„Analiza fourierowska i przetwarzanie sygnałów”
Egzamin – część zadaniowa – 8 lutego 2002 roku
Zestaw I
Zadanie 1. Wyznacz widmo, widmo amplitudowe i widmo fazowe sygnału
f (x) = x
2, x ∈ [−π, π].
Narysuj wykres widma amplitudowego i fazowego.
Zadanie 2. Szereg Fouriera funkcji 2π-okresowej, określonej na przedziale [−π, π] wzorem
f (x) = cosx 2, ma postać
4 π
∞
X
n=0
(−1)n
1 − 4n2 cos nx.
1. Oblicz ∞
X
n=1
1 (1 − 4n2)2. 2. Uzasadnij, że równość
∞
X
n=0
(−1)n
1 − 4n2 cos nx = π 4 cosx
2 zachodzi dla każdego x ∈ [−π, π].
3. Udowodnij równości
∞
X
n=0
(−1)n 1 − 4n2 = π
4,
∞
X
n=0
1
1 − 4n2 = 0.
Zadanie 3. Oblicz całkę
Z ∞ 0
dt
(a2+ t2)(b2 + t2), a, b > 0.
Zadanie 4. Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu
xk = (k + 1)(k + 2), k = 0, 1, . . . , N − 1.
