Zadanie 1. Niech C n bedzie przestrzenia liniowa nad C i niech J : C n → C n bedzie odwzorowaniem

(1)

ANALIZA FUNKCJONALNA 27 lutego 2015

Semestr letni

Ró»ne przestrzenie sprze»one Javier de Lucas

Zadanie 1. Niech C ⁿ bedzie przestrzenia liniowa nad C i niech J : C ⁿ → C ⁿ bedzie odwzorowaniem

J (z ₁ , . . . , z _n ) = (iz ₁ , . . . , iz _n ).

Udowodnij, »e J jest odwzorowaniem liniowym takim, »e J ² = −Id . Niech T : C ⁿ → C ⁿ bedzie odwzorowaniem liniowym nad R. Wykaz, »e T jest odwzorowaniem antyliniowym wtedy i tylko wtedy T jest odwzorowaniem liniowym nad R i {T, J} := T J + JT = 0.

Wykaz, »e T jest odwzorowaniem liniowym nad C wtedy i tylko wtedy T jest odwzoro- waniem liniowym nad R i [T, J] := T J − JT = 0.

Zadanie 2. Czy odwzorowania

a) V 3 v 7→ ϕ _v ∈ (V ^# ) ^# , ϕ _v : f ∈ V ^# 7→ ¯ f (v) ∈ C, b) V ^# 3 f 7→ ϕ( ¯ f ) ∈ C, ϕ ∈ (V ^∗ ) ^# ,

c) V ^∗ 3 f 7→ F ^F

^∗

^∗ f := f ◦ F ∈ W ^# , F ∈ AL(W, V ), d) V ^# 3 f ^F 7→ F

^#

^# f := f ◦ F ∈ W ^∗ , F ∈ AL(W, V ), sa dobrze zdeniowane? Czy sa liniowe czy antyliniowe?

Zadanie 3. Udowodnij, »e odwzorowania ω _i ^# , ω _i ^∗ : C n [X] → C, gdzie C n [X] to przestrze«

wielomianow stopnia nie wieksze ni» n nad C, dane wzorami

ω _i ^# (P ) :=

Z 1 0

P (x)x ¯ ⁱ dx, ω ^∗ _i (P ) :=

Z 1 0

P (x)x ⁱ dx, i = 0, . . . , n,

sa liniowe czy antyliniowe. Udowodnij, »e ω i ^# tworza baze przestrzeni V ^# i ω i ^∗ tworza baze przestrzeni V ^∗ . Wyka», »e ω _i ^# = ¯ ω _i , gdzie i = 1, . . . , n.

Zadanie 4. Niec F : C 2 [X] → C ¹ [X] , D 1 ∈ C ^# 1 (X) i D 2 ∈ C ^∗ 1 [X] maja posta¢

F (P ) :=

Z 1 0

P (x)dx + x ¯

Z 1 0

P (x)x ¯ ² dx

, D ₁ (P ) := dP/dx, D ₂ (P ) := dP/dx.

Oblicz F ^# D ₁ and F ^∗ D ₂ .

Zadanie 5. Niech C ⁿ bedzie przestrzenia liniowa nad C wyposa»ona w iloczyn skalarny (·|·) : C ⁿ × C ⁿ → C. Wyka», »e odwzorowanie w Ψ : C ⁿ 3 v 7→ (w|v) ∈ C ⁿ jest liniowy i Ψ _w : C ⁿ 3 v 7→ (v|w) ∈ C ⁿ jest antyliniowy.

1

Zadanie 1. Niech C n bedzie przestrzenia liniowa nad C i niech J : C n → C n bedzie odwzorowaniem

ANALIZA FUNKCJONALNA 27 lutego 2015

Semestr letni

Ró»ne przestrzenie sprz e»one Javier de Lucas

Zadanie 1. Niech C n b edzie przestrzeni a liniow a nad C i niech J : C n → C n b edzie odwzorowaniem

J (z 1 , . . . , z n ) = (iz 1 , . . . , iz n ).

Udowodnij, »e J jest odwzorowaniem liniowym takim, »e J 2 = −Id . Niech T : C n → C n b edzie odwzorowaniem liniowym nad R. Wykaz, »e T jest odwzorowaniem antyliniowym wtedy i tylko wtedy T jest odwzorowaniem liniowym nad R i {T, J} := T J + JT = 0.

Wykaz, »e T jest odwzorowaniem liniowym nad C wtedy i tylko wtedy T jest odwzoro- waniem liniowym nad R i [T, J] := T J − JT = 0.

Zadanie 2. Czy odwzorowania

a) V 3 v 7→ ϕ v ∈ (V # ) # , ϕ v : f ∈ V # 7→ ¯ f (v) ∈ C, b) V # 3 f 7→ ϕ( ¯ f ) ∈ C, ϕ ∈ (V ∗ ) # ,

c) V ∗ 3 f 7→ F F

∗ f := f ◦ F ∈ W # , F ∈ AL(W, V ), d) V # 3 f F 7→ F

# f := f ◦ F ∈ W ∗ , F ∈ AL(W, V ), s a dobrze zdeniowane? Czy s a liniowe czy antyliniowe?

Zadanie 3. Udowodnij, »e odwzorowania ω i # , ω i ∗ : C n [X] → C, gdzie C n [X] to przestrze«

wielomianow stopnia nie wi eksze ni» n nad C, dane wzorami

ω i # (P ) :=

Z 1 0

P (x)x ¯ i dx, ω ∗ i (P ) :=

Z 1 0

P (x)x i dx, i = 0, . . . , n,

s a liniowe czy antyliniowe. Udowodnij, »e ω i # tworz a baz e przestrzeni V # i ω i ∗ tworz a baz e przestrzeni V ∗ . Wyka», »e ω i # = ¯ ω i , gdzie i = 1, . . . , n.

Zadanie 4. Niec F : C 2 [X] → C 1 [X] , D 1 ∈ C # 1 (X) i D 2 ∈ C ∗ 1 [X] maj a posta¢

F (P ) :=

Z 1 0

P (x)dx + x ¯

Z 1 0

P (x)x ¯ 2 dx



, D 1 (P ) := dP/dx, D 2 (P ) := dP/dx.

Oblicz F # D 1 and F ∗ D 2 .

Zadanie 5. Niech C n b edzie przestrzeni a liniow a nad C wyposa»on a w iloczyn skalarny (·|·) : C n × C n → C. Wyka», »e odwzorowanie w Ψ : C n 3 v 7→ (w|v) ∈ C n jest liniowy i Ψ w : C n 3 v 7→ (v|w) ∈ C n jest antyliniowy.

1

Ró»ne przestrzenie sprze»one Javier de Lucas

Zadanie 1. Niech C ⁿ bedzie przestrzenia liniowa nad C i niech J : C ⁿ → C ⁿ bedzie odwzorowaniem

J (z ₁ , . . . , z _n ) = (iz ₁ , . . . , iz _n ).

Udowodnij, »e J jest odwzorowaniem liniowym takim, »e J ² = −Id . Niech T : C ⁿ → C ⁿ bedzie odwzorowaniem liniowym nad R. Wykaz, »e T jest odwzorowaniem antyliniowym wtedy i tylko wtedy T jest odwzorowaniem liniowym nad R i {T, J} := T J + JT = 0.

a) V 3 v 7→ ϕ _v ∈ (V ^# ) ^# , ϕ _v : f ∈ V ^# 7→ ¯ f (v) ∈ C, b) V ^# 3 f 7→ ϕ( ¯ f ) ∈ C, ϕ ∈ (V ^∗ ) ^# ,

c) V ^∗ 3 f 7→ F ^F

^∗ f := f ◦ F ∈ W ^# , F ∈ AL(W, V ), d) V ^# 3 f ^F 7→ F

^# f := f ◦ F ∈ W ^∗ , F ∈ AL(W, V ), sa dobrze zdeniowane? Czy sa liniowe czy antyliniowe?

Zadanie 3. Udowodnij, »e odwzorowania ω _i ^# , ω _i ^∗ : C n [X] → C, gdzie C n [X] to przestrze«

wielomianow stopnia nie wieksze ni» n nad C, dane wzorami

ω _i ^# (P ) :=

P (x)x ¯ ⁱ dx, ω ^∗ _i (P ) :=

P (x)x ⁱ dx, i = 0, . . . , n,

sa liniowe czy antyliniowe. Udowodnij, »e ω i ^# tworza baze przestrzeni V ^# i ω i ^∗ tworza baze przestrzeni V ^∗ . Wyka», »e ω _i ^# = ¯ ω _i , gdzie i = 1, . . . , n.

Zadanie 4. Niec F : C 2 [X] → C ¹ [X] , D 1 ∈ C ^# 1 (X) i D 2 ∈ C ^∗ 1 [X] maja posta¢

Z 1 0

P (x)x ¯ ² dx

, D ₁ (P ) := dP/dx, D ₂ (P ) := dP/dx.

Oblicz F ^# D ₁ and F ^∗ D ₂ .

Zadanie 5. Niech C ⁿ bedzie przestrzenia liniowa nad C wyposa»ona w iloczyn skalarny (·|·) : C ⁿ × C ⁿ → C. Wyka», »e odwzorowanie w Ψ : C ⁿ 3 v 7→ (w|v) ∈ C ⁿ jest liniowy i Ψ _w : C ⁿ 3 v 7→ (v|w) ∈ C ⁿ jest antyliniowy.