Najczęściej sygnały analizujemy w dziedzinie czasu lub w dziedzinie częstotliwości. Narzędziami umożliwiającymi poruszanie się pomiędzy tymi dziedzinami są transformata Fouriera oraz odwrotna transformata Fouriera. Dzięki analizie fourierowskiej możemy dowiedzieć się jakie składowe obecne są w sygnale oraz w jakich względnych ilościach w nim
występują.
Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym określanym na
pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których są funkcje n zmiennych rzeczywistych. Została nazwana na cześć Jeana
Baptiste'a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.
Transformacja Fouriera rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób
poszczególne częstotliwości składają się na pierwotną funkcję.
Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału.
Transformata Fouriera przetwarza funkcję w ten sposób, że wyeksponowane są jej własności okresowe, częstotliwościowe.
Przekształcenie jest bezstratne i funkcja może zostać
zrekonstruowana ze swojej transformaty Fouriera. Transformata Fouriera po raz pierwszy pojawiła się przy okazji badania
zjawiska przepływu ciepła, obecnie pojawia się w wielu
dziedzinach matematyki i w wielu praktycznych zastosowaniach.
Dla funkcji f(x) transformatę Fouriera definiujemy następująco:
Przy tak postawionej definicji możemy f(x)
zapisać w następujący sposób:
Bardzo często w fizyce i innych naukach ścisłych mierzone wielkości mają charakter okresowy, tzn. taki, który powoduje powtarzanie się danej wielkości fizycznej z określonym okresem. Zazwyczaj taką funkcję okresową można przedstawić w postaci nieskończonego szeregu trygonometrycznego zwanego też szeregiem Fouriera.
Własności funkcji f(x) Własności transformaty F(s)
Rzeczywista i parzysta Rzeczywista i parzysta Rzeczywista i nieparzysta Urojona i parzysta
Urojona i parzysta Urojona i parzysta Zespolona i parzysta Zespolona i parzysta Zespolona i nieparzysta Zespolona i nieparzysta Rzeczywista i antysymatryczna Zespolona i hermitowska Suma parzystej funkcji rzeczywistej i
nieparzystej funkcji urojonej Rzeczywista Suma nieparzystej funkcji rzeczywistej
i parzystej funkcji urojonej Urojona
Parzysta Parzysta
Nieparzysta nieparzysta
W fizyce
W elektronice
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
Kompresja mp3
Kompresja jpeg
