Javier de Lucas Zadanie 1. Niech f : R → R bedzie

ANALIZA I 9 stycznia 2015 Semestr zimowy II Kolokwium próbne

Javier de Lucas Zadanie 1. Niech f : R → R bedzie

f (x) =



 

 

− ¹ ₂ x ² + 2, gdy x ≤ 0, c cos x + d, gdy 0 < x ≤ ^π ₂ , dp ^{cos x} + p − 1, gdy x > ^π ₂ .

Dobra¢ parametry c, d, p tak, »eby ta funkcja byªa ró»niczkowalna na R.

Zadanie 2. Oblicz granice:

• lim _x→0 sin(x)−sinh(x)+x

x

sin

(x) , gdzie sinh(x) = (e ^x − e ^−x )/2 ,

• lim _{x→−π/2 2 sin} ^{2 sin}

x+3 sin x+1 ^{x+sin x−1} ,

• lim x→0 a

+b

2

1/x

, a, b > 0.

Zadanie 3. Udowodnij, »e

e ^x <  1 + x

n

 n+x/2

, x > 0, n > 0.

Zadanie 4. W trójkat o podstawie a i wysoko±ci h wpisano prostokat w ten sposób, »e jeden z boków prostokata le»y na danej podstawie trójkata, a dwa pozostaªe wierzchoªki prostokata le»a na pozostaªych boków trójkata. Zbada¢ przebieg zmienno±ci pola S tego prostokata.

Zadanie 5. Oblicz szereg Taylora funkcji (1 + x) ^5/2 do czwartego rzedu (wªacznie) z reszta Lagrange wokóª x 0 = 0 .

1