Przykładowe rozwiązanie MES problemu stacjonarnego przepływu ciepła
Piotr Pluciński
e-mail: Piotr.Plucinski@pk.edu.pl
Jerzy Pamin
e-mail: Jerzy.Pamin@pk.edu.pl
Katedra Technologii Informatycznych w Inżynierii Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej
Strona domowa: www.CCE.pk.edu.pl
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu N i (x, y) = α 1i + α 2i x e + α 3i y e
1 x i y i
1 x j y j
1 x k y k
α 1i
α 2i
α 3i
=
1 0 0
W =
1 x i y i
1 x j y j
1 x k y k
= 2P 4
y x
i k
j e
y N i (x e , y e )
x 1 i
k j
α 1i = x j y k − x k y j
2P 4
α 2i = y j − y k
2P 4
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu N i (x, y) = α 1i + α 2i x e + α 3i y e
1 x i y i
1 x j y j
1 x k y k
α 1i
α 2i
α 3i
=
1 0 0
W =
1 x i y i
1 x j y j
1 x k y k
= 2P 4
y x
i k
j e
y N i (x e , y e )
x 1 i
k j
α 1i = x j y k − x k y j
2P 4
α 2i = y j − y k
2P 4
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu N i (x, y) = α 1i + α 2i x e + α 3i y e
1 x i y i 1 x j y j
1 x k y k
α 1i α 2i
α 3i
=
1 0 0
W =
1 x i y i
1 x j y j
1 x k y k
= 2P 4
W α
1i=
1 x i y i
0 x j y j
0 x k y k
= x j y k − x k y j
α 1i = W α
1iW = x j y k − x k y j 2P 4
y x
i k
j e
y N i (x e , y e )
x 1 i
k j
α 1i = x j y k − x k y j
2P 4
α 2i = y j − y k
2P 4
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu N i (x, y) = α 1i + α 2i x e + α 3i y e
1 x i y i 1 x j y j
1 x k y k
α 1i α 2i
α 3i
=
1 0 0
W =
1 x i y i
1 x j y j
1 x k y k
= 2P 4
W α
1i=
1 x i y i
0 x j y j
0 x k y k
= x j y k − x k y j
α 1i = W α
1iW = x j y k − x k y j 2P 4
y x
i k
j e
y N i (x e , y e )
x 1 i
k j
α 1i = x j y k − x k y j
2P 4
α 2i = y j − y k
2P 4
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu N i (x, y) = α 1i + α 2i x e + α 3i y e
1 x i y i 1 x j y j
1 x k y k
α 1i α 2i
α 3i
=
1 0 0
W =
1 x i y i
1 x j y j
1 x k y k
= 2P 4
W α
2i=
1 1 y i
1 0 y j
1 0 y k
= y j − y k
α 2i = W α
2iW = y j − y k
2P 4
y x
i k
j e
y N i (x e , y e )
x 1 i
k j α 1i = x j y k − x k y j
2P 4
α 2i = y j − y k
2P 4
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu N i (x, y) = α 1i + α 2i x e + α 3i y e
1 x i y i 1 x j y j
1 x k y k
α 1i α 2i
α 3i
=
1 0 0
W =
1 x i y i
1 x j y j
1 x k y k
= 2P 4
W α
2i=
1 1 y i
1 0 y j
1 0 y k
= y j − y k
α 2i = W α
2iW = y j − y k
2P 4
y x
i k
j e
y N i (x e , y e )
x 1 i
k j α 1i = x j y k − x k y j
2P 4
α 2i = y j − y k
2P 4
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu N i (x, y) = α 1i + α 2i x e + α 3i y e
1 x i y i
1 x j y j 1 x k y k
α 1i
α 2i α 3i
=
1 0 0
W =
1 x i y i 1 x j y j 1 x k y k
= 2P 4
W α
3i=
1 x i 1 1 x j 0 1 x k 0
= x k − x j
α 3i = W α
3iW = x k − x j
2P 4
y x
i k
j e
y N i (x e , y e )
x 1 i
k j α 1i = x j y k − x k y j
2P 4
α 2i = y j − y k
2P 4
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Wyznaczenie funkcji kształtu dla elementu trójwęzłowego
Funkcja kształtu N i (x, y) = α 1i + α 2i x e + α 3i y e
1 x i y i
1 x j y j 1 x k y k
α 1i
α 2i α 3i
=
1 0 0
W =
1 x i y i 1 x j y j 1 x k y k
= 2P 4
W α
3i=
1 x i 1 1 x j 0 1 x k 0
= x k − x j
α 3i = W α
3iW = x k − x j
2P 4
y x
i k
j e
y N i (x e , y e )
x 1 i
k j α 1i = x j y k − x k y j
2P 4
α 2i = y j − y k
2P 4
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
q n = 0
q n = 0 q n = 5 J/m 2 s
T = 20 ◦ C
4 m
3 m
k = 0.9 J/ms ◦ C f = 2 J/m 2 s h = 1 m
X Y
1 i
2 j
3 k
i k j 4
Dyskretyzacja
1 2
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
q n = 0
q n = 0 q n = 5 J/m 2 s
T = 20 ◦ C
4 m
3 m
k = 0.9 J/ms ◦ C f = 2 J/m 2 s h = 1 m
X Y
1 i
2 j
3 k
i k j 4
Dyskretyzacja
1 2
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przepływ ciepła w 2D
Z
A
(∇w) T Dh∇T dA = − Z
Γ
qwh qdΓ − b Z
Γ
Twhq n dΓ + Z
A
whf dA
+ podstawowy warunek brzegowy
T = b T na Γ T
T = NΘ, w = Nw = w T N T , ∇T = BΘ
∇w = w T B T , D = kI, h = const
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przepływ ciepła w 2D
Z
A
(∇w) T Dh∇T dA = − Z
Γ
whq n dΓ + Z
A
whf dA
+ podstawowy warunek brzegowy
T = b T na Γ T
T = NΘ, w = Nw = w T N T , ∇T = BΘ
∇w = w T B T , D = kI, h = const
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przepływ ciepła w 2D
Z
A
(∇w) T Dh∇T dA = − Z
Γ
whq n dΓ + Z
A
whf dA
+ podstawowy warunek brzegowy
T = b T na Γ T
T = NΘ, w = Nw = w T N T , ∇T = BΘ
∇w = w T B T , D = kI, h = const
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przepływ ciepła w 2D
Z
A
(∇w) T Dh∇T dA = − Z
Γ
whq n dΓ + Z
A
whf dA
+ podstawowy warunek brzegowy
T = b T na Γ T
T = NΘ, w = Nw = w T N T , ∇T = BΘ
∇w = w T B T , D = kI, h = const
w T Z
A
B T kBdA Θ = −w T Z
Γ
N T q n dΓ + w T Z
A
N T f dA ∀w T
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przepływ ciepła w 2D
Z
A
(∇w) T Dh∇T dA = − Z
Γ
whq n dΓ + Z
A
whf dA
+ podstawowy warunek brzegowy
T = b T na Γ T
T = NΘ, w = Nw = w T N T , ∇T = BΘ
∇w = w T B T , D = kI, h = const Z
A
B T kBdA Θ = − Z
Γ
N T q n dΓ + Z
A
N T f dA
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przepływ ciepła w 2D
Z
A
(∇w) T Dh∇T dA = − Z
Γ
whq n dΓ + Z
A
whf dA
+ podstawowy warunek brzegowy
T = b T na Γ T
T = NΘ, w = Nw = w T N T , ∇T = BΘ
∇w = w T B T , D = kI, h = const Z
A
B T kBdA Θ = − Z
Γ
N T q n dΓ + Z
A
N T f dA
K = Z
A
B
TkBdA, f = Z
A
N
Tf dA, f
b= − Z
Γ
N
Tq
ndΓ
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przepływ ciepła w 2D
Z
A
(∇w) T Dh∇T dA = − Z
Γ
whq n dΓ + Z
A
whf dA
+ podstawowy warunek brzegowy
T = b T na Γ T
T = NΘ, w = Nw = w T N T , ∇T = BΘ
∇w = w T B T , D = kI, h = const Z
A
B T kBdA Θ = − Z
Γ
N T q n dΓ + Z
A
N T f dA
K = Z
A
B
TkBdA, f = Z
A
N
Tf dA, f
b= − Z
Γ
N
Tq
ndΓ KΘ = f + f b
Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Macierz K – element 1 N 1 =
1 − 1 4 x 1 4 x − 1 3 y 1 3 y
B 1 = ∇N =
−0.250 0.250 0.000 0.000 −0.333 0.333
K 1 = Z
A
1B T kBdA = A 1 B T kB
=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Macierz K – element 1 N 1 =
1 − 1 4 x 1 4 x − 1 3 y 1 3 y
B 1 = ∇N =
−0.250 0.250 0.000 0.000 −0.333 0.333
K 1 = Z
A
1B T kBdA = A 1 B T kB
=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Macierz K – element 1 N 1 =
1 − 1 4 x 1 4 x − 1 3 y 1 3 y
B 1 = ∇N =
−0.250 0.250 0.000 0.000 −0.333 0.333
K 1 = Z
A
1B T kBdA = A 1 B T kB
=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Macierz K – element 2 N 2 =
1 − 1 3 y 1 4 x 1 3 y − 1 4 x
B 2 = ∇N =
0.000 0.250 −0.250
−0.333 0.000 0.333
K 2 = Z
A
2B T kBdA = A 2 B T kB
=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Macierz K – element 2 N 2 =
1 − 1 3 y 1 4 x 1 3 y − 1 4 x
B 2 = ∇N =
0.000 0.250 −0.250
−0.333 0.000 0.333
K 2 = Z
A
2B T kBdA = A 2 B T kB
=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Macierz K – element 2 N 2 =
1 − 1 3 y 1 4 x 1 3 y − 1 4 x
B 2 = ∇N =
0.000 0.250 −0.250
−0.333 0.000 0.333
K 2 = Z
A
2B T kBdA = A 2 B T kB
=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
1 1
i
3 j k 4
2
Wektor f – element 1 i 2 - A 1 = A 2
f e = Z
A
eN T f dA = f 3 A e
1 1 1
=
4 4 4
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Wektor f b – element 1 f b 1 = −
Z
Γ
1ij(N 1 ) T q n dΓ − Z
Γ
1jk(N 1 ) T q n dΓ
− Z
Γ
1ki(N 1 ) T q n dΓ
f b 1 =
0 0 0
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Wektor f b – element 1 f b 1 = −
Z
Γ
1ij(N 1 ) T q n w.b. = 0
dΓ − Z
Γ
1jk(N 1 ) T q n w.b. = 0
dΓ
ciągłość strumienia wzdłuż brzegu 1-3 q n 1
ki = −q n 2 ij
− Z
Γ
1ki(N 1 ) T q n dΓ
f b 1 =
0 0 0
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Wektor f b – element 1 f b 1 = −
Z
Γ
1ij(N 1 ) T q n w.b. = 0
dΓ − Z
Γ
1jk(N 1 ) T q n w.b. = 0
dΓ
ciągłość strumienia wzdłuż brzegu 1-3 q n 1
ki = −q n 2 ij
− Z
Γ
1ki(N 1 ) T q n dΓ
f b 1 =
0 0 0
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Wektor f b – element 2
f b 2 = − Z
Γ
2ij(N 2 ) T q n dΓ
− Z
Γ
2jk(N 2 ) T q n dΓ − Z
Γ
2ki(N 2 ) T q n dΓ
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Wektor f b – element 2
f b 2 = − Z
Γ
2ij(N 2 ) T q n dΓ
ciągłość strumienia wzdłuż brzegu 1-3 q n 1
ki = −q n 2 ij
− Z
Γ
2jk(N 2 ) T q n dΓ − Z
Γ
2ki(N 2 ) T q n dΓ
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Wektor f b – element 2 f b 2 = −
Z
Γ
2jk(N 2 ) T q n dΓ − Z
Γ
2ki(N 2 ) T q n dΓ
− Z
Γ2jk
(N
2)
Tq
ndΓ = − Z
40
N
2(x, y = 3)
T(−5)dx
=
" 0 10 10
#
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Wektor f b – element 2 f b 2 =
0 10 10
− Z
Γ
2ki(N 2 ) T q n dΓ
− Z
Γ2 ki
(N
2)
Tq
ndΓ = − Z
30
N
2(x = 0, y)
Tq
ndx
=
" f
b1
0 f
b4#
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
,
f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Agregacja
K 1 =
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K =
0.338 −0.338 0.000 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.600 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
, f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Agregacja
K 2 =
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600
−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
, f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Agregacja
f 1 =
4 4 4
f =
4 4 4 0
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
, f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
i
2 j k
1 1
i
3 j k 4
2
Agregacja
f 1 =
4 4 4
f 2 =
4 4 4
f =
8 4 8 4
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
, f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic
Przykład przepływu ciepła w 2D – elementy trójwęzłowe
qn = 0 qn=0 qn = 5 J/m2 s
T=20◦C
k = 0.9 J/ms◦C f = 2 J/m2s h = 1 m
X Y
Dyskretyzacja
1 i
2 j
3
k
i 1 j k 4
2
Agregacja
f b 1 =
0 0 0
f b =
0 0 0 0
K
1=
0.338 −0.338 0.000
−0.388 0.938 −0.600 0.000 −0.600 0.600
K
2=
0.600 0.000 −0.600 0.000 0.338 −0.338
−0.600 −0.338 0.938
f
1= f
2=
4
4 4
f
b1=
0
0 0
, f
b2=
f
b 1
10 f
b 4+ 10
K =
0.938 −0.338 0.000 −0.600−0.388 0.938 −0.600 0.000 0.000 −0.600 0.938 −0.338
−0.600 0.000 −0.338 0.938
f =
8 4 8 4,
fb =
fb10 10 fb4 + 10
Θ =
20 48.040 57.145 20Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic