Władysław Wilczyński (Łódź)
Funkcje lub ciągi funkcyjne o specjalnych własnościach, których konstrukcje zawdzięczamy
polskim matematykom.
Streszczenie W dorobku polskich matematyków XX wieku można znaleźć liczne przykłady funkcji oraz ciągów funkcyjnych mających niezwykłe lub niespodziewane własności. Praca omawia niektóre wy- niki Wacława Sierpińskiego, Stanisława Saksa, Stefana Mazurkiewicza, Hugona Steinhausa, Stefana Banacha, Witolda Wilkosza, Stanisława Ruziewicza, Antoniego Zygmunda, Józefa Marcinkiewicza, Zygmnuta Zahorskiego, Zbigniewa Grandego i Jana Lipińskiego. Część konstruk- cji przedstawiona jest szczegółowo.
2010 Klasyfikacja tematyczna AMS (2010): 01A50; 01A55; 01A60.
Słowa kluczowe: function, functional sequences, teaching mathematics, history of mathematics.
W matematyce jest wiele „słynnych” funkcji, a niektóre z nich zwią- zane są z nazwiskiem (najczęściej) ich twórcy, jak na przykład funk- cja Γ Eulera, funkcja ζ Riemanna, funkcja Dirichleta czy funkcja Can- tora. Polscy matematycy mają liczne zasługi w konstruowaniu funkcji lub ciągów funkcyjnych. Poniższy artykuł zawiera pewną liczbę przy- kładów świadczących o niezwykłym kunszcie ich autorów. Wybór jest z konieczności subiektywny, przeważają przykłady funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej lub ciągów takich funkcji. Niektóre konstrukcje są wystarczająco proste, aby można było umieścić w tekście przynajmniej ich szkic. Większość wymaga jednak o wiele dłuższych i bardziej skom- plikowanych rozumowań i dlatego znajdziemy tu tylko bardzo ogólne uwagi na ich temat.
Oznaczenia i terminologia nie odbiegają od powszechnie stosowa- nych. W szczególności: N oznacza zbiór liczb naturalnych, Q - zbiór liczb wymiernych, R - zbiór liczb rzeczywistych, λ - miarę Lebesgue’a na prostej.
Przegląd niektórych konstrukcji Wacława Sierpińskiego rozpocznie- my od pracy [Si1], w której przedstawiony jest prosty przykład funkcji różnowartościowej przekształcającej R na R, której wykres jest zbiorem gęstym na płaszczyźnie. Funkcja ta określona jest w sposób następujący:
jeśli x ∈ R jest postaci a+b√
2, gdzie a, b ∈ Q, to f (x) = b+a√
2, dla po- zostałych x kładziemy f (x) = x. Nietrudno spostrzec, że f przekształca wzajemnie jednoznacznie R na R, ponadto f (f (x)) = x. Dowód faktu, że wykres jest gęsty, wymaga zręcznego rachunku. Jeśli (x0, y0) jest dowolnym punktem płaszczyzny, to wybieramy najpierw ciągi {un}n∈N, {vn}n∈N, {wn}n∈Nliczb wymiernych zbieżne odpowiednio do x0, y0i√
2.
Następnie kładziemy
xn= vnwn− un+ (unwn− vn)√ 2 oraz
yn= f (xn) = (vnwn− un)√
2 + unwn− vn. Mamy wówczas
n→∞lim xn= y0√
2 − x0+ (x0√
2 − y0)√ 2 = x0 oraz
n→∞lim yn= (y0√
2 − x0)√
2 + x0√
2 − y0 = y0, co kończy dowód.
Praca [Si2] poświęcona jest konstrukcji funkcji ściśle rosnącej na (0, 1), której pochodna jest prawie wszędzie równa zero. Autor zapo- wiada w tytule pracy, że jest to przykład elementarny, chociaż konstruk- cja oraz dowód zajmują prawie dwanaście stron. Funkcja f najpierw jest określona dla liczb wymiernych postaci k · 3−n, następnie rozszerzona na cały przedział (0, 1) do funkcji ściśle rosnącej i ciągłej. Z kolei do- wodzi się, że f0(x) = 0 dla dowolnego punktu x ∈ (0, 1) \ A, przy czym definicja zbioru A jest dość złożona. Do zbioru A należą takie punkty x = (0, c1c2c3. . .)3, dla których istnieje nieskończenie wiele indeksów n spełniających warunki:
cn+1 6= 1, cn+2 6= 1, . . . , cn+n 6= 1.
Na koniec pokazuje się, że zbiór A jest miary zero. Korzystając z tej funkcji Sierpiński buduje kilka przykładów funkcji o ciekawych własno- ściach, na przykład funkcja ϕ(x) = x − 2f (x) ma prawie wszędzie po- chodną dodatnią (równą 1), ale nie jest rosnąca na żadnym przedziale.
Od czasu pojawienia się funkcji Cantora, zwanej także diabelskimi schodami (devil’s staircase), funkcje osobliwe stały się obiektami ba- dań licznych uczonych. Obszerną bibliografię oraz prostszą konstrukcję funkcji ściśle rosnącej i mającej pochodną równą zero prawie wszędzie można znaleźć np. w [Sa] na str. 101.
Przypomnijmy niezbędne fakty dotyczące klas Baire’a o numerach skończonych. Klasą zerową jest rodzina wszystkich funkcji ciągłych (powiedzmy na przedziale [0, 1]). Klasa o numerze n ≥ 1 (n ∈ N) składa się z tych funkcji, które nie należą do żadnej klasy o numerze niższym, ale są granicami zbieżnych punktowo ciągów funkcji z klasy (n − 1). Klasyfikacja Baire’a obejmuje również klasy o numerach bę- dących liczbami porządkowymi przeliczalnymi. Wynik Wacława Sier- pińskiego, który będzie omówiony poniżej, dotyczy klas o numerach skończonych. Nietrudno jest pokazać przykład funkcji klasy pierwszej.
R. Baire, twórca klasyfikacji, zbudował przykłady funkcji należących do klasy drugiej i trzeciej. Niepustość wszystkich klas Baire’a udowodnił H. Lebesgue przy pomocy tak zwanych funkcji uniwersalnych określo- nych na kwadracie [0, 1] × [0, 1]. Dowód był nieefektywny. N. Łuzin po- stawił pytanie: czy można pokazać niepustość czwartej klasy bez użycia rodziny wszystkich funkcji z klas o niższych numerach, czyli bez używa- nia funkcji uniwersalnych. Wacław Sierpiński w pracy [Si3] zbudował przykład podzbioru prostej, który jest typu Fσδσ, ale nie jest typu Gδσδ. Zarówno w konstrukcji tego zbioru, jak też w dowodzie, że nie jest on typu Gδσδ, zastosowane są ułamki łańcuchowe. Korzystając z twierdze- nia Lebesgue’a-Hausdorffa (v. [Ku], tom I, str. 393) można pokazać, że funkcja charakterystyczna zbudowanego zbioru należy do czwartej klasy Baire’a. Metodę konstrukcji można przenieść na klasy o nume- rach skończonych.
Znaczna część dorobku Wacława Sierpińskiego poświęcona jest ba- daniom konsekwencji pewnika wyboru. Praca wspólna z Antonim Zyg- mundem (v. [Sz]) dotyczy konstrukcji funkcji rzeczywistej zmiennej rze- czywistej, która nie jest ciągła na żadnym zbiorze mocy continuum.
W dowodzie istnienia takiej funkcji wykorzystany jest fakt, że jeśli ja- kaś funkcja f , określona na pewnym podzbiorze E zbioru liczb rzeczy- wistych, jest ciągła na tym zbiorze, to istnieją: zbiór B typu Gδ taki, że E ⊂ B oraz funkcja g : B → R ciągła na B i taka, że g|E = f . Zbiór A wszystkich funkcji ciągłych określonych na wszystkich podzbiorach pro- stej typu Gδ i mocy continuum jest mocy continuum. Autorzy dobrze porządkują zbiór A otrzymując ciąg pozaskończony funkcji {ϕα}α<Ωc, podobnie dobrze porządkują zbiór liczb rzeczywistych uzyskując ciąg
pozaskończony {xα}α<Ωc, a następnie stosując indukcję pozaskończoną konstruują funkcję f : R → R, która pokrywa się z dowolną funkcją ze zbioru A na zbiorze mocy mniejszej niż continuum. Jeśli E ⊂ R jest zbiorem mocy continuum, to f|E nie może być ciągła na zbiorze E, bo nie istnieje jej ciągłe rozszerzenie do zbioru Gδ. Jeśli dodatkowo założyć hipotezę continuum, to f nie jest ciągła na żadnym zbiorze nieprzeli- czalnym. Wynika stąd, że wynik H. Blumberga (v. [Bl]) jest w pewnym sensie najlepszy. Blumberg udowodnił, że dla dowolnej funkcji rzeczy- wistej istnieje zbiór przeliczalny, gęsty oraz taki, że obcięcie funkcji do tego zbioru jest funkcją ciągłą.
Klasyczne twierdzenie Jegorowa orzeka, że jeśli {fn}n∈Njest ciągiem funkcji mierzalnych określonych na [0, 1] zbieżnym punktowo (lub ogól- niej, prawie wszędzie) do funkcji f , to dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje zbiór mierzalny E ⊂ [0, 1] taki, że λ(E) > 1 − ε oraz ciąg {fn}n∈N jest zbieżny jednostajnie na E. W pracy [Si4] Wacław Sier- piński rozważa zagadnienie, czy można opuścić założenie mierzalności funkcji ewentualnie osłabiając tezę w ten sposób, że miarę Lebesgue’a zastąpi miara zewnętrzna. Przy założeniu hipotezy continuum, wyko- rzystując pewnik wyboru, konstruuje ciąg {fn}n∈N funkcji określonych na przedziale [0, 1] zbieżny do zera w każdym punkcie przedziału, ale zbieżność jednostajna może zachodzić tylko na zbiorach przeliczalnych.
W konstrukcji wykorzystuje się specjalny pozaskończony ciąg typu Ωc, którego elementami są rosnące ciągi liczb naturalnych, a przeciwdzie- dzina każdej funkcji zawarta jest w zbiorze {0} ∪ {1k : k ∈ N}.
Praca [BS] napisana przez Wacława Sierpińskiego z jego uczennicą Stefanią Braunówną rozpoczyna się od dowodu równoważności czterech zdań. Pierwsze z nich to hipoteza continuum, a ostatnie jest następu- jące: istnieje ciąg {fn}n∈N funkcji rzeczywistych określonych na [0, 1]
o tej własności, że dla dowolnego zbioru nieprzeliczalnego A ⊂ [0, 1] ist- nieje liczba n0 ∈ N taka, że fn0(A) = R. W dowodzie wykorzystywany jest pewnik wyboru. W dalszej części pracy znajdziemy informację, że podobne równoważności można udowodnic przy założeniu, że pomiędzy M oraz 2M nie ma żadnej pośredniej liczby kardynalnej. W pracy [Si5]
Wacław Sierpiński poprawił wspólny wynik uzyskując przy założeniu hipotezy continuum twierdzenie: istnieje {fn}n∈N funkcji rzeczywistych określonych na [0, 1] o tej własności, że dla dowolnego zbioru A ⊂ [0, 1]
nieprzeliczalnego fn(A) = R dla prawie wszystkich n ∈ N. Korzystając z powyższego twierdzenia Wacław Sierpiński uzyskał kolejne zdanie rów- noważne hipotezie continuum (v. [Si7], str. 20): istnieje ciąg {fn}n∈N funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej taki, że dla dowolnego ciągu
liczb rzeczywistych {yk}k∈Ni niemal dowolnej liczby x ∈ R (z wyjątkiem zbioru przeliczalnego, zależnego od {yk}k∈N) istnieje rosnący ciąg liczb naturalnych {ki}i∈N (zależny od x oraz {yk}k∈N) taki, że fki(x) = yki dla i ∈ N.
Liczne twierdzenia dotyczące σ-ideału zbiorów pierwszej kategorii pozostają prawdziwe, gdy zamiast tego σ-ideału użyjemy σ-ideału zbio- rów miary Lebesgue’a zero (dotyczy to podzbiorów prostej rzeczywi- stej). Przyczynę tego zjawiska odkrył Wacław Sierpiński dowodząc w pracy [Si6] przy założeniu hipotezy continuum następującego twier- dzenia: Istnieje wzajemnie jednoznaczne przekształcenie f zbioru liczb rzeczywistych na siebie o tej własności, że jeżeli E ⊂ R jest zbiorem pierwszej kategorii, to f (E) jest zbiorem miary zero oraz jeśli E ⊂ R jest zbiorem miary zero, to f−1(E) jest zbiorem pierwszej kategorii. W dowodzie wykorzystuje się pewnik wyboru do zbudowania dwóch cią- gów pozaskończonych typu Ωc złożonych ze zbiorów typu Fσ pierwszej kategorii oraz Gδ miary zero (obydwie te rodziny są mocy continuum).
Edward Szpilrajn (Marczewski) w pracy [Sz] pokazał, że nie można prze- nieść tego wyniku na σ-ciała zbiorów o własności Baire’a (czyli dających się przedstawić w postaci G4P , gdzie G jest zbiorem otwartym, zaś P zbiorem pierwszej kategorii) oraz zbiorów mierzalnych w sensie Lebes- gue’a. Twierdzenie o dualności poprawił Pal Erd¨os (v. [Er]) dowodząc, że w wyniku uzyskanym przez Sierpińskiego można skonstruować taką funkcję f , która pokrywa się z f−1. Umożliwia to sformułowanie nastę- pującej zasady dualności (zob. [Ox]): Jeśli P jest zdaniem, w którego sformułowaniu użyto wyłącznie pojęć miary zero, pierwszej kategorii oraz pojęć teorii mnogości, a P∗ jest zdaniem otrzymanym z P poprzez zamianę terminu „miara zero” i „pierwsza kategoria” w każdym miejscu, w którym się pojawiają, to każde ze zdań P i P∗ implikuje pozostałe (przy założeniu hipotezy continuum).
Inną ciekawą funkcję można znaleźć w monografii [Si7] na str. 88.
Jeśli E ⊂ R jest zbiorem mocy continuum o tej własności, że każdy jego nieprzeliczalny podzbiór jest niemierzalny oraz f odwzorowuje wza- jemnie jednoznacznie R na E, to funkcja f przekształca dowolny zbiór nieprzeliczalny na zbiór niemierzalny. Istnienie zbioru E o powyższej własności, zwanej własnością S, zostało udowodnione wcześniej przez Wacława Sierpińskiego przy założeniu hipotezy continuum. Warto za- uważyć, że własność S zbioru E jest równoważna następującej własności:
dowolny podzbiór E miary zero jest co najwyżej przeliczalny, a zbiór o własności S powszechnie jest nazywany zbiorem Sierpińskiego. Jeżeli zbiór E ⊂ R mocy continuum ma tę własność, że dowolny jego podzbiór
pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalny, to E nazywamy zbio- rem Łuzina (v. [Si7], str. 36) (ten rodzaj zbiorów był określony nieco wcześniej).
W monografii [Si7] znajdziemy także na str. 72 konstrukcję funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej mającej własność Baire’a, której wy- kres (jako podzbiór płaszczyzny) nie ma własności Baire’a, a na str. 97 konstrukcję funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej niemającej wła- sności Baire’a, której wykres ma własność Baire’a. Należy tu podkre- ślić, że własność Baire’a rozumiana jest tu w węższym sensie (por. [Ku], tom I, str. 92 i 403), to znaczy zbiór E ma własność Baire’a wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru doskonałego P ⊂ R istnieje przedział I taki, że P ∩ IntI 6= ∅ oraz jeden ze zbiorów P ∩ I ∩ E, (P ∩ I) \ E jest pierwszej kategorii względem P , a funkcja f : R → R ma własność Baire’a wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru do- skonałego P ⊂ R istnieje zbiór E pierwszej kategorii względem P , że funkcja f obcięta do zbioru P \ E jest ciągła. Własność Baire’a zbioru wspomniana przy okazji dualności jest mniej wymagajaca, a np. Oxtoby (v. [Ox]) używa funkcji mających własność Baire’a jako spełniających wyżej sformułowany warunek tylko dla P = R.
W teorii funkcji rzeczywistych oprócz „zwykłej” ciągłości, pierwszej czy drugiej pochodnej rozważa się ich symetryczne wersje. I tak, funkcja f : R → R
jest symetrycznie ciągła w punkcie x, jeżeli lim
t→0(f (x + t) − f (x − t)) = 0, ma pierwszą pochodną symetryczną w punkcie x (pochodną Lebes- gue’a), jeżeli istnieje granica lim
t→0(2t)−1(f (x + t) − f (x − t)),
ma drugą pochodną symetryczną w punkcie x (pochodną Schwarza), jeżeli istnieje granica lim
t→0t−2(f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)).
Obszerne informacje na temat symetrycznych własności funkcji rze- czywistych można znaleźć w monografii [Th]. Wacław Sierpiński także interesował się problemami związanymi z symetrycznym zachowaniem funkcji. W pracy [Si8] rozważał funkcje f : R → R o następującej własności: dla dowolnej liczby a ∈ R istnieje zbiór A(a) ⊂ R taki, że cardA(a) < c oraz f (a + x) = f (a − x) dla x ∈ R \ A(a) nazywając je funkcjami prawie symetrycznymi. Stosując pewnik wyboru zbudował zbiór niemierzalny taki, że jego funkcja charakterystyczna jest prawie symetryczna. W eleganckiej konstrukcji pojawiają się zbiory Bernste- ina, których niemierzalność wynika z tego, że zarówno sam zbiór, jak też jego dopełnienie mają punkty wspólne z każdym zbiorem doskonałym (niepustym).
Rozważmy teraz przestrzeń funkcji RR z topologią Tichonowa. Bę-
dziemy mówić, że f : R → R jest funkcją skupienia ciągu {fn}n∈N wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby ε > 0 oraz dowolnego zbioru skończonego {x1, . . . , xm} istnieje nieskończenie wiele liczb natu- ralnych k takich, że |f (xi) − fk(xi)| < ε dla tych k i dla i ∈ {1, . . . , m}, czyli f jest punktem skupienia tego ciągu w topologii Tichonowa. Wia- domo, że każdy ciąg funkcji wspólnie ograniczonych ma funkcję skupie- nia (v. [Ty]). Stefan Banach zapytał, czy każdy ciąg {fn}n∈Nfunkcji Ba- ire’a wspólnie ograniczonych ma mierzalną funkcję skupienia. W pracy [Si11] Wacław Sierpiński pokazał, że tak nie jest. Ciąg skonstruowany przez niego składa się z funkcji pierwszej klasy Baire’a przyjmujących tylko wartości 0 lub 1 wyrażonych prostym wzorem fk(x) = [2kx] − 2 · [2k−1x]. Jeżeli f jest funkcją skupienia, to f (x + r) = f (x) dla każ- dej liczby x ∈ R i dla każdej liczby r dwójkowo wymiernej. Gdyby funkcja f była mierzalna, to jako funkcja mikrookresowa byłaby pra- wie wszędzie stała (czyli prawie wszędzie równa 0 lub 1). Jest to jed- nak niemożliwe, bo każda funkcja skupienia tego ciągu spełnia warunek f (1−x) = 1−f (x) dla dowolnej liczby niewymiernej x. Dwa lata później ukazała się praca [Si12], w której Wacław Sierpiński nieznacznie zmo- dyfikował ciąg {fn}n∈N w otoczeniu punktów nieciągłości tych funkcji uzyskując ciąg funkcji ciągłych wspólnie ograniczonych bez mierzalnych punktów skupienia. Warto dodać, że funkcje skupienia w obydwu przy- padkach nie mają również własności Baire’a.
David Fremlin w pracy [Fn] udowodnił, że jeśli {fn}n∈N jest ciągiem funkcji mierzalnych przekształcających R w [0, 1], to istnieje podciąg {fnk}k∈N zbieżny prawie wszędzie lub istnieje podciąg {fnk}k∈N mający tylko mierzalne punkty skupienia. W pracach [Si11] i [Si12] ciągi funk- cyjne nie mają podciągów zbieżnych prawie wszędzie.
W pracy [Si13] Wacław Sierpiński zbudował ciąg {fn}n∈N funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej ciągłych, wspólnie ograniczonych taki, że dla dowolnego rosnącego ciągu liczb naturalnych {ni}i∈N ciąg {fni}i∈N jest zbieżny na co najwyżej przeliczalnym podzbiorze dowol- nego zbioru Łuzina. Obszerniejsze informacje o historii tej konstrukcji można znaleźć w [Wi1].
Witold Wilkosz (v. [Wz]) zbudował przykład dwóch funkcji, które są pochodnymi, ale ich iloczyn nie jest pochodną pokazując, że zacho- wanie pochodnych różni się od zachowania funkcji ciągłych lub funkcji pierwszej klasy Baire’a (zob. także [Bl]).
Stanisław Ruziewicz w pracy [Ru] zbudował rodzinę funkcji o tej własności, że dowolne dwie funkcje mają w każdym punkcie równe po- chodne (nie wszędzie skończone), ale ich różnica nie jest stała. Rodzina
ta ma moc continuum. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w [Bl], a także w artykule [Wi2].
Stanisław Saks w klasycznej monografii [Sa] przy okazji omawiania całki Perrona (w rozdziale Major and minor functions zbudował bardzo elegancki przykład funkcji G : [0, 1] → R rosnącej, absolutnie ciągłej, mającej wszędzie pochodną, przy czym pochodna ta jest nieskończona na z góry zadanym zbiorze domkniętym E miary zero (dla ułatwienia zakłada się, że 0, 1 ∈ E). Niech {(an, bn)}n∈Nbędzie ciągiem składowych dopełnienia zbioru E do przedziału [0, 1]. Rozważmy ciąg {hn}n∈Nliczb dodatnich taki, że lim
n→∞hn· (bn− an)−1 = +∞ oraz
∞
P
n=1
hn= 1 (może to być, np. hn =√
rn−√
rn+1, gdzie rn =
∞
P
i=n
(bi− ai) dla n ∈ N). Połóżmy
g(x) =
(hn· (x − an)−12 · (bn− x)−12 dla x ∈ (an, bn)
+∞ dla x ∈ E
oraz G(x) =
x
R
0
g(t)dt.
Oczywiście G jest rosnąca i absolutnie ciągła oraz G0(x) = g(x) = +∞
dla x ∈ [0, 1] \ E. Jeśli mn = inf{g(x) : x ∈ (an, bn)}, to nietrudno sprawdzić, że lim
n→∞mn= lim
n→∞2hn· (bn− an)−1 = +∞, a stąd już można wywnioskować, że lim
x→x0
g(x) = +∞ = g(x0) dla każdego x0 ∈ E. Zatem G0(x) = g(x) dla każdego x ∈ [0, 1]. Przykład Saksa znajduje się także w [Bl] w części dotyczącej zagadnienia odzyskiwania funkcji pierwotnej.
Mówimy, że funkcja f : R → R spełnia warunek (N) Łuzina, jeśli obraz dowolnego zbioru miary zero jest zbiorem miary zero. Warunek ten nie zachowuje się przy dodawaniu funkcji (podobnie, jak na przykład własność Darboux). Stefan Mazurkiewicz najpierw znalazł przykład funkcji f spełniającej warunek (N) takiej, że funkcja f (x) + x już tego warunku nie spełnia, a później w pracy [Maz1] poprawił tę konstrukcję uzyskując następujący wynik: istnieje funkcja f : [0, 1] → R ciągła, spełniająca warunek (N) taka, że suma funkcji f i dowolnej funkcji liniowej różnej od stałej nie spełnia tego warunku. Konstrukcja funkcji f jest geometryczna, wykres funkcji jest częścią wspólną zstępującego ciągu zbiorów, z których każdy jest sumą pewnego skończonego zbioru prostokątów.
Powszechnie znane jest twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa.
Stefan Mazurkiewicz zauważył (v. [Maz2]), że jeżeli funkcja f : [0, 1] → R jest ciągła oraz f (0) = 0, to można ją jednostajnie aproksymować wie- lomianami postaci W (x) = anxn+ an+1xn+1+ . . . + amxm dla dowolnej
liczby n ∈ N. Pozwoliło mu to na zbudowanie szeregu potęgowego a1x + a2x2+ a3x3+ . . . o współczynnikach wymiernych mającego nastę- pującą własność: dla dowolnej funkcji ciągłej f : [0, 1] → R, f (0) = 0, istnieje sposób grupowania wyrazów szeregu taki, że zgrupowany szereg jest zbieżny jednostajnie do f . Podobnym zagadnieniem zajmowali się także Frechet (v. [Ft]) oraz Sierpiński (v. [Si9]). Gelbaum i Olmsted w [GO] przypisują nawet ten wynik Sierpińskiemu, ale w pracy [Si9]
wyraźnie jest cytowane twierdzenie Mazurkiewicza.
Hugo Steinhaus w początkowym okresie twórczości interesował się głównie szeregami trygonometrycznymi i szeregami ortogonalnymi, dla- tego większość interesujących konstrukcji związana jest z tą tematyką.
H. Lebesgue znalazł przykład funkcji całkowalnej (L), której szereg Fo- uriera jest do niej zbieżny w każdym punkcie, ale która nie jest cał- kowalna w sensie Riemanna na (0, 2π). Odpowiadając na pytanie Le- besgue’a w pracy [St2], Hugo Steinhaus zbudował funkcję całkowalną (w sensie Lebesgue’a) mającej zbieżny do niej szereg Fouriera, ale któ- rej zbiór punktów nieciągłości jest miary dodatniej na każdym pod- przedziale przedziału (0, 2π). Funkcja ta nie jest całkowalna w sensie Riemanna na żadnym przedziale. W konstrukcji możemy zauważyć me- todę, która później rozwinęła się w zasadę zagęszczania osobliwości.
Praca [St3] zawiera pomysłową konstrukcję szeregu potęgowego (w dziedzinie zespolonej), którego promień zbieżności równa się 1, który jest zbieżny w każdym punkcie z, |z| = 1, ale nie jest zbieżny jednostajnie na żadnym łuku okręgu {z : |z| = 1}. Fakt, że zbiór punktów nieciągłości sumy szeregu jest gęsty na tym okręgu wynika ze związku pomiędzy jednostajną sumowalnością w sensie Ces`aro a jednostajną zbieżnością szeregów zmajoryzowanych przez ciąg postaci (const · n−1).
P. Fatou w swojej rozprawie doktorskiej postawił pytanie: czy ist- nieje szereg trygonometryczny
∞
P
n=0
(ancos nϕ+bnsin nϕ) spełniający wa- runek: lim
n→∞n|an| = 0, lim
n→∞n|bn| = 0, rozbieżny na zbiorze mocy conti- nuum. Istota pytania polega na tym, że sam Fatou udowodnił (v. [Ba]), że szereg trygonometryczny spełniający powyższy warunek (zapisywany czasem an = o(n1), bn = o(1n)) jest zbieżny prawie wszędzie. Hugo Ste- inhaus w pracy [St4] udowodnił następujące ogólne twierdzenie: jeśli szereg
∞
P
n=0
βn, β ≥ 0, jest rozbieżny, to istnieje szereg potęgowy
∞
P
n=0
αnzn taki, że |αn| = βndla n ∈ N∪{0}, którego część rzeczywista (będąca sze- regiem trygonometrycznym) jest szeregiem rozbieżnym na zbiorze ma- jącym część wspólną mocy continuum z kazdym łukiem okręgu |z| = 1.
Wystarczy przyjąć βn = [(n + 2) log(n + 2)]−1 dla n ∈ N ∪ {0}, aby
otrzymać odpowiedź na pytanie Fatou.
Interesującą konstrukcję układu ortogonalnego, normalnego i zupeł- nego, dla którego istnieje funkcja całkowalna (wszystko odbywa się na przedziale [0, 1]), której rozwinięcie jest rozbieżne w każdym punkcie, znajdujemy w [St5]. Hugo Steinhaus najpierw buduje układ {Ψn}n∈N ortogonalny i normalny funkcji całkowalnych z kwadratem dbając o to, aby dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnej liczby ε > 0 zbiór {x ∈ [0, 1] : |Ψn(x)| ≥ n − ε} miał miarę dodatnią oraz |Ψn(x)| ≥ 12 dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnego x ∈ [0, 1]. Korzystając z pomysłu Banacha stwierdza, że istnieje wówczas funkcja całkowalna f : [0, 1] → R taka, że lim sup
n→∞
1
R
0
f (t)Ψn(t)dt = +∞. Układ {Ψn}n∈N nie musi być zupełny, ale po uzupełnieniu go do układu {ϕn}n∈N powyższa granica górna nie ulegnie zmianie. Biorąc pod uwagę oszacowanie od dołu wszystkich funkcji Ψn otrzymujemy lim sup
i→∞
ϕi(x)
1
R
0
f (t)ϕi(t)dt = +∞ dla każdego x ∈ [0, 1], co oczywiście oznacza rozbieżność rozwinię- cia funkcji f .
Wreszcie w pracy [St6] Hugo Steinhaus przedstawił przykład sze- regu trygonometrycznego
∞
P
n=0
(ancos nϕ + bnsin nϕ), którego współczyn- niki dążą do zera, ale jest on rozbieżny dla każdego x ∈ R. Podobny przykład znalazł się w [St1], ale widocznie Autor uznał, że nie jest on wystarczająco piękny (współczynniki były określone rekurencyjnie) i postanowił wyeliminować tę wadę. Szereg jest zapisany w postaci
∞
P
n=2
cos n(t−log log n)
log n , co nietrudno przekształcić do „zwykłej” formy otrzy- mując an= cos(n log log n)
log n , bn = sin(n log log n) log n .
Ciekawą konstrukcję układu ortogonalnego, normalnego i zupełnego dobranego do funkcji f klasy L1(a, b), ale nienależącej do klasy L2(a, b) znajdziemy w pracy [Ba1]. Stefan Banach udowodnił, że jeśli f speł- nia powyższe warunki i jest nieujemna, to istnieje układ {Ψn}n∈N or- togonalny, normalny i zupełny na (a, b) taki, że rozwinięcie f wzglę- dem {Ψn}n∈N jest szeregiem zbieżnym wszędzie na (a, b), ale jego suma różni się od f w każdym punkcie. Konstrukcja układu rozpoczyna się od klasycznego układu ONZ trygonometrycznego {ϕn}n∈N dostosowa- nego do (a, b). Następnie buduje się ciąg liczbowy {αn}n∈N taki, że
b
R
a
(αn+ ϕn(t)) f (t)dt = 0 dla n = 1, 2, . . .. Układ funkcji {(αn+ϕn)}n∈N okazuje się układem zupełnym (jest to kluczowy moment dowodu), ale ortogonalność i normalizacja mogą nie być zachowane. Po zastosowa-
niu ortogonalizacji Schmidta otrzymuje się układ ONZ {Ψn}n∈N, dla którego
b
R
a
f (t)Ψn(t)dt = 0 dla n = 1, 2, . . ., więc rozwinięcie f jest sze- regiem zbieżnym wszędzie do zera, a funkcja f wszędzie była dodatnia.
Funkcją kojarzoną na całym świecie z nazwiskiem Banacha jest in- dykatrysa. Jeśli f : [a, b] → R jest dowolną funkcją, to jej indykatrysą Banacha nazywamy funkcję N : R → {0}∪N∪{∞} określoną w sposób następujący:
N (x) =
(cardf−1({y}) jeśli f−1({y}) jest zbiorem skończonym, +∞ jeśli f−1({y}) jest zbiorem nieskończonym.
Stefan Banach w pracy [Ba2] wykazał przydatność funkcji N (której nie nazwał indykatrysą) w teorii funkcji rzeczywistych. Udowodnił on, że jeśli f jest funkcją ciągłą, to odpowiadająca jej funkcja N jest co najwyżej drugiej klasy Baire’a. Funkcja ciągła f ma wahanie skończone wtedy i tylko wtedy, gdy
∞
R
−∞
N (y)dy < +∞ (całka, być może nieskoń- czona, zawsze istnieje, ponieważ N jest mierzalna i nieujemna). Czasem używany jest zamiast indykatrysy termin brzmiący bardziej po polsku, mianowicie funkcja krotności Banacha.
Józef Marcinkiewicz w [Mar1] skonstruował funkcję f całkowalną na przedziale (0, 2π), której szereg Fouriera jest rozbieżny prawie wszędzie, a jednocześnie lim sup
n→∞
|Sn(x, f )| < ∞ prawie wszędzie. Sn(x, f ) oznacza tu n-tą sumę częściową szeregu Fouriera funkcji f , czyli Sn(x, f ) =
a0
2 +
n
P
k=1
(akcos kx+bksin kx). Warto zauważyć, że Kołmogorow (v. [Ko]) znalazł funkcję f klasy L1, której szereg Fouriera jest rozbieżny prawie wszędzie, ale lim sup
n→∞
|Sn(x, f )| = +∞ prawie wszędzie. Konstrukcja ta zajmuje istotne miejsce w wielu monografiach dotyczących analizy harmonicznej, m.in. w [Ba] oraz [Zy].
Zupełnie niezwykły wynik znajdziemy w krótkiej pracy [Mar2]. Józef Marcinkiewicz pokazał tam, że dla dowolnego ciągu {hn}n∈N złożonego z liczb różnych od zera, zbieżnego do zera istnieje funkcja Φ : [0, 1] → R ciągła i spełniająca następujący warunek (P): dla dowolnej funkcji mie- rzalnej ϕ : [0, 1] → R istnieje podciąg {hnk}k∈N taki, że
ϕ(x) = lim
k→∞
Φ(x + hnk) − Φ(x) hnk
prawie wszędzie.
Funkcja Φ jest więc, w pewnym sensie, funkcją pierwotną uniwersalną.
Więcej szczegółów na temat tej funkcji można znaleźć w [Br], [Bl] oraz [Sa].
Wśród matematyków polskich, którzy zbudowali funkcje o specjal- nych własnościach, istotne miejsce należy się Zygmuntowi Zahorskiemu.
W pracy [Za1] skonstruował on funkcję, która jest ciągła, ale nie ma pochodnej dokładnie w punktach zbioru A = B ∪ C, gdzie B jest zbio- rem typu Gδ, a C - zbiorem typy Gδσ miary zero, dokonując tym sa- mym charakteryzacji zbioru punktów nieróżniczkowalności funkcji cią- głej. Ponieważ prosta rzeczywista jest powyższej postaci, więc funkcje Weierstrassa, van der Waerdena i inne znane funkcje ciągłe nigdzie róż- niczkowalne są szczególnymi przypadkami funkcji Zahorskiego. Inne ciekawe konstrukcje można znaleźć w pracy [Za2], a liczne komenta- rze w książce [Br]. Szersze omówienie wyników Zygmunta Zahorskiego znajduje się w artykułach [Wi3] i [Wi4].
Pewien rozgłos zdobyła w świecie matematycznym funkcja rzeczy- wista dwóch zmiennych, której autorami są Zbigniew Grande i Jan Li- piński. Amerykanie nazwali ją „Polish monster”. Jeśli F : R2 → R oraz f : R → R, to funkcję gf(x) = F (x, f (x)) nazywamy superpozycją Caratheodory’ego. Funkcja F nazywa się (nieładnie) sup-mierzalna, jeśli gf jest mierzalna dla dowolnej mierzalnej funkcji f . Głównym wynikiem pracy [GL] jest, zgodnie z tytułem pracy, konstrukcja funk- cji sup-mierzalnej i niemierzalnej. Autorzy najpierw zbudowali funkcję h : A → R na pewnym podzbiorze A zbioru liczb rzeczywistych, której wykres jest zbiorem niemierzalnym jako podzbiór R2 oraz część wspólna wykresu tej funkcji i dowolnej funkcji borelowskiej na R jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, a następnie określili „monstrum” wzorem
F (x, y) =
(1 gdy (x, y) ∈ h, 0 gdy (x, y) /∈ h.
1. * Oznaczenie skrótów w bibliografii
O = Stefan Banach, Oeuvres, Vol. I, PWN, Warszawa 1967.
CP = Józef Marcinkiewicz, Collected papers, PWN, Warszawa 1964.
OC = Wacław Sierpiński, Oeuvres Choisies, Tom I, Warszawa 1974;
Tom II PWN, Warszawa 1975; Tom III, PWN, Warszawa 1976.
SP = Hugo Steinhaus, Selected papers, PWN, Warszawa 1985.
MP = Edward Marczewski, Collected Mathematical Papers, Polish Academy of Sciences, Warszawa 1996.
Bibliografia
[Ba1] S. Banach, An example of an orthogonal development whose sum is everywhere different from the developed function, Proc. London Math. Soc. 21 (1923), 95–97 (O, 63–67).
[Ba2] S. Banach, Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l’aire est finie, Fund.
Math. 7 (1925), 225–236. (O, 149–159).
[BS] S. Braun, W. Sierpiński, Sur quelques propositions ´equivalentes `a l’hypoth`ese du continu, Fund. Math. 19 (1932), 1–7.
[GL] Z. Grande, J. Lipiński, Un example d’une fonction sup-mesurable qui n’est pas mesurable, Colloq. Math. 39,1 (1978), 77–79.
[Mar1] J. Marcinkiewicz, Sur les s´eries de Fourier, Fund. Math. 27 (1936), 38–69 (CP, 96–124).
[Mar2] J. Marcinkiewicz, Sur les nombres d´eriv´es, Fund. Math. 24 (1935), 305–308 (CP, 42–44).
[Maz1] S. Mazurkiewicz, Sur les fonctions qui satisfont `a la condition (N), Fund.
Math. 16 (1930), 348–352.
[Maz2] S. Mazurkiewicz, Sur l’aproximation des fonctions continues d’une variable r´eelle par les sommes d’une serie de puissance, C. R. Soc. Sc. Varsovie 30 (1937), 25–30.
[Ru] S. Ruziewicz, Sur les fonctions qui ont la meme d´eriv´ee et dont la diff´erence n’est pas constante, Fund. Math. 1 (1920), 148–151.
[Sa] S. Saks, Theory of the Integral, Monografie Matematyczne, tom VII, Warszawa- Lwów, 1937.
[Si1] W. Sierpiński,O funkcji odwracalnej, której obraz wszędzie gęsto pokrywa płasz- czyznę, Wektor 3 (1914), 289–291 (Sur une fonction r´eversible dont l’image est dense dans le plan, OC, tom II, 84-86).
[Si2] W. Sierpiński, Un example ´el´ementaire d’une fonction croissante qui a presque partout une d´eriv´ee nulle, Giornale di Mathematiche di Battaglini (3) 6 (1916), 314–334 (OC, tom II, 122-140).
[Si3] W. Sierpiński, Sur une fonction de classe 4, w książce In memoriam N. I.
Lobatchevskii, Kazan 1927 vol. 2, 197–201 (OC, tom II, 616–620).
[Si4] W. Sierpiński, Remarque sur la th`eor´eme de M. Egoroff, C. R. Soc. Sci. et Lettr. Varsovie III, 21 (1928), 84–87 (OC, tom II, 667–670).
[Si5] W. Sierpiński, Sur une certaine suite infinie de fonctions d’une variable r´eelle, Fund. Math. 20 (1933), 163–165.
[Si6] W. Sierpiński, Sur la dualit´e entre premi´ere cat´egorie et la mesure nulle, Fund.
Math. 22 (1934), 276–280 (OC, tom III, 207–210).
[Si7] W. Sierpiński, Hypoth`ese du continu, Monografie Matematyczne, tom IV, Warszawa-Lwów, 1934.
[Si8] W. Sierpiński, Sur une fonction non mesurable, partout presque sym´etrique, Acta Litt. Scient. (Szeged) 8 (1936), 1–6 (OC, tom III, 277–281).
[Si9] W. Sierpiński, Sur une serie de puissances universelle pour les fonctions con- tinues, Studia Math. 7 (1937), 45–48.
[Si10] W. Sierpiński, Sur les fonctions inverses aux fonctions satisfaisant ´a la con- dition de Baire, Mathematica (Cluj) 15 (1939), 198–200 m II, 497–499) (OC, tom III, 409–410).
[Si11] W. Sierpiński, Sur une suite infinie de fonction de classe 1 dont toute fonction d’accumulation est non mesurable (Solution d’un probl`eme de M. S. Banach), Fund. Math. 33 (1945), 104–105 (OC, tom III, 425–426).
[Si12] W. Sierpiński, Sur une suite infinie de fonctions continues dont toute fonction d’accumulation est non mesurable, Publ. Inst. Math. Beograd 1 (1947), 5–10 (OC, tom III, 553–557).
[Si13] W. Sierpiński, Sur un th´eor`eme de S. Saks concernant les suites infinies de fonctions continues, Fund. Math. 46 (1958), 117–121.
[St1] H. Steinhaus, O pewnym szeregu trygonometrycznym rozbieżnym, Sprawozda- nia z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego 5 (1912), 219–223 (SP, 109–112).
[St2] H. Steinhaus, Sur une fonction remarquable repr´esent´ee par une serie de Fo- urier, Bull. Intern. Acad. Sci. Cracovie (1913), 291–304 (SP, 129–139).
[St3] H. Steinhaus, O pewnym szeregu potęgowym, przedstawiającym na kole zbież- ności funkcję pantachicznie nieciągłą, Sprawozdanie z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego 6 (1913), 357–368 (SP, 152–160).
[St4] H. Steinhaus, Rozwiązanie pewnego zagadnienia Fatou, Rozprawy Akademii Umiejętności 1918, 147–154 (SP, 208–214).
[St5] H. Steinhaus, An example of thoroughly divergent orthogonal development, Proc. London Math. Soc. 20 (1922), 123–126 (SP, 308–310).
[St6] H. Steinhaus, A divergent trigonometrical series, J. London Math. Soc. 4 (1929), 86–88, (SP, 423–425).
[SZ] W. Sierpiński, A. Zygmund, Sur une fonction qui est discontinue sur tout en- semble d`e puissance du continu, Fund. Math. 4 (1923), 316–318 (OC, tom II, 497–499).
[Sz] E. Szpilrajn, Remarques sur les fonctions compl´ement additives d’ensemble et sur les ensembles jouissant la propri´et´e de Baire, Fund. Math. 22 (1934), 303–
311, (MP, 83–91).
[Wz] W. Wilkosz, Some properties of derivative functions, Fund. Math. 2 (1921), 145–154.
[Za1] Z. Zahorski, Sur l’ensemble des points de non-d´erivabilit´e d’une fonction con- tinue, Bull. Soc. Math. France 74 (1945), 147–179.
[Za2] Z. Zahorski, Sur la pr`emiere d´eriv´ee, Trans. Amer. Math. Soc. 69 (1950), 1–54.
Bibliografia dodatkowa
[Ba] N. Bari, Trigonometriqeskie r dy, Moskva, 1961, str. 178.
[Bl] H. Blumberg, New properties of all real functions, Trans. Amer. Math. Soc. 24 (1922), 113–128.
[Br] A. M. Bruckner, Differentiation of real functions, Lecture Notes in Math. 659, Springer, Berlin 1978.
[BL] A. M. Bruckner, J. L. Leonard, Derivatives, Amer. Math. Monthly 73 (1966), no. 4, part II, 24–56.
[Er] P. Erd¨os, Some remarks on set theory, Ann. of Math. (2), 44 (1943), 643–646.
[Fn] D. Fremlin, Pointwise compact subsets of measurable functions, Manuscripta Math. 15 (1975), 219–242.
[Ft] M. Frechet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Mat. Palermo 22 (1906), 1–74.
[GO] B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted, Counterexamples in Analysis, Holden-Day, 1966.
[Ko] A. Kolmogoroff, Une serie de Fourier-Lebesgue divergente presque partout, Fund. Math. 4 (1923), 324–328.
[Ku] K. Kuratowski, Topology, Academic Press 1966.
[Ox] J. C. Oxtoby, Measure and category, Second Edition, Springer-Verlag 1981.
[Th] B. S. Thomson, Symmetric properties of real functions, Marcel Dekker In. 1994.
[Ty] A. Tychonoff, ¨Uber einen Funktionenraum, Math. Ann. 111 (1935), 762–766.
[Wi1] W. Wilczyński, Prace Wacława Sierpińskiego z funkcji rzeczywistych, Dzieje matematyki polskiej pod redakcją Witolda Więsława, AM 5 (2012), 299–306, doi: 10.14708/am.v5i0.576.
[Wi2] W. Wilczyński, Twórczość Stanisława Ruziewicza, Dzieje matematyki pol- skiej II pod redakcją Witolda Więsława, AM 7 (2013), 239–246, doi:
10.14708/am.v7i0.741.
[Wi3] W. Wilczyński, Prace Zygmunta Zahorskiego o pierwszej pochodnej, Dzieje matematyki polskiej II pod redakcją Witolda Więsława, AM 7 (2013), 247–
252,doi: 10.14708/am.v7i0.583.
[Wi4] W. Wilczyński, Zygmunt Zahorski and contemporary real analysis, edited by R. Wituła, D. Słota, W. Hołubowski, Gliwice 2015, 99–108.
[Zy] A. Zygmund, Trigonometric Series, 2nd ed. Vols. I, II, Cambridge University Press, New York 1959.
Functions or functional sequences with special properties whose constructions we owe to Polish mathematicians
Władysław Wilczyński
Abstract In the scholarly output of Polish mathematicians of the 20th century one can find numerous examples of functions and se- quences of functions with unusual or unexpected properties. This paper discusses certain results of Wacław Sierpiński, Stanisław Saks, Stefan Mazurkiewicz, Hugo Steinhaus, Stefan Banach, Witold Wilkosz, Stanisław Ruziewicz, Antoni Zygmund, Józef Marcinkiewicz, Zygmunt Zahorski, Zbigniew Grande and Jan Lipiński. Some constructions are presented in details.
2010 Mathematics Subject Classification: 01A50; 01A55; 01A60.
Key words and phrases: function, functional sequences, teaching math- ematics, history of mathematics.
Władysław Wilczyński Uniwersytet Łódzki Wydział Matematyki
ul. S. Banacha 22, 90-238 Łódź E-mail: wwil@uni.lodz.pl
Communicated by: Danuta Ciesielska
(Zgłoszona: 7th of December 2015; Wersja końcowa: 31st of December 2015)
