Wykłady z algebr Clifforda

#################################################################################################

Wykłady z algebr Clifforda

D. S Szirokow Math –Net.Ru 2012

Д. C. Широков – Лекции по алгебрам Клиффорда

************************************************************************************************

Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2020

Ostatnia modyfikacja : 2020-08-01 Tłumaczenie całości książki.

************************************************************************************************

Wstęp własny

Jako wprowadzenie do zagadnienia polecam książkę :

G. Casanova – Od algebry Clifforda do atomu wodoru (książka po francusku ) – tłumaczenie rosyjskie Platon 1997

************************************************************************************************

Skróty i oznaczenia (własne ) zastosowane w tłumaczeniu.

rrz – równania różniczkowe zwyczajne (układ takich równań ) rrc – równania różniczkowe cząstkowe (układ takich równań ) Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...

Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)

Standardowe oznaczenia.

Z = {0, ±1, ±2, ... } – zbiór liczb całkowitych

Z+ = {0, 1, 2, ... } – zbiór całkowitych liczb nieujemnych N = { 1, 2, ... } – zbiór liczb naturalnych

R – zbiór liczb rzeczywistych C = R + iR – zbiór liczb zespolonych

***********************************************************************************************

Wprowadzenie.

Przedstawiona książka jest konspektem wykładów, wygłoszonych przez autora w ramach Naukowo - Edukacyjnego Centrum przy Instytucie Matematycznym im. W. A. Steklowa RAN, jesienią 2011 roku.

Na przedstawionych wykładach rozpatrujemy pojęcie algebry Clifforda nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Algebra Clifforda została odkryta przez angielskiego matematyczka Williama Clifforda [1] w 1878 roku, jako algebra łącząca własności algebry Grassmanna [2] i kwaterionów Hamiltona [3].

Teoria algebr Clifforda rozwijała się w pracach wielu matematyków – R. Lipschitz’a, E. Cartna [4], K.T. Vahlen’a, E. Witta, C. Chevalley’a [5], M. Riesza [6], I. R. Porteous’a [7], J. Helmstettera i innych.

Istotny wpływ na rozwój algebr Clifforda miało równanie Diraca [8] dla elektronu (1928 ), z którym algebra Clifforda ma bezpośredni związek. Równanie Diraca zapisuje się z użyciem 4 macierzy o wartościach zespolonych

(macierze gamma Diraca ), które spełniają te same relacje definicyjne, co generatory algebry Clifforda Cℓ(1, 3).

Związek algebry Clifforda ze spinorami zwrócił uwagę na teorię algebr Clifforda, ze strony licznych fizyków i matematyków [9, 12].

Istotny etap rozwoju teorii algebr Clifforda można związać z pojawieniem się pracy Atiyah’a, Botta i Shapiro [13] (1964) która odbiła się szerokim echem w społeczności naukowej.

W 1971 roku odbyła się pierwsza konferencja poświęcona algebrom Clifforda (w instytucie Matsciende, Włochy ).

W owych czasach wielką rolę w rozwinięciu i popularyzacji teorii algebr Clifforda odegrał amerykański matematyk D. Hestens [14], który jest autorem czterech książek poświęconych tematowi algebry Clifforda, oraz jej zastosowaniom w fizyce i mechanice.

Współczesny okres rozwoju teorii algebr Clifforda można odnieść do ostatnich 30-tu lat. Poczynając od 1985 roku co trzy lata odbywa się konferencja związana z tematem algebr Clifforda, oraz jej zastosowaniom (ICCA – International

Conference on Clifford Algebras and their Applications ).

(Ostatnia taka konferencja : Bauhaus – University, Weimar Germany 2011 )

Od 1990 roku wychodzi (4 razy w roku ) czasopismo Advances in Applied Clifford Algebras (czasopismo AACA wydaje Birkhauser Veralg ISSN 0188-7009 http://www.springer.com/birkhauser/physics/journal/ )

W obecnym czasie algebra Clifforda (niekiedy zwana algebrą geometryczną ) stosowna jest w wielu rozdziałach współczesnej matematyki i fizyki.

Algebra Clifforda znajduje zastosowanie w teorii pola [15], robotyce, obróbce sygnałów, chemii, mechanice nieba, technice obliczeniowej, elektrodynamice i innych gałęziach nauki i techniki.

Oddzielnie należy podkreślić zastosowanie algebr Clifforda w geometrii, oraz taki kierunek współczesnej geometrii różniczkowej jak Spin geometria. W książce o tym tytule [16] podkreślono związek algebry Clifforda i spinorów z K- teorią, oraz twierdzeniem o indeksie. Rozmaitości spinorowe i operatory Diraca odgrywają ważną rolę we współczesnej geometrii różniczkowej.

Należy również zauważyć współcześniejszą książkę T. Friedricha [17].

Różnorodnymi zastosowaniami algebry Clifforda w teorii spinorów i geometrii zajmowali się Atiyah, Singer, Louson, Gromow, Witten i inni.

Przedstawione wykłady zostały pomyślane tak, aby algebra Clifforda nie była rozpatrywana jako algebra abstrakcyjna, a jako aparat matematyczny, który aktywnie wykorzystywany jest w zastosowaniach fizyki matematycznej.

Na określone zagadnienia patrzymy w autorski sposób, proponując szereg nowych wyników [19, 28].

Nie wymagamy żadnych dodatkowych wiadomości, wychodzących poza ramy programu studiów o specjalizacji fizycznej.

Wszelkie potrzebne dodatkowe pojęcia zostały przedstawione w trakcje wykładów, oraz w rozdziale Zastosowania.

(* ... *)

Przedstawiony materiał uzupełniono ćwiczeniami, które pomogą głębiej zaznajomić się z przedstawionymi tematami i przygotować czytelnika do bardzie szczegółowej analizy zagadnień.

Przedstawiona treść została w miarę możliwości zminimalizowana, zatem należy odwoła się do przedstawionej literatury.

Spis literatury podano na końcu książki.

Autor wyraża głęboką wdzięczność I. W. Wołowiczowi i N. G. Marczukowi, oraz recenzentowi za cenne uwagi.

************************************************************************************************

Wykład 1

1.1 Algebry Clifforda (AK) z ustaloną bazą.

Istnieje kilka różnych (ale równoważnych ) definicji algebr Clifforda. Przykładowo, w [29] rozpatrzono trzy różne definicje algebry Clifforda i pokazano ich równoważność.

W rozpatrywanej dalej definicji AK wykorzystujemy bazę szczególnej postaci – zanumerowanej przez uporządkowane multiindeksy.

Należy podkreślić, że wprowadzone dalej generatory i baza są ustalone (nie zmieniają się ). Taka definicja jest bliższa pierwotnej definicji podanej przez W. Clifforda.

Inne definicje ( z ustaloną n – wymiarową przestrzenią wektorową V i zadaną w niej formą kwadratową Q ) omawiane są w ćwiczeniach.

Niech E – będzie przestrzenią wektorową (liniową ) nad ciałem F liczba rzeczywistych R lub nad ciałem liczb zespolonych C.

Niech n – będzie liczbą naturalną i niech wymiar przestrzeni E dim E = 2n. Niech w E będzie dana baza :

e, ea, ea1a2 , ... , e1 ... n , gdzie a1 < a < ... ( 2 sztuk ) (1.1) zanumerowana przez uporządkowane multiindeksy o długości od 0 do n.

Indeksy a, a1, a2 , ... przyjmują wartości od 1 do n.

Niech p i q – będą nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz p + q = n, n ≥ 1.

Wprowadzimy macierz diagonalną η o wymiarze :

η = || ηab || = diag ( 1, ... , 1, −1, ... − 1 ) (1.2) dla której na diagonalnej stoi p sztuk +1 i q sztuk −1.

Dalej wprowadzimy na E operacje iloczynu Clifforda U, V → UV zgodnie z następującymi zasadami : 1) (przechodniość i samozgodność ze strukturą liniową ) dla dowolnych U, V, W ∈ E , α, β ∈ F U(αV + βW ) = αUV + βUW , (αU + βV)W = αUW + βVW

2) (łączność ) dla dowolnych U, V, W ∈ E (UV)W = U(VW)

3) (unitalność ) dla dowolnego U ∈ E : Ue = eU = U

4) dla wszystkich a, b = 1 , ... , n :

eaeb + ebea = 2ηabe (1.3)

5) Dla wszystkich 1 ≤ a1 < ... < ak ≤ n ea1 ... eak = ea1... ak

Wtedy wprowadzona w ten sposób algebra nazywa się algebrą Clifforda i oznaczamy ją jako CℓR(p, q) w przypadku ciała liczb rzeczywistych, oraz CℓC(p, q) = Cℓ(p, q) w przypadku ciała liczba zespolonych.

Zauważmy, że w przypadku ciała liczb zespolonych będziemy opuszczali indeks C i będziemy pisali po prostu Cℓ(p, q).

Zauważmy, że : CℓR(p, q) ⊂ Cℓ(p, q)

W tych przypadkach, kiedy analizy są słuszne dla obu przypadków, będziemy pisali CℓF(p, q), przyjmując że

Elementy ea nazywają się generatorami (lub tworzącymi ) AK, element e nazywa się jednością AK.

Para liczb (p, q) nazywa się sygnaturą AK CℓF(p, q). Niekiedy pod pojęciem sygnatury rozumie się liczbę p − q.

I tak, na mocy warunków 1) – 4) mamy zadana asocjatywną niekomutatywną algebrę unitalną z relacją definicyjną (1.3).

Dowolny element U AK CℓF(p, q) można przedstawić w postaci rozkładu względem bazy (1.1) :

gdzie u, ua , ua1a2 , ... , a 1... n - są to liczby rzeczywiste ( w przypadku Cℓ

( w przypadku Cℓ(p, q) ).

Dalej będziemy wykorzystywali podobne oznaczenia dla elementów i ich współczynników bez dalszych uwag.

Ćwiczenia.

1) Pokazać, że w bazie (1.1), zanumerowanej przez uporządkowane multiindeksy o długości od 0 do n, jest dokładnie 2n elementów.

2) Obliczyć iloczyn UV dwóch elementów :

i) U = e + e12 − e1234 , V = e1 + e234 ∈ Cℓ(1, 3) ii) U = V = e1 + e2 + e3 ∈ Cℓ(3, 0)

3) Obliczyć element odwrotny do elementu U lub pokazać, ze go nie ma.

i) U = e + e1 ∈ Cℓ(1, 1) ii) U = e + e1 ∈ Cℓ(0, 2)

4) Podać przykłady takich elementów AK, że : i) UV ≠ VU

ii) UV = WV, ale U ≠ W iii) UV = 0, ale VU ≠ 0 iv) U2 = U, ale U ≠ e v) U2 = 0, ale U ≠ 0

5) Znaleźć w literaturze (np. [29] ) inne definicje AK (bez ustalonej bazy ) i dowieść ich równoważności.

Jako algebry ilorazowej CℓF(V, Q) = T(V)/ I(V, Q)

Jako algebry tensorowej T(V) = ⊕ ^∞ _k=0 ⊗ k V względem ideału dwustronnego I(V, Q), generowanego przez elementy o postaci :

x ⊗ x − Q(x)

gdzie Q – forma kwadratowa określona na przestrzeni wektorowej V.

Jako obiektu uniwersalnego.

(* „Mechanika kwantowa dla matematyków” - Leon. A. Takhtajan

Department of Mathematics, Stony Brook University, Stony Brook, NY 11794-3651, USA 7.1.2 Algebry Clifforda.

Widzieliśmy już w podrozdziale 2.2.1, że heisenbergowska algebra Liego jest fundamentalną strukturą matematyczną, związaną z kanonicznymi relacjami komutacyjnymi.

Analogicznie, fundamentalna struktura matematyczna, związana z kanonicznymi relacjami antykomutacyjnymi, jest to algebra Clifforda.

Niech V – będzie skończeniewymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem k o zerowej charakterystyce i niech Q : V → k

- będzie symetryczną niezdegenerowaną formą kwadratową na V tj. Q(v) = Φ(v, v), v ∈ V, gdzie : Φ : V ⊗ k V → k – jest symetryczną niezdegenerowaną formą biliniową.

Para (V, q) – nazywa się kwadratową przestrzenią wektorową.

Definicja. Algebra Clifforda C(V, Q) = C(V), stowarzyszona z kwadratową przestrzenią wektorową (V, Q), jest to k -algebra, generowana przez przestrzeń wektorową V i relacje :

v2 = Q(v)

1, v ∈ V

Równoważnie algebrę Clifforda można zdefiniować jako algebrę ilorazową : C(V) = T(V)/ J

gdzie J – jest ideałem dwustronnym w algebrze tensorowej T(V) przestrzeni V, generowany przez elementy :

u ⊗ v + v ⊗ u − 2Φ(u, v)

1 dla wszystkich u, v ∈ V, 1 – jest elementem jednostkowym T(V).

Z użyciem bazy {ei } n

i=1 przestrzeni V, algebra Clifforda C(V) – jest to k – algebra o tworzących ei , ... , en spełniająca relacje :

Kiedy k = C (lub dowolnemu algebraicznie zamkniętemu ciału o zerowej charakterystyce ), to zawsze istnieje baza ortounormowana w V – baza {ei } n

i=1, taka że Φ (ei , ek ) = δ ik W tym przypadku w dowolnym wymiarze n istnieje jedna (z dokładnością do izomorfizmu ) algebra Clifforda Cn o tworzących e1, ... , en i relacjach :

Uwaga. Przy k = R istnieją nieujemne liczby całkowite p + q = n i izomorfizm V ≅ Rn takie, że :

Tak klasyfikuje się algebry Clifforda nad R.

Definicja. Lewy moduł S dla algebry Clifforda C(V) – jest to skończeniewymiarowa przestrzeń wektorowa S nad k i odwzorowanie liniowe ρ : C(V) ⊗ S → S takie, że :

ρ(ab ⊗ s ) = ρ(a ⊗ ρ( b ⊗ s )) dla wszystkich a, b ∈ C(V), s ∈ S.

Fermionowa przestrzeń Hilberta ℵ F wprowadzona w poprzednim podrozdziale, jest nieprzywiedlnym C2n – modułem.

W istocie – z kanonicznych relacji antykomutacyjnych (1.4) wynika, że operatory samosprzężone :

spełniają relacje :

gdzie I – jest operatorem tożsamościowym w ℵ F.

Działanie algebry Clifforda C2n na ℵ F zdefiniujemy przyjmując : ρ(1) = I , ρ(e µ ) = γµ , µ = 1, ... , 2n

i przedłużymy go do homomorfizmu C – algebr : ρ : C2n → End(ℵ F )

Relacje (1.4) pokazują, że odwzorowanie ρ dopuszcza podobne przedłużenie.

Stwierdzenie 1.1 Homomorfizm ρ : C2n → End(ℵ F ) jest izomorfizmem C- algebr.

Dowód.

Z lematu 1.1 wynika, że reprezentacja ρ jest nieprzywiedlna : dowolny operator w ℵ F komutujący ze wszystkimi elementami C -algebry ρ (C2n ), jest krotnością operatora tożsamościowego.

Zatem zgodnie z twierdzeniem Wedderbun’a (* Artina – Wedderbun’a *) ρ (C2n ) = End( ℵ F ) i ponieważ dim C2n = 2 2n = dim End(ℵ F )

to odwzorowanie ρ jest izomorfizmem.

Uwaga. Struktura algebry Clifforda o nieparzystej liczbie tworzących jest nieco inna.

I tak, odwzorowanie ρ (ek ) = σ k, gdzie σ k – (k = 1,2, 3 ) jest macierzą Pauliego (zobacz podrozdział 4.1 ), określa nieprzywiedlną reprezentację C3 w ℵ F = C 2

Jednakże w tym przypadku :

C3 ≅ End(C2 ) ⊗ C[ ε ], gdzie ε = ie1e2e3 i spełnia warunek ε2 =1.

Zdefiniujmy teraz operator chiralności przez wzór : Γ = exp(πiN )

gdzie :

n N = Σ _{a*j aj}

j=1

Ponieważ spektrum operatora N jest całkowitoliczbowe, to Γ2 = I.

Oprócz tego, otrzymujemy :

[ Γ , γµ ]+ = 0 , µ = 1, ... , 2n (1.15) W istocie – jak wynika z (1.14)

tak, że :

Zatem Γ antykomutuje ze wszystkimi a*j , aj ,a oznacza, ze wszystkimi γµ Ponieważ Γ2 = I, to operatory :

P ± = ½ ( I ± Γ )

są operatorami rzutowania ortogonalnego i mamy następujący rozkład : ℵ F = ℵ F + ⊕ ℵ F −

na podprzestrzenie spinów o dodatniej i ujemnej chiralności. Z (1.15) wynika, że : γµ (ℵ F + ) = ℵ F − , µ = 1, ... , 2n

A ponieważ :

exp(π i a*jaj ) = I − 2a*j aj = −iγ j2j−1 γ 2j to otrzymujemy :

Γ = (−i )n γ 1 ... γ 2n

Uwaga. Kiedy n = 2, 4 × 4 – macierze γ 1, γ 2 , γ 3, γ 4 – są znanymi macierzami gamma Diraca (dla metryki euklidesowej na Rn ), oraz Γ = γ 5.

Zadanie 1.2 Pokazać, że definicja algebry Clifforda C(V) jest zgodna z zamianą ciała : jeśli k ⊂ K – jest rozszerzeniem ciała i :

VK = K ⊗ k Vk to :

C(VK ) = K ⊗ k C(Vk )

Zadanie 1.3 Niech C

1 = C0 ⊂ C1 ⊂ ... ⊂ Cm = C(V) – będzie naturalną filtracją algebry Clifforda C(V), gdzie Cr – jest napięte na elementach v1, ... , vs ; s ≥ r.

Niech :

- będzie algebrą gradowaną.

Pokazać, że odwzorowanie skośnej symetryzacji :

ustanawia izomorfizm Z – gradowanych algebr Λ

(V) ≅ Cgr (V), gdzie Λ

(V) – jest algebrą zewnętrzną przestrzeni V.

Zadanie 1.4 Sformułować i dowieść analogu rozkładu 1.1 dla algebr Clifforda o nieparzystej liczbie tworzących.

*)

1.2 Przykłady AK, kwateriony, macierze Pauliego i Diraca.

Dalej rozpatrzymy kilka przykładów AK małych wymiarów.

Mamy następujące izomorfizmy algebr (zobacz ćwiczenia ) :

CℓR(0, 0) ≅ R (1.5)

CℓR(1, 0) ≅ R ⊕ R CℓC(0, 0) ≅ C CℓC(0, 1) ≅ C

Przy n =2 mamy trzy AK : CℓF(2, 0) , CℓF(1, 1) , CℓF(0, 2)

Dowolny element tych algebr można zapisać w postaci : U = ue + u1e 1 + u 2e 2 + u 12e 12

Okazuje się, że CℓF(2, 0) jest izomorficzna (jako algebra ) CℓF(1, 1) na mocy tego faktu, że elementy e1,e2 ,e12 parami antykomutują w obu przypadkach i dla CℓF(2, 0) otrzymujemy :

a dla CℓF(1, 1) :

Dla elementów AK CℓR(2, 0) można zbudować reprezentację macierzową, np. przyporządkować elementom bazy następujące macierze :

Zachodzą następujące izomorfizmy : CℓR(2, 0) ≅ CℓR(1, 1) ≅ Mat(2, R )

gdzie Mat(k, F ) – algebra macierzy kwadratowych o wymiarze k, nad ciałem F.

Dalej rozpatrzymy dokładniej AK CℓF(0, 2). Dla elementów bazy otrzymujemy : (e1 )2 = − e , (e2 )2 = − e , (e12 )2 = − e

Zatem, przyporządkowując : e1 → i, e2 → j, e12 → k

otrzymujemy, że AK CℓR(2, 0) jest izomorficzna algebrze (ciału ) kwaterionów H.

Algebra kwaterionów jest algebrą łączną z jednością 1. Elementy H (kwateriony ) zapisujemy w postaci : q = a + bi + cj + dk

gdzie a, b, c ∈ R, a jednostki urojone i, j, k spełniają następujące warunki :

Rozpatrzone przykłady pokazują, że AK można rozpatrywać jako uogólnienie ciała kwaterionów, jak również jako uogólnienie ciała liczb zespolonych.

Zauważmy, że w fizyce i mechanice najwięcej zastosowań maja AK CℓF(1, 3) i CℓF(3, 0).

W pierwszym przypadku generator e1 odpowiada czasowi, a generatory e2, e3 ,e3 – trzem współrzędnym przestrzennym.

W AK CℓF(3, 0) wszystkie trzy generatory odpowiadają współrzędnym przestrzennym.

Przy tym macierzowa reprezentacja CℓF(3, 0) zazwyczaj zadana jest z wykorzystaniem macierzy Pauliego :

w następujący sposób :

Iloczynowi generatorów obecnie i dalej przyporządkowujemy macierz, otrzymana jako iloczyn macierzy, odpowiadających tym generatorom.

Na mocy zależności :

σ1 σ2 = iσ3 , σ2 σ3 = iσ1 , σ 3 σ1 = iσ2

otrzymujemy, że elementom bazy AK CℓF(3, 0) będą przyporządkowane następujące macierze : σ0 , σ1, σ2, σ3, iσ1, iσ2, iσ3 , iσ0

tworzące bazę w Mat(2, C).

Zachodzi następujący izomorfizm : CℓF(3, 0) ≅ Mat(2, C)

Przypominam, że macierze Pauliego σ1, σ2, σ3 tworzą bazę w przestrzeni wszystkich macierzy hermitowskich o wymiarze 2 × 2 o zerowym śladzie.

Zostały one wprowadzone przez W. Pauliego w celu opisania spinu elektronu w MQ.

Dla nich słuszne są następujące zależności :

gdzie symbol † oznacza operacje sprzężenia hermitowskiego macierzy – kompozycję transponowania i wzięcia sprzężenia zespolonego od wszystkich elementów macierzy.

Macierzowa reprezentacja dla CℓF(1, 3) może być otrzymana z pomocą macierzy Diraca o wymiarze 4 × 4 :

gdzie σi – macierze Pauliego, 1 2 − macierz jednostkowa o wymiarze 2 × 2 Reprezentację zadajemy następująco :

e → 14 , e i → γ i− 1; i = 1, 2, 3

gdzie 14 − macierz jednostkowa o wymiarze 4 × 4.

Macierze Diraca, znane są również jako macierze gamma. Dirac zastosował takie macierze przy zapisywaniu równań ruchu dla elektronu.

Spełniają one następujące relacje :

gdzie ηij – elementy diagonalne macierzy η = diag ( 1, −1, −1, −1 ) Zachodzi następujący izomorfizm :

CℓC(1, 3) ≅ Mat(4, C)

Dalej podamy pełna klasyfikację wszystkich rzeczywistych i zespolonych AK i ustanowimy ich izomorfizmy z algebrami

macierzowymi (paragrafy 3.1, 3.2 )

Ćwiczenia.

1. Dowieść izomorfizmu algebr (1.5)

2. Pokazać, że dowolny element w CℓR(0, 2) jest odwracalny (H jest ciałem ). Zaproponować ogólny wzór dla elementu odwrotnego U − 1.

3. Sprawdzić własności (1.6) dla macierzy Pauliego i (1.7) dla macierzy Diraca.

1.3 Klasyfikacje elementów AK względem rzędów, parzystości i typów kwaterionowych.

Przestrzenie wektorowe, napięte na elementy ea1...ak zanumerowane przez uporządkowane multiindeksy o długości k, oznaczymy jako CℓFk (p, q). Elementy przestrzeni Cℓ

k (p, q) nazywamy elementami rzędu k. Dla elementów rzędu k będziemy niekiedy wykorzystywali oznaczenia typu :

k k k

U , V, W Rozbicie : n

CℓF (p, q) = ⊕ CℓFk (p, q) (1.8)

k=0

zadaje klasyfikację elementów AK względem ich rzędów.

I tak, dowolny element AK – jest to element o określonym rzędzie lub sumą elementów o różnych rzędów :

U = U + U + ... + U , 0 ≤ k1 < ... < km ≤ n

Zauważmy, że wymiar podprzestrzeni elementów rzędu k jest równy współczynnikowi dwumianowemu : dim CℓFk (p, q) = C k

n

AK CℓF(p, q) jest superalgebrą ( algebrą Z2 – gradowaną ).

Rozpatrzmy algebrę A nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, przedstawioną w postaci sumy prostej dwóch podprzestrzeni wektorowych :

A = L ⊕ M (1.9)

z operacja biliniową mnożenia :

° : A × A → A

Wtedy algebrę A będziemy nazywali algebrą Z2 – gradowaną (superalgebrą ), jeśli dla wszystkich elementów z odpowiednich podprzestrzeni spełnione są warunki :

L L M M L M M L

A ° ^{B , A} ° B ∈ L , A ° ^{B , A} ° B ∈ M (1.10)

Przy tym elementy podprzestrzeni L nazywają się elementami parzystymi, a elementy podprzestrzeni M – nieparzystymi.

AK może być przedstawiona w postaci sumy prostej :

CℓF(p, q) = CℓFEven (p, q) ⊕ CℓFOdd (p, q) (1.11)

gdzie :

CℓFEven (p, q) = Cℓ

0(p, q) ⊕ CℓF2 (p, q) ⊕ CℓF4(p, q) ⊕ ...

CℓFOdd (p, q) = Cℓ

1(p, q) ⊕ CℓF3 (p, q) ⊕ CℓF5(p, q) ⊕ ...

z odpowiednimi własnościami dla podprzestrzeni parzystej i nieparzystej.

Rozbicie (1.11) zadaje klasyfikacje elementów AK względem pojęcia parzystości.

Elementy podprzestrzeni CℓFEven (p, q) nazywają się elementami parzystymi AK, a elementy Cℓ

Odd(p, q) – elementami nieparzystymi AK.

I tak, dowolny element AK – jest to, albo element parzysty, albo element nieparzysty, lub też jest sumą elementów –

parzystego i nieparzystego.

Wymiary podprzestrzeni elementów parzystych i nieparzystych AK są wzajemnie równe (zobacz ćwiczenia ) : dim CℓFEven (p, q) = dim Cℓ

Odd(p, q) = 2 n−1

Dalej przedstawimy AK, rozpatrywana jako przestrzeń wektorową, w postaci sumy prostej czterech podprzestrzeni : CℓF(p, q) = CℓF0(p, q) ⊕ CℓF1(p, q) ⊕ CℓF2(p, q) ⊕ CℓF3(p, q) (1.12) gdzie :

CℓF0(p, q) = Cℓ

0(p, q) ⊕ CℓF4(p, q) ⊕ CℓF8(p, q) ⊕ ...

CℓF1(p, q) = Cℓ

1(p, q) ⊕ CℓF5(p, q) ⊕ CℓF9(p, q) ⊕ ...

CℓF2(p, q) = Cℓ

2(p, q) ⊕ CℓF6(p, q) ⊕ CℓF10(p, q) ⊕ ...

CℓF3(p, q) = Cℓ

3(p, q) ⊕ CℓF7(p, q) ⊕ CℓF11(p, q) ⊕ ...

i w prawej części stoją sumy proste przestrzeni o ustalonych rzędach z krokiem 4, przy czym : CℓFk(p, q) = ∅ przy k > p + q

Podprzestrzenie : CℓF0(p, q), Cℓ

1(p, q) , Cℓ

2(p, q), Cℓ

3(p, q)

będziemy nazywali podprzestrzeniami głównych typów kwaterionowych [25].

Uzasadnienie analizy AK jako sumy prostej czterech podanych powyżej podprzestrzeni zostanie podane w dalszej kolejności (zobacz podrozdział 4.1 )

Ćwiczenia.

1. Pokazać, że kwadrat elementu AK rzędu 1 jest elementem rzędu 0.

2. Pokazać, że :

dim CℓFEven(p, q) = dim Cℓ

Odd(p, q) = 2 n−1 ( z użyciem dwumianu Newtona )

3. Pokazać, że AK jest superalgebrą.

4. Dowieść, że dla dwóch dowolnych elementów AK CℓF(p, q) zadanych rzędów k ≥ ł, słuszne jest :

U V ∈ CℓFk−ł(p, q) ⊕ CℓFk−ł+2(p, q) ⊕ CℓFk−ł+4(p, q) ⊕ ... ⊕ CℓFk+ł(p, q)

5*. Pokazać, że :

dim CℓF0(p, q) = Σ _{k C} ^4k _{n = ½ [2} ^{n −} 1 + 2n/2 cos( ¼πn )]

dim CℓF1(p, q) = Σ _{k C} ^4k+1 _{n = ½ [2} ⁿ⁻ 1 + 2n/2 sin( ¼πn )]

dim CℓF2(p, q) = Σ _{k C} ^4k+2 _{n = ½ [2} ⁿ⁻ 1 − 2n/2 cos( ¼πn )]

dim CℓF3(p, q) = Σ _{k C} ^4k _{n = ½ [2} ⁿ⁻ 1 − 2n/2 sin( ¼πn )]

1.4 Operacje sprzężenia i rzutowania w AK.

Sprzężenie zespolone.

Jeśli element U ∈ Cℓ(p, q) zadany jest w postaci rozkładu (1.4), to operacje sprzężenia zespolonego od elementu AK U → U − zadamy następującym wzorem :

U − = u − e + u −

a e a + Σ u −

a1a2 e a1a2 + Σ u −

a1a2a3 e a1a2a3 + ... (1.13)

a1< a2 a1< a2 < a3

do którego wchodzą współczynniki sprzężone zespolenie u − u − a, u −

a1a2 , u −

a1a2a3, ...

Zgodnie z tym wzorem elementy bazy AK rozpatrujemy jako wielkości rzeczywiste, tj. : e − a1a2 ... ak = ea1a2 ... ak

Jeśli element U ∈ Cℓ(p, q) jest zadany w postaci sumy elementów rzędu od 0 do n : n

U = Σ ^{U (1.14)}

k =0 to dla niego : n

U − = Σ ^{U −}

k =0

Słuszne jest ( proponujemy aby to sprawdzić ) :

(U − ) − = U , (UV ) − = U − V − , ( U + V ) − = U − + V − , (λU) − = λ− U − (1.15) dla dowolnych elementów U, V∈Cℓ(p, q), λ ∈ C

Rewers.

Dla elementu U ∈ Cℓ(p, q), zadanego w postaci (1.14) możemy zdefiniować operacje sprzężenia : U → U~

którą nazywamy rewersem :

n

n

U~ = ( Σ ^{U )~ =} Σ (−1)k(k − 1)/2 U k =0 k=0

Zauważmy, że rewers odwraca porządek kolejności czynników w iloczynach generatorów (co odzwierciedla termin

„rewers” ) :

( ea1 ea2 ... eak )~ = eak ... ea2 ea1 w szczególności :

(ea )~ = ea Słuszne jest :

U~~ = U , (UV)~ = V~U~, ( U + V )~ = U~ + V~ , (λU )~ = λU~ (1.16)

Sprzężenie pseudohermitowskie.

Superpozycja rewersu i sprzężenia zespolonego daje operację, nazywaną sprzężeniem pseudohermitowskim : U† = U − ~

W szczególności : ( ea )† = ea Słuszne jest :

U†† = U , (UV)† = V†U† , ( U + V )† = U† + V† , (λU )† = λ− U† (1.17)

Sprzężenie parzystościowe (grade involution )

Operacja sprzężenia parzystościowego U → U

jest taka, że elementy nieparzyste są mnożone przez −1, a elementy parzyste nie zmieniają się.

W szczególności :

(ea )

= −ea

Dla elementu U ∈ Cℓ(p, q), zadanego w postaci (1.14), otrzymujemy : n

U

= Σ (−1)k(k+1)/2 U k=0

Słuszne jest :

U

= U , (UV)

= V

U

, ( U + V )

= U

+ V

, (λU )

= λU

(1.18) Sprzężenie cliffordowskie.

Superpozycja sprzężenia parzystościowego i rewersu daje operację, nazywaną sprzężeniem cliffordowskim : U → U

~

Dla elementu U ∈ Cℓ(p, q), zadanego w postaci (1.14), otrzymujemy : n

U

~ = Σ (−1)k(k+1)/2

U k=0

W szczególności : ( ea )

~ = − ea Słuszne jest :

U

~

~ = U , (UV)

~ = V

~U

~ , ( U + V )

~ = U

~ + V

~ , (λU )

~ = λU

~ (1.19) Operacja sprzężenia cliffordowskiego odgrywa ważną rolę przy analizie związku grup ortogonalnych i spinorowych.

Operacje rzutowania na podprzestrzenie CℓFk(p, q)

Niech F – będzie ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych i niech U ∈ CℓF(p, q) zapisano w postaci (1.13).

Wprowadzimy teraz oznaczenie dla liniowych operacji rzutowania na podprzestrzenie elementów rzędu k :

< U >k = U = Σ ua1... ak e a1... ak ∈ CℓFk(p, q) a1< … < a2

Dalej, wprowadzimy operację śladu elementu U ∈ CℓF(p, q), jako operacje rzutowania na jednowymiarową podprzestrzeń CℓF0(p, q), napiętą na element jednostkowy e :

Tr (U) = < U >0 |e→1 (1.20)

Dla dowolnego elementu U ∈ CℓF(p, q), rozpisanego względem bazy, otrzymujemy : Tr ( ue + uae a + ... ) = u

Dalej sformułujemy pewne własności operacji śladu od elementów AK.

Twierdzenie 1.1 Operacja wzięcia śladu (1.20) od elementu AK U ∈ CℓF(p, q), posiada następujące własności :

* liniowość :

Tr (U + V ) = Tr(U) + Tr(V) , Tr(αU) = α Tr(U), dla każdego U, V ∈ CℓF(p, q), α ∈ F

* cykliczność :

Tr(UV) = Tr(VU), Tr(UVW) = Tr(VWU) = Tr(WUV) dla każdego U, V, W ∈ CℓF(p, q) Jednakże w przypadku ogólnym :

Tr(UVW) ≠ Tr(WVU)

* inwariantność przy podobieństwie :

Tr( U − 1VU ) = Tr(V) , dla każdego V ∈ CℓF(p, q) , U∈ CℓF × (p, q) (poprzez CℓF × (p, q) oznaczyliśmy zbiór elementów odwracalnych AK CℓF(p, q) )

* inwariantność względem operacji sprzężenia :

Tr(U) = Tr(U

) = Tr(U

) = ( Tr(U − ))

= ( Tr(U† ))

= ( Tr(U† ))

Dowód.

Liniowość wynika bezpośrednio z definicji (1.20).

W celu dowiedzenia własności : Tr(UV) = Tr(VU )

Na mocy liniowości operacji Tr, wystarczy pokazać, że :

Tr(UV − UV ) = 0 , dla każdego k, ł = 0, ... ,n (proponujemy pokazać ten fakt w ćwiczeniu )

Cykliczność dla większej liczby elementów AK wynika z poprzedniego stwierdzenia. Inwariantność przy podobieństwie otrzymujemy jako prostą konsekwencje cykliczności.

Pozostałe własności wynikają również z definicji śladu (1.20) i definicji odpowiednich operacji sprzężenia (zobacz podrozdział 1.4).

Operacja sprzężenia hermitowskiego † zostanie wprowadzona w następnym rozdziale i reprezentuje sobą kompozycję operacji † przekształcenia podobieństwa i niekiedy sprzężenia parzystościowego (zobacz podrozdział 2.1 ), skąd wynika wymagana własność

Ćwiczenia.

1. Dowieść, że :

Tr(UV − UV ) = 0 , dla każdego k, ł = 0, ... ,n

2. Dowieść własności operacji sprzężenia (1.15) − (1.19) dla dowolnych elementów AK.

**************************************************************************************************

Wykład 2

2.1 Struktura unitarnej (euklidesowej ) przestrzeni na AK.

W niniejszym podrozdziale wprowadzimy strukturę przestrzeni unitarnej (euklidesowej w przypadku rzeczywistym ) na algebrach Clifforda.

Dokładniej można o tym przeczytać w [26].

Rozpatrzmy AK CℓF(n) = CℓF(n, 0). Zadajmy operację o postaci : CℓF(n) × CℓF(n) → F

wzorem :

(U, V) = Tr(U† V ) (2.1)

Twierdzenie 2.1 Operacja U, V → (U, V) = Tr(U† V ) jest euklidesowym iloczynem skalarnym elementów CℓF(n) przy

Dowód.

Sprawdzimy, że spełnione są następujące własności iloczynu skalarnego dla wszystkich U, V, W ∈ CℓF(n), λ ∈ F : (U, V) = (V, U) −

(U, λV) = λ(U, V)

(U + V, W ) = (U, W) + (V, W)

(U, U) ≥ 0 , (U, U) = 0 ⇔ U = 0 (2.2)

Spełnienie pierwszych trzech własności jest oczywiste (zobacz ćwiczenie ).

W celu dowiedzenia (2.2) wystarczy dowieść ortonormalności bazy (1.1) ze względu na operację ( . , . ) ( ei1...ik , ej1...jł ) = { 0 , jeśli (i1 , ... , ik ) ≠ ( j1 , ... , jł )

{ 1 , jeśli (i1 , ... , ik ) = ( j1 , ... , jł )

Łatwo zauważyć, że jeśli multiindeksy i1 , ... , ik i j1 , ... , jł zawierają r indeksów pokrywających się, to : ei1...ik , ej1...jł ∈ CℓFk+ł−2r(n)

tj. ( ei1...ik , ej1...jł ) = 0 dla k + ł − 2r > 0

Równość k + ł − 2r = 0 ma miejsce tylko w przypadku, kiedy multiindeksy i1 , ... , ik i j1 , ... , jł pokrywają się.

W tym przypadku :

( ei1...ik , ej1...jł ) = Tr ( eik...i1 ei1...ik ) = Tr(e) = 1 (2.3)

Ortogonalność bazy (1.1) została dowiedziona.

Dlatego dla U ∈CℓF(n) otrzymujemy : n

(U, U) = Σ Σ | ua 1 ... ua 1 | ≥ 0 (2.4)

k =0 a1< ... < ak

Zatem, AK U ∈CℓF(n) z iloczynem skalarnym ( . , . ) jest przestrzenią Euklidesa przy F = R i przestrzenią unitarną przy

Dla AK CℓF(p, q) , q > 0 własność (2.2) dla rozpatrywanego iloczynu skalarnego nie jest spełniona.

Jednakże przy q > 0 na AK CℓF(p, q) można wprowadzić strukturę przestrzeni unitarnej (euklidesowej ) z pomocą innego iloczynu skalarnego.

Wprowadzimy operację sprzężenia hermitowskiego dla elementów AK :

† : CℓF(p, q) → CℓF(p, q) w następujący sposób :

U† = U | ( ei1 ... ik )† → ei k ... ei 1 ,λ† → λ− (2.5) dla wszystkich λ∈ C , ea = η ab e b

Zauważmy, że w przypadku AK CℓF(n, 0), operacja † pokrywa się z operacją † . Łatwo zauważyć, że :

(U + V )† = U† + V† ; (UV)† = V† U† , U†† = U

Twierdzenie 2.2 Operacja U, V → (U, V) = Tr (V†U ) jest euklidesowym iloczynem skalarnym elementów AK CℓF(p, q) przy F = R i hermitowskim iloczynem skalarnym przy F = C.

Dowód.

Dowód jest podobny do dowodu poprzedniego twierdzenia. Ortounormowanie bazy ze względu na wprowadzony iloczyn skalarny wynika z obliczenia :

( ei1...ik , ej1...jł ) = Tr ( eik ... ei1 e i1...ik ) = Tr(e) = 1 (2.6)

gdzie nie ma sumowania po i1 ... ik . Pozostała część jest analogiczna.

Dla generatorów ea wzór dla sprzężenia hermitowskiego (2.5) daje :

(ea )† = ea , dla a = 1, ..., p (2.7)

(ea )† = − ea , dla a = p+1, ..., n (2.7)

Elementy AK U∈ CℓF(p, q), spełniające warunek U† = U − 1, nazywa się unitarnymi elementami AK.

Iloczyn dwóch elementów unitarnych jest elementem unitarnym.

Zbiór elementów unitarnych tworzy unitarną grupę AK.

Ze wzoru (2.7) otrzymujemy (ea )† = (ea ) − 1. Dlatego generatory ea i wszystkie elementy bazy (1.1) są unitarnymi elementami AK Cℓ(p, q).

Dla wzoru (2.5) dalej podamy równoważne wzory (2.8), (2.9), którymi łatwiej będzie się posługiwać.

Twierdzenie 2.3 Niech p ≥ 0, q ≥ 0, n = p +q ≥ 1 – liczby całkowite. Operacje sprzężenia hermitowskiego †(2.5) można równoważnie zdefiniować następująco :

U† = e1... p U † e1...p , jeśli p – jest nieparzyste (2.8)

U† = e1... p U †

e1...p , jeśli p – jest parzyste (2.8)

lub

U† = ep+1... n U † ep+1... n , jeśli q – jest parzyste (2.9)

U† = ep+1... n U †

ep+1...n , jeśli p – jest nieparzyste (2.9)

gdzie :

e1... p = ep ... e1 = ( e 1...p ) − 1 , e p+1... n = en ... ep+1 = ( e p+1... n ) − 1

Zatem operacja U† jest złożeniem operacji †, przekształcenia podobieństwa i niekiedy sprzężenia parzystościowego ∠.

Rozpiszemy teraz wzory z powyższego twierdzenia dla różnych sygnatur :

U† = { en ... e1U†þ e1... en dla (p, q) = (n, 0 ) (2.10)

{ ...

{ e3e2e1U† e1e2e3 dla (p, q) = (3, n − 3) { e2e1U†

e1e2 dla (p, q) = (2, n − 2) { e1U† e1 dla (p, q) = (1, n − 1) { U†

dla (p, q) = (0, n )

gdzie poprzez symbol þ oznaczono operację sprzężenia parzystościowego

przy parzystym p i operacji tożsamościowej przy nieparzystym p.

U† = { U† dla (p, q) = (n, 0 ) (2.11) { −enU† en − 1en dla (p, q) = (n −1, 1)

{ −enen − 1U†en − 1en dla (p, q) = (n −2, 2) { −en en − 1en − 2U†

en − 2en − 1en dla (p,q) = (n −3, 3) {...

{ (−1)qen .... e1U†

e1 ... en dla (p, q) = (0, n )

gdzie poprzez symbol # oznaczono operację sprzężenia parzystościowego

przy nieparzystym q i operacji tożsamościowej przy nieparzystym q.

Dowód.

W celu dowiedzenia w/w twierdzenia wystarczy ustanowić równoważność wzorów (2.5) i wzorów : ( ei1...ik )† = ep ... e1 ( ei1... ik )†þ e1... ep

gdzie operacja þ przechodzi w

, jeśli q jest nieparzyste.

Niech s – będzie liczbą ogólnych elementów dla zbiorów {i1 , ... , ik } i { 1 ... p }.

Wykorzystując równości :

η11 = ... = ηpp = 1 , ηp+1p+1 = ... = ηnn = − 1

przekształcimy wypisane powyżej wzory do jednakowej postaci :

(nie ma sumowania po indeksach i1 ... ik Zatem twierdzenia dowiedziono.

Ćwiczenia.

1) Dowieść dla operacji (U, V) = Tr(U†V) spełnienie pierwszych trzech własności iloczynu skalarnego ( w szczególności dla (U, V) = Tr (U†V ) w przypadku AK CℓF(n, 0) )

(U, V) = (V, U) − , (U, λV) = λ(U, V) , (U + V, W ) = (U, W) + (V, W ) 2) Pokazać, że dla wprowadzonego iloczynu skalarnego słuszne jest : (AU, V) = (U, A†V ) , ∀ A, U, V ∈ CℓF(p, q)

3) Niech A ∈ CℓF(p, q). Jeśli A = A†, to element A nazywa się hermitowskim. Jeśli A = −A†, to element A nazywa się antyhermitowskim.

Pokazać, że dowolny element CℓF(p, q) można rozłożyć na sumę elementów – hermitowskiego i antyhermitowskiego : A = ½ ( A + A† ) + ½ ( A − A† )

Pokazać, że jeśli A – jest elementem hermitowskim, to Tr A ∈ R.

4) Element hermitowski A ∈ CℓF(p, q) nazywa się : - dodatnio określonym, jeśli :

(AU, U) > 0 , ∀ U ∈ CℓF(p, q) : U ≠ 0 - ujemnie określonym, jeśli :

(AU, U) < 0 , ∀ U ∈ CℓF(p, q) : U ≠ 0

Pokazać, że ślad elementu dodatnio określonego jest dodatni, a ślad elementu ujemnie określonego – ujemny.

2.2 Twierdzenie o centrum AK.

Rozpatrzmy AK CℓF(p, q) nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Rozpatrzymy pojęcia komutatora i antykomutatora dwóch elementów AK, U,V ∈ ⊕ CℓF(p, q) :

[U, V] = UV − VU, { U, V } = UV + VU (2.12)

Zauważmy, że :

UV = ½ [U, V] + ½ {U, V } (2.13)

Następujące twierdzenie daje ogólną postać elementu AK CℓF(p, q), komutującego ze wszystkimi generatorami AK.

Następstwem jest znane stwierdzenie o centrum AK CℓF(p, q).

Twierdzenie 2.4 Rozpatrzmy AK CℓF(p, q) nad ciałem liczba rzeczywistych lub zespolonych.

Niech element U ∈ CℓF(p, q) komutuje ze wszystkimi generatorami : [U, ek ] = 0 ; k = 1, ... , n

Wtedy w przypadku wymiaru parzystego n = p + q AK element U ma postać : U = ue

a w przypadku wymiaru nieparzystego n element U ma postać : U = ue + u1...n e 1...n

Dowód.

Przedstawimy U w postaci sumy elementu parzystego i nieparzystego AK : U = U0 + U1

Z warunków w/w twierdzenia otrzymujemy następujące 2n równań dla U0 i U1 :

Uie k = ek U i ; i = 0, 1 , k = 1, ... , n

Element parzysty U0 przedstawiamy w postaci : U0 = A0 + e 1B 1

gdzie element parzysty A0 i nieparzysty B1 nie zawierają generatora e 1. Przy k = 1, otrzymujemy : ( A0 + e 1B 1 )e 1 = e1(A 0 + e 1B 1 )

Ale :

A0e 1= e1A 0 , e 1B 1e 1 = − e1 e1B1 , co oznacza B1 = 0.

Działając analogicznie ze względu na inne generatory, otrzymujemy, że element U0 nie zawiera ani jednego generatora, a to oznacza, że : U0 = ue.

Przedstawiając U1 w postaci : U1 = A1 + e 1B 0

gdzie A1 i B0 nie zawierają generatora e 1.

Przy k = 1 otrzymujemy :

( A1 + e 1B 0 )e 1 = e1(A 1 + e 1B 0 ) Z zależności :

A1e 1 = − e1A1 , e 1B 0e 1 = e1e1B 0 Wynika, że A1 = 0.

Działając analogicznie, otrzymujemy, że U1 zawiera wszystkie generatory, albo jest elementem zerowym tj. : U1 = u1...n e 1...n ( w przypadku nieparzystego n ), albo U 1 = 0 ( w przypadku parzystego n ).

Sformułujemy teraz znane twierdzenie o centrum AK CℓF(p, q).

Wniosek 2.1 Centrum AK CℓF(p, q) o wymiarze n = p + q jest podprzestrzenią : CℓF0(p, q)

w przypadku parzystego n i podprzestrzenią : CℓF0(p, q) ⊕ CℓFn (p, q)

w przypadku nieparzystego n, tj. :

cen CℓF(p, q) = { CℓF(p, q) n – parzyste { CℓF0(p, q) ⊕ CℓFn (p, q) n – nieparzyste

Dalej sformułujemy twierdzenie o elementach, antykomutujących ze wszystkimi generatorami AK : Twierdzenie 2.5 Rozpatrzmy AK CℓF(p, q) nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Niech element U ∈ CℓF(p, q) antykomutuje ze wszystkimi generatorami : {U, ek } = 0 ; k = 1, ... , n

Wtedy w przypadku parzystego n element U ma postać:

U = U1 = u1...n e 1...n

a w przypadku nieparzystego n : U = 0

Dowód.

Dowód prowadzimy używając tej samej metody, jakiej używaliśmy przy dowodzeniu wcześniejszego twierdzenia.

Ćwiczenia.

1. Przeprowadzić dowód twierdzenia 2.5.

2. Z pomocą tego samego podejścia jakie zastosowano przy dowodzeniu twierdzeń niniejszego podrozdziału, dowieść następujących stwierdzeń :

* Niech [ ea , X ] = 0, dla wydzielonego generatora ea , wtedy :

X = A0 + e a B 0 , gdzie A0 , B0 – dowolne parzyste elementy nie zawierające generatora e a.

* Niech [ ea1a2 , X ] = 0 dla wydzielonego elementu bazy ea1a2 ,wtedy :

X = A + ea1a2 C, gdzie A, C – dowolne elementy, które nie zawierają ea1 i ea2.

* Niech { ea, X } = 0 dla wydzielonego elementu bazy ea1a2 ,wtedy :

X = A1 + e a B 1 gdzie A1, B1 – dowolne nieparzyste elementy, które nie zawierają generatora e a.

* Niech { ea1a2 , X } = 0 dla wydzielonego elementu bazy ea1a2 ,wtedy :

X = Ba1ea1 + Ba2ea2 , gdzie Ba1, Ba2 – dowolne elementy nie zawierające ea1 i ea2.

3*. Uogólnić stwierdzenia z ćwiczenia 2 na elementy bazy ea1... ak dla dowolnego k.

**************************************************************************************************

Wykład 3

3.1 Periodyczność Cartana – Bota i macierzowe reprezentacje rzeczywistych AK.

Zagadnienie, związane z periodycznością Cartana – Bota, szczegółowo rozpatrzono w [29, 13] , oraz innych źródłach.

Na niniejszym wykładzie przedstawimy jedynie ogólnie znane fakty, jak również autorski pogląd na to zagadnienie.

Pierwszym , który odkrył periodyczność rzeczywistych AK był francuski matematyk Elie Cartan (1869 – 1951 ).

Opisał on 8 – periodyczność i związek rzeczywistych AK z algebrami macierzowymi (1908).

W latach 1957 - 1959 amerykański matematyk Rauol Bott (1923 – 2005 ) dowiódł 8 – periodyczności homotopicznych grup stabilnej grupy ortogonalnej O(∞) (jest to induktywna granica grup ortogonalnych O(∞) → ∞ ).

Związek tego wyniku z teorią AK został ustanowiony w pracy Atiyah’a, Botta i Shapiro [13] (1964 ).

W niniejszym podrozdziale będziemy rozpatrywali rzeczywiste AK i ustanowimy izomorfizmy (jako algebr ) z algebrami macierzowymi.

Lemat 3.1 Spełnione jest :

CℓR(p+1, q+1) ≅ Mat(2, CℓR(p, q)) (3.1)

Dowód.

Niech e1, ... ,en – będą generatorami dla CℓR(p, q).

Rozpatrzmy dodatkowe dwa generatory e+, e − takie, że :

(e+ )2 = e, (e- )2 = −e (3.2)

Zadajmy następujące przyporządkowanie : ei = → ( ei , 0 ) , i = 1, ... , n

( 0 , −ei ) e+ → ( 0 e ) ( e 0 ) e − → ( 0 −e ) ( e 0 )

Łatwo sprawdzić, że macierze te będą generowały bazę w algebrze macierzy Mat(2, CℓR(p, q)), co dowodzi stwierdzenia w/w lematu.

Lemat 3.2 Spełnione jest :

CℓR(p+1, q+1) ≅ CℓR(p, q) ⊗ CℓR(1,1 ) (3.3)

Dowód.

Niech e1, ... ,en – będą generatorami dla CℓR(p, q).

Rozpatrzmy dodatkowe dwa generatory e+, e − takie, że spełnione są warunki (3.2). Elementy :

(ei )’ = ei e+ e − , i = 1, ... , n (3.2)

generują bazę w CℓR(p, q), a elementy :

e+ , e − (3.5)

generują bazę w CℓR(1, 1), razem takie dwa zbiory generują bazę w CℓR(p+1, q+1).

Przy czym każdy element z (3.4) komutuje z każdym z (3.5). Zatem, otrzymujemy w/w izomorfizm.

Lemat 3.3 Spełnione jest :

CℓR(p, q ) ≅ CℓR(q+1, p−1) (3.6)

Dowód.

Niech e1, ... ,en – będą generatorami dla CℓR(p, q).

Łatwo sprawdzić, że elementy :

(ei )’ = { e1 , i = 1 (3.7)

{ ei e1 , i = 2, ... , n

generują bazę w CℓR(p+1, q+1).

Lemat 3.4 Spełnione jest :

CℓR(p, q ) ≅ CℓR(p−4, p+4 ) (3.8)

Dowód.

Niech e1, ... ,en – będą generatorami dla CℓR(p, q).

Łatwo sprawdzić, że elementy :

(ei )’ = { eie1e2e3e4 , i = 1, 2, 3, 4 (3.9)

{ ei , i = 5, ... , n

generują bazę w CℓR(p−4, p+4 ).

Zauważmy, że domnożenie elementów bazy przez 4 generatory jest niezwyczajne. Można sprawdzić, ze domnożenie przez inną liczbę generatorów, nie będąca krotnością 4, będzie prowadziło albo do bazy tej samej algebry tj. otrzymywać będziemy izomorfizm transwersalny, albo do zbioru elementów, nie tworzących bazy.

Lemat 3.5 Spełnione jest :

CℓR(p, q+8 ) ≅ CℓR(p, q) ⊗ CℓR(0, 8) ≅ CℓR(p, q) ⊗ Mat(16, R ) ≅ Mat( 16, CℓR(p, q)) (3.10) Dowód.

Niech e1, ... ,en , en+1, ... ,en+8 – będą generatorami dla CℓR(p, q+8 ).

Łatwo sprawdzić, że elementy :

(ei )’ = ei en+1 ... en+8 , i = 1, ... , n (3.11)

generują bazę w CℓR(p, q), a:

en+1 ... en+8 (3.12) generują bazę w CℓR(0, 8), razem takie dwa zbiory generują bazę w CℓR(p, q+8 ).

Przy czym każdy element z (3.11) komutuje z każdym z (3.12). Zatem, otrzymujemy w/w izomorfizm.

Aby otrzymać pozostałe stwierdzenia lematu, należy uwzględnić, że na mocy lematów 3.4, 3.1 i 3.2 : CℓR(0, 8 ) ≅ CℓR(4, 4 ) ≅ Mat(16, R )

Z pomocą lematów 3.1 – 3.4 możemy otrzymać związek wszystkich rzeczywistych AK z algebrami macierzowymi, jeśli znamy następujących 5 izomorfizmów dla AK o małych wymiarach :

CℓR(0, 0 ) ≅ R CℓR(1,0 ) ≅ R ⊕ R CℓR(0, 1 ) ≅ C CℓR(0, 2 ) ≅ H CℓR(0, 0 ) ≅ R CℓR(0, 3 ) ≅ H ⊕ H.

Pierwsze 4 z tych przypadków zostały rozpatrzone w podrozdziale 1.2.

Piąty izomorfizm otrzymujemy, jeśli dokonamy następującego przyporządkowania : e → (1, 1) , e1 → (i, −i ) , e2 → (j, −j ) , e3 → (k, −k )

Można sprawdzić, ze te elementy będą generowały bazę w H ⊕ H.

Dogodnie jest przedstawić izomorfizmy rzeczywistych AK z algebrami macierzowymi przedstawiono w następującej tabeli.

W pierwszej kolumnie wskazano wartość n = p + q, a w pierwszym wierszu p − q.

Na przecięciu odpowiedniej kolumny i odpowiedniego wiersza wskazano pierścień, nad którym zbudowano algebrę macierzową, izomorficznej zadanej rzeczywistej AK.

W tabeli wykorzystano oznaczenia postaci : 2R = R ⊕ R , 2H = H ⊕ H

Tabele można przedłużyć nieskończenie w dół. Ruch o dwa kroki w dół zgodnie z tabelą odpowiada zwiększeniu rozmiaru macierzy 2 dwukrotnie na mocy lematów 3.1 i 3.2. Na mocy lematu 3.3 tabela jest symetryczna względem kolumny o wartości p − q = 1. Na mocy lematu 3.4 istnieje periodyczność o okresie 8 w każdym wierszu.

Sumarycznie otrzymujemy następujące twierdzenie :

Twierdzenie 3.1 Rzeczywiste AK CℓR(p, q), n = p + q, są izomorficzne następującym algebrom macierzowym : CℓR(p, q).

Dowód. Dowód przeprowadzamy z pomocą wypisanych powyżej 5-ciu izomorfizmów dla małcyh wymairów AK I lematu 3.1. Jako ilustracja dowodu może służyć podana wcześniej tabela.

Lemat 3.4 odzwierciedla 8 – periodyczność (periodyczność Cartana – Botta ) AK ze względu na wartości wyrażenia p − q.

Twierdzenie 3.1 wskazuje również jawną postać algebr macierzowych, którym są izomorficzne są AK różnych wymiarów i sygnatur.

W literaturze przedstawia się periodyczność Botta dla AK w postaci tzw. zegara Clifforda. W jednym dniu mamy 8 godzin, a nie jak zwykle 12. Ruch zgodnie z ruchem strzałki zegara odpowiada zwiększeniu wartości wyrażenia p − q o jednostkę.

Zegar jest symetryczny względem osi, przechodzącej przez godzinę trzecią i siódmą.

Ćwiczenia.

1. Wykorzystując technikę z dowodów lematów 3.1 – 3.5, ustanowić następujące izomorfizmy :

CℓREven(p, q) ≅ CℓR(p, q − 1) , CℓREven(p, q) ≅ CℓR(q, p − 1) (3.14) 2. Z poprzedniego ćwiczenia otrzymać izomorfizm algebr :

CℓFEven(p, q) ≅ CℓREven(q, p ) (3.15)

3.2 Macierzowe reprezentacje zespolonych AK.

Twierdzenie 3.2 Zespolone AK Cℓ(p, q) o jednym i tym samym wymiarze n są izomorficzne :

Cℓ(p, q) ≅ Cℓ(n, 0) , ∀p, q : p + q = n (3.16)

Dowód.

Niech e1, ... , en – będzie zbiorem generatorów AK Cℓ(p, q). Generatory te antykomutują i : (ea )2 = e, a = 1, 2, ... , p

(ea )2 = −e, a = p+1, p+ 2, ... , n

Zawsze można wziąć nowy zbiór generatorów : (ea )’ = ea, a = 1, 2, ... , p

(ea )’ = iea, a = p+1, p+2, ... , n

Taki zbiór generatorów generuje zespoloną AK Cℓ(n, 0), ponieważ : ((ea )’ )2 = e, a = 1, 2, ... , p

Wielu autorów z tego powodu rozpatruje tylko zespolone algebry o sygnaturze (n, 0). Jednakże z punktu widzenia pewnych zastosowań, niekiedy okazuje się konieczne rozpatrywanie algebr zespolonych o innych sygnaturach.

Twierdzenie 3.3. Istnieją następujące izomorfizmy zespolonych AK z algebrami macierzowymi : Cℓ(p, q) ≅ Mat( 2n/2, C ) n – parzyste

Cℓ(p, q) ≅ Mat( 2(n − 1)/2, C ) ⊕ Mat( 2(n − 1)/2, C ) n – nieparzyste Dowód.

W celu dowiedzenia w/w stwierdzenia wystarczy ujawnić jawną postać reprezentacji macierzowych dla wszystkich zespolonych AK Cℓ(p, q). Elementy zespolonych AK Cℓ(p, q), przedstawia się z użyciem macierzy zespolonych,

maksymalny rozmiar których jest równy 2(n+1)/2,przy czym przy nieparzystym n będą to blokowo- diagonalne macierze o wymiarze 2(n+1)/2, dla których na diagonalnej stoją dwa bloki o wymiarze 2(n − 1)/2, a pozostałe elementy – to zera.

Dalej prowadzimy jawną postać jednej z takich reprezentacji.

Podamy rekursywną metodę budowy reprezentacji macierzowych.

Elementowi jednostkowemu e AK zawsze przyporządkowana jest macierz jednostkowa o odpowiednim wymiarze.

Dalej przedstawiono macierzowe reprezentacje generatorów dla przypadku AK o sygnaturze (n, 0).

W przypadku innych sygnatur (p, q) generatorom z numerami większymi niż p, przyporządkowujemy te same macierze, pomnożone przez jednostkę urojoną i.

Elementom bazy ea1... ak przyporządkowujemy macierze, będące kolejnymi iloczynami macierzy przyporządkowanym elementom ea1... ak.

Przy n = 1 generatorowi e1 przyporządkowujemy macierz :

Przy n = 2 generatorom przyporządkowujemy macierze :

Dalej, niech dana będzie macierzowa reprezentacja dla AK o wymiarze parzystym n = 2k : e1, ... ,en → γ1, ... , γn

Wtedy dla AK o wymiarze n + 1 = 2k + 1 reprezentacja macierzowa budowana jest w następujący sposób :

Teraz dla AK o wymiarze n + 2 = 2k + 2 reprezentacje macierzową budujemy w następujący sposób.

Generatorom ea , a = 1, ... , n + 1 przyporządkowujemy te same macierze, co przy wymiarze n + 1, a generatorowi en+2 :

Ćwiczenia.

1. Sprawdzić, że rekurencyjnie zadanie macierzy, podane powyżej, rzeczywiście zadaje reprezentacje AK.

2. Zapisać macierz, przyporządkowaną jawnie zadanemu dowolnemu elementowi U (zobacz (1.4)) AK Cℓ(3, 0) (elementy macierzy powinny być funkcjami od współczynników ua1... ak )

3. Wypisać macierze, które przyporządkowujemy generatorom zespolonej AK Cℓ(1, 3).

Porównać z przyporządkowaniem macierzowym z pomocą macierzy Diraca.

3.3 Metoda zadania reprezentacji macierzowej zespolonych AK z pomocą hermitowskiego idempotentu i lewego ideału.

W niniejszym podrozdziale omówimy jeszcze jedną metodę budowania macierzowej reprezentacji AK – z pomocą wyboru hermitowskiego idempotentu i związanego z nim lewego ideału.

Szczegóły, zobacz [26,15].

Rozpatrzmy zespoloną AK Cℓ(p, q). Element t ∈ Cℓ(p, q), spełniający warunki : t2 = t, t† = t

nazywa się hermitowskim idempotentem (niekiedy stosuje się termin projektor w miejsce terminu idempotent ) Zbiór elementów AK :

I(t) = { U ≅ Cℓ(p, q) : U = Ut }

Nazywa się lewym ideałem AK (* ideałem lewostronnym *), generowanym przez idempotent t.

Lewy ideał AK, nie zawierający innych lewych ideałów oprócz samego siebie i trywialnego (odpowiadającego t = 0), nazywa się minimalnym lewym ideałem.

Idempotent hermitowski, generowany przez minimalny lewy ideał, nazywa się prymitywnym.

Podstawowa własność lewego ideału I(t) polega na następującym lemacie : (proponujemy dowieść go w ramach ćwiczenia ) :

Lemat 3.6 Jeśli U ∈ I(t) i U ∈ Cℓ(p, q), to VU ∈ I(t)

Dla każdego hermitowskiego idempotentu t lewy ideał I(t) jest zespoloną przestrzenią wektorową.

Hermitowski iloczyn skalarny : U, V → (U, V) = Tr (U†V)

rozpatrywany na elementach U, V ∈ I(t), zadaje strukturę przestrzeni unitarnej na lewym ideale.

Weźmy bazę ortounormowaną lewego ideału : τ 1 , .. , τ d ∈ I(t), gdzie d = dim I(t) oraz τł = τ ł : ( τ k , τł ) = δ ł

k , k, ł = 1, ... , d (3.17)

Z pomocą bazy lewego ideału (3.17) zadajmy odwzorowanie liniowe, które elementom AK przyporządkowuje macierze : γ : Cℓ(p, q) → Mat(d, C )

zgodnie z wzorem :

Uτ k = γ (U )łk τ ł , k = 1, 2, ... , d (3.18)

gdzie U ∈ Cℓ(p, q), γ(U) = || γ (U)łk || ∈ Mat(d, C )

Wyjaśnijmy teraz sens wzoru (3.18). Lewa część tego wzoru dla każdego k przynależy do lewego ideału na mocy lematu 3.6, a to oznacza, ze może być rozłożona względem bazy τ ł.

Współczynniki takiego rozkładu oznaczyliśmy jako γ (U )łk.

Mamy oczywiście :

γ (U )łk = ( τk, Uτ ł ) (3.19)

Proponujemy sprawdzić w ramach ćwiczenia następującą własność : Lemat 3.7. Odwzorowanie γ jest reprezentacją, tj. :

γ(UV) = γ(U)γ(V)

Wymiar takiej reprezentacji jest równy wymiarowi lewego ideału I(t).

Minimalny lewy ideał daje reprezentację elementów AK o minimalnym wymiarze.

Zauważmy, że γ (e) = 1 – macierz jednostkowa o odpowiednim wymiarze.

Przyjmiemy następujące oznaczenie : γa = γ(ea )

Relacje dla generatorów AK : ea eb + eb ea = 2ηab e dają relacje dla macierzy : γa γb + γb γa = 2ηab 1

Lemat 3.8 Dla reprezentacji γ otrzymujemy :

γ(U†) = γ(U)† ,∀ U ∈Cℓ(p, q) (3.20)

gdzie U† – hermitowsko sprzężony element AK Cℓ(p, q), γ(U†) – macierz hermitowsko sprzężona do macierzy γ(U).

Dowód. Operacja hermitowskiego iloczynu skalarnego : (A, B) = Tr(A†B )

posiada następujące własności :

(A, UB ) = (U†A, B ) , (A, B) = (A, B ) − Dlatego z (3.19) otrzymujemy :

γ (U)kł = (U † τk, τ ł ) , ( γ (U) ) −k

ł = ( τ ł , U † τk ) Podziałajmy operacją transponowania :

( γ (U)kł ) † = ( τ k, U † τł ) co pokrywa się z : γ (U†)kł = ( τk , U†τ ł )

Faktycznie, lemat mówi o tym, że operacja sprzężenia hermitowskiego od elementów AK jest zgodna z operacją sprzężenia hermitowskiego od macierzy.

Dalej, dla każdej zespolonej AK Cℓ(p, q) będzie wskazany pewien standardowy hermitowski idempotent t I odpowiednia baza ortounormowana lewego ideału I(t) taki, że otrzymamy reprezentację AK o minimalnym wymiarze.

Wymiar macierzy będzie równy 2[(n+1)/2 ]

Przy tym w przypadku nieparzystego n elementy AK Cℓ(p, q)przedstawiamy z użyciem macierzy blokowo- diagonalnych o wymiarze 2(n+1)/2 dla których na diagonalnej stoją dwa bloki o wymiarze 2(n − 1)/2, a pozostałe elementy to zera.

Lemat 3.9 Następujący element jest hermitowskim idempotentem :

gdzie :

a = { 0 ,dla p ≠ 0 { 1 ,dla p = 0 bk = { 0 ,dla 2k = p { 1 ,dla 2k ≠ p

Dowód. W iloczynie (3.21) wszystkie czynniki komutują między sobą. Oprócz tego, wykorzystując wzór (2.7),

otrzymujemy :

Dlatego : t2 = t, t† = t

a to oznacza, że t jest hermitowskim idempotentem.

Można pokazać, że przy parzystym n element t jest prymitywnym idempotentem AK Cℓ(p, q).

Ustalmy ciąg elementów w bazie AK. A mianowicie, niech element ea1 ... eak , a1< ... < ak, poprzedza element eb1 ... ebk , b1< ... < bk, jeśli a1< b1, albo a1 = b1, a2 < b2, albo a1 = b1, a2 = b2, a3 < b3 itd.

Rozpatrzmy w przypadku parzystego n tylko generatory o indeksach parzystych e2 ... en i oznaczmy przez ck, k = 1, ... , 2 n/2 zbiór elementów bazy, które są generowane z ich pomocą.

Przy czym na początku występuje 2(n − 2)/2 parzystych elementów bazy, a następnie 2(n − 2)/2 nieparzystych elementów bazy :

e, e24, e26, ... , e2, e4 (3.22)

W przypadku nieparzystego n rozpatrzymy generatory o indeksach parzystych : e2, e4, ... , en − 1 oraz generator en.

Oznaczmy również poprzez ck, k = 1, ... , 2(n+1)/2 - zbiór elementów bazy, które są generowane z ich pomocą.

Przy czym na początku występuje 2(n − 1)/2 parzystych elementów bazy, a następnie 2(n − 2)/2 nieparzystych elementów bazy.

Lemat 3.10 Elementy lewego ideału I(t) : τ k = ( √ 2 )[n/2] ckt , k = 1, ... , 2 [(n+1)/2]

tworzą bazę ortounormowana I(t).

Dowód. Otrzymujemy :

Dalej pokażemy, że : { c†k cł = e dla k = ł { Tr(c†k cłt ) = 0 dla k ≠ ł

Pierwsza relacja jest słuszna, ponieważ ck jest elementem bazy AK, a to oznacza, że jest elementem unitarnym (zobacz podrozdział 2.1 ). Zatem, w tym przypadku otrzymujemy :

(τ k, τ k ) = ( √2 )2[n/2] Tr t = 1 , k = 1, ... , 2[(n+1)/2]

Niech teraz k ≠ ł. Wtedy :

c†k cł = ± ea1 ... eas , przy parzystym n (3.23)

albo

c†k cł = ± ea1 ... eas en , przy nieparzystym n gdzie a1< ... < as , oraz a1, ... , as – indeksy parzyste.

Prawa część wzoru (3.23) zawiera, w skrajnym przypadku, jeden czynnik, co oznacza : Tr (c†k cł ) = 0

Idempotent t z wyrażenia (3.21) zapiszemy w postaci :

gdzie λ b1... br ∈ C i każda ze składowych λ b1... br eb1 ... br zawiera w skrajnym przypadku, jeden generator eb o

nieparzystym indeksie (przy nieparzystym n idempotent nie zawiera generatora en )

Dalej :

Jeśli wyrażenie w nawiasie okrągłym zapisać w postaci sumy elementów bazy AK, to do każdej składowej w charakterze czynnika wchodzi w skrajnym przypadku jeden generator eb o indeksie nieparzystym. Dlatego ślad każdego ze

składowych jest równy zero, oraz : Tr (c†k cł t ) = 0 dla k ≠ ł

Zatem dowiedliśmy ortounormowania bazy lewego ideału.

Zatem, z pomocą hermitowskiego idempotentu t i bazy ortounormowanej τ k lewego ideału I(t) zbudowaliśmy reprezentację elementów AK Cℓ(p, q) w postaci macierzy z Mat( 2[(n+2)/2] ,C )

W przypadku nieparzystego n będzie ona blokowo- diagonalna dla n ≤ 5.

Dla większych wymiarów dalej przedstawimy inna konstrukcję hermitowskiego idempotentu.

Przy budowaniu standardowego hermitowskiego idempotentu (3.21) wydzielony został generator e1. Wykorzystana przez nas procedura numeracji elementów bazy AK, kiedy na początku numerowane są elementy parzyste, a dalej numerowane są elementy nieparzyste (3.22), prowadzi do tego, że generator e1 przy p > 1 jest reprezentowany przez macierz blokowo- diagonalną :

diag ( 1, ... , 1 ,−1, ... , − 1 )

o jednakowej liczbie 1 i − 1 na diagonalnej.

Teraz przejdziemy do przypadku nieparzystego n = p + q > 5.

Będziemy rozpatrywali tylko AK Cℓ(n, 0) o sygnaturze (n, 0).

Przy rozpatrzeniu AK o innych sygnaturach (p, q) generatorom ep+ł ∈Cℓ(p, q) będą odpowiadały elementy iep+ł ∈ Cℓ(n, 0)

Rozpatrzmy AK Cℓ(2m+1, 0).

Lemat 3.11 Element :

AK Cℓ(2m+1, 0) jest hermitowskim idempotentem.

Rozpatrzmy następujący zbiór elementów pk , k = 1, 2, ... , 2 m : e , ie2, e4, e6, ... , ie2e4 , ie2e6, ...

które są generowane z elementów : ie2, e4, ... , e2m

o indeksach parzystych, przyjmujących wartości od 2 do 2m.

Jednostka urojona i występuje tylko przy generatorze e2.

Rozpatrzmy następującą bazę lewego ideału :

Można sprawdzić, ze zbudowana baza τ ł , k = 1, ... , 2 m+1 jest ortounormowana ze względu na iloczyn skalarny (U, V)= Tr(U†V )

Baza τ ł zadaje reprezentację elementów AK Cℓ(2m+1, 0) w postaci macierzy blokowo- diagonalnych dla których na

głównej diagonalnej stoją dwa bloki o wymiarze 2m, a pozostałe elementy to zera.