Pytania zamknięte

Imię

i

nazwisko Numer indeksu Studia stacjonarne, specjalność

Kolokwium z AM3 - termin 1,

]_8

stycznia

2018

Uwaga. Kaźde pytanie zamknięte jest punktowane w skali (0-3pkt) (1pkt za kźdą poprawną odpowiedź czą,stkową). Kazde pytanie otwarte jest punktowane w skali (0-2pkt). Warunkiem zaliczenia kolokwium jest zdobycie co najmniej 18 pkt w części teoretycznej (zadania zamknięte) oraz co najmniej 12 pkt w części otwartej. W tabeli odpowiedzi na pytania zamknięte należy wpisyvać (tylko raz!) odpowiedź w dane po\e TAK lub Nl.E. Inne odpowiedzi lub ich skróty będą traktowane jako odpowied.ź błędna. Szczegóły punktacji i ocen są na stronie: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw/index.php?go:AM3MaterialyPomocnicze

Pytania zamknięte

1. Niech f (t)

- (r(t),y(t),z(t))będzie

funkcją różniczkowalną dla

'

> 0, Wówczas

a) f" (t) opisuje wektor plzyspieszenia punktu materialnego v/ przestTzeni)jeśli ruch tego punktu opisany jest funkcją

/.

b) szybkość punktu materialnego wynosi zawsze 1, jeśli

r(t) :

_a(t)

:

_z(t)

:1.

c) punkt porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli

r(t) :

_a(t)

:

_z(t)

:2.

2. Jeśli dla

pewnego

punktu

(ro,ao) zachadzi f'(,ru,at:)

:0 _dla

funkcji

/

^{dwóch zmiennych}

o wartościach rzeczywistych różniczkowalnej w punkcie (16,96), to a) ^(ro,yo) jest punklem krytycznym dla

/.

b)

V/(r6,

uo)(h"r,hz)

:0

_dla dowonego wektora h

: (łr,

hz) e ^m2.

c) w _Prrnkcie (rO,au,f(rt:,Eo)) płaszczyzna styczna do powierzchni określonej równaniem

z -

f @,u) jest nachylona pod kątem

0'

do płaszczyzny

Ory.

3. JeŚli

f

_'

^D

^{--+ R} jest funkcją

n-zmiennychp-

krotnie różniczkowalną

wpunkcie

a

€IntD

i

Ę

jest wielomianem Taylora rzędu p funkcji

/

^{w tym punkcie, to:}

a)

Tr(ą,.

^.

.,

rn)

: _f(a) - ^{Dl:r* (tr,} - a)#+

^{. . . +}

^(r, - oł*)* _rOl.

$ ^r,@):

^{f (a).}

c)

Tl(ą,rr):

_f (a)

- ^{(*r- or)#(o)} - (rr- ^az)ff(a)

^{dla n}

:2 ip:L

4. Niech _||x|| oznacza normę elementu "t.€ ^]Rn. Wtedy:

a) ||rll: ^(r,r)

^{dla każdego}

r

€ ^]Rn,

b)

_||ar||

:

ol|r|| dta dowolnegoh

r

€ ^]R i pewnych

a

€ ^]Rn,

c) zbiór

{r

^e

m.', llrll )

^r,} jest ograniczony v/

R'

^{(r, jest pewną} stałą dodatnią),

odp. a b ^(,

Pkt

odp. a b c

Pkt

Zad,.

Pkt

Zad. Pkt.

Pyt.1

T Ń N

^{Pyt.6 I}

N t

^Zad.1

^Zad.6

Pyr.2

T T f

^Pyt.7

^{N M} r ^{Zad,2 Zad.7}

Pyt.3

Ń t.

^{r\{ Pyt.8} I\f

Ń T ^{Zad,3 Zad.8}

Pyt.4

N Ń N

^Pyt,9

T ^M T ^{Zad.4 Zad,9}

Pyt.5

N r ^N

^Pyt.10

^{N N}

^,

Zad.5

Zad,

l0

Suma Suma Ocena

5. Pochodnecząstkowe drugiegorzędufunkcji

f

^:

^{D c} ]R.'--+IR.wpunkcieaęD

a) tworzą macierz symetryczną w punckie a (zgodnie

z

tw. Schwarza).

b) tworzą macierz wymiaru

n x

n.

c) tworzą macierz Hessego o niezerowym wyznaczniku.

6.

Niech

D C

R.'będziezbiorem otwartym,

f

^:

^D

^--+ m.'- klasy

C!,u € D.

Wtedy a)

/

jest różniczkowalna w punkcie ri,.

b)/,U--+VjestregularnedladowolnegootoczeniaUcDpunkturi,idowolnegootoczenia1/

punktu /(a).

c)

/

^jest dyfeomorflzmem

D

_{na f (D),} ^jeśli

/

^,.

D

^{--+ IR.' jest} różnowartościowe i regularne.

7. Jakobianem nazyv/amy

a) macierz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu odwzorowania

/

^{: R'--+ ]R'.}

b) wyznacznik macierzy Jacobiego odwzorowania

f

^{: ]R.A --+ m.'} dla n + ^k.

c) wyznacznik macierzy pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu odwzorowania

/

^:

^n"

^{--+ IR'.}

8.

F\rnkcja ,/ ^{, IR2 ---+ ]R.} jest rożniczkowalna, jeśli a)

/

^{jest ciągła w} kbżdym punkcie swojej dziedziny.

b) posiada pochodne kierunkowe w dowolnym punkcie należącym do dziedziny we wszystkich kierunkach.

c) istnieją wszystkie pochodne pierwszego rzędu tej funkcji

i

są ciągłe.

9.

Warunkiem koniec znym dwukrotnei różniczkowalności funkcji

/

^{wielu zmiennych w punk-}

cie 16 € R" ^jest,:

a) jednokrotna różniczkowalność tej funkcji w punkcie rg.

b) istnienie i równość wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu tej funkcji w punkcie

ili6,

c) istnienie i ciągłość wszystkich pochdnych cząstkowych pierwszego rzędu tej funkcji w otocz+

niu punklu 16.

10. Odwzorowanie

f ^{:U --}

^{I/ jest} dyfeomorfizmem klasy C2 zbioru

U naV,

^jeśIi:

a) Lr

_ _V :

]R2,

f(*,a) :

(r2

-

^a2,2ra).

b)

U: _{{(r,ę): r}

>0,-,IT

<ę

<7r}

c

^R2,

Y:R2\{(r,0) :r<0}, f(r,ę):(rcosę,rsinp).

c)U - (0,-)x(-n.n)x(-oo,tm) c R3,7:

m3\{(r,

O,z):,

< 0}, f

(r,ę,z):

(r,cosę,r,sinę,z).

Pytania otwarte

Zad.

^'l,. I{arysuj zbi,ór punktów płaszczyzny będqcy dzledzl,nq funkcji, f

(r,a):

arc

sinfr-r.

Czy jest _{to zbtór}

zwańy?

Wyznacz jego wnętrze, domknięcte t, brzeg (zapi,sz w formie ^zbi,oru),

-łt _{*_t4} ^ńŁ iw+ oluso.lhl $ni ^ńe iu|

o{,h^,Y%, ą, ^;łe Wyąr,oĄ -12-{§rśł+,l

s-

Zad.3.

Zbadaj, czy zbi,órpunktów postaci,

* +a2 _ ₄

waznacz7, poz,lomtcę funkcj,if

(*,a) :

arctg(4

-

¹²

-

^{y2). Jeśll tak, to} narlqsuj tę poztomźcę

u

^R3.

Tryq Yr

^v,b\du

r^r"Jr!e' )0łź. Wóye W p^rtr.i"*f WulM,,

,r+ ' _{g,łhi |{r,4)=c (q-xt -,4)=c} ^{Ł -,.o,ł} _j

u _Q-rt

1, ^=Ęc ?,*,W

ł

-r' ^{r4' .{oqc}

u -%", ^fztlr, ł

_|elJU;

Cą _)ta

MĘcĄp."z"Łrdw h,,,ą"pń:ą słąu,ĄĄtnŁ ,o{'5I ?W,

Zbadaj. czy'tsl,nieje pochodna cżqsłkow'a

fuńcji f@iil :

_VTT-|.,-f w punkcźd, ^0u

pi

(0,0)0t,{ .

x?tvnY

L ?tl

uLr}v

Ę6Ł rluĄrłłów Flanląia" Nęą*rlc

¹

Zad. 4.

Zbadaj. czy'lsl,nieje pochodna cŻqsłkow'a

fuńcji

względem zmiennej y.

0n Ko,o)*łeł) *łcord

= ^Uy,ł

Ężo ł ^{L->o =,Q{} _{L-)o t} 'Ę=hn?=t"

+?o

t*"ry1Taj9lq.ty_ĘW,ńfu ^{xl _}

^{fu? tnr}

^-lłł1

i ryr.'r,o]_Ęó&fu ąŃ,i#

=liĄ

Zad. 5.

Wyznaczyć uartość,m, dla której funkcja

f ^jest

^{ci,qgła, jeśli}

dla (r,y) l Q,0)

dla (r,9) :

(0,0)

(r.1);to,c,)ffiffi _elw

^{^}

clltp*r_oro) l '' )' lvlvr ^{1t' l'|} Iwl

^r

ly7, ą,lW

u$"tf,ńj'-*ffi ^{łtwl -' qbL wt,h} _wp|ą#e.

Zad. 6.

Wyznaczyć zblór wańości funkcji f

(r,a, Ą : +fu.

Odpowi,ed,ź uzasad,ntj.

eł{łdŚuł ((r,,1lł\vo (*Lg,ą W V,Ątw[ą,h) ry ^dlx

*p. [ol1,*) _omt{

^,

yutłłł (1,ł)+co,o) ry ^{ęĆo,il ł)- O , '}

#*' ^{ś t ,6} xirń"yta,u;*wńvu,Yą*'YY,

Y'^ł Y"'ą-db" ^0,oto) ry PCł,olo)=1 ąa ^{L, ł ąPatx Ę}

Zad. 7.

Wyznacz

d'f

^(I,0)(hr,

h),

^jeśli, _f

(r,ń:

ęre9

t l

t

e\@[= _?ą'6 ²⁴ _?,r

l*u !łąo

=hn lą-\ _3rą +{Qrł'u6n-ś' € ń.a ll,u*v"ł§ ^*bvlł _{5n t}

^{y, b-}

{-5-u:F _Vl fil _{2dcJ,ą =} -ż*-| 6 W u=

Zad. 9.

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji, f

(r,a) :

12

ł a' - ^,a - ^{2r *}

^U.

(?ą, -D.

[

-ą*tl,u= ^Ąt +1" ą-|,--1

^?

x- --- ^?

I!-o lx=l

* ^U,).,Ą

@§t,t - /'

#*,9)=x,

Zad.

1,0. Wyznacz szybkość kulk,l wystrzelonej z proca

w

pi,el,wszej sekund,zi,e lotu,

jeśli

poru-

sza

si,ę ona wzdłuż krzywej (zależnej od czasu

t w

sekundach) określonej równaniem

f(t) _

(In(t2),

r/tzE,zt.;.

ł'(ą :( t, ^{e a)}

ł'(n)= (x, fu ^{(łrl, Ą= ( ł,} t)

, (k*rt')

_,

Ll ?IiJ

^I

ll

ł'( ^r)} - _,G/ *rą' _'vil''

Y

*n (*,r), !ł-1-?-

§f tr,r.Ą ^-trłl

śF-