Pkt Zń. Pkt

Odp. a b c

Pkt

Odp. a b c

Pkt Zń. Pkt

^{Zad. Pkt.}

Pyt.1 N

N ^N

^Pyt.6

N N N

^{Zad,.1 Zad,.6}

Pyt.2 _T-

V t

^Pyt.7

⁽

^Nl

^{,V Zad.2 Zad.7}

Pyt.3

f Ń ^N

^{Pyt.8 h/}

Nl f ^{Zad.3 Zad.8}

Pyt.4

{ T ^{

^{Pyt.9 t\'}

^M T ^{Zń.4 Zad.9}

Pyt.5

T T a

^Pyt.10

N

^rv

T ^{Zad.5 Zń. n}

Suma Suma Ocena

Imię

i nazwisko

^{Numer indeksu}

Studia stacjonarne, specjalność ...,...,.

Kolokwium z AM3 - termin rI, styczeń

2016

Uwaga. Każde pytałrie za.rrrklrięte jest punktowane w skali (0-3pkt) (lpkt za-każdą popra.wną odpowiedŹ czq§tkową). Kdżde pytanie otwarte jest punktowane w skali (trzpkt). Warunkiem zaliczenia kolokwium jest zdobycie co najmniej 18 pkt w częŚci teoretycznej (zadarria-zamknięte) oraa co najmniej 12 pkt w części otwaxtej. W tabeli odpowiedzi na pytania zamknięte naleŻy wpisywać (ty}ko raa!) odpowiedź w dane po|e TAK lub N.I.E. lnne odpowiedzi lub ich skróty będą tralctowane jako _odpowiedź blędna. Szczegóły punktacji i ocen są na stronie: http://math.uni.lodz.pl/ }<arpinw/index.php?go:AM3MaterialyPomocnicze

Pytania zamknięte

1. F\rnkcja "f ^: lR'

+

lR posiada maksimum lokalne (niekoniecznie właściwe) w punkcie a €, D7, jeśii

N

^u)

l@)

^>

/(o)

^dla każdego ,, z pewnego otoczenia punktu a.

t\ ^Ul r

jest różniczkowalna w punkcie a i jej pochodna w punkcie a

Ęmosi

^0.

N .) l

^jest różniczkowalna w punkcie o

i

posiada ujemne pochodne czą§tko]ffe drugiego rzędu w punkcie a.

2. Następujące zdania dotyczące przestrzeni

R',

2

ż

^{2 są prawdziwe} (*x, au,

r,

y € Rn):

1

a) Jeżeli c1 ^--,

x i

_a* ^---+ y, to również rn

*

ar ^-+

r ł

a.

g

b) JeŻeli o1 ^--+

r i

_an ^--+ _9, to również

# -

3 dla ^g, _ar

ł

^0.

-i* C) Jeżeli

rp

^--+

r i

_ax ^{--+ g,} to również

rx _

_a* ^-,+

r ^_

_U.

3. F\rnkcja

/

^{: R ---ł lRn jest}

T

^a) klasy Cr(R), ^jeśIi dla ka;żdego

ź: I,2,...fr

funkcje

fi

^{są klasy CP(R).}

Ń ^b)

zbieżna do a € R dla

a

^--+

t;ljeśli

dla każdego

,i: _{!,2,... ,n}

_{granica limr*ro}

_ń(r) :

O,

|.l

^c) różniczkowalna w punkcie 16, jeśli dla

każdego,i:1,2,.,.n

funkcje

fi

^{są ciągłe w punkcie}

frg.

4. Jeśli odwzorowanie

/

^{: ]R2}

-,

^m,2 jest dyfeomorfizmem, to:

T

a) jest regularne.

T

^b) jest ciągłe i oodwzorowanie odwrotne też jest ciągłe.

T

^c) jest lokalnie dyfeomorficzne w otoczeniu każdego punktu

r

€ ^]R2.

T T T

Ń N Ń

t

T

5. JeśIi funkcja

f

^:

^{D C}

^{IR'---+JR jest} dwukrotnieróżniczkowalnawpunkcie

a€IntD,

to a)

/

posiada wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu w punkcie a.

b) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji

/

^są ciągłe w punkcie a.

c) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji

f

sąróżniczkowalne w punkcie a.

6. Pochodne cząstkowe drugiegorzędu funkcji

f

^:

^{D c}

^IR,--+R.w

^punkciea€D

a) tworzą macieru symetryczną w punkcie

a

^(o ile funkcja jest różniczkowalna w punkcie a).

b) tworzą macierz wymiaru

n x n x

n.

c) tworzą macierz Hessego o niezerowym wyznaczniku.

7. Niech f (t)

: (r(t),g(t),z(t))

będzie funkcją różniczkowalną dla ź > 0. Wówczas

a) _f '(t) ^opisuje wektor prędkości punktu materialnego w plzestrzeni, jeśli ruch tego punktu opi- sany jest funkcją

/.

b) punkt porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

c) szybkośó punktu materialnego wynosi zawsze r/g, j"śti

r(t) :

_aQ)

:

z(t)

:1.

8. Jeśli

odwzorowanie

f ^: D c

^{m.ł ---+}

lR'

^(dla dowolnych

k,n : 2,3,...) ^jest

dwukrotnie różniczkowalne w punkcie a

€ IntD,

to:

N

^a)

^/

^jest dyfeomorfizmem.

6\ b) macierz Jacobiego tego odwzorowania w punkcie a ma niezero\rlIy wyznacznik.

T.) ^/

jest ciągłe w punkcie a.

9. Jeśli

z:

_f

^(r,9)

jest funkcją dwóch zmiennych określoną na pewnym zbiotze

D C

R2, to

Nl

^{a) wykres}

/

jest zbiorem punktów w IR2.

Ń

Ul istnieje płaszczyzna styczna do wykresu

/

^{w każdym punkcie zbioru D.}

T ^.)

^wykres

^/

jest zbiorem ograniczonym, o ile

D

jest zbiorem zwartym

i /

^{jest ciągła}

laD.

10. Następujące zdania dotyczące gradientu są prawdziwe:

a) Gradient jest wektorem pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji wielu zmiennych o wartościach rzeczywistvch.

b) Gradient jest macierzą pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu odwzorowania z ]R' do Re,

(k,nż

2).

c) Za pomocą gradientu można wyzlaczyć punkty krytyczne funkcji wielu zmiennych o warto- ściach rzeczywistych.

Pytania otwarte

Zad. L.

Wyznacz

i

narysuj dzi,edzźnę funkcji, okreśIonej równani,em f

@,u): ffi*

^arccos(r

^-

^g).

xut1z-,t

zo I

^xt.37>Ą

.*<x -5

< 4

|,,l+x>.

!> ^x-|

rl+tl)'l

4-xślsa-xl.(r)

Ń Ń

Ń Ń

-r-

{-,.

Ł

Zad.

2.

Zbad,aj, czy

funkcja l(r,r) : _[ ffi-,

dla (r, a)

+ @,0), _jest

_{ciqgła w punkci,e}

(0,0). oe{^,d&će

_,

fi,.d,{'e -rh _i,,tt .b, ,l"|". ^'; :

(o' 0)'

Iy. ^tlrolłltł u'ltnało,.łt i 1 '.[y. ąT

ąpuirŁlcil,nĄAl

tr,^t(u,^^

#)=}* Ę=l lq,i'(t,',)"H,,

5'rr.o) ^rŁ'j,r_l ńz n x?o _ląo

];"#ł _{^,'; fi:ĘĘ} ^{T*dó.* il-} ł,n"l, Ą.

k^(*-#j=fiĘj -Tffi)"ffi=h=Ę.*:*

'J'-!-_

Irrrtr lln ^Hl

;*tf;Ę'rri xrt:i,,:)ł,śpł,,,,,ni,opunktu,,,,,,ir,"no,)',o,,$ńr!!i,iil,#ł3:,

w

chwiliźo:0. ^{ldrłOł N(Y,2 Ęn(ła),(fl'fto)1frł(*")

,

{a"(+.))

.pr{ł). ciłlł {n'[t1, rltLL,3*, {."(t)-- -zi,łŁą.tŁ.ltl

+ cł>!Ą,

L _{{.u(o)- Ł}

f.({)=

wW 1.1[t)" ,# ta,= ahl {rłct)---Łr+t,[r

_1"*iu)

-at

{"(0, e@t ł.'(ł), ed(-,łnł) łł'{t1= ,d(*,ogt,*) - cń^ł {o"ł,o)- - e

1ll1o\=(Ą,-bl-e).

Zad. 4.

Wyznacz, o

ile

istni,eje, pochodnq ki,erunkowq w ki,er"unku wektora (2,1) w punkcie (0,0)

d,la funkcji,

l@,a) : 1frĘ,

{,l o [oto), fł ]ry ^{= ył orltF'}

⁼

t.ro

^CIoł

ry r łło -t ^{= Fg r,ry} = ^ł->o irg ^{ilTi+ =0,}

Zad. 6.

Wyznacz róumuani,e stycznej do wykresu funkcji,

l@,ń :

4x2 + 7a'

*

cos(r2 +

a\ ,

punkcie(ro,uo):10,0).YeĘc1.i7-Żo=#{*ć{)(r-&),#,cu*1ę)

*-J$:i'*Gtt!,}1x {::?'.' ^'=-,

6ca)= ^\-nńł)q ^Ęto,o)* ,- ^{o.!_=rO i"+} ,d,ł"a*'ulu47"ł1'

Zad"

7'

CzY funkcja zm'iennej rzeczywi,stej o wańośc,iach wektorowych f

(t) : ęffirr1.

jest _ró,

-?arlł^Ą n ffirualna

^{w Punkc'ie}

x: l?

od,powi,ed,ź uzasad,nij od,powi,ed,nim,i rachunkam,i.

U; P-Ę;!{Łt'=w,rryc

=!ł*W=W @='(,

-;;o'- ,t_\ Ląo + ,ł.qfFą _=U* ^v,|W

-,$g- Ę ^{J trł Ęl ]' *P}

^;łłT

^{ł4'e guilo} _+,; ć;,-r*:ffi-,ń=

) ^{Ft,t fq} a,o _{( a,i ,rŁW,}

Zad' 8'

WYznacz

wzór

TaYIora

z

pochod,nymi, _d,o rzęd,u d,rug,iego włqcznźe

z

resztq _{w postac,i} Peano d,Ia funkcji f

@,ń:

^{e*ła w} punkcźe (0,0),

#::i;:er' *,y>,1 ^{( łar}} 'ir"o,,,r,

r ^{G,^?rt} $fłrło ^t

Ę'*ur "')'fir+ł ^{, *!,,(xkł l ffi,,1 + pp(r.! 3}

Ę*")-Ę,ls"7#Ą*rt ^{(= Ąr *lU,r,y} .l)r,!l(*,.Ąt

Arg-Ąt t.Drqer)

!oco'o1=%rrr,łĘr"łti ^{= 1+ xt,3,} _ź^,'*r! + łlLf ^?_p(;,j)

ll(p,r;ilł uÓ"8ą ^{( p= Ł)}

^.

i;ł;r';r"Tffi::r,":ooo'r

od,ulzo'otnani,a f

(r,a) : _2r ł

³⁹ w punkc,ie

(7,2).

Uzasadni,j swój

Wś,|łW ^{o*, W} L*c"Ą,Yrct,Ą _{= Lr, łJ}

^#W ^"WW,* &)rłćorło, +(h"i,) -,g,\r|łh,", pŁ w

,Ę -{ ^r)=.[.rł +(łtł,,ltr,)-(i*'o)<zą,*łhrf_

(tłr,hi))to10) .ilhll "=(ńół19,9 _{_;}

= ,(uTh-,,,l b,ł lCłł'Yb('tń*-thrrht - 0.L.. ^{l+lL_+ c++L - 6l-.ll} :tL n

tffi,, r,ji, ^,.=l1Ł, _^ftfl

Zad. tł.

Wyznacz zbi,ór wartosrł,

lu,*ń'ir"!'łrl ^_ ,,

+

r,r|.' " ,Ę, ,!,'''Ur'toi)

Mffl^^1 dĄ,hĄr| tl-yzłf >o ^{- - \} lvl rg )' 'ńff;'UJ'łltbh.

y,7 rą^ ^{,,rhh#,f ,#h,rrł}

ryi''Ę' kbĄĄ>ffi) dh F"v-Ązlo *{i, re(."o,-D,lcl,Ą

,,\

\tw,= Rl r*oru.".,

1-łąru r, aflńr,, ^,tą

**tffi** ^. fluł|*' bbfu.,;;l"t Yu,*u',^Ą,L-.-

S ^{(*.9)=*Ę tł[l-rrtt1) =+od ru!r"9)=.Fł*{Ą( l-r?t,1.)-_ -,.,

y.-,, 4nń ir"O ir,

(Ńo Ęł,c',v\=h.wh(łt,ł)=+o) n ^{(qtbo gt_ł(ir) "Ww u,*^Ą}

odp. a b c

Pkt

odp. a b c

Pkt

Zad.

Pkt

Zad, Pkt.

Pyt,1

f ^N

^{ilr Pyt.6}

^nl

^f{

^nf

^Zad.

^{t Zad.6}

Pyt.2

fJ r ^T

^{Pyt.7 T t |{}

^{Zad.2 Zad.7}

Pyt.3 _f\,ł

Ń

^{/"i Pyt.8}

Ń N ^Ń

^Zad,.3

^Zad.8

Pyt.4 _{T i l,{} Pyt.9 M

I

^}1

^{Zad.4 Zad.9}

Pyt.5 _N

T ^Ń

^{Pyt.10 lV !V}

Ń ^Zad.5

^{Zad,. L0}

Suma Suma Ocena

Imię i

nazwisko

Numer indeksu

Studia stacjonarne, specj alność

Kolokwium z AM3 - termin II, styczeń

2016

Uwaga. Każde pytarrie zarrrkrrięte jest punktowane w skali (0-3pkt) (1pkt za kalżdą poprawną odpowiedź cząptkową). Każde pytanie otwarte jest punktowane w skali ((}'2pkt). Warunkiem zaliczrerńa kolokwium jest zdobycie co najmniej 18 pkt w części teoretyczrrej (za.dania zamknięte) oraz co najmniej 12 pkt w części otwartej. W tabeli odpowiedzi na pytania zamknięte należy wpisywać (tylko raz!) odpowiedź w dane pole TAK lub NlE. Inne odpowie.lzi lub iń skróty będą traktowane ja&o odpowiedź błędna. §zczegóły punktacji i ocen są na stronie: http://math,uni,lodz.pl/ karpinw/index.php?go:AM3MaterialyPomocnicze

Pytąnia zamknięte

1. Niech

l(t) : (r(t),y(t),z(t))

będzie funkcją różniczkowalną dla ź > 0. Wówczas

T

^a)

^/'(r)

^opisuje wektor prędkości punktu materialnego w prze§trzeni, jeśli ruch tego punktu opi- sany jest funkcją

/.

Ń

^{b) punkt} poru§za się ruchem jednostajnym prostoliniowym,

N

^{c) szybkość punktu} materialnego wynosi zawsze

/5,

^j.Sti

^r(t) :

_a(t)

:

z(t)

:1.

2. Funkcja

f

^:

^{D c}

^IRn

-+R

jest dwukrotnie różniczkowalnawpunkcie

a€

IntD, ^jeśli

Ń

^a)

^/

posiada pochodną w purrkcie o.

1-

b) pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji

/

^są ciągłe w punkcie a.

1

c) nochodne czą,stkowe pierwszego rzędu funkcji

/

^są różniczkowalne w punkcie o.

3. Funkcja

/

^{: IR --+ IR' jest}

Ń

^a) klasy C'(m), jeśli dla ^pewnego

ź: L,2,,..frfunkcje f,

^{są klasy Cr(m).}

6i

^b) ciągł& w JD6, jeśli dla każdego

,i: _I,2,.

_{. . ,n, granica lim,+ro lo,(r)}

:0.

*

c) dwukrotnie różniczkowalna w punkcie 16, jeś}i

V/("o) :

(/i'(ro), lł@o),,. ^{. ,} ,lł,@o)).

4. Odwzorowaniem regularnym _"f , R2

+

R2 jest:

J-

^{a) każde} odwzorowanie dyfeomorficzne _.f : m2

-,

^IR2.

1

b) odwzorowanie .f ^{, R2 -+ lR.2 okreśIone wzorem:}

/(r, ,) :

(2r

- ^a,r

^{+ u).}

1

^{c) lcażde} odwzorowanie

/,

które jest lokalnie odwracalne w otoczeniu każdego punktu

r

€ ^IRz.

{b) Ń,l

Ńc)

{u*i,lł'al _L ć,l:[t"

I ^r, lulĄ ^J

!łł* ^ellĄ-lrx

Ń N Ń

{,

T-

i

r{

$l

Ń

N

5. Pochodne czą,stkowe pierwszego

rzędufunkcji f

^:

^{D c R'+lR} wpunkciea€ D

twotzą małierz w punkcie o.

tworzą wektor wymiaru n.

tworzą macierz Hessego o zerowym wyznaczniku,

6.

Odwzorowanie

f ^, D C Re -- m"

(dla dowolnych

k,n : 2,3,... ) jest

dwukrotnie róż- niczkowalne w punkcie o e IntD, ^jeśli:

a) macierz Jacobiego dla

/

jest macierzą symetryczną (zgodnie z tw. Schwałza).

b)

lim,-o

_f

(r):

_J@).

c)

/

jest ciągłe w punkcie ^a.

7. Jeśli

z:

_f

^(x,y)

jest funkcją dwóch zmiennych określoną na pewnym zbiorze

D C

^R2, to a) wykres

/

jest zbiorem punktów w IR3.

b) istnieje płaszczyzna styczna do wykresu

/

^{w punkcie a zbioru}

^D,

^{w którym}

/

^{jest r6zńczko-}

walna.

c) wykres

/

jest zbiorem zwartym, o ile

D

jest zbiorem zwartym.

8. Funkcja _"f ^: IR" -+

R

posiada minimum lokalne (niekoniecznie własciwe) w punkcie

a €

D1, jeśli

a)

/(r)

^<

/(a)

^{dla każdego}

r

z pewnego otoczenia punktu a.

b) _{/_} jest różniczkowalna w punkcie a i jej pochodna w punkcie a wynosi 0.

c) /

^jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie o

i

macierz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu w tym punkcie jest symetryczna.

9.Dowolnakulaw]R'ośrodkuwpelv]/nympunkcieiustalorrympromieniur>Ojestza-

W§ze

5| a) zbiorem wypukłym, o ile jest _zwarta,

r

^b) zbiorem zwartym, o ile jest domknięta ,,1 c) zbiorem nieograniczonym.

10. Jeśli

odwzorowanie

/ ^{: D} c Rk -*

lR" (dla dowolnych

l§,n :

2,3,. ..

) jest

^różniczko-

walne w punkcie a €

IntD,

^to:

N

I a) dla kazdego

j : !,.,. _,k

funkcja

fi

^,

^D

^_+ lR' jest różniczkowalna w punkcie o.

N

U;

aU

^każdego

ź: ^L,...

)n ^funkcja

li

^,

^D

^{--+ IR} jest różniczkowalna w punkcie o.

g.i c) wszystkie pochodne cząptkowe pierwszego rzędu dla

/

^{są funkcjami ciągłymi w punkcie o.}

Pytania otwarte

Zad. !.

^{Wgznacz i, narysuj} dzi,edzinę funkcji okreśIonej równani,em

f(r,,ń : fu*

^arcsin(g

^{- r}

^{+ 1),}

zad,.2.

zbad,aj, czy funkcja f

(r,u) : Iff, ^:i: 'ri,,'o'r!i1,1]. ^jest

^{ci,qgła w punkcże}

'$,fr§.ffi" ^ru( #)=Hń" 'ttlĘ?ao,, _b^<ł,ą ?--, C00) p$or, r_=',

Ą,,)N,,ł,IŁ

tto.{,ilą ^t[ć. ., ^t ]ih:##" ^#W i:'h

YH-i ^{=-1 u+,ń.q,} _{! 'd*t*} o^nloo,bde\

"

^u

_ĄsĘ.,ur,t (*ui,ł,

ółp,{,!ir .'' 1

u' ^us=' W= %*i-r,M

Zad. 3.

^Pod,aj wektor prłgśpieszeni,a punktu poruszajqcego ^si,ę po torze f ^(t)

:

(sin2ć2,

łtł.,lncosź)

w chwi,liźo

: 0.

^Ńetltot/

_Ff']ne'ot to,

1 ł:o ,* _łI

^(o\

_- ^(f _,[o) ,{"{ to)

^,

4rlro)

^,

-{,(u}łłuLłr; Ł'(t), 'Ńfur,colŁl,&

⁼

łtabŁl.,mŻb

ą^^tlA_,'til.]*

ilł:, J§*

^@.lŁl+

^{łt toil} ,l*,(ńi?-+ _Ęln,utt , bo,l'.(-dr,t!),łt

{*tt)-lTil , ^i.,(t)- ta {"'|Lt)=-t @ ^{,,l,u{o)= -t}

ł,łłYb*wt łitł): h,(-,'tł)---Tt ^{o'tt)= -ń+ _{{rł(o), -,|}

{tro)- (0 , 1n,-4)

Zad. 4.

Wyznacz,

o ile

i,stnieje, pochodnq kierunkouq w kierunku wektora

(-2,1)

w ^punkcie (0,0) dlo funkcjź f

@,a): \frz$.

łi,, _ho,o)= g\ t(orol*łcą,r) )- {oro

⁾ ₌

lół

Wo ^{łea lł)- o =lltł} Łżo ^t

J*"

b.rr _p7O- - ĘĘz

Ę- ^{lffił'l- fi=/u ,rglt<s} 'r"łuiBl.e

^.

. ^{Zad. 5.}

^Wyznacz ekstrema lokalne funkcji, f

(r,ń: rt4EiŻ.

l #i,trffi. ^rn")

^=o

^p_Ęe _lą1o,

^:

ft _=-,fu

IH,M*:Ix{--W ffi _h rJ"i]'""ff;='^1;

Pę : la.t -rf ,o

X4qtc

₁

n ł *w ^(oro)

//' p,arl,wLl-ąlłł,

łdunrPrrlo)=!.

Zad,.

6.

Wyznacz równwanźe stgcznej do wykresu fry,kcjź

f@,il ^:7r2 - 4a'ł

sin(rz +

a') ,

punkci,elyr) : _10,o). *itao '. ^{z-zs --} ffił,vo)(x-.")

^*

ffi(o,v.Xrr,) ^ó9

?oo _Ę(o ro)'O

ffi(r,#

ltłr+t",Gtt

fl.Lv ^o{G*), ą ł3+wG.*,ł).Ę

ftro, ^o)=o ffito,ą,o

³

rqry'Ąry.

JYóL ,vzTlzczlcowal'na,u _Dunkci,e

r :

0 ? Odpońedź uzasad,nij od,powied,nim,i, rachunkarnż,

/r; foĘjg/=liu^ ry-n ^=,łŁ Ę1:[p" @X'fi,?,ł 'rr; i ^hł 0 h ^hĘo lh--tFąffi

= r*hu^,

!t+ t-ł

-ń;, 16m ⁼ f"t &ł, k ^{fu, = Q,} :j'"1j,'|o')-o 'q'.0.)= ^{\xrt l l=} llt{ _,

"Pl,r* ń,^,r,rr*, ^o l {r'(r)" z, ^-[,to)*o

^.

$hol. _Ę'to )- (o _lo )

^]

Zad,,7.Czyfunkcjazm,iennejrzeczywi,stejowartośc,iachwektorowychf(x)_#,,"#

jest różnźczkowalna.w punkci,e

r:0

? odnouiertź lp-n.sn.dnó,i ndnao,,in,f^;*: _^^^L .-l

Zad' 8'

WYznacz

uzór

TaYlora

z

Pochod,nymi, do rzęd,u'd,rugi,ego włqcznie

z

resztq w postac,i Peano d,la funkcji f

(x,ń: _{lnr * a}

_w punkci,e (1,0).

{

^[

^r,o)= llllł o.o

ffi,j1-1 *t,lo)=ł

ffi,fi=l ^frct,.o).l

#r",J)=-h ffi,pl=-l

f(1,9)=

frł,o) ł fi,kĄkr l3")'łr ^{1,o) r}

r

ł, ^{(Cr-ł)Ę. TĄ)} '(tt,o) *'Pr 0,5)=

= 0,h,[ _0-Ą./

^*

J Ą ^* ł,. ł,. ^{(Gr) (8-')L.Ą L,Ą * + A(xr)g ,O ,1}

Q, (r,9 ) =

^x-Ą+

_! ^- I.( _{,,- zrł 4)} t ^{P. (n,3)} -

'u)

Zad. 10.

Wyznacz zbi,ór wartości, funkcji,

l(r,a): lffi',f.

De , Ą-x"ttu\ żlO

.1'' ^{>l Xz -Ą}

ńłi. r2-4lOe> ^xe(-t

,Ą)

->

^{vlel1^,}

\łęłi' _*r-lrrgu, x,e(-.,jł>"Ź,i") - _ożvfi-u? ^{{ag 9 ś- rŃ "'}

@ lłbłure. Duo xollg=o.,_ fu{t," rtl.-1e ^u,o,łpłco,

Ę (ątboę,dłn q7=l"-ą)

ągunil1. f.Ą'o |&,Ą>l0 ^,dLA Gt"}eDę i ^ute yol oywł,"*(},gwL fu

d*t,* ^f WŁ*9)-

WyrB:§ą=& (w#W_*

!-)- ' ⁾

\