__________________________________________
* Politechnika Śląska.
Janusz WALCZAK*
Seweryn MAZURKIEWICZ*
PROGRAMOWY GENERATOR PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH LEVY’EGO
W artykule opisano metodę generacji α-stabilnych procesów Levy’ego. Podano podstawowe właściwości tych procesów i komputerowy algorytm ich generacji. Uzyskane wyniki zilustrowano przykładem. Opracowany generator może znaleźć zastosowanie w badaniach symulacyjnych układów z przebiegami stochastycznymi.
1. WPROWADZENIE
Proces stochastyczny jest funkcją, która przyporządkowuje każdej chwili czasu zmienna losową. Jednym ze sposobów definiowania procesu stochastycznego jest podanie wzoru rekurencyjnego wykorzystującego sumowanie przyrostów [3].
Podaje się warunek startowy dla pewnej chwili czasu oraz kolejne przyrosty, co można zapisać w sposób symboliczny:
0 0) (t y
Y , (1)
( ) ( ) tt
Y t t Y t X , (2)
gdzie: y – wartość deterministyczna, jaką realizacje procesu przyjmują w 0 t , 0
t
Xt – zmienna losowa o zadanym rozkładzie, zależnym od t .
Dla procesów z czasem ciągłym zakłada się, że t0 oraz zmienne losowe
t
Xt , t t0,) są parami niezależne.
Jeżeli zmienne losowe Xtt mają rozkład normalny o wartości przeciętnej równej zeru, wariancji równej t (Xtt~ (0, t)N ) oraz Y(0)0, to taki proces nazywa się procesem Wienera. Przykładem procesu Wienera jest ruch Browna.
Ruch Browna jest trajektorią ruchu cząstki w płynie. Przykładową trajektorię procesu Wienera obrazuje rysunek 1.
Proces Wienera jest w każdym punkcje ciągły oraz w każdym punkcie nieróżniczkowalny, a jego realizacje mają kształt „gęstych” funkcji piłokształtnych [4]. Proces Wienera jest szczególnym przypadkiem procesu α-
stabilnego Levy’ego [3]. Procesy Levy’ego znajdują liczne zastosowania w badaniach modeli probabilistycznych układów fizycznych [2].
Poniżej wprowadzono pojęcie α-stabilnej zmiennej losowej potrzebne do konstrukcji procesu Levy’ego.
Rys. 1. Realizacja procesu Wienera (Δt=0,0005; tmax=2)
2. α-STABILNE ZMIENNE LOSOWE
Zmienna losowa X ma rozkład α-stabilny, gdy dla dowolnych stałych a b c, ,
zachodzi związek
:1 2
aY bY c D X , (3)
gdzie: Y Y – dowolne niezależne1, 2
zmienne losowe o jednakowym rozkładzie
, – oznacza równość rozkładów. D
Zmienna losowa o α-stabilnym rozkładzie Levy’ego opisana jest czterema parametrami [2], [3]:
- α – indeks stabilności, - – parametr skrośności, - – parametr skali, - μ – parametr przesunięcia.
Rozkład α-stabilnej zmiennej losowej oznacza się przez S( . Zmienna ) losowa X jest standardową zmienną α-stabilną gdy X ~S( i piszę się ) wtedy krótko X ~ S [3]. Gdy 1 oraz (0,1) to zmienną X nazywa się totalnie skośną [3]. Gdy 1 oraz (0,1) to zmienna losowa X przyjmuje tylko wartości dodatnie, natomiast dla 1 oraz (0,1) zmienna losowaX przyjmuje tylko wartości ujemne [3].
W ogólności, dla α-stabilnej zmiennej losowej, nie można wyznaczyć funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa w postaci wzoru analitycznego [4], natomiast można zdefiniować α-stabilną zmienną losową podając jej funkcję charakterystyczną [6].
Proces α-stabilny Levy’ego zdefiniowany jest następująco:
, (0) 0
L , (4)
( ) ( ) tt
L t t L t L , (5) 0
t
, (6)
gdzie: Ltt – zmienna losowa o rozkładzie α-stabilnym Levy’ego ( 0, zależy od t ).
Proces α-stabilny Levy’ego jest w każdym punkcie t 0, ) ciągły za wyjątkiem przeliczalnej liczby nieciągłości (skoki) pierwszego rodzaju. Ponadto w każdym punkcie proces ten jest nieróżniczkowalny.
3. ALGORYTM GENERACJI
W przypadku komputerowej realizacji generatora procesu α-stabilnego Levy’ego krok t ma ustaloną wartość. Algorytm generacji opiera się na wzorach (4) i (5). Wzory te, w przypadku dyskretnym, przyjmują postać:
, (0) 0
L , (7)
( ) 1 n tt
L n t L n t L , n1, 2,,N , (8) gdzie: L(n t – wartość realizacji w n-tym kroku, ) Ln tt – wartość zmiennej losowej (uzyskana w n-tym kroku).
Sposób generacji zmiennych losowych Ln tt składa się z następujących kroków:
1.
W pierwszej kolejności losuje się wartości dwóch zmiennych losowych ,W . Zmienna losowa ma rozkład jednostajny na przedziale
/ 2, / 2
,natomiast zmienna losowa W ma rozkład wykładniczy o parametrze . 1 Zmienne losowe i W są z definicji niezależne.
2.
Transformacja zmiennych losowych ,W określona wzorem:1 t
Ln t t
1 1
1
1 1 1
sin arctan tan cos 1 arctan tan
2 2
cos arctan tan cos( )
2 W
(9) prowadzi [5] do nowej zmiennej losowej o rozkładzie S
t1/, , 0
.Stąd na podstawie wzoru (7) i (8) w n-tym kroku uzyskuje się wartość realizacji procesu Levy’ego w chwili n t .
Proces po n krokach przyjmuje wartość:
, ( ) 0 tt 2tt 3tt n tt
L n t L L L L . (10) Zmienne losowe Lk tt mają rozkład S
t1/, , 0
, więc można wyznaczyć rozkład gęstości procesu L(n t w n-tym kroku: )1
, ( ) ~ , , 0
L n t Sn t
, n 0. (11)
Wzór (11) wynika z następujących własności α-stabilnych zmiennych losowych [3]:
- Jeżeli X1~ S( , , 0) oraz X2~S( , , 0) to:
1 2 ~ 2 , , 0
X X S . (12)
- Jeżeli X ~ S( , , 0) to:
~ , , 0
aX S a . (13)
Z wzoru (11) wynika, że z wzrostem kroku n zmienia się (wzrasta) tylko parametr skali funkcji gęstości rozkładu procesu L , (n t . )
W szczególnych przypadkach [5] transformacja (9) redukuje się do prostszej postaci:
- Jeżeli 2 to:
1 1
2 sin( ) ~ 2 , , 0
t W S t
. (14)
- Jeżeli 0 i to: 1
1 1
tan( ) ~ 1 , 0, 0
t S t
. (15)
- Jeżeli 0 to:
1 1
1 1
1
cos 1 sin
~ , 0, 0
cos( )
t S t
W
. (16)
4. IMPLEMENTACJA PROGRAMOWA
Przykładowy generator realizacji procesów α-stabilnych Levy’ego został zaimplementowany w języku C# za pomocą technologii Silverlight 5. Technologia Silverlight 5 umożliwia wizualizację obiektów w przestrzeni 3D przy pełnym wsparciu sprzętowym z strony karty graficznej (karta graficzna powinna wspierać technologię co najmniej Pixel Shader 2.0 lub DirectX 9.0).
Generator umożliwia:
- wizualizację jednowymiarowych, dwuwymiarowych oraz trójwymiarowych realizacji procesów α-stabilnych Levy’ego,
- zapis do pliku wielowymiarowych realizacji procesów α-stabilnych Levy’ego, - zmianę parametrów 0.1, 2 , 1,1 , , t oraz tmax,
- animację kreślenia realizacji.
Przykładową realizację α-stabilnego procesu Levy’ego uzyskaną z wykorzystaniem opracowanego programu pokazano na rysunku 2.
Rys. 2. Realizacja procesu α-stabilnego Levy’ego (Δt=0,0005; tmax=2; α=1,5; β=0)
5. PODSUMOWANIE
W artykule opisano metodę generacji α stabilnych procesów Levy’ego oraz algorytm komputerowy będący implementacją tej metody. Cechą znamienną tej metody jest to, że ze wzrostem kroku n (przy stałym Δt) wzrasta tylko parametr
skali σ funkcji gęstości rozkładu generowanego procesu L , (n t . Opracowany ) program generatora procesów Levy’ego może być wykorzystywany w badaniach symulacyjnych deterministycznych i losowych układów dynamicznych. Generator ten dostępny jest na stronie http://eqn.hostingasp.pl w zakładce: Levy → symulator i jest uruchamiany w przeglądarce internetowej.
LITERATURA
[1] Chambers J. M., Mallows C. L., Stuck B.W.: A Method for Simulating Stable Random Variables, Journal of American Statistical Association, June 1976, Vol. 71, No. 354, pp. 340-344.
[2] Grigoriu M.: Applied Non-Gaussian Processes, Prentice Hall, Inc., New Jersey, 1995.
[3] Janicki A., Izodorczyk A.: Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym, WNT 2001.
[4] Janicki A., Weron A.: Simulation and Chaotic Behavior of α–Stable Stochastic Processes, MARCEL DEKKER 1994.
[5] Leccardi M.: Comparison of Three Algorithms for Levy Noise Generation, Tethis S.r.l., via Boschetti 1, Millano, Italy.
[6] Nolan J. P.: Stable Distributions, Math/Stat Department, American University 2009.
[7] Wieczorkowski R., Zieliński R.: Komputerowe generatory liczb losowych, WNT 1997.
SOFTWARE GENERATOR OF α-STABLE LEVY STOCHASTIC PROCESSES
The article describes a method of generating α-stable Levy processes. The basic properties of these processes and the algorithm of their generation is shown. The results are illustrated by the example. The developed generator can be used in simulation studies of systems with stochastic waveforms.
