Sur l’allure asymptotique des potentiels de chaleur de Гаге

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I : PRACE MATEMATYCZNE X I I (1968)

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I : COMMENTATIONES MATHEMATICAE X I I (1968)

Al i n a Da w i d o w i c z (Kraków)

Sur l’allure asymptotique des potentiels de chaleur de Гаге

J e dćdie cette note a la memoire dw feu prof. M. К r z у ż a ń s Tci Sans lwi ce travail n ’aurait jamais etait

вощи, acheve et publiS.

Le travail present est consacre a 1’ótude des proprietes asympto- tiqnes de certaines solutions de liquation paraboliqne en deux variables appellóes potentiels góneralisóes de chaleur du premier et du second genre respectivement.

1. Designons par 3? la courbe donnóe par liquation

^ = x( y)

dófinie pour tous les у > 0. Dans la suite nous allons supposer toujours que la fonction %(y) est continue et nous allons la considerer comme fixe.

La courbe JS? divise la demi-plan у > 0 en deux domaines D+ = {(x, y ) : y > 0, x > x {y)}, Я - = {(®, У ) - У > 0, ж < %{y)}.

Soit un X^q donnó. Supposons qu’il existe un y0 > 0 tel que pour tous les у > y0

Хо-Х(у) > 0.

Posons д(х0) = + 1 et designons la limite inferieure de ces y0 par y{x0). De meme s’il existe un yQ > 0 tel que

®о-х(У) < 0

pour tous les у > у o, posons ó(a?0) = —1 et designons la limite infórieure de ces y0 par y(x0). Enfin si pour un x0 donnę nous n’avons pas ni д(х0) — 1 ni d(x0) = —1 posons ó(x0) — 0. Alors — comme il est facile de voir — il existe une suite yn oo telle que

^0— Х(Уп) = 0.

Roczniki PTM — P race M atem atyczne X II 8

Be cette dófinition il s’ensuit immediatement que si d(x0) = + 1 alors la demi-droite x = x0, у > y{xQ) est contemie dans B + , si d(x0) — —1 la demi-droite x = x0, y > y ( x 0) est contenne dans XL. Enfin, si<5(a?0) = 0 chaque demi-droite x = xa, у > y0 a une infinitó de points commnns avec la courbe 3 .

Eemarqnons qne s’il existe un M tel que

\x(y)\ < M

pour tous les у (c’est-a-dire si la fonction % est bornee), alors on a P°ur № < - M ,

' [+ 1 pour x > M .

De meme si %{y) oo alors д(х) = —1 pour tous les x.

Si la fonction %{y) admet une limite finie a savoir s’il existe lim% {y) = Tc,

2/—>oo

nous avons

Й(в) = {т 1 pour [+ 1 pour e < r * ’X > K .

Des exemples simples montrent que <3(ж) peut avoir tous les valeurs posibles, c’est-a-dire —1 , 0 , 1 .

Nous allons introduire une seconde fonction x = y(y)

dófinie pour tous les у ^ 0. Dans la suite nous allons supposer toujours (de meme que pour la fonction %{y)) que la fonction гр est continue.

Dósignons par

Jo fr, У> W) 1

TZ

/

J i ( x, ^у; ^W)

( y - y f2^{exp Q—}x(y)]2} d Чу-y) ^J n

les fonctions definies par y > 0 et introduces par E. Holmgren (voir [2].

p. 5; [3], p. 9) et par E. E. Levi (voir [5], p. 207).

Les auteurs citdes ont demontre (voir aussi [1], p. 303, et suivantes) que J Q est une fonction continue dans la demi-plan у > 0 et en dehors de la courbe 3 dans la demi-plan у > 0 elle est D°°. De meme si %*СХУ la fonction J x est en dehors de la courbe 3? dans la demi-plan у > 0 de classe Z>°°. Sur la courbe 3 la fonction J x n’est pas continue. Si

L'allure asymptotique des potentiels de clialeur de Varc 83

alors

lim J x(x, y-ip) = ± ip(x0) + J x(xQ, У o', V)

( X , y y + ( X 0 ,V0)

ой la limite doit etre prise le long d’une demi normale a la courbe X en (®o> Ус)-

Si cette demi-normale est dans la voisinage de (x0, y0) contenne dans D+ (dans _D_) alors il fant poser nn ip(x0) (il fant poser — ip(x)).

Enfin on peut dómontrer (voir [4], p. 496) que

Ji(® j У, VO d J 0{ x ,y , ip) dx

et (ее qui est le rósultat le plus important — voir [1], p. 302) que J 0 et J x yórifient dans D + et dans D_ liquation parabolique

d2u du

dx2 dy '

Grace a cette propriete nous appellons la fonction J Q et la fonction J x les potentiels de chaleur de l’arc SĆ a density ip de premier et de second genre respectivement.

Dans le cas %{y) = 0, c’est-a-dire si 3? est la demi-droite x = 0, у > 0 alors J 0 et J x sont les potentiels de chaleur de la demi-axe Oy positive et de densite ip.

2. Quelques lemmes. Nous allons dómontrer quelques lemmes.

Le m m e 1 . Si <5(a?0) Ф 0 et ^{a ^o rs}

J i ( x о, У , 1)

<5(* 0)

J ex-p( — t2)dt + 2 J 0{x0,y ,x ') -

x-x(Q) 2 Vv

La demonstration s’effectue a l’aide de la substitution t ^ x ~ x (y )

(voir [1], p. 307).

Du lemme 1 il s’ensuit imn^diatement en passant a la limite avec у -> oo le lemme suivant:

Lem m e 2. Soit д(х0) Ф 0, et x €^1- Alors

lim J -! (#0, у, 1) = a(a?0) + lim J0(a7, y; %')-

V-> oo y-> oo

Si une des limites (de J x ой de J 0) existe, Vautre existe alors aussi.

Lem m e 3. Soit un x0 fixe tel que 1° д(х0) Ф 0, xeC 1,

2° il existe la limite

(2.1) l i n i j k o , У, 1) = M xo), V-+oo

3° il existe la limite

(2.2) lim ip(y) = L .

2/-их>

Alors il existe la limite

(2.3) lim J 1{x0, y; y) = L A {x 0).

J/-J-00

D óm on stration. Vu (2.1) nous aurons lim Jx (x 0,2/; 1) = A (x 0).

У -* 00

Supposons que la limite (2.3) existe. Alors

(2.4) limJ x{x0, У'ч 4>+L ) = У, V) + lim J x(x0, yj L)

I/—>oo V—>oo 2/—изо

= lim Ji(a?0, y; у)+£А(ж0)-

V -+ oo

Posons

e t

r ( x ,y , Vj) = x — x(v) (y - n f2

|>-а(??)2] ) 4(У—«/) 1 у

K(x, ^{У )} = / r(a?, 2/, v)dn-

о Alors de (2.4) il s’ensuit

lim J ^ Xq, y ; y ) = — l i m l f e , y ) + Z A (a ?0) . 2/—>oo л7Г J/->oo

On voit que pour dómontrer l’existence de la limite du premier membre de (2.3) et de la formule (2.4) il suffit et il faut demontrer que

(2.5) U m K (x0, y) — 0.

2/-*oo

Jljtant donnó que J x est continue dans D+ et dans D_ et ^{y u} (2.1) il existe un i f (x0) > 0 tel que

IJi(£B, У, 1)1 < M {x0) pour tous les у > y{x0)Ą-l.

L ’allure asymptotique des potentiels de chaleur de Varc 85

La fonction у est continue. Yu (2.2) il existe pour chaque s > 0 y{xо) > y{x0) < + 1

tel que

(2.6) \ip{y)—L\ < pour y > y { x o).

Nous avons

y(x o)

(2.7) K {x 0,y ) =

J

J

0 y(x0)

^tant donnó que les fonctions y et % sont'continues il existe deux nombres N ^ x 0) et N%{x0) tel que

\xQ-%{y)\ < e t \y(y)-L\ < N 2(x0) pour tous les f]e<Q,y(x0)y.

Alors pour у ^ у { х 0) + 1 et , y(xQ)y, on a

Y i ( ^ o ) Ni(x0) - N 2(x0)

Il s’ensuit que pour x0 fixe nous avons la limite uniforme

et

(2.8)

lim unif r(x0, у : у) = 0

V(X0)

lim j r(x 0, y, rj)dy — 0.

2/->oo о

Yu (2.6) pour y ^ y { x 0) nous aurons И^о, у ; v)\ < x —%{y)

( y - y f^2exp

f l oc- x( y) T\

\ 4 ( y - y ) J Ш ( х 0) done pour у > у (x0)

, у

j r(x

V(*o) 4Ж(Жо)4 , (г/-*))8'2i, (з»-чГ p\ Цу-v)

J

4Ж(ж0)

1^1(®о,

1)1 + J

i

Yu (2.1) il existe un y(x0) ^ y(x0) tel que

\^i{Xq7 У) 4)1 ^ A (x0) -j-1.

On pent ddmontrer de la meme maniere que la formule (2.8) que l i m T * \ * - х Ш

V -± °0 J (?/ —

0 (y—y)^{3/2 exp}

[Д7—x(y)Y

4(y — y) ^{dr] = o.}

II s’ensuit qu’il existe un y*(xQ) > y(x0) tel que

|a?— хШ iy—yf²

[>—x(y)Y\ , _<

1

pour у > y*(x0). И s’ensuit que у

(2.9) lim J r(oo0,y , rj)dr] = 0.

y_>0° г/(ж0)

Vu (2.7), (2.8) et (2.9) nous avons (2.5). II s’ensuit — comme nous l’avons deja remarqud — que la limite du premier membre de (2.3) existe et qu’elle est ćgale a L A {x 0), c.q.f.d.

3. Proprietes de J 1 dans certains cas fondamentaux. ^{iS o il s} allons commencer par un lemme.

Le m m e 4. Si la limite

(3.1) lim x(y) = M

2/->oo

existe et si S(x0) Ф 0 alors

lim Jx{x0, у, 1) = S(x0).

У-+СО

D óm on stration. Posons

H {x , у) Ш t y n J i ix , y, 1).

Nous devons demontrer que

(3.2) НтЯ(£Г0, у) — 20(я?0)|/тс.

1/-ХЗО

Substituons г] — yt dans l’intógrale dófinissant H. Nous aurons i

H {x ,y ) = —=r J ^{n —x(yt) [оо-%{уЩ( ^ ) ? j}

- t ) J

De (3.1) il s’ensuit que pour chaque e > 0 il existe un rje tel que si у > г]е alors

(3.3) \x{y) — M\ < e.

L ’allure asymptotique des potentiels de cłialeur de Varc 87

Posons

et

r(y , e) =

s(%, y, t) = У

1 x —xiyt) \ 1> - x ( y t ) ] 2\

\ m ^{1 - T ) 1}

у/у ( l - t y * [ 42/(1 -T )

r (2 / ,e )

H *(x, y ) ^ / s (x ,y ,t )d t ,

Nous avons (3.4)

^ gf / 2/> 0 ^ -

т( У ,е)

H {x , у) = Н *(х, у )+ Н (х , у).

La fonction % est continue pour у ^ 0.

Vu (3.1) elle est bornee, done il existe une constante В > 0 telle que

\ x ( y ) \ < B

pour tous les у > 0.

Done pour 0 < t < 1

\s(x,y,t)\ 1 \x\-\-B Т у ’ (1 - i f ' 2 ' En integrant — pour у > yB -

r ( V , e )

\H*(X, y)\ = I jf

о

on obtient

1Г (М+В)Ь г ^ & П )

II s’ensuit

(3.5) \im H (x, y) = 0.

2/-J-0O

Supposons maintenent que

a?0 > AT.

Alors si

(3.6) 0 < e < itf—ж0

nous aurons

Xq < iH -f- £ .

Dans la suite nous nous boinerons aux e verifiant la condition (3.6).

De (3.3) il s’ensuit que

0 < хй—М —е < x0—x(yt) < x0—M-\-e.

Done pour t > т(у, e)

(x0 — Ж + e)2 H x , y , t ) m 1 x0 — M — e

Т у " ( l^{- ^ ) 3/2 exp}

Г К - Ж + е Г ]

L ±y( l - r ) J

1 x0—M-\-e

< * ( ® b , 3 M ) < ( 1 _ T ) s

,2

4^/(1 Г (Xq—M —s)2!

L 4 y ( l - r ) J s(a?o, 2/j <).

Posons

et

Щ хо ,У )^ f s(xQ,y,t)dt

r ( y ,e )

1

H (x0,y ) = J s(x0, у , t)dt.

r(V,e) I^yidemment

(3.7) Щх 0,У) < S ( x 0,y ) ^ H ( x 0,y ).

A l’aide de la substitution

Xq — M -)- £

%Vy V i —t nous aurons

H (x 0,y ) = 4 ^Xq--- Ж ---- £

Ж0 — Ж -j- £

+ ⁰⁰

/

x 0- M + e

l^tant donne que

2^2/(1-т)

00

lim J e v dv = J e v dv У-^оо Xq-M+e 0

Vi

2 ł / j / ( l - < )

nous aurons

.. /— X^q — M —8

limЩ х0, у) =-■ 2]/те--- ——-

V->00 Xq Ж + £

De meme on peut demontrer que

. _ ,-- Xq--Ж -f" £ 11тЯ(ж0, j/) = 2|/тг ---- — —

V-* 00 +o fc

.— Xq — M —8 . ~ ,— Xq — M-\-8 2\/tz ---—--- <ЬтЖ (ж 0,2/) <21/тг

Xq M -f- £ У—>00 Xq — M —8 Yu (3.7)

L'allure asymptotique des potentiels de chaleur de Varc 89

!Etant donnó que s est an nombre arbitraire > 0, nous avons v f h (x0, у) ^ 2Vu

У—>co done

lim3 ( x 0, y) = 2Vu.

У-+00

De (3.4) et (3.5) il s’ensuit que

li m H {x 0, y) = 2\/tc pour xQ> M .

y->oo

De meme on peut demontrer que

U m H (x0, y) = — 2-|/^tc pour x0 < M .

У->оо

Yu д{х0) = —1 pour x0 < M et <5(#0) = + 1 pour x0 > M il s’ensuit la formule (3.2), c.q.f.d.

Une suite immediate de ce lemme et du lemme 3 est le theoreme suivant:

Th eo rem e 1. Si les limites

limip(y) = L , lim xiy) = M

3/—>oo 2/->oo

existent et si д(х0) Ф 0, alors la limite

lim J ^ o , y\y>) — Ld{x0)

3/-> oo

existe (e’est-a-dire que eette limite existe et est egale a —L pour x0 < M et a + L pour xQ > M).

On peut demontrer aussi un autre theoreme semblable.

Th eo rem e 2. Supposons que 1° Z 'C 1,

2° il existent trois eonstantes yQ > 0 , /?e(£, 0) et M > 0 tels que

(3.8) \х’ Ш < pour y > y 0,

3° il existe la limite

(3.9) lim y)(y) — L ,

3/->oo

4° d (xQ) Ф 0.

Alors

(3.10) 4 \ im J1( x ,y ] i p ) = L d ( x 0).

У-+00

D óm on stration. Yu (3.8) nous avons pour у > y0

x'(y)

У, x')\ = ^f \j V y - n г ^—x- ⁱ У A[Ну

\х (у)\ , , , r dr!

\ lx - х Ш 2} л L г \х’ Ш , p l й г Г г ч Г Г ч| О Т Г ^ * 1^ y —y

\х'(у)\ , . „ Г dn

С \Х W)\ ™ Г аг! ^ Г IX КУ)\ * , , , f

I /--- d y Ą - M ^I р ,--- < I , ---drjĄ-M ^I в ,---

J Vy— г) yJ Ч У у - у J 1/у —у J Т у у —у ]5videmment

нт г ° ^ М Ц = 0.

-*оо J VyУ V---П

En substituant у = yt nous aurons

b

f

dy

J ч У у - у / 4tJ t y

k f

L ’intёgrale

/

converge. Elle est egale a B { 1 —/5, -|) (ou par В {a, b) nous dósignons la fonetion beta de Euler), done

у

/

lim , p —

V->CO J У Vy ^{— Г)} 0

et

lim J 0(x, y, %') = 0.

En applicant le lemme 2 on a

limJ x{xQ, у, 1) = 6{x0).

V-^-oo

Yu (3.9) et le lemme 3 il s’ensuit (3.10), c.q.f.d.

Eappelons que si

Km xiy) = + oo

U->co

alors pour tous les x on a S(x) = —1. fitant donne qu’il existe des fonc- tions % verifiant la condition (3.1) et ne verifiant pas la condition (3.8), le Theoreme 1 n’est pas un cas special da Theoreme 2. Mais evidemment il existe aussi des fonctions ^eC1 bornees, verifiant (3.8) et pour lesquelles la limite (3.1) n’existe pas.

L'allure asymptotique des potentiels de cholew de Гаге 91 Enfin remarquons que si

%(У) = аУ° on a « (0 ,£ ),

%' yerifera la condition (3.8). Nous aurons le corollaire suivant Corollaire 1. Supposons que

%{y) = mya

ой m > 0 et ip verifie la condition (3.9); alors lim J x{x, y, ip) = —X.

2/-»oo On a aussi

Corollaire 2. Supposons que

%{У) = Щ ау+Ъ) ой a > О, Ъ > 0 et il existe la limite

lim ip(y) — X.

V - * c o

Alors

lim J x{x, y f %p) = - X .

У -* co

D ó m on stration du co ro llaire. Nous ayons Х'(У) = --- , 7~ ^•

ay-\- b

C’est nne fonction decroissante. Ponr у > 1 nons anrons ay3/4 < ay + b

done

1 la

^ < X ( У ) ^ 3/4'

У

et la condition (3.8) est yerifióe avec M — 1 ja, y0 = 1. Notre corollaire est done nne suite du Theoreme 2.

4. Le cas %(rj) = if

Lem m e 5. Soit %(y) = m]/y, ой m > 0. Supposons qu4l existe la limite

lim ip{y) — X.

?/~>00

Alors pour chaque x fixe on a

(4.1) lim J i ( x , y ; y ) — K L

2/->oo

1 m2 г Г /m/\21 _ e x p — J exp - - J * . ou

Viz Ш2

(4.2) К = —1 + ---exp---

' df 4 4 4

i 0

D óm on stration . ]5tant donnó que nous avons ici lim x ( y ) = + <*>,

У—>oo

nous avons alors d(x) = —1 pour chaque x. Yu le lemme 2 nous auron en substituant x(v) — ш\/г[

(4.3) lim J x{ x ,y ,l )

2/->oo

Posons

У

lim I

У—>CO J

m

Vtz v->ooJ ]/tj {y fj) L 4(y

Г — 1

r i F ^ r f -

l(t, и) = 42ад + 4ад2 — w2 — wVm2 + 4tf2 — 4ад2

et

ад (i, ад) = (4i2 + w2+ 4^ад + mV m2 Łt2— Łu2 )Vm2Jr it2—4ад2 l(t, ад)

(i, ад) =

ад(/, ад)

Eemarquons que la fonction A est continue dans son domaine d’existence.

Executons dans (4.3) la suite de substitutions successives Г] = y — s2,

S = T T ^ ’

Z - m+ ]/w 2— 4ад2+ 4^2 2ад + 2*

ou nous avons posó

ад 2 V y

Nous obtiendrons ainsi la formule

(4.4) limJjOr, у, 1) = — 1 + —= lim f A (t, z)e~t dt.

2/-*oo ^{У TC u}->0 _и^J Nous allons montrer que

(4.5)

OU o c

lim f A (t, z) e~*2dt = f

■u->0 d J

,-<2

m2+ 4ż2d/,

L'allure asymptotique des potentiels de chaleur de Varc 93

Pour t ^ z nous avons

m2-j- 4£2 — 4w2 > m2 et

-|-4£и > 4w2 + m2 + m2+ 4 ^ 2 = 8m2 + 2m2> 2m2.

II s’ensuit

w(t, w) > 2m2.

Soit и > 0, alors

— m +v/m2 + 'y £==

2m done

On a

On a

done (4.6)

l(t, u) < 8*2 — т 2 + тУ8£2 + т 2 ^ 12^2.

J (f, s)e t2dt = J A (t, z)e *2dt + J A (t, z)e *2dt

A ( t ,z) < ---- 612 pour t > 1, m

OU Сл/

J J.(J, z)e~t2dt < J —^ e ~ t2dt.

ifitant donne que Fintógrale du second membre de (4.6) converge, l’in- tegrale du premier membre converge unif or mement. Done

lim f A (t ,u )e 1 dt = J limJ.(£,w) 0 * dL

•U->0 J J «->0

Posons

gr(^) = J 4ь(^,гб)е *2dt.

La fonction integree J L ( f , u)e /2etant continue pour t e ( 0 , 1>, we<0 , 1>, nous aurons

e /• i /2

lim^(^) = I limvl(/, w)e“

W->0 Q W^.0

La fonction JL(i,«) etant continue, nous aurons lim A (t, w) = A (t, 0) = --- Л т А-

«-о m2 + 4ż2

Alors la formule (4.5) est demontree.

II est bien connu — voir [6], p. 201, que

/

Yu (4.4) il s’ensuit

lim J x{x, у) 1) = K ,

V -> oo

ou К est dófinie par la formule (4.2).

Vu le lemme 3 on a (4.1), c.q.f.d

Le m i e 6. Soit x(y) — my oil m > 0 et supposons qu4l existe la limite lim ip(y) = L .

J/-9-0O

Alors pom chaque x0

lim J x{x0,y , ip) = 0.

J/->oo

D em on stratio n . Nous aurons ici J l i x , у; 1) i *

W

x — mrj Г (x — mr\)'

exp I J M -

2/7г J (y-vf¹² ' " L Цу—п)

ISxecutons la substitution

Vy — rj — ~{l~\~Vt2—m (x —my)\.

m fitant donne que m > 0 nous aurons

t2 — m (x —my) > 0.

Pour x fixe et pour des у suffisemment grand nous obtiendrons que

J l { x , y, 1)

Nous avons evidemment

2 ]/v

J

te t2dt ]/ тс J Vt2— m (x— my)

(4.7) J x(x, y\ 1) 2 r te i2dt ^ 2 te <2dt Viz J ]/12—m(x — my) V^tc J Vt2 — m (x — my) I5tant donne que la fonction

(4.8) и — t2 — m(x — my)

L ’allure asymptotique des potentiels de chaleur de Varc 95

est monotone pour

t

t

Ji(®, У) 1) = 2 ^{—m (x—my)} r 6^{_ M.~m(x—my)}

du

———m(x—my)X2

V

r

---x-1 m(x— my)

Vu

J

— L f

l/iz J

exp [ — и — m (x — my)\

Vu

— — m(x—my)

V-k exp[m (x-m y)'] f

+ oo

Vu du.

— u —m ( x —m y )

fj V

du

и

En employant le thdoreme de l’Hopital on obtient

— п ц х —т у )

^ J u ll2e Udu

lim e x p [-m ^ o_ my^

---— Ню

Yt i ^ V—>oo

/ 2 m2--- 1 e x p ---}X2 \ l X°\

\ ±y2J \ * y l

/ - ^{— m (x0 — my)}

Yu le lemme 3 il s’ensuit

lim JxiWo, у ; у) = 0,

У - * с о

c.q.f.d.

Yu le corollaire 1, les lemmes 4 et 5 et le rósultat due a Krzyżański [4]

pour potentiels de chaleur non-gónóralisees on a Tiieo rem e 3. Supposons qu4l existe la limite

lim^(y) = L .

3/->-oo

Si

x( y ) = mya ou m > 0 alors

( Lsgna? pour a = 0, lim J x(x, y ,y > )= <

2/-* 00

- L L 'K

pour pour

0 < a <

« = h

< 0 pour a = 1 oil la constante К est definie par la formule (4.2).

5. Potentiel de chaleur du premier genre. M. Krzyżański dans le travail [3], p. 296, a dómontró qn’en góneral la fonction J 0(x, у , y>) n’a pas de limite ponr у oo. Cependant on pent montrer que dans quelques cas particnliers cette limite existe.

Тбеокйме 4. 841 existe un a > | et un h > 0 tel que

\v(y)\ < —1c V et la fonction % est continue, alors

(5.1) lim j0(a?, y; ip) = 0.

у—>oo

D ёm on stratio n . On a

1 г 1 [ [x—y(»?)l2l

(5.2) y)(r])dr)

_ f 1 ± , 7 2 ^ 7 J Y i ^ ' v a v ' Posons

Г 1 1 ⁷

ЦУ) ^{= J} - J = '- Z a dr¹'

i ^ у - п у

En substituant r j= y t on obtient I(y) = y1/2~“ B ( l — a, \). II s’ensnit lim l(y) = 0,

V -^ co

done, vu (5.2) on a (5.1), c.q.f.d.

Te e o k em e 5. Supposons que

h

w ( y )

Vy ой 1c > 0 et que

\x(y)\ < W

pour tons les у > 0. Alors pour

(5.3) xQ > M

on a

( 1c \ lc

°°0’ y '~ f n ) = ^

L ’allure asymptotique des potentiels de chaleur de Varc 97

D óm on stration. Yu (6.3) et (5.4) on a x — M ^ x - x ( y ) < x-\~M.

II s’ensuit en substituant у = yt que

*=,

f

Vn J

Vu J V t V i — t exp j —f

(х„+М

l

V * J Vt V i — t

exp[

*)J

Posons pour <e(0,l)

f ( y , t )

Evidemment

V t V i

1 Г {x + M )* l

7i —t expL ± y (i—t)\dt.

о <f(y, t) <

V t V i —t

P O U I* te(^{0 , 1 ) .}

L ’integrale impropre

J

existe, done pour chaque e > 0 existe un y(e) > 0 tel que pour rye(0, rj{e)) on a

1 1 — TJ Г) 1)

(5.5) 0 < f fooi^dt- f f^ t jd t = f f co(t)dt+ J f^W dt < e.

0 rj 0 1 — ij

La fonction f(y , t) est croissante pour у croissant et t fixe. Elle converge pour у -» oo presque uniformement dans l’intervalle (0 ,1 ), c’est- -a-dire que pour chaque у > 0 elle converge uniformement dans l’interval- le ( y , l — y}. Ce qui signifie que pour chaque у > 0, done aussi pour у = y(e), on a

(5.6) lim unif f (y ,t ) = ~ j= ~ 7 = = - У—>со^е(г},1 — г)у yt y\ —t

Soit un ^e > 0 fixe. Yu (5.6) il existe un ^{y ( s )} tel que pour tous les te{rj{e), 1 — г)(е)У et pour tous les у > y(e) on a

(5.7) 0 < \ .

Roczniki PTM — P ra ce M atem atyczne X II ⁷

II s’ensuit vu (5.5) et (5.7) que

1 1 t}(e) 1 - r / ( e )

0 < ffoo(t)dt— j f ( y , t ) d t = J foo(t)dt+ j /TO{t)dt +

0 0 0 »?(«)

X !?(e) !-»/(«) 1

+ / /«,(<) Й<— J f ( y , t ) d t — j f(y , t)dt— j foo(t)dt

1 — r)le) 0 tj(e) l — rj(s)

t](e) 1 l - n ( e )

< J fco(t)dt+ J foo(t)dt+ f [fo0(t)—f(y,t)'\dt<2e.

0 ¹ - r i ( e ) 17^(e)

II s’ensuit que

1 1

lim J f ( y , t ) d t = f f^Wdt.

2/->°° о 0

De meme

1 lim I

7/->oo у

1 Г (ж- J f ) 2 exp I ---

L 4 y ( l — <)

Vt V i - t

X

] At = J foo(t)<ti-

J 0

Done

h r dt j к \ к r dt

Ж 7ПЖ7 < 1“ Г ’2,5 тг) ^ W J 7Г7Г=Г

IŚtant donnó que

/

Bibliographie

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