Zasada maksimum dla pewnej klasy różnicowych zagadnień

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria Ili: MATEMATYK.A STOSOWANA VIII (1976)

PIOTR

HOLNICKI (Warszawa)

Zasada maksimum dla pewnej klasy różnicowych zagadnień

brzegowych*

(Praca ^przyjęta do druku 24.10.1974)

W pracy przedstawiono

próbę sformułowania

zasady maksimum dla klasy ope·

ratorów

różnicowych

liniowych, które nie

są

dodatnie, a zatem nie

spełniają założeń

klasycznej zasady maksimum.

Rozważamy obszar ograniczony D c Rd, przy czym D = Du8D. Dany jest podzbiór I' c iJD, czyli w ogólnym przypadku zbiór DuI' nie jest zwarty. Niech zbiór dyskretny Sh, który dalej

nazywać będziemy siatką,

stanowi

dowolną h-sieć

w przestrzeni Rd.

DEFINICJA 1. Otoczeniem siatkowym Nh(x) punktu

XE

sh nazywamy dowolny ustalony podzbiór

przecięcia

K(x, Rh)nSh,

zawierający

punkt x (R > O).

DEFINICJA 2. Obszarem siatkowym Dh rozpiętym na DuI' nazywamy zbiór

- -

Dh:= DnSh.

Brzegiem obszaru siatkowego Dh nazywamy zbiór

rh := {x

^E

Dh: 3y eNh(x), y ~Dh}·

Wnętrzem obszaru siatkowego Dh nazywamy zbiór Dh:= Dh \I'h.

Niech Vi(Dh) będzie przestrzenią unormowaną funkcji siatkowych określonych na Dh. Rozważamy klasę liniowych operatorów różnicowych, określonych na Vh(D

11)

w

następujący

sposób:

Lhv(x) : = 2:= a(x, y)v(y),

yeN11(x)

(1)

gdzie (x, y) e D

11

x Dh, a(x, y) e R, v e Vh(.Dh)·

DEFINICJA 3. Operator liniowy Lh postaci (1) nazywamy hiperbolicznym w ob·

szarze Dh,

jeżeli

dla

każdego

x e Dh

spełnione są

warunki:

1°

_yeN11(x)

L ^a(x,y)=O;

* Autor

wyraża podziękowanie

drowi T. Stysiowi za cenne uwagi, bardzo pomocne w osta-

tecznym

sformułowaniu

prezentowanej pracy.

6 P. Ho I n icki

istnieją

punkty y, y e Nh(x) \ {x}, y =I y, ^takie,

^że

2° a(x, .Y) <O oraz a(x, .Y)+a(x, .Y) > O, 3° a(x, y)

~

O dla y e Nh(x)\ {x, y, y}.

W pewnych przypadkach, dla

uniknięcia niejednoznaczności,

punkty z otoczenia Nh(x), dla których

spełnione są

warunki 2° i 3°, oznaczane

będą

symbolami y(x)

oraz y(x). W

pozostałych

przypadkach oznaczane

^będą

po prostu y ^oraz y.

Dla uproszczenia zapisu dalszych

przekształceń

definiujemy zbiór Ph(x) : = : = Nh(x) \ {x} dla dowolnego x e Dh. Jak

łatwo zauważyć, każdy

operator hiper- boliczny, poza

ogólną formą

(I),

^{może być}

przedstawiony w

następującej

postaci

równoważnej:

(2) Lhv(x) = b(x,.Y)[v(Y)-v\y)]- .2:: b(x,y)[v(x)-v(y)]

Ji€Ph(X) Yo/=Y

dla x e Dh oraz v e Vi(Dh), gdzie b(x, y) = -a(x, y) > ^O, b(x, Y) = a(x, Y)+a(x, Y) >O,

b(x,y)=a(x,y)~O

dla yePh(x)\{y,Y}.

TWIERDZENIE

1. Jeżeli 15,, jest obszarem siatkowym ograniczonym, Lh - operato- rem

różnicowym

hiperbolicznym oraz istnieje podzbiór r;, c rh taki,

że

warunki (i)

(ii) (iii) (iv) (v)

Lhv(x)+c(x)v(x)

~O,

c(x)

~O,

y e Nh(Y) oraz y(Y), y(Y) ^=I y ^dla y ^{e Dh,}

a(Y, y)- ( a x, a~~ y~ y a x, ""') y [a(ji, y)+a(.Y, Y)+c(.Y)] ~ O dla

y

^E

^I'h

^=>

y, y

^{EI'~ A}

^v(J)

^~

^V(ji),

minly-yl < minly-xl

yer~ yEI'~

są spełnione

dla dowolnego x e Dh, to

v(x)~max[O,maxv(y)]

dla xeDh.

yEI'h

Do wód.

Przypuśćmy, że

istnieje punkt x

0

e Dh, w którym v(x

0 )

> max[O, max v(y)].

yEI'h

Ponieważ

obszar Dh jest ograniczony i w konsekwencji

skończonej

mocy,

^więc

można przyjąć,

nie

zmniejszając ogólności, że

v(x

0 ) ~

v(x) dla dowolnego x e Dh.

Z

założeń

(iv) oraz (v) wynika,

^że

istnieje

skończony ciąg

punktów {x

1

}l=

0 ,

którego wyrazy

^spełniają

warunki

(a)

xk

eDh dla k =O, 1, ... ,n,

(b)

xk+i

= ^Yk dla k =O, 1, ... , n-1,

(c) Yn,JnEI'I,.

Zasada maksimum dla różnicowych zagadnień brzegowych

7 W punkcie x

0 , korzystając

z postaci (2) operatora Lh oraz

^założenia

(i), otrzy- mujemy oszacowanie

(3) b(x

0 ,

y

0

)[v(Yo)-v(jio)] ~ L b(xo, y)[v(xo)-v(y)]-c(x

0

)v(x

0 )

~ O,

yEP1i0o)

przy czym prawa

nierówność

wynika z

założonej hiperboliczności

operatora Lh oraz z faktu,

^że

v(x

0 )

jest maksimum nieujemnym.

Wykażemy

teraz indukcyjnie,

^że

zachodzi

nierówność

Dla k

=

O

nierówność

ta wynika

bezpośrednio

z (3). Ponadto, druga z

nierówności

(4) jest zawsze

^spełniona

na mocy

hiperboliczności

operatora Lh oraz faktu,

^że

v(x

0 )

jest maksimum.

Przypuśćmy

obecnie,

^że

pierwsza z

nierówności

(4) jest

^spełniona

dla pewnego k

E

{O, 1, ... , n-1 }.

Wykorzystując założenia

(i), (ii) oraz

^własności

operatora Lh, uzyskujemy kolejno

następujące

oszacowania:

b(xk+1, Yk+1Hv<Yk+1)-v(jik+1)]

^~

~ b(xk+ 1, yk)[v(xk+ 1)-v(Yk)] + L b(xk+1,y)[v(xk+1)-v(y)]-c(xk+1)v(xk+1) =

yEP1i(Xt+1) Yo/:Yk• Yl+l

= b(xk+1, yk)[v(jik)-v(jik)] - L b(xk+1, y)v(y)-

yeP1i(xk+1) Yol:Yt • .Yt+1

- [b(xk+ 1, Yk) + a(xk+ 1, xk+ 1) + c(xk+ 1)]v(xk+ 1) + + [ L b(xk+1, y)+a(xk+1, xk+ 1) ]v(xo) =

yEP1i(Xl+1)

= b(xk+1,yk)[v(Yk)-v(yk)]+ L b(xk+l,y)[v(xo)-v(y)]-

yeP„(xt+i>

Yo!: Yt. Yk+ 1' '.Pt+ 1

-[b(xk+ 1, ^Yk) + ^{a(xk+ 1, xk+ 1)} + c(xk+ 1)]v(xk+ 1) + + [b(xk+ 1, fk)+a(xk+ 1, X1c+

¹

)]v(xo)+b(xk+t• Yk+1)[v(xo)-v(Yk+1)]

^~

~

b(xk+1, Yk)[v(yk)-v(yk)]- [b(xk+ 1, Yk)+a(xk+1, xk+1)+c(xA:+1)]v(xk+1)+

+ [b(xk+ 1, Y1) + a(xk+ 1, xk+ 1)]v(xo) + b(xk+ 1, Yk+ 1) [v(xo)-v(yk+ 1)], przy czym korzystamy z faktu,

^że

xk+

1

= Yk.

Mnożąc

obie strony

nierówności

( 4),

stanowiącej założenie

indukcyjne, przez

współczynnik

dodatni

- [b(xk+ 1, Y1t)+a(xk+1' Xk+1)+c(xk+ 1)]/b(x", Yk),

8 P. Hol n icki otrzymujemy

(5) O

;?:

[b(.xk+ 1, Yk) + ^{a(xk+ 1, xk+ 1)} + ^{c(xk+ 1)] x}

x b(x1o .Y1c)/b(xk, yk)[v(YJ-v(.Yk)]- - [b(xk+ 1, Yk) + ^a(xk+ 1, xk+ 1) + c(xk+ 1)][v(xo)-v(Yk)].

Dodajemy stronami (5) do poprzednio uzyskanej

nierówności. Korzystając następ­

nie z

^założenia

(iii) oraz drugiej

części założenia

indukcyjnego (4), dochodzimy do

nierówności

b(xk+1' Yk+1Hv<Yk+1)-vCYk+1)] ;:;:

;:;: {b(xk+1' Yk) + ~~xk, ~k~ [b(xk+1, Yk)+a(xk+1, xk+1)+c(xk+1)]}[v(Yk)-v(Yk)]-

~,h

-

- c(xk+1)v(xo)+b(xk+1, Yk+1)[v(xo)-v<JH1)]

~

~

b(xk+1' Yk+1)[v(xo)-v(Yk+1)],

co

^kończy

dowód indukcyjny

nierówności

(4). Dla k =n przyjmuje ona

następującą postać:

(6)

Vvn -Vvn ;:;:

1 ~

) {-:;; )

b(xn, Yn) [ ( ) b(

_Xn,

_Yn )

V Xo -Vvn

1~

)]

> ' O

gdyż

v(xo) jest

większe

od maksimum V na brzegu rh, natomiast

y~,

Yn

^{er~ c:}

r„

na mocy

własności ciągu {xd~=o·

Z

nierówności

(6) wynika,

^że

v(jjn) > v(yn), co jest

oczywiście

sprzeczne z

^zało­

żeniem

(iv), a zatem

^kończy

dowód twierdzenia.•

Na podstawie

pobieżnej

analizy dowodu

łatwo

jest

zauważyć, że jeżeli

c = ^O

w Dh, to teza twierdzenia jest

^spełniona

bez

zakładania, że

maksimum funkcji v w jjh jest nieujemne, czyli przyjmuje postać

v(x)

~

maxv(y) dla x

E

Dh.

yer11

PRZYKŁAD. Rozważamy

schemat

^różnicowy

zastosowany w [1] do

rozwiązania

równania

różniczkowego

typu hiperbolicznego

(7) K(y)uxx+Uyy+a(x,y)ux+h(x,y)uy+c(x,y)u =f(x,y), y <O.

Funkcja K(y) jest

^ciągła,

przyjmuje

^wartości

ujemne dla y < O i znika w zerze.

Z równaniem (7)

związane są,

w

rozważanym

obszarze, dwie rodziny charakterystyk rzeczywistych:

(8a) dy/dx = (-K)-

¹12,

(8b) dy/dx= -(-K)-

¹12 •

Niech A i B

^będą

punktami osi x, przy czym xA < x

_{8 •}

Przez

y

oznaczamy odci- nek

domknięty łączący

te punkty.

^Rozważamy

obszar D

leżący

w dolnej

^półpła­

szczyźnie,

ograniczony odcinkiem y,

charakterystyką

I'

1 należącą

do rodziny (8b) i

wychodzącą

z punktu A oraz

charakterystyką

I'

2 należącą

do rodziny (Sa) i wycho-

dzącą

z punktu B.

Zasada maksimum dla różnicowych zagadnień brzegowych

9 Dzielimy odcinek AB na N równych segmentów długości h. Z każdego punktu x1: = xA +kh (k = 1, 2, ... , N-1) prowadzimy

^parę

charakterystyk o równaniach x-xk = ±G(y), gdzie

o

G(y) = ~ [ ^-K(r)]11

²

dr dla y ~O.

y

y

A

B

^X

Rys. 1

Charakterystyki te wraz z krzywymi I'

1

i I'

2 przecinają się

w punktach (9) (xA+tnh+kh, -yn) dla k =O, 1, ... ,N-n; n= 1,2, ... ,N.

Rzędne

punktów

przecięcia spełniają

przy tym

zależność

G(-yn)

=

fnh dla n= 1, 2, ... ,N, gdzie Yn oznacza

^odległość

punktów danej warstwy od osi x.

Zbiór (9),

uzupełniony

punktami xk

=

x A+ kh dla k = O, 1, .

„ ,

N, stanowi obszar siatkowy Dh. Brzegiem I'h obszaru siatkowego jest zbiór tych punktów D„,

które należą do I'

1

u y. Każdy punkt x

E

Dh ^{może być} jednoznacznie przedstawiony za

^pomocą

pary indeksów (k, n), z których pierwszy oznacza kolejny numer ujemnie nachylonej charakterystyki, a drugi - numer warstwy

odpowiadającej

danemu punktowi.

Dla dowolnego punktu (k, n)

E

Dh zdefiniowano otoczenie siatkowe Nh(k, n) w postaci czterech punktów przedstawionych na rysunku 2.

Rozważamy

na tym otoczeniu operator

^różnicowy

(Lh + 'Yt. n)vk, n = ). ). 1 [(l -Ak, n)V1;,

^n-1

+ ⁽¹ + ^Ak,

^n)V1:-1,

ⁿ⁺

^{1 -}

n n+l

- (1 + ak, n)Vk-1, n - (1- ak, n)V1;, n+

^')'A:,

nVk, n]' gdzie v1;, n jest

wartością

funkcji siatkowej, natomiast

). A - An-An+l An An+l b( )

'n = Yn-Yn-1' k,n - An+

^An+l

An+

An+l

X, -Yn '

An ~n+l )

^{1 1 )}

ak,n = h a(x, -Yn, 'Yk,n = l'.n11.n+1C(X, -yn ·

10 P. Ho I n

i

ck

i

Dla przedstawionego schematu

różnicowego

udowodniono w [1]

^zasadę

maksi- mum w

następującej

postaci:

TWIERDZENIE

2. Niech Lhv

^~O

w Dh oraz

(i) Vo,n+l

^~

Vo,n d/a

^n~

1.

W

^każdym

punkcie (k, n)

E

Dh

spełnione są

warunki:

(ii) (iii) (iv) (v)

'Y1c,n

~O,

1 +ak,n >O,

A1c,n

^~

1, A1c,n-ak,n >O, {vi) A1c+1,n-1-A1c,n-A1c,nAk+l,n-1 -ak+l,n-1 +a1c,n+

+a1c,nak+1, n-1 + ^{l +a1c+1,n-1)'Y1c,n

^~

O.

Wówczas maksimumfunkcjiv w Dh, o ile jest nieujemne,jest przyjmowane na brzegu.•

Rys. 2

Jeżeli

punktom otoczenia siatkowego Nh(k, n)

przyporządkujemy

symbole:

(k, n) ,.., x, (k-1, n) "' y, (k-1, n+ 1) ,.., y, (k, n-l) "'y, to, jak

łatwo zauważyć,

(10)

a(x, x) = -1 +a1c,n, a(x, y)

=

-(1 +ak,n), a(x, y) = 1 +A1c,n, a(x, y) = ^l -A1c,n,

c(x) = ^'Yk,

^n.

Przypuśćmy, że spełnione są założenia

twierdzenia 2. Operator Lh jest wówczas hiperboliczny,

^gdyż

1° a(x, y) = - ⁽¹ + a1c. n) < O,

2° a(x, .Y)+a(x, y) = -l-a1c,n+ 1 +A1c,n = A1c,n-a1c,n >O, 3° L ^{a(x, y) =} -1 +a1c,n- l-a1c,n+ 1 +A1c,n+ l-A1c,n = o.

)leNb(X)

Zasada maksimum dla różnicowych zagadnień brzegowych Bezpośrednio

z

^założeń

twierdzenia 2 wynika,

^że

[L„+c(x)]v(x) = Lhvk,n+'Yk,„vk,n

~O

oraz c(x) = Yk,n

~O.

Jeżeli

y = ^(k-1, n+ 1) e Dh, to, jak

łatwo sprawdzić,

a(Y,.Y) =

l-Ak-1,n+1'

(11) a(ji,y) = -l+ak-1,n+1,

c(.Y) = ^Yk-1.

^{n+ 1 '.}

Po

uwzględnieniu

(10) i (11),

założenie

(iii) w twierdzeniu I przyjmuje

^postać

a ^~, _v ^y-)- a x, ₍ ^a(x, -)+ ( -) av, y +a\y, y +cv y a x, ^y) y [ /":': _)

^{F.. _)}

^F..)]

1 +ak „

=

1-Ak-1,n+l -

A '

(A-a-y)k-1,n+1 ~O, k, n-ak,n

Il

przy czym ostatnia

nierówność

jest

bezpośrednią konsekwencją

warunku (vi) w twier- dzeniu 2.

Spełnienie pozostałych założeń

twierdzenia 1 jest oczywiste.

Tak

więc rozważane

w

przykładzie

twierdzenie 2 jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 1. Dotyczy to przede wszystkim

wymiarowości

przestrzeni R

4,

szczegól- nej struktury obszaru Dh i otoczenia siatkowego oraz zadanej z góry postaci opera- tora

różnicowego

Lh .

Literatura

[1]

H. O

g

a w a,

On difference methods for the solution of a Tricomi problem,

Trans. Amer. Math.

Soc. 100 (1961), str.

^40~424.

[2] M. H. Pr o

t

ter and H. F. We

i

n be r

g

er,

Maximum Principles in Differentia/

Equations,

New Jersey 1967.

(3] A. A. C

^{a M a} p c I< H li, BBeOeHue 6 meopu10 pa311ocmHblX cxeM, Moc1rna

1971.