x r P²

c r t q

r

x pr k k ^çèæ _{ç ç è}

æ

(15) Zakładamy dalej, że źródło liniowe umieszczono w przepływającym gazie jak na rys. 2. Źródło liniowe przedstawiamy jako nieskończoną sumę źródeł punktowych. Wprowadźmy nowe zmienne:

j Jcos sin l x

x¢= - (16)

j Jsin sin l y

y¢= - (17)

J cos l z

z¢= - (18)

2 2

2 y z

x

r¢= ¢ + ¢ + ¢ (19)

Opisują one położenie punktu o współrzędnych (x,y,z) w lokalnym układzie odniesienia X’0Y’, który powstaje przez przesunięcie układu X0Y wzdłuż prostej 0L (czyli nadajnika) tak, by jego początek znajdował się w punktowym źródle o współrzędnej l. Ze wzorów (16), (17), (18) oraz (19) otrzymujemy, że:

( )

[

]

r¢= + - + + (20)

Wprowadzając podstawienie:

J j

J j

J

a = xsin cos +ysin sin +zcos (21)

oraz wstawiając do (15) r’ ze wzoru (20) zamiast r z uwzględnieniem (21), oraz x’ ze wzoru (16) w miejsce x otrzymujemy wyrażenie na falę temperaturową w punkcie o współrzędnych (x,r) pochodzącą od punktowego źródła o współrzędnej l ∈ (–∞, +∞) na prostej:

( ) ( )

( ) _úû^ù êëé

çè

æ - - - + - +

´

- +

= -

iP l

r l

U x

l r

t c i

t q l r z y x

1 cos

2 sin exp

exp 1 ) 4

, , , , , , , (

2 2 2

4 2 2 2

0

a a

j k J

a w a

k J pr

j q

çè

æ (22)

Fala pochodząca od źródła liniowego jest sumą przyczynków pochodzących od każdego ze źródeł punkto- wych i jest równa:

(x y z r ) (x y z r l )dl

l

+¥

¥ -

= q jJ

J j

q , , , , , , , , , , , (23)

Wprowadzając do wzoru (22) następujące oznaczenia:

2

2 a

l a

-

= - r

l (24)

çè

æ + +

= 1 1

2

1 ₂

P

A ç

èæ (25)

çè

æ + -

= 1 1

2

1 P2

B çèæ (26)

Rys. 2. Orientacja liniowego źródła fali cieplnej w przepływie Z

Y X

j J

L

0 U

nadajnik nadajnik

wzór (23) przepisujemy w postaci:

l l

j J l k a

l

j a J k a

k w J pr

j q

d iB A U r

q

r U x

t c i

t r z y

l x

úûù êëé

çè

æ- - + +

+ -

´

ç - è

æ- + -

=

¥ +

¥ -

) ( 1 cos 2 sin

1 exp

cos 1 sin 2 (

4 exp ) 1 , , , , , , (

2 2

2

4 2

0

4 2 2

çè

æ

çè æ

(27)

Rys. 3. Źródło liniowe w przepływie oraz źródło punktowe w lokalnym układzie współrzędnych Z

Y X

j J

L

0 U

nadajnik nadajnik

z

’

x

’

r

’

y

’

q(x,y,z,t)

Jeżeli przyjmiemy kąt ϑ = 0 (kąt φ jest wtedy nieokreślony), to odpowiada to sytuacji, gdy nadajnik jest położony pionowo względem wektora prędkości. W tym przypadku l = z (bo nadajnik jest położony wzdłuż osi 0Z). Ze wzoru (21) otrzymujemy α = z, a ze wzoru (24) λ = 0. Dla takich wartości α i λ funkcja podcałkowa nie zależy od z i można ją wyciągnąć przed całkę i równanie (27) przechodzi w równanie:

(A iB) q dz Ur

r t Ux

c i t

r

l x

+¥

¥

úû-

êë ù

é +

çè æ- +

= ₀

exp 2 1 exp 2

4 ) 1 , , , ,

( w k k

k J pr

j

q ç

è æ

które jest identyczne z równaniem (2) opisującym rozwiązanie dla przypadku nadajnika pionowego. Oznacz- my całkę w równaniu (27) przez I₀:

(

)

k a

l ^{r A iB d}

I U úûù

êëé - - - + +

=^+¥ +

¥ -

) ( 1 cos 2 sin

1 exp

1 2 2 2

4 2

0 (28)

Funkcja podcałkowa jest zespolona, po jej rozłożeniu na część rzeczywistą i urojoną otrzymujemy dwie całki:

l l k a

l j

J l k a

l

d B

U r

A U r

I

çè

æ - +

´

úûù êëé

çè

æ- - +

+ -

=

+¥

¥ -

2 2

2

2 2

2

4 2

0

2 1 cos

1 cos

2 sin 1 exp

Re 1 ç

èæ

çè

æ (29)

l l k a

l j

J l k a

l

d B

U r

A U r

I

çè

æ - +

´

úûù êëé

çè

æ- - +

+ -

= ^+¥

¥ -

2 2

2

2 2

2

4 2

0

2 1 sin

1 cos

2 sin 1 exp

Im 1 ç

èæ

çè

æ (30)

Można łatwo pokazać, że całki te są zbieżne, a dla λ zmierzającego do +∞ i −∞ obie funkcje podcałkowe zmierzają do zera. Przepisując równanie (27) dostajemy:

( _{0 0})

4 2 2

0 ( sin cos 1 Re Im

exp 2 ) 4

, , , , ,

( I i I

r U x

t c i

r Q z y

l x +

ç - è

æ- + -

= a J j a

w k k

J pr j

q ç

è

æ (31)

Korzystając z elementarnej zależności: ^{ReI0+iImI0 = ReI02+ImI02 exp}

(

)

( )

( )

çè æ

- +

+ - - +

=

j J k a

a w k

J pr j q

cos 2 sin

arctan exp

Im 1 Re

) 4 , , , , , ,

( 0

Re 0

Im

02 02

4 2 2

0

U x

t i I

I c r

t Q r

z y

x I

I

l

çè

æ (32)

Otrzymaliśmy wyrażenie na temperaturę płynącego gazu w punkcie o współrzędnych (x,y,z) w obec- ności liniowego źródła nieskończonego przechodzącego przez środek układu współrzędnych. Wielkość

0

Re 0

arctan Im

II jest przesunięciem fazowym fali w punkcie o współrzędnych (x,y,z), odniesionym do źródła fali. Ponieważ całek Im I₀ oraz Re I₀ nie udało się policzyć analitycznie, w dalszych rozważaniach należy uwzględnić oszacowane wartości parametrów występujących w równaniach (29) i (30), gdyż zależy od nich przebieg obu funkcji podcałkowych. Wprowadźmy oznaczenia:

2 2

2 a

k ^-

= U r

a (33)

j Jcos sin

=

b (34)

Po podstawieniu do wzorów (29) i (30) otrzymujemy:

l l l

l ^{a b}l ^{A aB d}

I úûù çèæ +

êëé _ç

èæ + + + -

=^+¥

¥ -

2 2

4 2

0 exp 1 cos 1

1

Re 1 ç

èæ _ç

èæ (35)

oraz:

l l l

l ^{a b}l ^{A aB d}

I úûù çèæ +

êëé _ç

èæ + + + -

=

+¥

¥ -

2 2

4 2

0 exp 1 sin 1

1

Im 1 ç

èæ _ç

èæ (36)

Przyjmijmy, że zakres mierzonych wartości prędkości dla powietrza wynosi od 10 do 400 cm/s. Jest to zakres prędkości, w którym można stosować metodę fal cieplnych, zagadnienie to było już przedstawio- ne w pracy [7]. Zakres kątowy wektora prędkości ograniczymy do obszaru określonego przez kąty φ oraz ϑ następującymi nierównościami: 0 ≤ φ ≤ 45° i 0 ≤ ϑ ≤ 45° (rys. 2). Wielkość r czyli odległość punktu, w którym wyznaczamy przesunięcie fazowe od początku układu współrzędnych przyjmijmy równą około 1 cm, co daje maksymalną wartość wyrażenia r²-a² około 2 cm, a minimalną rzędu 1 cm. Biorąc dla powietrza współczynnik przewodnictwa temperaturowego κ = 0,18 cm²/s otrzymujemy wartości minimalną i maksymalną współczynnika a równe: a_MIN ≈ 4, a_MAX ≈ 2000. Z zakresu kątów dostajemy, że 0 ≤ b ≤ 0.5.

Wyraz A (wzór (25)) jest dla małych wartości P w przybliżeniu równy 1, a wyraz B dla małych P można przybliżyć jako 0,5 P (wzór (26)). Z analizy przebiegu funkcji eksponencjalnej w równaniach (35) i (36) wynika, że dla A większego od b posiada ona jedno maksimum lokalne dla λ^* równego:

2 2 b A

b -

*=-

l ⁽³⁷⁾

i jest rosnąca dla λ < λ^* a malejąca dla λ > λ^*, osiągając w +∞ i −∞ granicę równą zeru. Przebieg tej funkcji przypomina kształtem krzywą dzwonową Gaussa. Przykładowe wykresy funkcji

úûù êëé _ç

èæ + +

- 1 ²

exp a bl A l ç

èæ

dla wybranych wartości parametrów a i b przedstawiono na rys. 4. Wyznaczmy „efektywny” obszar cał- kowania, tzn. taki przedział, w którym funkcja podcałkowa jest większa od pewnej arbitralnie przyjętej wielkości. Oznaczmy przez λ_MIN i λ_MAX odpowiednio dolną i górną granicę tego przedziału. Rozwiązanie tego zagadnienia dla funkcji podcałkowych w równaniach (35) i (36) wymagałoby rozwiązania równania przestępnego. Dlatego najpierw znajdujemy λ_MIN i λ_MAX dla czynnika eksponencjalnego. Tak więc λ_MIN i λ_MAX będą rozwiązaniami równania:

) exp(

1 exp

1 exp

2

*

*

2

l e l

l

l = -

úûù êëé _ç

èæ + +

-

úûù êëé _ç

èæ + + -

A b a

A b

a ç

èæ

çè

æ (38)

gdzie ε jest pewną stałą dodatnią. Rozwiązanie równania daje:

( ^{2 2})

2 2 2 2

2 ,

2 2 2

b A a

b A a A b

A a b

MAX

MIN -

+ -

±

çè

æ - +

= e e e

l ^çè

æ

(39)

a po wstawieniu z (37) λ^*:

( ) ( ^{2 2})

2 2 2 2

, 22 2 2

b A a

b A a A b

A a

b

MAX

MIN -

+

± - - -

=l^* e e e

l (40)

Rys. 4. Przebieg wartości funkcji

úûù êëé _ç

èæ + +

- 1 ²

exp abl A l ç

èæ dla wybranych wartości parametrów a i b

a=20

l

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

-1,2 -0,8 -0,4 0,0 0,4 0,8 1,2

b=0.4 b=0.1 b=0

a=100

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6

b=0.4 b=0.1 b=0

exp[au] exp[au]

l

Z powyższego wzoru widać, że dla b = 0 funkcja jest symetryczna względem λ^* (które w tym przepadku jest równe zeru). Na rys. 5 przedstawiono wykresy funkcji

úûù êëé _ç

èæ + +

- 1 ²

exp a bl A l çèæ oraz ç

èæ 1+ ² sin aB l ç

èæ i ç

èæ 1+ ²

cos aB l ^çèæ . Jak widać na rys. 5 w przedziale (λ_MIN, λ_MAX) wartości funkcji sinus i cosinus zmieniają

się na tyle mało, że można je przyjąć za stałe, równe w przybliżeniu wartości funkcji w punkcie λ^*. Czynnik

41 2

1 l

+ ma niewielki wpływ na przebieg funkcji podcałkowej. Na rys. 6 przedstawiono wykresy funkcji podcałkowych całek Re I₀ oraz Im I₀. Jak widać funkcja podcałkowa jest, z wyjątkiem skończonego przedzia- łu, bliska zeru. Oznacza to, że fala temperaturowa w danym punkcie przestrzeni pochodzi od skończonego odcinka źródła liniowego. Tak więc zmieniając granice całkowania z nieskończoności na λ_MIN, λ_MAX nie popełniamy błędu. Ograniczając przedział całkowania do (λ_MIN , λ_MAX) i wyciągając funkcje sinus i cosinus przed całkę zapisujemy część rzeczywistą i urojoną w postaci:

l l l l

l

l l l

l l

l l l

l

d A

b a aB

d aB

A b a I

MAX

MIN MAX

MIN

úûù êëé _ç

èæ + + + -

çè

æ +

=

çè

æ +

úûù êëé _ç

èæ + + + -

»

*

*

2

4 2

2

2 2

4 2

0

1 1 exp

1 1 cos

1 cos 1

1 exp

Re 1 çèæ

çè æ

çè æ

çè

æ (41)

l l l l

l

l l l

l l

l l l

l

d A

b a aB

d aB

A b a I

MAX

MIN MAX

MIN

úûù êëé _ç

èæ + + + -

çè

æ +

=

çè

æ +

úûù êëé _ç

èæ + + + -

»

*

*

2

4 2

2

2 2

4 2

0

1 1 exp

1 1 sin

1 sin 1

1 exp

Im 1 ç

èæ _ç

èæ

çè

æ _ç

èæ

(42)

Rys. 5. Przebieg wartości funkcji

úûù êëé _ç

èæ + +

- 1 ²

exp abl A l ç

èæ oraz çaB l èæ 1+ ²

cos ç

èæ i çaB l èæ 1+ ²

sin ç

èæ dla wybranych wartości parametrów a i b

Rys. 6. Przebieg wartości funkcji podcałkowej Re I0 i Im I0 dla wybranych wartości parametrów a i b

a=100

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6

b=0.4 b=0.1 b=0

sin cos

a=20

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

-1,2 -0,8 -0,4 0,0 0,4 0,8 1,2

b=0.4 b=0.1 b=0

sin cos

l

exp[au] exp[au]

l

sin,cos sin,cos

a=20

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

-1,2 -0,8 -0,4 0,0 0,4 0,8 1,2

Re b=0.5 Re b=0

Im b=0.5 Im b=0

Re b=0.1

Im b=0.1

a=100

-0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4

Re b=0.5

Re b=0

Im b=0.5 Im b=0

Re b=0.1

Im b=0.1

l

Re,Im[au]

l

Re,Im[au]

Z powyższych zależności dostajemy:

çè

æ - +

= çè

æ - +

çè

æ - +

= ^*

*

*

2 2 2 2 2

2 2 2 2

0

0 1

tan 2 2 1

cos 2 1 sin Re

Im a l

l k k a

l

k a U _{r B}

B U r

B U r

I I

çè

æ

çè

æ

çè

æ (43) a następnie ze wzorów (32) i (33) otrzymujemy wyrażenie na przesunięcie fazowe fali:

2 2

2 1

2

+ *

-

=

D a l

j Uk r B (44)

Ze wzoru (26) biorąc pierwszy wyraz rozwinięcia wewnętrznego pierwiastka dla małych wartości parametru P, a następnie wyrażając z (12) parametr P przez U, κ i ω dostajemy:

2 2

2- 1+ ^*

=

Dj w r a l

U (45)

i po wstawieniu z (37) λ^*:

2 2

2 2

b A

r A

U -

= -

Dj w a ⁽⁴⁶⁾

Jak widać, przesunięcie fazowe zależy od prędkości, częstotliwości oraz położenia nadajnika fali, które określają wielkości r²-a² oraz b. Dla nadajnika umieszczonego pionowo, jak już pokazano zachodzi

0

2 ,

2- =r b=

r a i powyższy wzór przechodzi w zależność (4). Powyższa zależność nie pozwala na wyznaczenie prędkości U w sposób jednoznaczny, gdyż występują w niej nieznane wielkości α i b, które zależą od kątów ϑ i φ. Wprowadzając drugi punkt pomiaru przesunięcia fazowego ∆φ w odległości r₂ od początku układu współrzędnych otrzymujemy poniższy układ równań:

2 2

12 12

1 A b

r A

U -

= -

Dj w a ⁽⁴⁷⁾

2 2

22 22

2 A b

r A

U -

= -

Dj w a ⁽⁴⁸⁾

Wielkość b, mimo iż jest nieznana, to pozostaje niezmienna, gdyż nie zależy od odległości r. Mamy więc układ dwóch równań z trzema niewiadomymi: prędkością U, oraz kątami ϑ i φ. Dodatkowe równanie otrzymamy z amplitudy fali. Ze wzoru (32) otrzymujemy wyrażenie amplitudę fali, która przedstawia się następująco:

( )

çè

æ -

- +

=

Q a J j

a k k

J pr

j sin cos

exp 2 Im

1 Re ) 4

, , , ,

( ₀² ₀²

4 2 2

0 U x

I I

c r z Q

y

l x ç

èæ (49)

Przepisując powyższe równanie dla dwóch detektorów umieszczonych jak uprzednio w położeniu r₁ i r₂ i tworząc i dzieląc je stronami dostajemy stosunek amplitud:

( )

( )

çè

æ - - -

+ + -

= - Q

Q a a J j

a k J a

j ( ) sin cos

exp 2 Im

Re

Im ) Re

, , , , , , ,

( _{1 2 1 2}

022 022

012 012

4 2

2 1 1

4 2

2 2 2 2

1 2 1 2 2 1

1 U x x

I I

I I

r z r

z y y x x

l

l ç

èæ (50) Wyraz zawierający część rzeczywistą i urojoną całki I₀ przekształcamy, korzystając ze wzorów (43) i (44) w poniższy sposób:

( ) ( ₂)

012 2 1 02

2 2

22 22 2

012

2 2

12 12 2

022

022 022

012 012

cos Re

cos Re tan

1 Re

tan 1 Re

Im Re

Im Re

j j w a

w a

D

= D

çç è æ

- + -

çç è æ

- + -

+ = +

I I

b A

r A I U

b A

r A I U

I I

I

I çç

è æ

çç

è

æ (51)

i podstawiamy do (50):

( )

( ) ç

(

)

è

æ - - -

D ´ D -

= - Q

Q a a J j

j k j a

J a

j ( ) sin cos

exp 2 cos

Re cos ) Re

, , , , ,

( _{1 2 1 2}

2 2 01

2 1 02

4 2

2 1 1

4 2

2 2 2 2

1 2 2 1

1 U x x

I I r

r r r x x

l

l ç

è

æ (52)

Układ równań (47), (48) i (52) jest podstawą do wyliczenia wartości wektora prędkości U, oraz kątów ϑ i φ.

Na rys. 7 przedstawiono sondę do pomiaru prędkości metodą fal cieplnych z dwoma detektorami. Jak widać, przy takiej konfi guracji przestrzennej nadajnika i detektorów sygnał cieplny z nadajnika trafi a do obu detektorów gdy kąty nachylenia wektora prędkości mieszczą się w przedziałach (–φ”,φ”) i (–ϑ’’,ϑ).

Wartości liczbowe granic tych zakresów wynikają z parametrów sondy, tj. długości nadajnika i detektorów, oraz odległości pomiędzy nimi. W dalszej analizie należy wyznaczyć wartości amplitudy i przesunięcia fazy fali rejestrowane przez detektory sondy, przechodząc z układu odniesienia 0XYZ do układu 0X’’Y’’Z’’

przedstawionego na rys. 7.

Rys. 7. Sonda z podwójnym detektorem i jej orientacja w mierzonym przepływie detektory

detektory

U

nadajnik nadajnik

X’’ Y’’

r1

r2

Z’’

J’’

j’’

Š

5. Wnioski

Z przeprowadzonej analizy wynika, że pomiar wartości modułu wektora prędkości i kątów jego na- chylenia metodą fal cieplnych jest możliwy. Do pomiaru należy zastosować układ z dwoma detektorami fali.

Aby wyznaczyć powyższe wielkości należy, obok przesunięcia fazy fali na detektorach, zmierzyć również stosunek amplitud fal rejestrowanych na detektorach. Zaproponowana przestrzenna konfi guracja układu nadajnik-detektor wymaga dalszej analizy w celu znalezienia optymalnych parametrów przestrzennych sondy, oraz wzorów do algorytmu wyliczania składowych wektora prędkości.

Pracę wykonano w ramach pracy statutowej realizowanej w IMG PAN Kraków w roku 2007, fi nanso- wanej przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.

Literatura

[1] Kiełbasa J. et al.: Eksperymentalna weryfi kacja wielokanałowego termoanemo-metrycznego systemu pomiarowego jako anemometru z falą cieplną. Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, 2004, T. 6, Nr 3-4, 205-216.

[2] Gawor M., Rachalski A.: Implementacja i badania parametrów metrologicznych różnicowego anemometru z fala cieplną w adaptacyjnym komputerowym systemie termoanemometrycznym. Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN 2005, T. 7, Nr 1-2, 87-99.

[3] Rachalski A.: Analiza konfi guracji przestrzennej układu nadajnik-detektor w anemometrze z oddziaływaniem cieplnym. Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN 2006, T. 8, Nr 1-4, 51-58.

[4] Kiełbasa J.: Fale cieplne w metrologii powolnych przepływów, Wyd. AGH, Kraków, 1975).

[5] Kiełbasa J.: Pomiar prędkości przepływu ustalonego metodą fal cieplnych, Archiwum Górnictwa 2005. Vol. 50, nr 2, s. 191-208.

[6] Rachalski A.: High Precise Anemometer with Thermal Wave, Rev. Sci. Instrum. 77(2006).

[7] Gradsztajn I.S., Ryżyk I.M.: Tablice całek, sum, szeregów, Moskwa 1962, 717.

The Analysis of Wave Anemometer with Inclined Transmitter-Detectors System Abstract

In current paper the wave anemometer with inclined transmitter–detector system has been analysed. Formulae of phase shift and amplitude of thermal wave generated by a linear wave source inclined with respect to velocity vector have been obtained. As has been shown in order to determinate a modulus and angles of fl ow velocity vector a system with two detectors is needed. A modulus and angles of slope of velocity vector are derived from phase shift and the amplitude ratio of wave registered on both detectors. A range of modulus and the angles of measured velocity were determined. The spatial confi guration of the probe was presented.

Keywords: fl ow velocity measurements, thermoanemometry, thermal waves

Recenzent: Prof. dr hab. Jan Kiełbasa, Instytut Mechaniki Górotworu PAN