• Nie Znaleziono Wyników

12 stycznia 2008 r.

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "12 stycznia 2008 r."

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów (zawody stopnia drugiego)

12 stycznia 2008 r.

1. Liczby dodatnie a, b spełniają warunek a + b

2 = √

ab + 3 .

Wykaż, że co najmniej jedna z liczb a, b jest niewymierna.

2. W każde pole tablicy o wymiarach 4×4 wpisano liczbę 0 lub 1.

Następnie obliczono sumy liczb stojących w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na obu przekątnych. Wykaż, że co najmniej trzy sumy są jednakowe.

3. Punkt S leży wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF . Udowodnij, że suma pól trójkątów ABS, CDS, EF S jest równa połowie pola sześciokąta ABCDEF .

4. Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita n, dla której liczbę 2

n

można przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch kolej- nych dodatnich liczb całkowitych? Odpowiedź uzasadnij.

5. Czy można tak przeciąć sześcian płaskim cięciem na dwie

bryły o równych objętościach, aby w przekroju otrzymać pię-

ciokąt? Odpowiedź uzasadnij.

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 33.19 KB )

Powiązane dokumenty

Czy dla podanej liczby q istnieje taka liczba pierwsza p oraz taka liczba całkowita dodatnia n, że liczba p jest mniejsza o q% od liczby n2

Dla podanych a, b, c podać takie d, aby istniał czworokąt wy- pukły o bokach długości (z zachowaniem kolejności) a, b, c, d, w który można wpisać okrąg.. Dla podanych a, b,

Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3

Niech P (n) będzie prawdopodobieństwem, że przy rzucie dwiema kostkami do gry suma liczb oczek wyrzuconych na obu kostkach jest

Udowodnij, że dla liczb całkowitych n &gt

Czy można pokolorować pewne punkty tego zbioru na czerwono, a pozostałe na biało, w taki sposób, że dla każdej prostej ` równoległej do którejkolwiek osi układu

Dana jest liczba całkowita n ­ 2 i liczba rzeczywista a

, n} tak, by dla każdych trzech wierzchołków A, B, C, dla których |AB| = |AC|, liczba przy wierzchołku A była albo mniejsza, albo wi e , ksza od jednocześnie obu liczb

Zadania konkursowe

Dana jest liczba całkowita dodatnia n oraz zbi´ or M , zło˙zony z n 2 +1 liczb całkowitych dodatnich i mający następującą własno´ s´ c: w´ sr´ od n+1 liczb dowolnie wybranych

Zadanie 1. Dowieść, że istnieje taka liczba całkowita n > 2003, że w ciągu

Na tych pozycjach zapisu dwójkowego, na których liczby a i b mają różne cyfry, liczba x może mieć

1. Rozstrzygnąć, czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita k, że w zapisie dziesiętnym liczby 2

Rozwi azania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu, pisane jednostronnie) na- , leży wysłać listem poleconym na adres komitetu okr egowego Olimpiady właściwego teryto- ,

1. Dana jest dodatnia liczba całkowita n. Rozważmy wszystkie liczby po- staci b

Rozwiązanie każdego zadania należy podpisać w lewym górnym rogu pierwszej jego strony: imieniem i nazwiskiem, swoim adresem, swoim adresem elektro- nicznym oraz klasą, nazwą i