NAPRĘŻENIOWA CHARAKTERYSTYKA ZMĘCZENIOWA DLA ZAKRESU MAŁEJ I DUŻEJ LICZBY CYKLI
Andrzej Kurek
1a, Anna Kulesa
1b, Tadeusz Łagoda
1c1Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Opolska
aa.kurek@po.opole.pl, ba.kulesa@po.opole.pl, ct.lagoda@po.opole.pl
Streszczenie
W pracy przedstawiono propozycję modelu naprężeniowej charakterystyki zmęczeniowej przeznaczonej do opisu badań z zakresu niskiej i wysokiej liczby cykli.Proponowane rozwiązanie uwzględnia często zauważany w praktyce fakt, że charakterystyka zmęczeniowa dla większości materiałów nie przyjmuje, w układzie podwójnie logaryt- micznym, kształtu linii prostej lecz przypomina raczej pochyloną literę S. W pracy wykorzystano proponowany model do wyznaczenia charakterystyk stali z trzech podstawowych grup tj. niskostopowych, wysokostopowych i niestopowych.
Słowa kluczowe: zmęczenie materiału, charakterystyka zmęczeniowa, badania niskocyklowe.
STRESS LIFE CURVE FOR LOW AND HIGH CYCLE FATIGUE
Summary
This paper proposes a model of stress life curve intended to describe research in low and high number of cycles.
The proposed solution takes into account, often noticed in practice, the fact that the fatigue life curves of most materials do not take, in a double logarithmic system, the shape of a straight line, but are more like a tilted letter S. The study was based on the proposed model to determine the stress life curves of the steel of the three main groups: low-alloy steels, high-alloy steels, unalloyed steels.
Keywords: Fatigue life, low cycle fatigue, stress life curve.
1. WSTĘP
Zmęczenie materiału jest zjawiskiem powstającym w wyniku oddziaływania na materiał zmiennych w czasie obciążeń i powstających w ich efekcie zmien- nych naprężeń. Ze zjawiskiem zmęczenia mamy do czynienia wówczas, gdy pod wpływem tych zmiennych obciążeń lub naprężeń zmieniają się własności materia- łu, pojawiają się uszkodzenia lub pęknięcia. Zmęczenie materiału jest zjawiskiem niebezpiecznym, gdyż przy obciążeniach nie przekraczających granicy plastyczności dochodzi do zmniejszenia wytrzymałości lub nawet zniszczenia materiału. Zazwyczaj następuje to niespo- dziewanie, przy znacznie mniejszych od wytrzymałości doraźnej naprężeniach, i dlatego też może stwarzać zagrożenie dla bezpieczeństwa zarówno maszyn, jak i człowieka. Powszechnie wiadome jest, iż ogromna
większość zniszczeń powstających w trakcie eksploatacji ma charakter zmęczeniowy. Z tego względu niezwykle istotne jest obliczenie czasu lub wielkości maksymalnego naprężenia, przy którym zniszczenie nie nastąpi.
Przebieg obciążenia oddziaływającego na dany mate- riał może mieć charakter przypadkowy lub też może wykazywać pewną powtarzalność i wtedy określamy go cyklicznym. Jego szczególnym przypadkiem jest obciąże- nie sinusoidalnie zmienne i na bazie tego rodzaju obcią- żenia przyjęto wyznaczać zmęczeniowe własności mate- riałów bądź elementów konstrukcyjnych. Procesy zmę- czeniowe powinno się uwzględniać zawsze w przypadku maszyn poddanych cyklicznym obciążeniom, zwłaszcza jeśli od poprawności ich działania zależy zdrowie lub życie człowieka, a więc w takich dziedzinach przemysłu
jak lotnictwo (elementy turbin), transport samochodowy (elementy silnika) czy też energetyka (kotły, rurociągi).
Z punktu widzenia wyznaczania wytrzymałości zmę- czeniowej istotne znaczenie ma znajomość charaktery- styk zmęczeniowych. W celu ich wyznaczenia, zbadania materiału pod kątem trwałości zmęczeniowej, przepro- wadza się w laboratoriach badania cykliczne na prób- kach. Wyróżnia się rodzajów charakterystyk, z których najbardziej powszechne to charakterystyki naprężeniowe (zalecane do uwzględniania przy dużej liczbie cykli) i charakterystyki odkształceniowe (proponowane dla niskiej liczby cykli). Ze względu na postać zapropono- wanego przez autorów nowego modelu charakterystyki w niniejszym opracowaniu skupiono się wyłącznie na charakterystykach naprężeniowych. Ze względu na to, że w praktyce inżynieryjnej zdecydowanie częściej, przy projektowaniu, operuję się wielkościami naprężeń, nie odkształceń, w pracy podjęto próbę zastosowania tego typu charakterystyki do opisu niskocyklowych własności zmęczeniowych materiału. Ponadto na podstawie do- świadczeń wielu badaczy zauważono że naprężeniowa charakterystyka zmęczeniowa, najlepiej opisująca punk- ty eksperymentalne, powinna raczej przyjmować kształt pochylonej litery ‘S’ niż linii prostej. Model zapropono- wany w tej pracy spełnia ten warunek.
2. PRZEGLĄD NAPRĘŻENIOWYCH CHARAKTERYSTYK
ZMĘCZENIOWYCH
W literaturze z zakresu trwałości zmęczeniowej moż- na znaleźć wiele propozycji naprężeniowych modeli zmęczeniowych. Najbardziej znane to charakterystyka Wöhlera [1] oraz Basquina [2]. Niemniej jednak liczni autorzy proponują nieco inne, bardziej rozbudowane modele.
Wykres zmęczeniowy opracowany przez Wöhlera w 1860 r. jest historycznie najstarszy. Model zmęczenio- wy zapisuje się w postaci:
log(Nf) = a + bσa (1) lub gdy zastąpi się logarytm dziesiętny logarytmem naturalnym
ln(Nf) = a + bσa , (2) gdzie:
Nf - trwałość zmęczeniowa w cyklach (liczba cykli do zniszczenia),
σa - amplituda naprężenia,
a, b - parametry równania (stałe modelu regresji).
Wykres zaproponowany w 1910 r. przez Basquina to w zasadzie zmodyfikowana charakterystyka Wöhlera.
W literaturze jest bardziej rozpowszechniona i często
funkcjonująca pod nazwą autora pierwowzoru, a wyraża się równaniem:
log(Nf) = a + b · log(σa). (3) Podobnie jak w przypadku modelu Wöhlera w litera- turze oraz w obliczeniach praktycznych często logarytm dziesiętny we wzorze zastępuje się logarytmem natural- nym. Basquin do modelu Wöhlera wprowadził dodatko- wą funkcją logarytmującą wartość amplitudy naprężenia
σa.
Kolejną omawianą charakterystyką zmęczeniową jest opracowana w 1914 roku propozycja Stromeyera [3]
log(Nf) = a + b · log(σa – σaf), (4)
gdzie:
Nf - trwałość zmęczeniowa w cyklach (liczba cykli do zniszczenia),
σa - amplituda naprężenia (lub odkształcenia), σaf - granica zmęczenia,
a, b - parametry równania (stałe modelu regresji).
Kolejny model zmęczeniowy został opracowany w 1955 r. przez Corsona [4]
=
ఙೌିఙೌ∙ [− ∙ − ] (5) lub po obustronnym zlogarytmowaniu
) (
) ln(
) ln(
)
ln( c a af
af a a
Nf = − σ −σ − ⋅ σ −σ (6) Następnym modelem zmęczeniowym jest zależność zaproponowana w pracy Bastenaire [5] z 1974 r. to
−
−
− ⋅
=
c af a
af a
f b
N a
σ σ σ
σ
exp (7)
lub po obustronnym zlogarytmowaniu
c af a af a
f b
a
N
−
−
−
−
= σ σ
σ
σ )
ln(
) ln(
)
ln( (8)
Natomiast w 1999 r. pojawia się propozycja Pascuala i Meekera [6] wyrażona równaniem
ln(Nf) = a + b · log(σa-σaf) + , (9) gdzie:
Nf - trwałość zmęczeniowa w cyklach (liczba cykli do zniszczenia),
σa - amplituda naprężenia, σaf - granica zmęczenia,
a, b - parametry równania (stałe modelu regresji), ε – współczynnik warunku błędu
Przyjmując za a + ε jedną stałą, równanie (9) przyjmuje postać identyczną jak u Stromeyera, z tą różnicą, że Pascual i Meeker proponują użycie logarytmu naturalnego, a więc
ln(Nf) = a + b · log(σa-σaf). (10) W tym samym roku Kato i Hayashi [7] proponują zależność:
log = a + b · log(log(Nf)). (11) Natomiast w 2000 r. Kohout [8] zaproponował nowy model uwzględniający wpływ temperatury, będący rozwinięciem modelu Basquina
log(,T) = log a* + b log + c·logT, (12) gdzie:
Nf - trwałość zmęczeniowa w cyklach (liczba cykli do zniszczenia),
a - amplituda naprężenia (lub odkształcenia),
a*, b - parametry równania (stałe modelu regresji), przy czym
T – temperatura, w której przeprowadza się badanie c – parametr wrażliwości temperatury taki, że
.
log ) , ( log
const N f a
f
T T N c
=
∂
∂
= σ
(13)
Jednakże przy założeniu, że model Basquina jest prawidłowy dla pewnej temperatury odniesienia T0, to równanie (12) zawiera stałą a pochodzącą z modelu Basquina i może być zapisane w postaci
(, T) = a ்்బ
czyli = ′. (14) Po zlogarytmowaniu w konsekwencji otrzymuje się wzór Basquina [3].
Występujące we wszystkich modelach współczynniki wyznacza się przez dopasowanie krzywej do punktów eksperymentalnych. W tym celu wykorzystuje się metodę najmniejszych kwadratów oraz, w przypadku modeli nieliniowych, algorytm Gaussa-Newtona.
Wszystkie charakterystyki można sporządzić na podstawie jednej serii typowych badań, określonych w normach [9].
Kolejną wspólną cechą przytoczonych we wstępie oraz proponowanego przez autorów modelu jest fakt, że modele te oparte są na występujących w materiale podczas badań naprężeniach. Wielkości te (naprężenia) są jednakże wartościami empirycznymi, a co za tym idzie, nie są oparte na fizyce zjawiska. Dla badań niskocyklowych częściej stosuje się natomiast modele odkształceniowe, uwzględniające zarówno odkształcenia plastyczne jak i sprężyste, najczęściej jest to model Mansona-Coffina-Basquina (MCB) (15).
( )
f(
f)
cb f f p a e a t
a N N
E' 2 ' 2
, , ,
ε σ
ε ε
ε = + = + (15)
gdzie: εa,t – amplituda odkształcenia całkowitego wyrażona sumą amplitud odkształcenia sprężystego εa,e i plastycznego εa,p,
2Nf – liczba nawrotów obciążenia (półcykli),
E – moduł Younga, σ'f, b – współczynnik i wykładnik wytrzymałości zmęczeniowej,
ε'f, c – współczynnik i wykładnik zmęczeniowego odkształcenia plastycznego.
Jednakże nawet w przypadku odkształceniowych charakterystyk zmęczeniowych problem niedoskonałego odwzorowania rzeczywistości może mieć znaczący wpływ na dokładność otrzymanej charakterystyki. Problem taki opisano w pracy [10]; autorzy wskazują na pewną nieuwzględnianą przez model wartość odkształcenia, które dla niektórych materiałów jest na tyle duże, że może doprowadzić do poważnych błędów przy wyznaczaniu charakterystyki. Odkształcenie to nie jest ani sprężyste ani plastyczne.
3. PROPOZYCJA WŁASNEJ CHARAKTERYSTYKI ZMĘCZENIOWEJ
Proponowany w pracy model naprężeniowej
charakterystyki zmęczeniowej przeznaczony jest do opisu badań z zakresu niskiej i wysokiej liczby cykli.
ோఙೌ
= 2+ ଶ2 + ଷ2 ,(16) gdzie:
σa – amplituda naprężenia,
2Nf – liczba nawrotów obciążenia (półcykli), Rm – wytrzymałość na rozciąganie
B, C, D – stałe modelu regresji.
W modelu, opisanym wzorem (16), założono, że granica doraźnej wytrzymałości Rm ma wpływ na kształt naprężeniowej charakterystyki zmęczeniowej w zakresie bardzo małej liczby cykli. Proponowane rozwiązanie uwzględnia często zauważany w praktyce fakt, że charakterystyka zmęczeniowa dla większości materiałów nie przyjmuje, w układzie podwójnie logarytmicznym, kształtu linii prostej lecz przypomina raczej pochyloną literę S.
Stałe B, C i D występujące we wzorze (16) wyznaczono numerycznie z wykorzystaniem metody sumy najmniejszych kwadratów.
Podobne do proponowanego przez autorów podejścia wykładniczej charakterystyki (16) przedstawił w 2000 roku F. A. Kandil (17).
∆௧= − + ଶ (). (17)
Proponowany przez tego autora model został zaprezentowany w pracy [11], ale wykorzystany został do wyniku badań zmęczeniowych przy kontrolowanym odkształceniu. Była to zatem odkształceniowa charakterystyka zmęczeniowa.
4. WERYFIKACJA
ZAPROPONOWANEGO MODELU
Weryfikację proponowanego modelu przeprowadzono na wynikach eksperymentalnych dziesięciu różnych materiałów z trzech podstawowych grup, tj. niskostopo- wych, wysokostopowych i niestopowych. Wyniki badań zmęczeniowych zaczerpnięto z literatury [12]. W tabeli 1 zestawiono materiały wykorzystane do weryfikacji modelu wraz z podstawowymi własnościami tych mate- riałów i współczynnikiem determinacji R2 wyznaczonym dla charakterystyki danego materiału.
Tabela 1. Zestawienie badań materiałów wykorzystanych do analizy Rodzaj materiału Moduł
Younga E, GPa
Wytrzymałość na rozciąganie Rm, MPa
R2
Niestopowe
St 42 206 457 0,9677
St 52-3 210 597 0,9747
CK 45 210 790 0,9447
Niskostopowe
HSB 77V 210 852 0,9752
St E690 214 872 0,9889
St E590 210 608 0,9462
Wysokostopowe
X25CrNiMn2520 193 642 0,9964 X40CrMoV205 213 2 576 0,9772
X8CrNiTi1810 181 411 0,9894
CuNiCr35 170 639 0,9642
Dla wszystkich wymienionych w tabeli pierwszej materiałów wyznaczone stałe A,B i C występujące w proponowanym wzorze (16). Otrzymane w ten sposób charakterystyki naprężeniowe przedstawiono w formie podwójnie logarytmicznych wykresów na rysunkach 1÷10. Linią ciągłą zaznaczono fragment charakterystyki w zakresie punktów eksperymentalnych, natomiast linia kreskowa to estymacja charakterystyki według wzoru (16) poza zakresem eksperymentu.
Rys. 1. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali niestopowej St 42.
Rys. 2. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali niestopowej St 52-3
Rys. 3. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali niestopowej Ck 45
102 104 106
200 250 300 350 400 450 500
St 42
Nf, cykle σ a, MPa
102 104 106
250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
St 52
Nf, cykle σ a, MPa
102 104 106
350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950
CK45
Nf, cykle σ a, MPa
Rys. 4. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali niskostopowej HSB 77V
Rys. 5. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali niskostopowej St E690
Rys. 6. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali niskostopowej St E590
Rys. 7. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali wysokostopowej X25CrNiMn2520
Rys. 8. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali wysokostopowej X40CrMoV205
Rys. 9. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali wysokostopowej X8CrNiTi1810
102 104 106
450 500 550 600 650 700 750 800 850 900
HSB77V
Nf, cykle σ a, MPa
102 104 106
300 400 500 600 700 800 900
StE690
Nf, cykle σ a, MPa
101 102 103 104
400 500 600 700 800 900 1000
StE590
Nf, cykle σ a, MPa
102 104 106
200 300 400 500 600 700 800
X25CrNiMn2520
Nf, cykle σ a, MPa
102 104 106
1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3150
X40CrMoV205
Nf, cykle σ a, MPa
102 104
150 200 250 300 350 400 450 500 550
X8CrNiTi1810
Nf, cykle σ a, MPa
Rys. 10. Charakterystyka zmęczeniowa według proponowanego modelu wyznaczona dla stali wysokostopowej CuNiCr35
Przeprowadzona badania symulacyjne potwierdziły przydatność proponowanego modelu przy opisie własno- ści zmęczeniowych materiałów z zakresu od około 200
do 5 000 000 cykli. Jej stosowanie dla próbek, które zniszczeniu uległy przy badaniach poniżej 200 cykli, mogą powodować pewnych problemów ze względu na możliwość przekroczenia granicy wytrzymałości na rozciąganie.
5. WNIOSKI I SPOSTRZEŻENIA
Na podstawie przeprowadzonych symulacji dla 10 różnych materiałów można zauważyć, że proponowany model dobrze opisuje wyniki badań eksperymentalnych i może być stosowany jako charakterystyka zmęczeniowa dla badań z zakresu zarówno niskiej jak i wysokiej liczby cykli.
Jego podstawową zaletą jest uwzględnienie wy- trzymałości na rozciąganie (Rm) w celu odzwierciedle- nia obserwowanego w rzeczywistości charakteru krzywej naprężeniowej tj. jej kształtu pochylonej litery S. .
Literatura
1. Wöhler A.: Bericht uber Versuche, welche auf der Koenigl. Niederschlesich-Maerkischen Eisenbahn mit Apparaten zum Messen der Biegung und Verdrehung von Eisenbahnwagen-Achsen waehrend der Fahrt, angestellt wurden. “Zeitschrift fuer Bauwesen” 1858, Vol. 8, p. 642-652.
2. Basquin O. H.: The experimental law of endurance test. In: Proc. ASTM, Philadelphia 1910, Vol. 10, p. 625- 630.
3. Stromeyer C. E.: The determination of fatigue limits under alternating stress, conditions. In: Proc. R. Soc.
London, Ser. A, Vol. 90, 1914, p. 411-4125.
4. Palin-Luc T.: Fatigue multiaxiale d’une fonte GS sous combinessions d’amplitude variable. These de Docteur, ENSAM Bordeaux 1996.
5. Bastenaire F.A.: New method for the statistical evaluation of constant stress amplitude fatigue-test results:
Probabilistic aspects of fatigue, STMSTP, 1972, Vol. 511, p. 3-28.
6. Pascual F. G., Meeker W. Q.: Estimating fatigue curves with the random fatigue-limit model. “Technometrics”
1999, 41, p. 89-94.
7. Kato A., Hayashi M.: Fatigue life estimation of steel using laser speckle sensor. NDT&E International 32, 1999, p. 139-145.
8. Kohout J.: Temperature dependence of stress–lifetime fatigue curves. “Fatigue & Fracture of Engineering Mate- rials & Structures” 2000, 23(12), p. 969–977.
9. Kurek M., Łagoda Lt., Katzy D.: Comparison of fatigue characteristics of some selected materials. “Materials Testing” 2014, Vol. 56, No. 2, p. 92-95.
10. Marcisz E., Niesłony A., Łagoda T.: Concept of fatigue for determining characteristics of materials with strengthening. Fatigue Failure and Fracture Mechanics Book Series: “Materials Science Forum” 2012, Vol. 726, p. 43-48.
11. Kandil F. A.: The determination of uncertainties in low cycle fatigue testing, standards measurement & testing project No. SMT4-CT97-2165, Iss. 1, September 2000, p. 1-26.
12. Bäumel A., Seeger T.: Material data for cyclic loading. Supplement 1, Materials Science Monographs, 61, Else- vier Science Publishers, Amsterdam, 1990.
102 104 106 108
200 400 600 800 1000
CuNiCr35
Nf, cykle σ a, MPa
