Programowanie liniowe

Programowanie liniowe

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

wykład z algebry liniowej Warszawa, stycze ´n 2015

Homo oeconomicus= człowiek gospodarny

Zasada najlepszego wykorzystania istniej ˛acych zasobów Typowe przykłady

Przykład (Zagadnienie transportowe)

Jest n zakładów wydobywczych z mo˙zliwo´sciami wydobycia w₁, . . . ,w_n oraz l przetwórni z popytami p₁, . . . ,p_l. Nale˙zy zorganizowa´c przewozy tak, by zaspokoi´c popyty przetwórni, przy najmniejszym koszcie, je´sli koszt przewozu jednostki ´srodka produkcji z zakładu i do przetwórni j wynosi k_ij. Mamy n × l zmiennych x_ij oznaczaj ˛acych wielko´s´c

przewozu z zakładu i do przetwórni j. Zbiór dopuszczalny to podzbiór R^n×l opisany nierówno´sciami: x_ij ≥ 0 dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ l

(przewozy s ˛a nieujemne),Pl

j=1x_ij ≤ wi dla i = 1, . . . , n (ł ˛aczna ilo´s´c

´srodka produkcji wywiezionego z zakładu i nie przekracza jego mo˙zliwo´sci w_i),Pn

i=1x_ij ≥ p_j, dla 1 ≤ j ≤ l (ł ˛aczny przywóz do przetwórni j zaspokaja jej popyt) Minimalizujemy ł ˛aczny koszt przewozów, czyliP

{1≤i≤n,1≤j≤l}k_ijx_ij

Przykład Problem diety.

Mamy na rynku n produktów spo˙zywczych P1, . . . , Pn o cenach za jednostk˛e odpowiednio q₁, . . . ,q_n. Produkty zawieraj ˛a substancje od˙zywcze S1, . . . , Sk , ilo´s´c jednostek Si w jednostce Pj okre´sla liczba z_ij.Normy od˙zywcze okre´slaj ˛a minimaln ˛a zawarto´s´c substancji

od˙zywczej w diecie Si ≥ N_i. Mamy opracowa´c najta ´nsz ˛a diet ˛e realizuj ˛ac ˛a te normy, tzn. zminimalizowa´c koszt diety

K = P1 · q₁+ . . .Pn · q_ntak, by były spełnione normy, tzn. P1 · z₁₁+P2 · z12 + · · · + Pn · z1n ≥ N₁,

P1 · z₂₁+P2 · z22 + · · · + Pn · z2n ≥ N₂, . . . ,

P1 · z_{k 1}+P2 · zk 2 + · · · + Pn · zkn ≥ N_k.

Przykład Problem diety.

Mamy na rynku n produktów spo˙zywczych P1, . . . , Pn o cenach za jednostk˛e odpowiednio q₁, . . . ,q_n.

Produkty zawieraj ˛a substancje od˙zywcze S1, . . . , Sk , ilo´s´c jednostek Si w jednostce Pj okre´sla liczba z_ij.Normy od˙zywcze okre´slaj ˛a minimaln ˛a zawarto´s´c substancji

od˙zywczej w diecie Si ≥ N_i. Mamy opracowa´c najta ´nsz ˛a diet ˛e realizuj ˛ac ˛a te normy, tzn. zminimalizowa´c koszt diety

K = P1 · q₁+ . . .Pn · q_ntak, by były spełnione normy, tzn. P1 · z₁₁+P2 · z12 + · · · + Pn · z1n ≥ N₁,

P1 · z₂₁+P2 · z22 + · · · + Pn · z2n ≥ N₂, . . . ,

P1 · z_{k 1}+P2 · zk 2 + · · · + Pn · zkn ≥ N_k.

Przykład Problem diety.

Mamy na rynku n produktów spo˙zywczych P1, . . . , Pn o cenach za jednostk˛e odpowiednio q₁, . . . ,q_n. Produkty zawieraj ˛a substancje od˙zywcze S1, . . . , Sk , ilo´s´c jednostek Si w jednostce Pj okre´sla liczba z_ij.

Normy od˙zywcze okre´slaj ˛a minimaln ˛a zawarto´s´c substancji od˙zywczej w diecie Si ≥ N_i. Mamy opracowa´c najta ´nsz ˛a diet ˛e realizuj ˛ac ˛a te normy, tzn. zminimalizowa´c koszt diety

K = P1 · q₁+ . . .Pn · q_ntak, by były spełnione normy, tzn. P1 · z₁₁+P2 · z12 + · · · + Pn · z1n ≥ N₁,

P1 · z₂₁+P2 · z22 + · · · + Pn · z2n ≥ N₂, . . . ,

P1 · z_{k 1}+P2 · zk 2 + · · · + Pn · zkn ≥ N_k.

Przykład Problem diety.

Mamy na rynku n produktów spo˙zywczych P1, . . . , Pn o cenach za jednostk˛e odpowiednio q₁, . . . ,q_n. Produkty zawieraj ˛a substancje od˙zywcze S1, . . . , Sk , ilo´s´c jednostek Si w jednostce Pj okre´sla liczba z_ij.Normy od˙zywcze okre´slaj ˛a minimaln ˛a zawarto´s´c substancji

od˙zywczej w diecie Si ≥ N_i.

Mamy opracowa´c najta ´nsz ˛a diet ˛e realizuj ˛ac ˛a te normy, tzn. zminimalizowa´c koszt diety

K = P1 · q₁+ . . .Pn · q_ntak, by były spełnione normy, tzn. P1 · z₁₁+P2 · z12 + · · · + Pn · z1n ≥ N₁,

P1 · z₂₁+P2 · z22 + · · · + Pn · z2n ≥ N₂, . . . ,

P1 · z_{k 1}+P2 · zk 2 + · · · + Pn · zkn ≥ N_k.

Przykład Problem diety.

Mamy na rynku n produktów spo˙zywczych P1, . . . , Pn o cenach za jednostk˛e odpowiednio q₁, . . . ,q_n. Produkty zawieraj ˛a substancje od˙zywcze S1, . . . , Sk , ilo´s´c jednostek Si w jednostce Pj okre´sla liczba z_ij.Normy od˙zywcze okre´slaj ˛a minimaln ˛a zawarto´s´c substancji

od˙zywczej w diecie Si ≥ N_i. Mamy opracowa´c najta ´nsz ˛a diet ˛e realizuj ˛ac ˛a te normy, tzn. zminimalizowa´c koszt diety

K = P1 · q₁+ . . .Pn · q_ntak, by były spełnione normy, tzn.

P1 · z₁₁+P2 · z12 + · · · + Pn · z1n ≥ N₁, P1 · z₂₁+P2 · z22 + · · · + Pn · z2n ≥ N₂, . . . ,

P1 · z_{k 1}+P2 · zk 2 + · · · + Pn · zkn ≥ N_k.

Definicja

Zadanie programowania liniowegojest to zadanie znalezienia warto´sci optymalnej (tzn. minimalnej b ˛ad´z maksymalnej) funkcji liniowej

f (x₁, . . . ,x_n) =c₁x₁+ · · · +c_nx_nna zbiorze X ⊂ Rⁿzło˙zonym z punktów spełniaj ˛acych wszystkie warunki:







a₁₁x₁+ · · · +a_1nx_n =b₁ ... . .. ... ... a_m1x_m1+ · · · +a_mnx_n =b_m







a_{m+1 1}x₁+ · · · +a_{m+1 n}x_n ≥ b_m+1 ... . .. ... ... a_{m+p 1}x₁+ · · · +a_{m+p n}x_n ≥ b_m+p

,







a_{m+p+1 1}x₁+ · · · +a_{m+p+1 n}xn ≤ b_m+p+1 ... . .. ... ... a_{m+p+q 1}x₁+ · · · +am+p+q nxn ≤ bm+p+q

,























x₁≥ 0 ... x_s ≥ 0 x_s+1≤ 0

... x_s+t ≤ 0 pierwsze trzy klamry obejmuj ˛a ograniczenianieelementarne–(a), ostatnia –elementarne–(b)

Oznaczenia

x =





 x₁

... xn





, A =







a₁₁ · · · a_1n ... . .. ... a_m1 · · · amn





,

A⁰ =







a_{m=1 1} · · · a_{m+1 n} ... . .. ... a_{m+p 1} · · · am+p n





,A⁰⁰=







a_{m+p+1 1} · · · a_{m+p+1 n} ... . .. ... a_{m+p+q 1} · · · am+p+q n







b =





 b₁

... b_m





, b⁰ =





 b_m+1

... b_m+p





, b⁰⁰=







b_m+p+1 ... b_m+p+q







Warunki (a) mog ˛a by´c wtedy zapisane: Ax = b, A⁰x ≥ b⁰, A⁰⁰x ≤ b⁰⁰. Inne formy zapisu zadania minimalizacji programowania liniowego:

Min{f (x ) : x ∈ X } lub f (x ) → min przy warunkach (a),(b). Analogicznie dla maksymalizacji.

Przykład

2x₁+3x₂− 6x₃→min przy warunkach

(a) :

x₁ +x₂ −x3 +x₄ =7 2x₁ +7x₂ −x₄ ≥ 6 3x₁ −3x₃ +x₄ ≤ 5

,

(b) : x₁≥ 0 Definicja

Zbiór X zło˙zony z wektorów przestrzeni Rⁿspełniaj ˛acych warunki (a) i (b) nazywamy zbiorem rozwi ˛aza ´ndopuszczalnychzadania

programowania liniowego. Rozwi ˛azaniemoptymalnymzagadnienia minimalizacji (min) nazywamy taki wektor x ∈ X , ˙ze dla ka˙zdego x ∈ X zachodzi f (x ) ≤ f (x ), za´s zagadnienia maksymalizacji (max) taki wektor x ∈ X , ˙ze zachodzi f (x ) ≤ f (x )

Interpretacja geometryczna

x₁+x₂→max przy warunkach (a) 2x₁+x₂≤ 4, x₁+3x₂≤ 6 (b) x₁≥ 0, x2≥ 0

Szukamy ”najwy˙zszej” poziomicy funkcji f ((x₁,x₂)) =x₁+x₂, która zahacza o zbiór X opisany nierówno´sciami (a) i (b). Poziomica ta przechodzi przez punkt p, bed ˛acy przeci ˛eciem prostych opisanych równo´sciami

2x₁+x₂=4 i x₁+3x₂=6.

Punkt ten ma współrz ˛edne p₁=1, 2, p₂=1, 6. Zatem max_Xf = f (p) = 2, 8

x₁ x₂

X

p

Definicja

Zadanie programowania liniowego dotycz ˛ace minimalizacji, w którym wyst ˛epuj ˛a jako ograniczenia nieelementarne opisuj ˛ace zbiór

rozwi ˛aza ´n dopuszczalnych tylko równo´sci (odpowiednio: tylko nierówno´sci), za´s warunkami elementarnymi s ˛a dla wszystkich zmiennych warunki x₁≥ 0, . . . , xn≥ 0 nazywamy zadaniem w postaci standardowej(odpowiednio:klasycznej)

Twierdzenie

Ka˙zde zadanie programowania liniowego mo˙zna sprowadzi´c do zadania w postaci standardowej. Mo˙zna je tak˙ze sprowadzi´c do postaci klasycznej.

Metody

1. Maksymalizacj ˛e funkcji f mo˙zna zast ˛api´c minimalizacj ˛a funkcji −f 2.Warunek a_i1x₁+ · · · +a_inxn≤ b_i mo˙zna zast ˛api´c par ˛a warunków:

a_i1x₁+ · · · +a_inx_n+x_n+i =b_i,x_n+i ≥ 0, gdzie xn+i jest now ˛a zmienn ˛a, podobnie a_i1x₁+ · · · +a_inx_n≥ bi mo˙zna zast ˛api´c par ˛a warunków a_i1x₁+ · · · +a_inxn− x_n+i =b_i,x_n+i ≥ 0.

3. je´sli mamy warunek x_j ≤ 0 to podstawiamy x_j= −x_j⁰, zast ˛epuj ˛ac go przez x_j⁰ ≥ 0

4. Je´sli pewna zmienna x_j nie wyst ˛epuje w ˙zadnym ograniczeniu elementarnym postaci x_j ≥ 0 lub x_j ≤ 0, to podstawiamy x_j =x_j⁺− x_j⁻i doł ˛aczamy warunki x_j⁺≥ 0, x_j⁻≥ 0.

5. Równanie a_i1x₁+ · · · +a_inx_n=b_i mo˙zna zast ˛api´c układem nierówno´sci a_i1x₁+ · · · +a_inxn≤ b_i, a_i1x₁+ · · · +a_inxn≥ b_i

Przykład x₁+x₂→ max 2x₁+x₂≤ 4 x₁+3x₂≤ 6 x₁≥ 0, x₂≥ 0

daje posta´c standardow ˛a

−x1− x2→ min 2x₁+x₂+x₃=4 x₁+3x₂+x₄=6

x₁≥ 0, x2≥ 0, x3≥ 0, x4≥ 0

Zbiór wielo´scienny wypukły– dowolny zbiór opisany sko ´nczonym układem nieostrych nierówno´sci liniowych

odcinek o ko ´ncach p, q∈ Rⁿ– zbiór {tp + (1 − t)q ∈ Rⁿ|t ∈ [0, 1]}

punkt wewn ˛etrznyodcinka o ko ´ncach p, q – ka˙zdy jego punkt ró˙zny od p, q

Wierzchołek (punkt ekstremalny)zbioru X ⊂ Rⁿ– element X , który nie jest punktem wewn ˛etrznym ˙zadnego odcinka zawartego w X

Twierdzenie

Zbiór rozwi ˛aza ´n dopuszczalnych zadania programowania liniowego jest zbiorem wielo´sciennym wypukłym

Twierdzenie

Rozpatrzmy zadanie programowania liniowego w postaci

standardowej. Wówczas funkcja f (x ) = c₁x₁+ · · · +c_nx_nosi ˛aga warto´s´c minimaln ˛a (tzn. najmniejsz ˛a) na zbiorze rozwi ˛aza ´n

dopuszczalnych X ⇔ f jest ograniczona z dołu na X . Ponadto je´sli f osi ˛aga warto´s´c minimaln ˛a to osi ˛aga j ˛a równie˙z w pewnym wierzchołku (= punkcie ekstremalnym) zbioru X .

Rozwi ˛ azania bazowe

Rozpatrujemy zadanie programowania liniowego w postaci standardowej:

c₁x₁+ · · · +c_nx_n→ min przy warunkach

U :







a₁₁x₁+ · · · +a_1nxn =b₁ ... . .. ... ... a_m1x_m1+ · · · +amnxn =bm

, x₁≥ 0, . . . , xn≥ 0, gdzie bi ≥ 0 dla i = 1, . . . , m. W skrócie :

Min{c^>· x : Ax = b, x ≥ 0}, gdzie A =







a₁₁ · · · a_1n ... . .. ... a_m1 · · · a_mn





,

b =





 b₁

... b_m





,x =





 x₁

... x_n





, c =





 c₁

... c_n





. Mo˙zna zało˙zy´c, ˙ze r (A) = m . Kolumny bazowe– dowolny układ m liniowo niezale˙znych kolumn macierzy A, odpowiadaj ˛ace im zmienne x_i– zmienne bazowe.

Pozostałe zmienne to zmienneniebazowe(albowtórne). Zbiór ZB = {j₁, . . . ,jm} indeksów zmiennych bazowych tozbiór bazowy.

Oznaczmy xB =





 x_j1

... x_jm





wektor zmiennych bazowych, x_D =





 x_jm+1

... x_jn





 wektor zmiennych niebazowych. Rozwi ˛azanie ogólne układu U, w którym zmienne bazowe sa zmiennymi zale˙znymi, za´s zmienne niebazowe – parametrami uzyskamy sprowadzaj ˛ac (elementarnymi operacjami na wierszach) macierz układu U do postaci, w której w kolumnach o numerach bazowych stoja kolejno









 1 0 ... 0









 ,









 0 1 ... 0









 , . . .









 0 0 ... 1











Rozwi ˛ azania bazowe

Niech B = [k_j1k_j2. . .k_jm] ∈Mm×m(R) podmacierz macierzy A zło˙zona z kolumn bazowych, za´s D = [k_jm+1. . .k_jn]– podmacierz kolumn

niebazowych. Wtedy Ax = b oznacza Bx_B+Dx_D =b, zatem xB+ B⁻¹Dx_D = B⁻¹b (*) –posta´c bazowaukładu U

Definicja

Rozwi ˛azanie x układu U, w którym zmienne niebazowe s ˛a równe 0 nazywamyrozwi ˛azaniem bazowym(wzgl ˛edem układu bazowego B).

Mamy wi ˛ec x_D =0 czyli z (*) xB = B⁻¹b. Je´sli rozwi ˛azanie bazowe jest nieujemne, tzn. x_j ≥ 0, j = 1, . . . , n to nazywamy je rozwi ˛azaniem bazowym dopuszczalnym

Uwaga

Zadanie programowania liniowego w postaci standardowej, w którym n > m mo˙ze mie´c najwy˙zej _mⁿ
rozwi ˛aza ´n bazowych

Twierdzenie

Wektor x ∈ Rⁿjest wierzchołkiem zbioru rozwi ˛aza ´n dopuszczalnych zadania programowania liniowego w postaci standardowej ⇔ x jest rozwi ˛azaniem bazowym dopuszczalnym tego układu.