Analiza fourierowska i przetwarzanie sygnałów Egzamin – III termin – 18 września 2003 roku
Zadanie 1. Liczby nieujemne x1, . . . , xn spełniają warunek x1+ . . . + xn= 1. Udowodnij,
że n
X
i=1
q
xi(1 − xi) ¬√ n − 1.
Zadanie 2. Wyznacz widmo, widmo amplitudowe i widmo fazowe sygnału określonego dla x ∈ [−1, 1] wzorem
f (x) = 1 − x2 i przedłużonego okresowo na R.
Zadanie 3.
a) Rozwiń w szereg sinusów funkcję określoną dla x ∈ [0, 1] wzorem f (x) = x2− x.
b) Uzasadnij, że dla każdego x ∈ [0, 1]
x2− x = − 8 π3
∞
X
n=1
1
(2n − 1)3 sin π(2n − 1)x, i oblicz sumę
∞
X
n=1
(−1)n (2n − 1)3.
c) Korzystając z rozwinięcia funkcji f , rozwiń w szereg cosinusów funkcję określoną na [0, 1] wzorem
g(x) = 2x − 1.
Zadanie 4. Wiedząc, że transformata Fouriera funkcji f (x) = cos ax 1l[−π,π](x) ma postać
f (ξ) =ˆ sin(a − 2πξ)π
a − 2πξ + sin(a + 2πξ)π a + 2πξ , a) podaj wzór odwrotnej transformaty Fouriera funkcji f , b) wyznacz funkcję g, której transformata ma postać
ˆ
g(ξ) = sin(a − ξ)π
a − ξ +sin(a + ξ)π a + ξ , c) oblicz całkę
Z ∞
−∞
sin(a − ξ)π
a − ξ + sin(a + ξ)π a + ξ
!2
dξ.
