Programowanie dyskretne

(1)

Programowanie dyskretne

Dotyczy problemów decyzyjnych, w których pewne zmienne decyzyjne mogą przyjmować tylko dyskretne wartości np.:

 całkowitoliczbowe

 binarne (0 lub 1)

W zależności od rodzaju występujących

zmiennych wyróżniamy zadania programowania

 całkowitoliczbowego

 binarnego

 mieszanego – występują zmienne ciągłe i dyskretne

(2)

Przykład

max ,

z x x

x x

x x

 

 



7 1 8 2 3 1 4 2 4

1 2 0

Rozwiązanie: x1=4/3, x2=0, z=28/3.

Przy dodatkowym warunku x1 oraz x2 całkowitoliczbowe Rozwiązanie: x1=0, x2=1, z=8.

(3)

Sytuacje, w których stosuje się zmienne dyskretne

 natura poszukiwanych rozwiązań jest dyskretna

 wyznaczanie liczby niepodzielnych obiektów np.

procesorów, zadań, pracowników itp.

 określanie permutacji lub kombinacji pewnego zbioru obiektów – problemy kombinatoryczne

 wybór decyzji spośród wielu wariantów

 modelowanie funkcji kawałkami liniowych, np.

uwzględnianie kosztów stałych

(4)

Metody rozwiązywania problemów dyskretnych

 algorytmy specjalizowane

 programowanie sieciowe

 metody przeglądu

 metoda podziału i oszacowań (branch & bound)

 branch & cut, branch & price i inne odmiany

 programowanie w logice ograniczeń

 metody odcięć

 programowanie dynamiczne

 metody heurystyczne specjalizowane

 metaheurystyki

 algorytmy genetyczne (ewolucyjne)

 przeszukiwanie „tabu search”

 symulowane wyżarzanie (wychładzanie)

 algorytmy randomizowane, np. GRASP

(5)

Wykorzystywane „narzędzia”

 solvery Zadań Programowania Mieszanego

 wymagają zapisania problemu w postaci zadania programowania liniowego z ewentualnymi warunkami całkowitoliczbowości

 pakiety Programowania w Logice Ograniczeń

 wymagają zapisania problemu w stosownym języku, zwykle dość „elastycznym”

 dla uzyskania efektywności potrzebują sformułowania dobrych reguł sterowania procesem przeglądu

 programy specjalizowane dla danej klasy problemów

 wymagają zapisania danych wejściowych w stosownym formacie

 samodzielna implementacja algorytmów

(zaczerpniętych z literatury, opracowanych bądź dostosowanych przez siebie)

(6)

Problem P

z(P) = max f(x) xF(P)

Relaksacja

Restrykcja

Problem A

z(A) = max g(x) xF(A)

jest relaksacją problemu P jeżeli

(i) f(x)  g(x) dla każdego xF(P) (ii) F(P)  F(A)

(7)

xF(B)

jest restrykcją problemu P jeżeli

(i) f(x)  h(x) dla każdego xF(B) (ii) F(P)  F(B)

(8)

Metoda podziału i oszacowań

(dla zadania maksymalizacji)

1. Wybór podproblemu Pi do analizy (na początku P0 =P ).

2. Oszacowanie optymalnej wartości funkcji celu dla podproblemu Pi

 od dołu zi – z rozwiązania dopuszczalnego (dobrego);

 od góry ^zⁱ– z relaksacji (np. relaksacji liniowej);

3. Sondaż podproblemu Pi

 gdy Pi niedopuszczalny zamykamy jego analizę;

 gdy zi = ^zⁱ podproblem rozwiązany – zamykamy jego analizę. Jeżeli zi > z0, to znaleźliśmy lepsze rozwiązanie dopuszczalne problemu P, a więc z0:= zi ;

 gdy ^zⁱ  z0 – w podproblemie nie ma lepszych rozwiązań niż dotychczas znalezione (o wartości funkcji celu z0).

Zamykamy analizę podproblemu;

 gdy ^zⁱ > z0, zi < ^zⁱ dokonujemy podziału podproblemu Pi

na podproblemy Pj (nowe gałęzie drzewa), tak aby

F P_j F P_i

j

( ) ( )



4. Jeżeli wszystkie podproblemy są zamknięte to STOP. W przeciwnym przypadku idziemy do 1.

Dla zadania minimalizacji analiza oszacowań jest oparta na odwrotnych relacjach.

(9)

Przykład max

,

z x x

x x

x x calkowite

 

 



2 1 3 2 5 1 7 2 35 4 1 9 2 36

1 2 0

z

x



 14 8

17 312

17 2 6 17

1

2

z

x x



 131

2 21 4 3

1

2

z

x x



 142

5 41

5 2

1

2

niedopu szczalne

z x x



 131

3 2 31

9

1

2

z x x



 14

4 2

1 2

x2  3 x2  2

x1  5 x1  4 x1  3 x1  2

(10)

z x x



 13

2 3

1 2

z x x



 12

0 4

1 2

x2  4 x2  3

(11)

Kwestie do rozstrzygnięcia

 wybór podproblemu do analizy

 rodzaj stosowanych oszacowań

 rodzaj relaksacji – kompromis między czasem obliczeń a dokładnością

 strategia wyznaczania dobrych rozwiązań dopuszczalnych

 sposób podziału na podproblemy – drzewo binarne, wielogałęziowe itd.

 wybór zmiennej, względem której następuje podział

(12)

Przykład – problem plecakowy

Sformułowanie

Które spośród n przedmiotów o wartościach c1, c2,...,cn i ważących odpowiednio a1, a2,...,an należy zapakować do plecaka o ładowności b, aby łączna wartość zapakowanych przedmiotów była jak największa ?

Model Programowania Binarnego

max

{ , }, ,..., z c x

a x b

x i n

i i i n

i i i

n

i





 





1

0 1 1

(13)

Relaksacja liniowa problemu plecakowego

max

, ,..., z c x

a x b

x i n

i i i

n

i i i

n

i





  





1

0 1 1

Właściwości relaksacji liniowej

 Niech uporządkowanie przedmiotów będzie takie, że c1/a1  c2/a2  ...  cn/an

Wtedy rozwiązanie

x1=1, x2=1, ..., xp-1=1, xp = (^b ^aⁱ

i

p



 1

1 )/ap, xp+1=0, ..., xn=0 gdzie p = min{ j : ^aⁱ ^b

i j

 ^

1 }

jest optymalnym rozwiązaniem relaksacji liniowej problemu plecakowego

 Zachłanny algorytm rozwiązywania

(14)

Powłoka wypukła

Najmniejszy zbiór wypukły zawierający zbiór rozwiązań dopuszczalny problemu dyskretnego

Właściwości

Relaksacja liniowa problemu ograniczonego do powłoki wypukłej daje rozwiązanie optymalne problemu dyskretnego.

Idea metod odcięć

(kolejne „przybliżanie” powłoki wypukłej) 1. rozwiązanie relaksacji liniowej;

2. jeżeli rozwiązanie dopuszczalne (całkowitoliczbowe), to STOP.

W przeciwnym przypadku idź do 3;

3. generacja i dodawanie ograniczenia odcinającego uzyskane rozwiązanie, ale nie naruszające powłoki wypukłej. Idź do 1;