Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1.

Wioletta Karpińska

Semestr letni 2015/2016

Bibliografia

[1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/^∼wbanasz/AM3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Wydawnictwo Naukowe PWN, War-

szawa 2002.

[3] Filipczak F. M., Teoria miary i całki (skrypt).

[4] Kołodziej W., Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 1980.

[5] Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej. PWN, Warszawa 1982.

[6] Musielak J., Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN, Warszawa 1976.

[7] Prus S., Stachura A., Analiza funkcjonalna w zadaniach.. PWN, Warszawa 2007.

[8] Rusinek J., Zadania z analizy funkcjonalnej z rozwiązaniami. Wyd. Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego, 2006.

1 Przypomnienie wiadomości o przestrzeniach liniowych

W dalszej części zakładać będziemy, że _X jest dowolnym niepustym zbiorem (nazwiemy go przestrzenią), a

Kniech będzie niepustym zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych.

1.1 Przestrzenie liniowe

Definicja 1.1.

Załóżmy, że są określone dwa działania: dodawanie + : X× X → X i mnożenie przez liczbę · :K× X → X, spełniające następujące warunki (przy dowolnych x, y, z∈ X, α, β ∈K):

1. x + y = y + x (przemienność dodawania), 2. x + (y + z) = (x + y) + z (łączność dodawania),

3. istnieje takie element zerowy θ ∈ X, że dla każdego x ∈ X, x + θ = x,

4. jeżeli θ spełnia poprzedni warunek, to dlakażdego x ∈ X istnieje element przeciwny −x ∈ X taki, że x + (−x) = θ,

5. α(x + y) = αx + αy (rozdzielność mnożenia względem dodawania elementów), 6. (α + β)x = αx + βx (rozdzielność mnożeniz względem dodawania liczb), 7. α(βx) = (αβ)x (łączność mnożenia),

8. 1· x = x.

Wtedy zbiór X z działaniami + i · nazywamy przestrzenia liniową (wektorową) rzeczywistą lub zespoloną (w zależności od tego, czyK jest zbiorem liczb rzeczywistych, czy zespolonych) i oznaczamy symbolem X, +, ·.

Przykład 1. Przykłady przestrzeni liniowych (wektorowych):

• X =Kⁿ - zbiór wektorów (punktów) n-wymiarowych, tzn. elementów x = (t₁, t₂, t₃, . . . , t_n), gdzie t1, t2, . . . , tn ∈K, z działaniami:

x + y := (t₁+ s₁, t₂+ s₂, . . . , t_n+ s_n), αx := (αt₁, αt₂, . . . , αt_n) dla x = (t₁, t₂, t₃, . . . , t_n), y = (s₁, s₂, . . . , s_n)∈Kⁿ, α∈K.

Elementem zerowym jest θ := (0, 0, . . . , 0), a elementem przeciwnym do x jest−x := (−t1,−t2, . . . ,−tn).

• X =K^∞ - zbiór ciągów x = (t_k)^∞_k=1, gdzie t_k ∈K, z działaniami:

x + y := (t_k+ s_k)^∞_k=1, αx := (αt_k)^∞_k=1 dla x = (tk)^∞_k=1, y = (sk)^∞_k=1, α∈K.

Elementem zerowym jest θ := (0)^∞_k+1, a elementem przeciwnym do x jest −x := (−tk)^∞_k=1.

• X =K^Ω - zbiór funkcji określonych w dowolnym zbiorze niepustym Ω o wartościach z _K, tzn: f : Ω→K, przy czym, jeśli f, g ∈K^Ω, α∈K, to określamy działania:

(f + g)(t) := f (t) + g(t), (αf )(t) := αf (t) dla t∈ Ω.

Elementem zerowym jest funkcja tożsamościowo równa zero, a elementem przeciwnym do f jest −f.

• X = M(m × n,K) - zbiór macierzy o m wierszach i n kolumnach o wyrazach rzeczywistych lub ze- spolonych, z naturalnymi działaniami na macierzach, tzn. dla α ∈ ^K oraz dla x = [α_ij]i=1..m,j=1..n i y = [β_ij]i=1..m,j=1..n, gdzie

[α_ij]i=1..m,j=1..n:=









α11 . . . α1n

. . . . α_m1 . . . α_mn







 i [β_ij]i=1..m,j=1..n:=









β11 . . . β1n

. . . . β_m1 . . . β_mn









określamy

x + y := [α_ij]i=1..m,j=1..n+ [β_ij]i=1..m,j=1..n=









α₁₁+ β₁₁ . . . α_1n+ β_1n . . . .

α_m1+ β_m1 . . . α_mn+ β_mn









oraz αx := α[α_ij]i=1..m,j=1..m=









αα₁₁ . . . αα_1n . . . . ααm1 . . . ααmn







.

Elementem zerowym θ jest macierz, której elementami sa same zera, a elementem przeciwnym do x jest−x := [−αij]i=1..m,j=1..n.

Definicja 1.2.

Jeśli X, +, · jest przestrzenią liniową (wektorową), to niepusty podzbiór X0 ⊂ X nazywamy jej podprze- strzenią liniową, gdy X0, +,· jest przestrzenią liniową.

Z definicji tej wynika natychmiast twierdzenie:

Twierdzenie 1.1.

Niech X, +, · będzie przestrzenią linową (wektorową). Niepusty podzbiór X0 ⊂ X jest jej podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla x, y∈ X0 i α∈K mamy x + y∈ X0 i αx∈ X0.

Uwaga 1.

Warunek: dla x, y ∈ X0 i α∈K mamy x + y∈ X0 i αx∈ X0 można zastąpić następującym:

dla x, y∈ X0 i α, β∈^K mamy αx + βy∈ X0.

Przykład 2. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) ciągowych:

• X = K^∞, X₀ = c₀₀ - przestrzeń ciągów skończonych, tzn. x ∈ c00, jeśli x = (t_k)^∞_k=1, gdzie t_k ∈ K, przy czym tylko skończona ilość tk jest niezerowa.

• X = K^∞, X₀ = m - przestrzeń ciągów ograniczonych, tzn. x ∈ m, jeśli x = (tk)^∞_k=1, gdzie t_k ∈ K, przy czym sup_k=1..∞|tk| < ∞.

• X = K^∞, X₀ = c - przestrzeń ciągów zbieżnych, tzn. x ∈ c, jeśli x = (tk)^∞_k=1, gdzie t_k ∈ K, przy czym lim_k→∞tk = t0 dla pewnego t0 ∈K.

• X =K^∞, X₀ = c₀ - przestrzeń ciągów zbieżnych do zera, tzn. x∈ c0, jeśli x = (t_k)^∞_k=1, gdzie t_k ∈ K, przy czym lim_k→∞t_k = 0.

• X = K^∞, X₀ = l - przestrzeń ciągów sumowalnych, tzn. x ∈ l, jeśli x = (tk)^∞_k=1, gdzie t_k ∈ K, przy czym

_∞

k=1|tk| < ∞.

Łatwo zauważyć następującą zależność:

c₀₀⊂ l ⊂ c0 ⊂ c ⊂ m ⊂K^∞.

Przykład 3. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) funkcyjnych:

• X = K^Ω, gdzie Ω = [a, b] ⊂ R, X₀ = B([a, b],_K) - przestrzeń funkcji ograniczonych, tzn. x ∈ B([a, b],K), jeśli sup_t∈[a,b]|x(t)| < ∞.

• X =K^Ω, gdzie Ω = [a, b]⊂R, X0 = C([a, b],K) - przestrzeń funkcji ciągłych na [a, b].

Łatwo zauważyć następującą zależność:

C([a, b],_K)⊂ B([a, b],K)⊂K^[a,b]. Definicja 1.3.

Elementy x1, x2, . . . , xn przestrzeni wektorowej X, +, · nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją takie liczby α₁, α₂, . . . , α_n∈K nie wszystkie równe zero, że zachodzi równość

α₁x₁+ α₂x₂+· · · αnx_n = θ. (1)

Jeśli przeciwnie, z (1) wynika, że α1 = α2 = . . . = αn = 0, to elementy x1, x2, . . . xn nazywamy liniowo niezależnymi.

Definicja 1.4.

Największą liczbę całkowitą nieujemną n o tej własności, że istnieje n elementów liniowo niezależnych w

X, +, · nazywamy wymiarem przestrzeni X, +, · i oznaczamy symbolem dimX.

Jeśli taka liczba n istnieje, to przestrzeń nazywamy skończenie wymiarową, a jeśli nie istnieje, to przestrzeń

nazywamy nieskończenie wymiarową i piszemy dimX =∞.

Jeśli dimX = n, to każdy zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy bazą przestrzeni liniowej X, +, ·.

Twierdzenie 1.2.

Jeśli niepusty zbiór B ⊂ X jest bazą przestrzeni X, +, ·, to każdy wektor przestrzeni daje się w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru B.

Definicja 1.5.

Jeśli bazę w przestrzeni skończenie wymiarowej tworzą elementy e₁, e₂, . . . , e_n, to na podstawie poprzedniego twierdzenia każdy wektor x∈ X można zapisać jako:

x = t₁e₁+ t₂e₂+· · · + tne_n.

Układ (e₁, e₂, . . . , e_n) nazywamy bazą algebraiczną tej przestrzeni, a liczby t₁, t₂, . . . , t_n nazywamy współrzęd- nymi elementu x względem tej bazy.

Przykład 4.

Dla każdego k = 1, . . . , n niech e_k ∈^Kn oznacza wektor jednostkowy, tzn.

e₁ = (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e₂ = (0, 1, 0, . . . , 0, 0), . . . , e_n= (0, 0, 0, . . . 0, 1).

Wektory te są oczywiście liniowo niezależne i tworzą bazę algebraiczną przestrzeni Kⁿ. Bazę tę nazywamy bazą kanoniczną.

Wtedy każdy wektor x = (t₁, t₂, . . . , t_n)∈Kⁿ można zapisać jako x = t₁e₁+ t₂e₂+· · · + tne_n =

n k=1

t_ke_k

w sposób jednoznaczny, przy czym liczby t₁, t₂, . . . , t_n są współrzędnymi elementu x względem bazy kano- nicznej.

Przykład 5.

Rozważmy przestrzeń liniową X, +, · z X =K^∞, którą tworzą ciągi nieskończone x = (t_k)^∞_k=1 liczb rzeczy- wistych bądź zespolonych. Taka przestrzeń liniowa jest nieskończenie wymiarowa, bo elementy

e₁ = (1, 0, 0, . . . ), e₂ = (0, 1, 0, . . . ), . . . , e₃ = (0, 0, 1, . . . )., . . .

są liniowo niezależne, tzn. układ e₁, e₂, . . . , e_m jest liniowo niezależny dla każdego naturalnego m.

Wtedy każdy wektor (ciąg) x = (t_k)^∞_k=1 ∈^K∞ można zapisać jako x = t₁e₁+ t₂e₂ +· · · = ^∞

k=1

t_ke_k w sposób jednoznaczny.

Definicja 1.6.

Niech X1, X2 będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej X, +, ·. Jeżeli każdy element x ∈ X daje się jednoznacznie pzredstawić w postaci

x = x₁+ x₂, gdzie x₁ ∈ X1, x₂ ∈ X2, (2) to mówimy, że X jest sumą prostą podprzestrzeni X₁ i X₂ i zapisujemy X = X₁⊕ X2.

Twierdzenie 1.3.

Jeżeli X = X₁ ⊕ X2, to podprzestrzenie X₁ i X₂ mają wspólny jedynie element zerowy. Na odwrót, jeśli każdy element x ma rozkład (2) i podprzestrzenie X1 i X2 nie mają elementów wspólnych, prócz zerowego, to X = X₁⊕ X2.

Dowód.

Dla dowodu pierwszej części przypuśćmy, że istnieje element x₀ = θ należący do obu podprzestrzeni X1 i X₂. Wtedy x o przedstawieniu (2) dałby się również zapisać w postaci

x = (x₁− x0) + (x₀+ x₂) i x₁ − x0 ∈ X1, x₀+ x₂ ∈ X2, x₁− x0 = x1, x₀+ x₂ = x2, co jest wbrew założonej jednoznaczności takiego przedstawienia.

Dla dowodu drugiej części wystarczy sprawdzić jednoznaczność przedstawienia (2). Niech więc x = x^₁+ x^₂ = x^₁ + x^₂, gdzie x₁^, x^₁ ∈ X1, x^₂, x^₂ ∈ X2.

Wtedy x^₁−x^₁ = x^₂−x^₂, ale x^₁−x^₁ ∈ X1 i x^₂−x^₂ ∈ X2, więc x^₁−x^₁ = x^₂−x^₂ = θ (bo jedynym wspólnym elementem jest zero). Stąd x^₁ = x^₁ i x^₂ = x^₂.

W dalszej części wykładu dla uproszczenia zapisu będziemy często pisać, że X jest przestrzenią liniową, zamiast X, +, ·.

1.2 Operatory liniowe

Definicja 1.7.

Niech X, Y będą przestrzeniami wektorowymi (liniowymi) nad ciałem _Kliczb rzeczywistych lub zespolonych.

Odwzorowanie T : X → Y nazywamy operatorem liniowym (odwzorowaniem liniowym), jeśli T (x₁+ x₂) = T (x₁) + T (x₂),

T (αx) = αT (x) dla dowolnych x1, x2 ∈ X i α ∈K.

Jeżeli Y =K, to operator liniowy T : X →K nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Przy operatorach liniowych będziemy często pisali T x zamiast T (x).

Uwaga 2.

Warunki addytywności i jednorodności w definicji operatora liniowego można zastąpić jednym:

T (αx₁+ βx₂) = αT (x₁) + βT (x₂) dla dowolnych x₁, x₂ ∈ X i α, β ∈K.

Podstawowe operatory analizy matematycznej, jak operator obliczania granicy ciągu, sumowania szeregu, różniczkowania i całkowania funkcji, to przykłady operatorów liniowych lub funkcjonałów liniowych.

Przykład 6. Przykłady operatorów liniowych.

• Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : c → K

będzie określone następująco:

T (x) = lim

k→∞t_k dla x = (t_k)^∞_k=1 ∈ c.

Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności granicy ciągu.

• Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnych o wyrazach z ciałaK, Y =K. Niech dalej T : l→K

będzie określone następująco:

T (x) =

∞ k=1

t_k dla x = (t_k)^∞_k=1 ∈ l.

Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności sum nieskończonych.

Istotnie:

T (x1+ x2) =

∞ k=1

(t^_k+ t^_k) =

∞ k=1

t^_k+

∞ k=1

t^_k = T x1+ tx2

oraz

T (αx) =

∞ k=1

αt_k= α

∞ k=1

t_k= αT x, dla x = (t_k)^∞_k=1, x₁ = (t^_k)_k=1^∞ , x₂ = (t^_k)^∞_k=1, α ∈K.

• Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂ R → K różniczkowalnych w [a, b], a Y = K^[a,b]. Wtedy T x = x^, gdzie x^ jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y (na podstawie własności różniczkowania).

• Niech X będzie przestrzenią funkcji x : [a, b] ⊂ R → R całkowalnych na [a, b], a Y = R. Wtedy T x =

[a,b]x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y na podstawie własności całki.

Twierdzenie 1.4.

Każdy operator liniowy T : Kⁿ → K^m, gdzie K jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci T x = y, gdzie

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂+ . . . + a_1nx_n, y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂+ . . . + a_2nx_n, . . . ,

ym = am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn,

(3)

przy czym x = (x₁, x₂, . . . , x_n), y = (y₁, y₂, . . . , y_m), a_ik ∈K. Na odwrót, każdy operator T :Kⁿ →K^m postaci (3) jest liniowy.

Dowód.

Niech e₁ = (1, 0, . . . , 0), e₂ = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e_n = (0, 0, . . . , 1) będzie bazą w _Kⁿ oraz niech e^₁ = (1, 0, . . . , 0), e^₂ = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e^_m = (0, 0, . . . , 1) będzie bazą w _K^m. Ponieważ T e_k ∈ K^m dla k = 1, 2, . . . , n, więc istnieją takie a_ik ∈K, że T e_k =^m_i=1a_ike^_i (bo daje się przedstawić jako kombinacja liniowa elementów bazy K^m.

Weźmy x = (x1, x2, . . . , xn) i przypuśćmy, że T x = y = (y1, y2, . . . , ym). Wtedy

m i=1

y_ie^_i = y = T x = T

_n



k=1

x_ke_k

=

n k=1

x_kT e_k=

n k=1

x_k

m i=1

a_ike^_i =

m i=1

_n



k=1

a_ikx_k

e^_i. Stąd y_i =^n_k=1a_ikx_k dla i = 1, 2, . . . , m, czyli zachodzi (3).

Na odwrót, gdy T x = y, gdzie x i y są związane równościami (3), to jest widoczne, że T jest operatorem liniowym.

Wniosek 1.1.

Każdy funkcjonał liniowy T nad przestrzenią _Kⁿ, gdzie _K jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci

T x = a₁x₁+ a₂x₂+ . . . + a_nx_n,

gdzie x = (x₁, x₂, . . . , x_n), a_k∈Kdla k = 1, 2, . . . , n. Na odwrót, każdy funkcjonał wymienionej postaci jest liniowy.

Twierdzenie 1.5.

Jeżeli T : X → Y , gdzie X, Y są przestrzeniami liniowymi, to T θX = θY oraz obraz T X przestrzeni X w przestrzeni Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y .

Dowód.

Mamy T θ_X = T (θ_x+ θ_X) = T θ_X + T θ_X = 2T θ_X, więc T θ_X = θ_Y.

Niech teraz y, y₁, y₂ ∈ T X, a α ∈ K. Wtedy istnieją takie x, x₁, x₂ ∈ X, że y = T x, y1 = T x₁, y₂ = T x₂. Zatem y1 + y2 = T x1 + T x2 = T (x1 + x2) ∈ T X i αy = αT x = T (αx) ∈ T X, co dowodzi, że T X jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y .

Twierdzenie 1.6.

Jeżeli T : X → Y , gdzie X, Y są przestrzeniami liniowymi, to T jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy T x = θ implikuje x = θ (są to oczywiście elementy zerowe odpowiednich przestrzeni).

Dowód.

Przypomnijmy, że z definicji różnowartościowości mamy dla dowolnych x1, x2 ∈ X T x₁ = T x₂ implikuje x₁ = x₂,

czyli

T x1− T x2 = θ implikuje x1− x2 = θ, T (x₁− x2) = θ implikuje x₁− x2 = θ.

Jest to równoważne warunkowi twierdzenia.

Przypomnijmy teraz, że jądrem odwzorowania liniowego T : X → Y nazywamy przeciwobraz zera i oznaczamy symbolem kerT , czyli

kerT ={x ∈ X : T x = θ} .

W świetle ostatniego twierdzenia można teraz powiedzieć, że operator T jest różnowartościowy, gdy jego jądro zawiera tylko wektor zerowy.

Jeśli więc operator T ma jądro z elementem zerowym tylko i jest ponadto odwzorwaniem surjektywnym, to jest odwracalny. Można wykazać, że jeśli T jest liniowy, to operator odwrotny do niego T⁻¹ też jest liniowy.

W zbiorze wszystkich operatorów liniowych T : X → Y można wprowadzić działania algebraiczne. Sumę T + S dwóch oepratorów T i S określamy równością

(T + S)x := T x + Sx, a iloczyn αT operatora T przez liczbę α - równością:

(αT )x := αT x.

W wyniku tych działań otrzymujemy również operatory liniowe. Ponadto nietrudno sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej, czyli rozważany zbiór jest przestrzenią wektorową, w której elementem zerowym jest operator tożsamościowo równy zero.

Przestrzeń liniową operatorów liniowych T : X → Y oznaczamy symbolem L(X, Y ).