WYBRANE ASPEKTY ZACHOWANIA SIÊ NAWIERZCHNI PODATNYCH W MODELACH MATERIA ÓW TERMOLEPKOSPRÊ YSTYCH 3)

Nr 2 2010

MIROS£AW GRACZYK¹⁾ JÓZEF RAFA²⁾

WYBRANE ASPEKTY ZACHOWANIA SIÊ NAWIERZCHNI PODATNYCH W MODELACH MATERIA£ÓW TERMOLEPKOSPRʯYSTYCH

STRESZCZENIE. W artykule przedstawiono wybrane aspekty oddzia³ywañ dynamicznych i termicznych na konstrukcjê nawierzchni podatnej w modelu termolepkosprê¿ystym. Artyku³ obejmuje skompensowanie zagadnieñ z prowadzonych prac w³asnych modelowych w zakresie teoretycznym oraz przedstawia podstawowe zale¿noœci i ich analizê. Przedstawiono równie¿

wynikaj¹ce z tej analizy wnioski, które zostan¹ w przysz³oœci wykorzystane w praktyce przy projektowaniu i diagnozowaniu nawierzchni podatnych i pó³sztywnych.

1. WSTÊP

Modelowanie uk³adu nawierzchni jest zawsze du¿ym problemem badacza, a w szcze- gólnoœci w zakresie wyboru modelu adekwatnego do rzeczywistych warunków pracy konstrukcji [1]. Z jednej strony zawsze istnieje pokusa przyjêcia jak najprostszego roz- wi¹zania, ale zaraz rodzi siê pytanie, czy wystarczaj¹co dobrze opisuje on oddzia³ywa- nia w niej wystêpuj¹ce, z drugiej zaœ strony przyjêcie modelu z³o¿onego daje mo¿- liwoœæ ujêcia wszystkich lub prawie wszystkich procesów zachodz¹cych w konstruk- cji, ale nastrêcza du¿o trudnoœci w jego sformu³owaniu matematyczno - fizycznym.

1)dr in¿. – Instytut Badawczy Dróg i Mostów, Warszawa

2)dr in¿. – Wojskowa Akademia Techniczna, Warszawa

3)rozszerzona wersja referatu z Konferencji ENVIROAD 2009

Powstaje wówczas w¹tpliwoœæ, czy model „pe³ny”, w którym ujêto ca³¹ z³o¿onoœæ pracy nawierzchni jest dobry. Przy czym podstaw¹ jest tutaj okreœlenie istotnoœci, ka-

¿dego z osobna i wszystkich razem opisanych w modelu procesów, a tak¿e ich inte- rakcji.

Jednoczeœnie opis matematyczny modelu daj¹cy mo¿liwoœæ uwzglêdnienia interakcji miêdzy ró¿nymi oddzia³ywaniami lepiej odzwierciedla fizyczn¹ naturê zjawisk za- chodz¹cych w nawierzchni ni¿ np. stosowanie jedynie zasady superpozycji w celu wszystkich oddzia³ywañ zewnêtrznych. Taka klasyczna sytuacja ma miejsce w od- dzia³ywaniach od obci¹¿eñ masowych i termicznych na konstrukcjê nawierzchni.

Autorzy proponuj¹ opis matematyczny oddzia³ywañ od obci¹¿eñ masowych i ter- micznych w modelu konstrukcji nawierzchni z obustronnym sprzê¿eniem termome- chanicznym i mechaniczno - termicznym. W prezentowanym artykule omówiono jakoœciowo i graficznie wp³yw wymienionych czynników na oddzia³ywanie na na- wierzchniê i ocenê noœnoœci konstrukcji.

2. OPIS MODELU NAWIERZCHNI Z MATERIA£U TERMOLEPKOSPRʯYSTEGO

2.1. UWAGI OGÓLNE

Model nawierzchni termolepkosprê¿ystej zosta³ opisany matematycznie analogicznie jak w oœrodku lepko - sprê¿ystym zgodnie z modelem Biota [2], z uwzglêdnieniem opisu propagacji ciep³a wed³ug teorii Gurtina - Pipkina [3 - 5]. Taka idea daje mo¿li- woœæ opisu w sposób bli¿szy rzeczywistej pracy nawierzchni podatnych, a tym sa- mym aplikacji w nowych dok³adniejszych metodach projektowania i diagnozowania, tak poszczególnych warstw bitumicznych jak i ca³ej konstrukcji nawierzchni podat- nych.

W opisie formalnym równania bilansu pêdu i energii wewnêtrznej przedstawiaj¹ uk³ad równañ ró¿niczkowo - ca³kowych typu splotowego. Konstrukcjê rozwi¹zania przeprowadzono metod¹ transformacji ca³kowych Laplace’a i Fouriera [6] z wyko- rzystaniem do retransformacji metody Cagniarda - de Hoopa [7 - 8].

Wyznaczono rozwi¹zanie fundamentalne problemu, zbadano jego podstawowe w³asnoœci i dokonano porównania z klasycznym, dotychczas stosowanym opisem.

Uzyskane rozwi¹zania bêd¹ wykorzystane w zagadnieniach brzegowo - pocz¹tko- wych stosowanych miêdzy innymi w diagnostyce podatnych i pó³sztywnych na- wierzchni warstwowych drogowych i lotniskowych.

2.2. SFORMU£OWANIE PROBLEMU

Dla jednorodnego, izotropowego oœrodka o w³asnoœciach lepkosprê¿ystych ze sprzê-

¿eniem termomechanicznym, równanie bilansu pêdu i energii wewnêtrznej mo¿na za- pisaæ w postaci [9 - 10]:

• równania zachowania pêdu:

¶ rt v( r) os Fr

- Ñ = , (1)

• równania bilansu energii wewnêtrznej:

¶ rt e( )- Ñoq=w . (2)

Równanie konstytutywne w obustronnie sprzê¿onej termolepkosprê¿ystoœci przyj- mujemy w postaci podanej poni¿ej [3 - 5]:

– sk³adowych tensora naprê¿eñ:

s_ik l e d e b q d

t ll ik u t ik t ik

= *( ) +2( * ) (- * ) , (3)

– sk³adowych strumienia ciep³a:

q_k a

t k

= - * ¶ q , (4)

– energii wewnêtrznej:

e e c

t t ll

= ₀ + *( q)+q b e₀( * ) , (5) gdzie:

(m n)

*t ^– splot,

x=(x x₁, ₂,x₃)Π³, tÎR₊,

r ^– gêstoœæ masowa oœrodka,

r r

v = ¶_tu – prêdkoœæ masowa oœrodka,

Ñ ^– operator Hamiltona,

s – tensor naprê¿eñ,

q – strumieñ ciep³a,

ur – wektor przemieszczeñ,

e_ik =1 ¶_ku_i +¶_iu_k

2( ) – sk³adowe tensora odkszta³ceñ,

e_ll =¶_llu_l ^– sk³adowe diagonalne tensora odkszta³ceñ, q= -Q q₀ – temperatura wzglêdna oœrodka,

Q ^– temperatura bezwzglêdna,

q₀ – temperatura odniesienia,

Fr – wektor si³ masowych,

w – wewnêtrzne Ÿród³a energii,

e₀ – energia odniesienia,

b( )t = 3a_TK t( ) ^– funkcja relaksacji sprzê¿enia termomechanicznego, a_T – wspó³czynnik rozszerzalnoœci termicznej,

K t( )=l( )t +2m( )t

3 ^– modu³ objêtoœciowy,

l m, – sta³e Lame,

a t( ) – funkcja relaksacji strumienia ciep³a, c t( )=c_vd( )t +b t( ) – funkcja relaksacji przewodnictwa ciep³a,

d( )t – delta Diraca,

b t( ) – funkcja relaksacji energii wewnêtrznej, c_v – wspó³czynnik przewodnictwa ciep³a,

d_ik – delta Kroneckera,

(f g t)( ) f t( ) ( )g d

t

t

* =

ò

0

.

Poza wymienionymi oznaczeniami, w dalszej czêœci artyku³u wykorzystano tak¿e:

T – bezwymiarowe chwile czasu, T t

=t

0

,

t₀ – czas, po którym czo³o fali przebêdzie jednostkow¹ odleg³oœæ, v – bezwymiarowa temperatura bie¿¹ca, v= q

q_w,

q_w ^– temperatura równowa¿na intensywnoœci Ÿród³a ciep³a w x t( , ), h₀ ^– bezwymiarowa odleg³oœæ od osi walca,h r

0 0

=vt .

Uk³ad równañ (1)¸ (5) rozwi¹¿emy przy uwzglêdnieniu skupionych wymuszeñ ma- sowych i termicznych, wyznaczaj¹c: r

u t x( , ) [= u u u₁, ₂, ₃)^Torazq( , )t x . W tym celu zastosujemy metodê przekszta³ceñ ca³kowych Laplace’a wzglêdem t oraz Fouriera wzglêdem x₁oraz x₂ [4, 9]. W otrzymanych rozwi¹zaniach w postaci transformat za- stosujemy uogólnion¹ i zmodyfikowan¹ metodê Cagniarda - de Hoopa [9] i wyzna- czymy rozwi¹zanie w czasoprzestrzeni ( , )t x .

3. ROZWI¥ZANIE FUNDAMENTALNE PROBLEMU

Przyjmujemy Ÿród³a zewnêtrzne w postaci:

Fr P P P t x w Q t x

= T

=

r d

r d

[ , , ] ( , ) ( , )

1 2 3 ,

.

(6)

Równania (1)¸ (5) jako uk³ad równañ drugiego rzêdu zapisujemy nastêpuj¹co:

r¶_t²ur l m our m our ur b q r d dP tr -( + * ÑÑ) - * ÑÑ( - Ñ ´ Ñ ´ )+ * Ñ = ( ) (x

c u a Q

t

)

( )

,

¶ r q q b* + ₀ * Ñor - * Ñ Ñ =o q r d d( ) ( )t x .

(7)

Uk³ad równañ (7) zast¹pimy równowa¿nym uk³adem w postaci:

r¶ e_t² -(l+2m)* Ñ + * Ñ =²e b ²q rd( )tÑo(P xrd( )) ,

r¶ m rd d

r¶ q q ¶ b

t

t t

w w t P x

c

2

0

r r r

+ * Ñ ´ Ñ = Ñ ´

* +

( ) ( ( ))

( ) (

,

* - * Ñ =e) a ²q r d dQ t( ) ( )x ,

(8)

gdzie:

e = Ñ^divour

r r,

w u

= Ñ´ ,rot

Ño rº w 0 oraz

Ñ o r ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x

P x x x P x x x

d

¶ d d d d ¶ d d

=

= _{1 1 1 2 3} + _{2 1 2 2 3} + P x₃d( ₁) (d x₂)¶ d₃ (x₃) , (9)

Ñ ´ = =

- ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r r

P x S

P x x x P x x

d

¶ d d d d ¶ d ¶

3 1 1 2 3 2 1 2 2 3d

d d ¶ d ¶ d d d

¶ d

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

x

P x x x P x x x

P

3

1 1 2 3 3 3 1 1 2 3

2 1

-

x x x P x x x

T

1) (d 2) (d 3)+ 1d( 1)¶ d2 ( 2) (d 3) é

ë êê ê

ù

û úú ú

. (10)

Na obecnym etapie pracy wyznaczono rozwi¹zanie wyra¿one przez dylatacjê pola przemieszczeñ i temperaturê oœrodka (nawierzchni podatnej) wywo³anych Ÿród³em termicznym zgodnie z wzorem (11):

Fr P P P t x w Q t x

= T =

=

r d

r d

[ , , ] ( , ) ( , )

1 2 3 0 ,

.

(11) Ogóln¹ postaæ rozwi¹zania mo¿na zapisaæ w postaci wzorów (12):

e p

( , ) b

(

,

t x Q

R L w a

ac w^{l l}w L

l t

= -

é ëê ê

ù ûú ú*

-

=

å

4

1

2

1 2

1 2

3 1 3 2

1

1 1

2 2

1 2

1

4 2

[ ]

( , ) ( ) ( )

(

e

t x Q

R a L s c w

ac w w

w R

l

l

l ,

q p

= - r -

-

-

3 1 3 2

1

) [ ]

,

é ëê ê

ù ûú ú*

=

- -

l

å

L e w R^l ,

(12)

gdzie:

L^-1 oznacza retransformatê Laplace’a,

R= x₁² +x₂² +x₃² jest odleg³oœci¹ od Ÿród³a ciep³a.

Wystêpuj¹ce wspó³czynniki w_lwyra¿aj¹ siê poprzez funkcje relaksacji, opisane przy sformu³owaniu problemu, zaœ c a

1

2 2

= +l r .

WskaŸnik:

l=1 dotyczy fali sprê¿ysto - termicznej, l= 3 dotyczy fali termiczno - sprê¿ystej.

4. ANALIZA NUMERYCZNA

W celu ilustracji otrzymanych rozwi¹zañ przedstawiono rozk³ad temperatury w oœrodku (w warstwie bitumicznej nawierzchni podatnej), w funkcji wspó³rzêdnych przestrzennych i czasu, wywo³anej Ÿród³em ciep³a roz³o¿onego wzd³u¿ osi x₃Î - ,l l o intensywnoœci w f t₀ ( ) w nastêpuj¹cej postaci:

w x t( , )=w f t₀ ( ) (d x₁) (d x₂) (H l- x₃) . (13) Obliczenia wykonano dla modelu relaksacji Maxwella. Proporcjonalnie do rozk³adu temperatur zachowuj¹ siê naprê¿enia termiczne:

s a= K*q . (14)

Wzór, przedstawiaj¹cy rozk³ad temperatury w oœrodku zale¿ny od czasu i wspó³rzed- nych, przyjmuje nastêpuj¹c¹ postaæ:

q( , )t x q ( c )H t t

R vt e

I t

t

w k

k t

= - æ - t

è çç

ö ø

÷÷

æ è çç

ö ø

÷÷

-

0 0

0

0 0

2

0 2

2 2

0 2

0

0 -æ

è çç

ö ø

÷÷

-

æ èçç ö

ø÷÷

=

ò

å

T vt T

dT

R

vt t

t

k k r , (15)

gdzie:

I₀ – oznacza zmodyfikowan¹ funkcjê Bessela, c₀ =2H l( - x₃),

R₀ = =r x₁² +x₂², c₁ =sgn(x₃ +l), R₁ = r² +(x₃ +l) ,² c₂ =sgn(x₃ -l), R₂ = r² +(x₃ -l) .²

Analiza numeryczna uzyskanego rozwi¹zania pokazuje istnienie trzech fal propa- guj¹cych siê w czasoprzestrzeni. Pierwsza z nich jest fal¹ walcow¹ opisan¹ równa- niem:

r - = Î -

vt

x l l

0

3

, .

, (16)

Nastêpnie generuj¹ siê dwie du¿e fale kuliste styczne do powierzchni walcowej i opi- sane równaniami:

R vt

R x l

R x l

k - =

= + +

= + -

0

1 2

3 2

2 2

3 2

,

, , r

r

( )

( )

(17)

czyli sfery i œrodkach w: S₁ =( ,0 0 1- ) oraz S₂( , , ) i promieniu vt.0 01

Propagacjê tych fal pokazano na rysunku 1 w wybranych przypadkach: T₁ =vt₁ =1 oraz T₂ =vt₂ = .2

Rozk³ad temperatury bêd¹cy sum¹ wk³adów od poszczególnych fal w ustalonych cza- sach T = 50, T =10, T =1przedstawiono na rysunkach 2 i 3.

W celu porównania wyników rozwi¹zania wg modelu Gurtina - Pipkina ze skoñczon¹ prêdkoœci¹ propagacji ciep³a, z modelem klasycznym Fouriera przy nieskoñczonej prêdkoœci propagacji ciep³a, wykonano zestawienie tych obliczeñ, zobrazowane na rysunkach 4 i 5.

Na rysunku 6 przedstawiono zmianê temperatury w funkcji czasu, która jest propor- cjonalna do rozk³adu naprê¿eñ termicznych w warstwie nawierzchni. Na rysunku tym wyraŸnie widaæ pojawiaj¹ce siê czo³o fali termosprê¿ystej w oœrodku (warstwie bitu- micznej) w celu modelu falowej propagacji ciep³a (model Gurtina - Pipkina) i niewy- stêpowanie czo³a fali w celu modelu klasycznego (Fouriera).

Rys. 1. Rozk³ad powierzchniowych fal termicznych w warstwie bitumicznej w czasieT1= i T1 2 =2 Fig. 1. Distribution of surface thermal wave in asphalt layer at timeT1= and T1 2 =2

Rys. 3. Rozk³ad temperatury w klasycznym modelu Fouriera propagacji ciep³a w czasie (odleg³oœci od Ÿród³a)T = 50, T = 10, T = 1

Fig. 3. Distribution of temperature in the classical Fourier model of heat propagation in time (distance from the source) forT = 50, T = 10, T = 1

Rys. 2. Rozk³ad temperatury w modelu propagacji ciep³a Gurtina - Pipkina w czasieT = 50, T = 10, T = 1, poprzecznie do osi x3 =0

Fig. 2. Distribution of temperature in Gurtin - Pipkin heat propagation model in timeT = 50, T = 10, T = 1, in transverse direction to the axis of x3 =0

Rys. 5. Rozk³ad bezwymiarowej temperatury poprzecznie do osix3 = w rozwi¹zaniu0 Gurtina - Pipkina (linia przerywana) i rozwi¹zaniu Fouriera (linia ci¹g³a) w czasie (odleg³oœci od Ÿród³a)T = 1 Fig. 5. Distribution of non-dimensional temperature in transverse direction to the axis of

x3 = in Gurtin - Pipkin model (dashed line) and Fourier model (solid line) in time0 (distance from the source) forT = 1 Rys. 4. Rozk³ad bezwymiarowej temperatury poprzecznie do osix3 = w rozwi¹zaniu0

Gurtina - Pipkina (linia przerywana) i rozwi¹zaniu Fouriera (linia ci¹g³a) w czasie (odleg³oœci od Ÿród³a)T = 50, T = 10 Fig. 4. Distribution of non-dimensional temperature in transverse direction to the axis of

x3 = in Gurtin - Pipkin model (dashed line) and Fourier model (solid line) in time0 (distance from the source) forT = 50, T = 10

Na obecnym etapie konstruowana jest pe³na analiza rozk³adu odkszta³ceñ, naprê¿eñ i temperatury w oœrodku – warstwie bitumicznej nawierzchni podatnej, której wyniki przedstawione zostan¹ w nastêpnej publikacji.

5. WNIOSKI

W artykule przedstawiono oryginalny opis modelu warstwy asfaltowej nawierzchni podatnej termolepkosprê¿ystej z uwzglêdnieniem falowej propagacji ciep³a (ze skoñ- czon¹ prêdkoœci¹) [11] wraz z obustronnym sprzê¿eniem termomechanicznym.

W celu ilustracji zjawiska wykonano obliczenia numeryczne, które równie¿ zosta³y przedstawione w postaci graficznej. Szczególnie podkreœlono ró¿nice w opisie propa- gacji ciep³a z nieskoñczon¹ prêdkoœci¹ (klasyczny model – Fouriera) z bardziej nowo- czesnym ujêciem propagacji ciep³a (model Gurtina - Pipkina). Wynikaj¹ce z porów- nania ró¿nice jakoœciowe i iloœciowe przedstawiono na rysunkach.

W porównaniu iloœciowym widaæ wystêpowanie ostrzejszych gradientów temperatu- ry w przypadku modelu falowej propagacji ciep³a, zaœ w sensie jakoœciowym wystê- powanie czo³a fali termicznej tylko przy modelu Gurtina - Pipkina.

Bardziej obszerne wnioski i pe³niejsz¹ analizê wynikaj¹c¹ z prezentowanego modelu termolepkosprê¿ystego zostan¹ przedstawione po zakoñczeniu wykonywanych obec- nie obliczeñ numerycznych. Istniej¹ realne podstawy, by przypuszczaæ, ¿e wyniki tych analiz bêd¹ mog³y miêæ istotny wp³yw na bardziej precyzyjne projektowanie i diagnozowanie uk³adów konstrukcyjnych warstw asfaltowych nawierzchni podat- nych.

Rys. 6. Rozk³ad temperatury w oœrodku (warstwie asfaltowej) w funkcji czasu Fig. 6. Distribution of temperature in the asphalt layer in function of time

BIBLIOGRAFIA [1] Graczyk M.: Seasonal coefficients for the pavement roads in polish climate condi-

tions. Eighth International Conference on the Bearing Capacity of Roads, Railways, and Airfields, Champaign, Illinois 2009, 1063 - 1072

[2] Biot M.A.: Thermoelasticity and irreversible thermodynamic. Journal of Applied Physics,27, 3, 1956, 240 - 253

[3] Gurtin M.E., Pipkin A.C.: A General Theory of Heat Conduction with Finite Wave Speeds. Arch. Rational Mech. Anal.,31, 1968, 113 - 126

[4] Nowacki W.: Zagadnienia termosprê¿ystoœci. PWN, 1960

[5] Chandrasekharaiah D.S.: Thermoelasticity with second sound: a Review. Appl. Mech.

Rev.,39, 3, 1994, 355 - 375

[6] Piskorek A.: Fourier and Laplace’a transform and its applications (in Polish). Warsaw University, Warsaw 1991

[7] Cagniard L.: Reflection and Refraction of Progressive Seismic Waves. McGraw – Hill, New York 1962

[8] De Hoop A.T.: A modification of Cagniard's method for solving seismic pulse pro- blems. Appl. Sci. Res.,B8, 4, 1959, 349 - 356

[9] Gawinecki J.A., Sikorska B., Kamura G., Rafa J.: Mathematical and physicals interpretation of the solution initial – boundary value problem in linear hyperbolic thermoelasticity theory. Journal of Applied Math. and Mech. (ZAMM),87, 10, 2007, 715 - 746

[10] Kaliski S.: Wave equations of thermoelasticity. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci.

Tech.,13, 4, 1965, 253 - 260

[11] Catteano A.: A form of heat equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris,247, 1958, 431- 433

SELECTED ASPECTS OF THE BEHAVIOUR OF FLEXIBLE PAVEMENTS IN THERMOVISCOELASTICITY MATERIAL MODELS

Abstract The presented paper shows the selected aspects of the dynamic and thermal impacts on the flexible pavement in thermoviscoelastic models. Paper includes theoretical modelling issues based on authors own works as well as the analysis of results of calculations. Furthermore the authors draw conclusions from this analysis that could be used in the practice in design and diagnostic of flexible and semi-rigid pavements.